小学六年级解不等式方程教案
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不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质,能够熟练地解一元一次不等式。
2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 不等式的基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式应用题的解答三、教学重点与难点1. 教学重点:不等式的基本性质,一元一次不等式的解法。
2. 教学难点:不等式应用题的解答。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解不等式的基本性质和一元一次不等式的解法。
2. 运用案例分析法讲解不等式应用题的解答。
3. 运用讨论法引导学生探讨不等式解法的规律。
五、教学过程1. 导入:通过复习相关知识点,引入不等式的概念和基本性质。
2. 讲解:讲解一元一次不等式的解法,并列举典型例题进行分析。
3. 练习:让学生独立解一些一元一次不等式,并及时给予指导和反馈。
4. 应用:运用不等式的解法解决实际问题,如分配问题、排序问题等。
5. 总结:总结不等式的解法步骤和注意事项,强调解题方法的重要性。
6. 作业布置:布置一些不等式的练习题,巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习:通过课堂练习,观察学生对不等式解法的掌握程度。
2. 作业批改:对学生的作业进行批改,了解学生对不等式解法的熟练程度。
3. 学生提问:鼓励学生提问,及时解答学生的疑问,帮助学生巩固知识。
七、教学拓展1. 对比等式和解不等式的异同,让学生理解不等式的解法实质。
2. 引导学生探讨不等式的解法规律,提高学生的逻辑思维能力。
3. 引入更复杂的不等式类型,如绝对值不等式、分式不等式等,让学生尝试解决。
八、教学反思1. 反思教学过程,检查教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 反思教学内容,确保教学内容完整、系统,便于学生掌握。
3. 反思教学效果,针对学生的掌握情况,调整教学策略,提高教学质量。
九、教学评价1. 学生自评:让学生对自己的学习情况进行评价,总结收获和不足。
人教版数学六年级上册方程与不等式例3教学设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生能够:1. 理解方程与不等式的概念;2. 视觉化方程与不等式的解集;3. 运用所学知识解决实际问题;4. 培养学生分析和解决问题的能力。
二、教学重点1. 理解方程与不等式的含义;2. 通过图像说明方程与不等式的解集;3. 运用所学知识解决实际问题。
三、教学内容本课主要内容为方程与不等式的概念和解集的视觉化呈现,以及实际问题的解决过程。
具体内容包括:1. 方程的定义和表示方法;2. 不等式的定义和表示方法;3. 方程和不等式解集的图像表示;4. 实际问题的方程和不等式表示;5. 运用方程和不等式解决实际问题的方法。
四、教学步骤步骤一:导入新知通过回顾上节课所学的方程和不等式的定义,引导学生快速复,为本节课的研究打下基础。
步骤二:概念解释与例题演示通过教师的讲解和示范,详细解释方程和不等式的概念,以及如何表示和解决方程和不等式。
同时,通过具体的例题演示,帮助学生理解和掌握解决方程和不等式的方法。
步骤三:图像表示与实际问题解决教师通过图像的展示,将方程和不等式的解集可视化呈现给学生,帮助他们更好地理解解集的概念。
然后,带领学生运用所学知识解决实际问题,培养他们的应用能力和解决问题的能力。
步骤四:练与巩固设计一些练题,让学生在课堂上进行练,巩固所学的知识和技能。
教师可以逐个检查学生的答案,并给予及时的反馈和指导。
步骤五:课堂总结教师对本节课的内容进行总结,强调方程和不等式的重要性和应用范围,并鼓励学生继续深入研究和探索。
五、教学评估教师可以通过以下方式对学生的研究情况进行评估:1. 观察学生在课堂上的表现,包括对概念的理解和解题能力;2. 针对练题,评估学生的答案和解题过程;3. 设计小测验或作业,检验学生对方程和不等式的掌握程度。
六、教学延伸为了进一步提高学生的研究成果,教师可以提供一些延伸活动或推荐相关的阅读材料。
同时,建议学生进行课后复,并解决更多的实践问题,以巩固所学知识。
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本解法,包括加减法、乘除法、移项、合并同类项等。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的基本解法2. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点:不等式的解法及应用。
2. 教学难点:不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用案例分析法,以实际问题引导学生学习不等式的解法。
