2022-2023学年山西省太原市校高二上学期期末阶段测试数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0-()1,0【答案】B【分析】由抛物线的方程即可确定焦点位置和焦点坐标．【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，22y x =x 22p =122p =即焦点坐标为．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B ．2．函数的单调递减区间为（ ）()4ln f x x x=-A ．B ．C ．D ．()0,∞+10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】由结合定义域即可解出．()0f x '<【详解】因为，所以，由解得：，所()()4ln 0f x x x x =->()14f x x '=-()0140x f x x >⎧=<'⎪⎨-⎪⎩104x <<以函数的单调递减区间为．()4ln f x x x=-10,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：B ．3．已知函数，则（ ）()()2ln 31f x x x f x '=-+()1f =A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】计算出的导数，将代入即可求出，进而可计算出.()f x '()f x 1x ='()f x ()1f '(1)f 【详解】因为，则，()()2ln 31f x x x f x'=-+()()1321f x f x x ''=-+所以，则，()()'1132'1f f =-+()12f '=所以，所以.()2ln 32f x x x x =-+()1ln1321f =-+=-故选：D.【点睛】本题考查导数的相关计算，属于基础题.4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系N t ，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为()240e-=t N t N 0N 0=t 24t =，则（ ）1e --()120N =A ．24贝克B ．贝克524e -C ．1贝克D ．贝克5e -【答案】B【分析】先求出，然后利用，求出，再求解即可.'()N t 1(24)e N -'=-0N ()120N 【详解】由，得，()240e-=tN t N ()2401e24tN t N -'=-因为时，该同位素含量的时变化率为，24t =1e --所以，解得，()241240124e e 24N N --=-=-'024N =所以.120524(120)24e 24e N --=⨯=故选：B.5．设椭圆离心率为e ，双曲线，22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C a b -=则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）1C A ．B ．C ．D．⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭)+∞【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率,a b e 的取值范围.【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，22222:1x y C a b -=by xa =±又因为，即0a b >>0b a <<所以，椭圆的离心率1C c e a ⎫==⎪⎪⎭即离心率e 的取值范围是.⎫⎪⎪⎭故选：B6．设定义R 在上的函数，满足任意，都有，且时，()y f x =x ∈R ()()4f x f x +=(]0,4x ∈，则，，的大小关系是（ ）()()'>xf x f x ()2021f ()22022f ()32023f A ．B ．()()()20222202320231f f f <<()()()20222023202123f f f <<C ．D ．()()()20232032222021f f f <<()()()20232022202132f f f <<【答案】A【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.x ∈R ()()4f x f x +=()f x 4所以.()()()()()()202222023320211,,2233f f f f f f ===构造函数，()()()()()()204,0f x xf x f x F x x F x x x '-'=<≤=>所以在区间上单调递增，所以，()F x (]0,4()()()123F F F <<即，也即.()()()122313f f f <<()()()20222202320231f f f <<故选：A7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论2a 2c 错误的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大D ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁【答案】C【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A ；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B ；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C ；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D ．211a c a ce -=-+++【详解】A 选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大a c -值为，所以A 正确；a c +B 选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B 正确；C 选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C 错误；D 选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆12111a c e a c e e --==-++++e 越扁，故D 正确.故选：C ．8．若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围2ln 1()x mx f x x +-=,a b 0(,)x a b ∈m 是（ ）A ．B ．