图1-1图1-2定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在数学史上,它的发展为现代数学做出了不朽的功绩.恩格斯曾经指出:微积分是变量数学最重要的部分,是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具.凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算,人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。
正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。
以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。
1 定积分的概念的提出1。
1问题的提出曲边梯形的面积(如图1）所谓曲边梯形,是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。
其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。
不妨假定0)(≥x f ,下面来求曲边梯形的面积。
由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性,任两点],[,21b a x x ∈ ,12x x -很小时,)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大.于是可用如下方法求曲边梯形的面积。
（1） 分割 用直线1x x =,2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。
区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大,所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积,就是,在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积(图1—1）, 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ。