e(0,)2ln 2e[,1]4C ．D ．ln 2e[,1)4ln 3e e [,)92【答案】C【分析】由题意可知有两个实根，构造函数，利用导数研究函数2ln 1x m x +=2ln 1()(0)x h x x x +=>的单调性及极值，作出函数的图象，利用数形结合思想即可求解.()h x ()h x 【详解】由题意，得有两个实根，2ln 1()0x mx f x x +-==2ln 1x m x +=设，则，2ln 1()(0)x h x x x +=>4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x -+-+-+'===令，解得，()0h x '=12e x -=当时，，单调递增；当时，，单调递减；120e x -<<()0h x '>()h x 12e x ->()0h x '<()h x 故当时，函数取得极大值，且，12e x -=12e (e )2h -=又时，；时，；当时，，，1e x =()0h x =10e x <<()0h x <1e x >2ln 10,0x x +>>()0h x >作出函数的大致图象，如图所示：()h x直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，y m =2ln 1()x h x x +=,a b 由题意知，又，，121(,e )e a -∈(1)1h =ln 21ln 2e (2)44h +==因为存在唯一的整数，所以，0(,)x a b ∈12b <≤又直线与的图象有两个交点，y m =2ln 1()x h x x +=由图可知：，即.(2)(1)h m h ≤<ln 2e14m ≤<故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数零点的情况求参数的取值范围，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题9．函数的定义域为R ，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是()f x ()y f x '=（ ）A ．在上函数为增函数B ．在上函数为增函数()1,2()f x ()3,5()f x C ．在上函数有极大值D ．是函数在区间上的极小值点()1,3()f x 3x =()f x []1,5【答案】AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.()f x 【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，()f x ()1,2()4,5()'0f x >()f x ()2,4()'0f x <递减.()f x 所以A 选项正确，B 选项错误.在区间上，有极大值为，C 选项正确.()1,3()f x ()2f 在区间上，是的极小值点，D 选项错误.[]1,54x =()f x 故选：AC10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称()f x D ()f x '()f x 'D 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为()f x D ()()()f x f x ''''=()0f x ''<D ()f x D 凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）π0,2⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．()sin cos f x x x =-()ln 4f x x x=-C ．D ．()321f x x x =-+-()e xf x x =【答案】AD【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的()f x ()f x ''()0f x ''<恒成立，由此可得出答案.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】对于A ，，，()cos sin f x x x '=+()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝'⎭'当时，，，故不是凸函数；π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ044x -<-<()0f x ''>()sin cos f x x x =-对于B ，，，故是凸函数；()14f x x '=-()210f x x ''=-<()ln 4f x x x =-对于C ，，对任意的，，故是凸函数；()232f x x '=-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()60f x x ''=-<()321f x x x =-+-对于D ，，对任意的，，故不是凸函数．()()1e xf x x '=+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()e 02x f x x =+''>()e x f x x =故选：AD ．11．直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为:(2)l y k x =-22:2C x y -=k （ ）A ．B ．C ．D ．01212【答案】AD【分析】联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合方程根的情况列出不等式，求解可得的范围，k 判断选项即可.【详解】联立，消去y 得，.22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩2222(1)4420k x k x k -+--=因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，l C 所以方程有一正一负根，2222(1)4420k x k x k -+--=所以，整理得，解得.222104201k k k ⎧-≠⎪⎨--<⎪-⎩210k ->11k -<<所以的取值范围为，故A ，D 符合题意.k 11k -<<故选：AD.12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上24y x =F x 1l ()3,1M 的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的()11,P x y ()22,Q x y 2l是（ ）A ．B ．124y y =-43PQ k =-C ．D ．与之间的距离为4254PQ =1l 2l 【答案】ABC【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，PQ (1,0)F :1PQ x my =+24y x =由韦达定理得可判断A ；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合124y y =-P M 1l P 可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断B ；根据抛物线的定义可知，124y y =-Q 12||PQ x x p =++可判断C ；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D ．1l 2l 1l 2l 12||d y y =-【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入得PQ (1,0)F :1PQ x my =+24y x =，则，故A 正确；2440y my --=124y y =-点与均在直线上，则点的坐标为，由得，则点的坐标为，P M 1lP (1,14)124y y =-24y =-Q (4,4)-则，故B 正确；4141344PQ k --==--由抛物线的定义可知，，故C 正确；12125||4244PQ x x p =++=++=与平行，与之间的距离，故D 错误，1l 2l 1l ∴2l 12||5d y y =-=故选：ABC ．三、填空题13．椭圆的长轴长为______．2224x y +=【答案】4【分析】把椭圆方程化成标准形式直接计算作答.【详解】椭圆方程化为：，令椭圆长半轴长为a ，则，解得，2224x y +=22142x y +=24a =2a =所以椭圆的长轴长为4.2224x y +=故答案为：414．函数在点处的切线方程为______.2cos y x x =+π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】π=2y x +【分析】求出函数的导数，继而可求得切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求得答案.【详解】由函数可得，2cos y x x =+2sin y x '=-故在点处的切线的斜率为，2cos y x x =+π,π2⎛⎫⎪⎝⎭π2sin 12k =-=故切线方程为，即，ππ=2y x --π=2y x +故答案为：.π=2y x +15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为________.()2ln f x x x ax =+a 【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出导函数，要使函数有两个极值点，经分析可知只()ln 1f x x ax'=++()2ln f x x x ax =+需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧()0f x '=12,x x 1x ()y f x =2x 的单调性相反. 令可得，作出和的图像，分析()y f x =()0f x '=ln 12x a x +=-()ln 1x h x x +=-2y a =即可得出的取值范围a 【详解】的定义域为，.()2ln f x x x ax =+()0+∞，()ln 1f x x ax '=++要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧()2ln f x x x ax =+()0f x '=12,x x 1x 的单调性相反，在的两侧的单调性相反.()y f x =2x ()y f x =由得，.ln 120x ax ++=ln 12x a x +=-令，，要使函数有两个极值点，只需()()ln 1,0x h x x x +=->2y a =()2ln f x x x ax =+和有两个交点.()ln 1x h x x +=-2y a =，令得：x >1；令得：；()2ln x h x x '=()2ln 0x h x x '=>()2ln 0xh x x '=<01x <<所以在上单减，在上单增.()ln 1x h x x +=-()0,1()1,+∞当时，；当时，；0x +→y →+∞x →+∞0y →作出和的图像如图，()ln 1x h x x +=-2y a =所以即实数的取值范围为.120,a -<<a 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值1m >1[,)4x ∈+∞()5ln 4e ln x x x m m -≤-m 为________.【答案】4e【分析】不等式等价变形，利用函数()()()5ln 4e ln 4ln 4e ln e x x x x x m m x x m m -≤-⇔-≤-的单调性可得，即，令，结合函数的单调性与最值即可求()ln f x x x =-4e x x m ≤4e x xm ≤()4e x x g x =得答案.【详解】.()()5ln 4e ln 4ln 4e ln x x x x m m x x m m x -≤-⇔-≤--()()4ln 4e ln e x xx x m m ⇔-≤-令，，则，()ln f x x x=-[1,)x ∈+∞()1110x f x x x ='-=-≥∴在上单调递增.()f x [)1,+∞∵，，∴，1m >1[,)4x ∈+∞[)4,e 1,x x m ∈+∞∴恒成立，()()44ln 4e ln e (4))(e 4e e x x x x x xx x m m f x f m x m m -≤-⇔≤⇔≤⇔≤令，则，()4e x x g x =()e 44x xg x -='∴单调递增；单调递减，()()1,1,0,4x g x g x ⎡⎫∈>⎪⎢⎣⎭'(1,),()0,()x g x g x '∈+∞<时，的最大值为，1x ∴=()g x 4e ∴，∴的最小值为.4e m ≥m 4e 故答案为：.4e四、解答题17．已知在时有极值0.()3223f x x ax bx a =+++=1x -(1)求常数的值；a b 、(2)求函数在区间上的值域.()y f x =[]4,0-【答案】(1)2,9a b ==(2)[]0,4【分析】（1）求出导函数，再由在时有极值0，可得解()236f x x ax b '=++()f x =1x -()()10,10,f f ⎧-=='⎪⎨-⎪⎩方程组即可求出的值；a b 、（2）求出导函数，再由函数的单调性以及导数的正负列出表格，即可解得函()23129f x x x '=++数在和递增，递减，从而可得值域.()y f x =()4,3--()1,0-()3,1--【详解】（1），可得，()3223f x x ax bx a =+++()236f x x ax b'=++由题时有极值0.可得：即=1x -()()10,10,f f ⎧-=='⎪⎨-⎪⎩2360,130,a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：或，1,3,a b =⎧⎨=⎩2,9.a b =⎧⎨=⎩当时，单调，不会有极值，故舍去. 13a b =⎧⎨=⎩()23690f x x x '=++≥，()y f x =经验证成立；2,9a b ==（2）由（1）可知，()32694f x x x x =+++，，()()()23129313f x x x x x '=++=++[]4,0x ∈-x4-()4,3--3-()3,1--1-()1,0-()f x '+ 0-+()f x0增4减0增4所以函数在和递增，递减.()y f x =()4,3--()1,0-()3,1--且，，，，()40f -=()34f -=()10f-=()04f =可得值域为.[]0,418．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.xOy C (0,(（1）求双曲线的标准方程；C （2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程()1,1Q l C M N Q MN l 及弦的长.MN【答案】（1）；（2）22:12y C x -=210x y --=【解析】（1）根据题意可得，进而可得双曲线方程；,,a b c （2）先根据点差法求直线方程，再根据弦长公式即可求出．【详解】解：（1）根据题意，焦点在轴上，且，y c =a =1b =双曲线的标准方程为；22:12y C x -=（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，当直线斜率不()1,1Q l C M N Q MN 存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；1x =MN x 当斜率存在时，设直线方程为，设，，()11y k x =-+()11,M x y ()22,N x y 则，化简可得，()221112y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩()()2222222210k x k k x k k ---+--=因为有两个交点，所以()()22222242210k kk k k ⎡⎤∆=----->⎣⎦化简可得恒成立，22210k k -->21222122222,212k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪-∴⎨--⎪=⎪-⎩因为恰好为线段的中点，则，()1,1Q MN 222222k kk -=-化简可得，2k =所以直线方程为，即.()211y x =⨯-+210x y --=此时，1212212x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩==【点睛】关于圆锥曲线的中点弦问题：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法主要是点差法，设而不求，得到结果．19．已知函数.()()221ln f x ax a x x=-+-12a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(1)当时，证明：；1a =-()31f x x x ≥--(2)讨论的单调性.()f x 【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）构造函数，利用函数的最值即可证明不等()()()311ln 1,0g x f x x x x x x ⎛⎫=---=-+> ⎪⎝⎭式；（2），对分类讨论即可得出函数的单调性．()()()212ax x f x x --'=a ()f x 【详解】（1）当时，令，1a =-()()()311ln 1,0g x f x x x x x x ⎛⎫=---=-+> ⎪⎝⎭，()22111x g x x x x -'=-=可得时，，函数单调递减；(0,1)x ∈()0g x '<()g x 时，，函数单调递增， (1,)x ∈+∞()0g x '>()f x 时，函数取得极小值即最小值，，1x ∴=()g x ()1g 0=∴，即．()0g x ≥()31f x x x ≥--（2）函数的定义域为，(0,)+∞，()()()2212212ax x a f x a x x x --+'=-+=当时， 时，，函数单调递增；时，，函数单调0a ≤(0,2)x ∈()0f x ¢>()f x (2,)x ∈+∞()0f x '<()f x 递减；当时，时，，函数单调递增区间为；102a <<1(0,2),x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x ¢>()f x 1(0,2),,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，，函数单调递减；1(2,)x a ∈()0f x '<()f x 当时，，，函数在单调递增．12a =()()2222x f x x -'=()0f x '≥()f x (0,)+∞综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；0a ≤()f x (0,2)(2,)+∞当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；102a <<()f x 1(0,2),,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 1(2,)a 当时，函数在上单调递增.12a =()f x (0,)+∞20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x 万件，还需投入万0.1x 元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月()p x 21() 4.112p x x x =-++产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全8()13ln 0.1p x x x x =--+部售完．(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个y x 月生产口罩所获得的利润；(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）0.1参考数据：．ln 20.69≈【答案】(1)；7.5万元214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元【分析】（1）利润等于销售收入减去固定成本减去原材料费（2）分段函数的最值，先分段求，再比较，较大的是最大值【详解】（1）当时；05x <<22114.1110.1422y x x x x x=-++--=-+当时， 5x ≥8813ln 0.110.112ln y x x x x x x =--+--=--故月利润y 关于月产量x 的函数关系式为214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩当时，3x =19437.52y =-⨯+⨯=故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．（2）当时，，05x <<22114(4)822y x x x =-+=--+故当时，y 取得最大值，最大值为8万元； 4x =当时，，5x ≥812ln y x x =--．22188x y x x x '-=-+=当时，，当时，，58x ≤<0'>y 8x >0'<y 所以在上单调递增，在上单调递减，812ln y x x =--[5,8)(8,)+∞故当时，y 取得最大值，且．8x =max 12ln81113ln 28.9y =--=-≈因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.98>8.9万元．21．已知函数.()()2e 1x f x x =+(1)若在上是增函数，求实数的取值范围；()()221e 2x g x f x x x kx =---R k (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.210x x >>()()212212ee x x af x f x ->-a 【答案】(1)(],1-∞(2)e 2a ≤【分析】（1）由在上是增函数，可得在上恒成立，再由参数分离法即可求得()g x R ()0g x '≥R 的取值范围.k （2）当时，恒成立，所以在上单调递增，且0x >()()2e 210x f x x x '=++>()f x ()0,∞+.由，可得，再构造函数，则问题等价()()010f x f >=>210x x >>()()21f x f x >()()2e xg x af x =-于函数在上单调递增，()g x ()0,∞+即在上恒成立，即参数分离后，只需求()()22e 0x g x af x ''=-≥()0,∞+()222e 2e 21x xa f x x x ≤='++即可得的取值范围.22e 21xx x ++a 【详解】（1）依题， 故，()21e 2x g x x kx =--()e x g x x k ='--在上是增函数，在上恒成立.()g x R ()0g x '∴≥R即：在上恒成立.e xk x ≤-R 设，则()e x m x x=-()e 1x m x '=-当时，；当时，(),0x ∈-∞()0,m x '<()0,x ∈+∞()0,m x '>即在上单调递减；在在上单调递增()m x (),0∞-()m x ()0,∞+()()min 01m x h ∴== 1k ∴≤即的取值范围为：k (],1-∞（2）当时，恒成立，0x >()()2e 210x f x x x '=++>所以在上单调递增，且.()f x ()0,∞+()()010f x f >=>因为，所以，210x x >>()()21f x f x >则不等式可化为，()()212212e e x x a f x f x ->-()()212221e e x x a f x f x ->-⎡⎤⎣⎦即.()()212221e e x x af x af x ->-令，因为，则问题等价于函数在上单调递增，()()2e x g x af x =-210x x >>()g x ()0,∞+即在上恒成立，()()22e 0x g x af x ''=-≥()0,∞+即，.()222e 2e 21x xa f x x x ≤='++()0,x ∈+∞令，，()22e 21xp x x x =++()0,x ∈+∞则.()()()()()()()()22223222e 212e 222e 12e 112121x x x x x x x x x p x x x x x x ++-+--===+++++'令，解得，()0p x '=1x =所以当时，，函数在上单调递减；()0,1x ∈()0p x '<()p x ()0,1当时，，函数在上单调递增；()1,x ∈+∞()0p x '>()p x ()1,+∞所以当时，函数取得最小值，且，1x =()p x ()()min e 12p x p ==所以当时，，()0,x ∈+∞()()e12p x p ≥=所以.e2a ≤【点睛】本题考查的是函数与导数的综合运用，导数求函数的最值，函数不等式恒成立问题以及参数分离法的灵活运用，属于较难题.22．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．()0,1A -()0,1B P PB AB PA BA=⋅ P C （1）求的方程；C （2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过D =2y -D CEF EF 定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.24x y =【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；C （2）设，，，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而(),2D t -()11,E x y ()22,F x y ,DE DF D 可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标．EF 【详解】（1）设，则，，(),P x y (),1PA x y =---(),1PB x y =--，，()0,2AB =()0,2BA =-所以，，PB AB PA BA=⋅ 1y=+化简得．24x y =所以，的方程为．C 24x y =（2）由题设可设，，，(),2D t -()11,E x y ()22,F x y 由题意知切线，的斜率都存在，DE DF由，得，则，24x y =24x y =2xy '=所以，12DE x k =直线的方程为，即，①DE ()1112x y y x x -=-211122x x y y x -=-因为在上，所以，即，②()11,E x y 24x y =2114x y =21122x y =将②代入①得，11220x x y y --=所以直线的方程为DE 11220x x y y --=同理可得直线的方程为．DF 22220x x y y --=因为在直线上，所以，(),2D t -DE 11240tx y -+=又在直线上，所以，(),2D t -DF 22240tx y -+=所以直线的方程为，EF 240tx y -+=故直线过定点．EF ()0,2【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出D 直线方程，然后得定点坐标．EF。