2. 运用小组讨论法,培养学生合作解决问题的能力。
3. 采用问答法,激发学生思考,巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入:以一个实际问题引入,如“某商品打八折出售,原价大于折扣价吗?”引导学生思考不等式的解法。
2. 基本不等式解法讲解:讲解加减法、乘除法、移项、合并同类项等基本解法。
3. 案例分析:分析实际问题,运用不等式解法解决问题。
如:“甲、乙两人赛跑,甲每分钟跑60米,乙每分钟跑70米,问乙多少分钟可以追上甲?”4. 小组讨论:让学生分组讨论,总结不等式解法在实际问题中的应用。
5. 问答环节:教师提问,学生回答,巩固所学知识。
6. 课堂小结:总结本节课的主要内容,强调不等式解法在实际问题中的应用。
7. 作业布置:布置相关练习题,巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂表现评估:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况,了解学生的学习状态。
2. 练习题评估:对课后作业和课堂练习进行批改,了解学生对不等式解法的掌握情况。
3. 小组讨论评估:评估学生在小组讨论中的表现,包括合作意识、问题解决能力等。
七、教学拓展1. 引入不等式的应用领域,如经济、物理、化学等,让学生了解不等式在实际生活中的重要作用。
2. 介绍不等式的发展历史,让学生了解不等式的起源和演变。
3. 引导学生探索不等式与其他数学知识的联系,如函数、方程等。
八、教学资源1. 教案、PPT等教学资料。
2. 练习题、案例分析等教学案例。
3. 数学软件或工具,如GeoGebra等,辅助教学。
有关不等式的解法教案设计教案标题:不等式的解法教案设计教案目标:1. 学生能够理解不等式的概念和性质。
2. 学生能够运用不等式的解法方法解决实际问题。
3. 学生能够在解决不等式问题时运用适当的推理和推导方法。
教案步骤:引入(10分钟):1. 引导学生回顾等式的概念和解法方法,并提问是否了解不等式的概念。
2. 通过举例让学生感知不等式的特点,例如:2 < 3,4 > 1。
3. 引导学生思考不等式与等式的区别,并总结不等式的定义。
讲解不等式的性质(15分钟):1. 讲解不等式的基本性质,包括加减性、乘除性和倒置性。
2. 通过具体的例子让学生理解和运用不等式的性质,例如:若a > b,则a + c >b + c。
3. 引导学生思考不等式性质的运用条件和限制。
解决不等式的方法(20分钟):1. 介绍常见的不等式解法方法,包括图像法、试值法和代数法。
2. 通过示例演示不同解法方法的应用,让学生理解各自的优缺点。
3. 引导学生思考何时选择何种解法方法,并培养灵活运用的能力。
练习与应用(25分钟):1. 分发练习题,包括基础题和应用题,要求学生用不同的解法方法解答。
2. 引导学生在解答过程中思考解法的合理性和有效性。
3. 针对应用题,鼓励学生将数学概念与实际问题相结合,培养解决实际问题的能力。
总结与反思(10分钟):1. 总结不等式的解法方法和性质,强调解题思路和策略的重要性。
2. 引导学生回顾本节课所学内容,思考不足之处并提出问题。
3. 鼓励学生积极参与讨论,互相学习和提供建议。
教学辅助工具:1. PowerPoint演示文稿。
2. 不等式练习题。
3. 黑板/白板和粉笔/马克笔。
教学评估:1. 教师观察学生在课堂上的参与度和问题解决能力。
2. 教师收集学生的练习作业,评估他们对不等式解法的理解和应用能力。
3. 学生之间互相交流和讨论,提供反馈和建议。
备注:教案的具体内容和时间分配可以根据教学实际情况进行调整。
不等式及其解集教学设计(精选5篇)第一篇:不等式及其解集教学设计《不等式及其解集》教学设计一、内容和内容解析(一)内容概念:不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集.(二)内容解析现实生活中存在大量的相等关系,也存在大量的不等关系.本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系,使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性,激发他们的求知欲望.再通过对实例的进一步深入分析与探索,引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念.前面学过方程、方程的解、解方程的概念.通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解.但是对于初学者而言,不等式的解集的理解就有一定的难度.因此教材又进行数形结合,用数轴来表示不等式的解集,这样直观形象的表示不等式的解集,对理解不等式的解集有很大的帮助.基于以上分析,可以确定本节课的教学重点是:正确理解不等式、不等式的解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示在数轴上.二、目标和目标解析(一)教学目标 1.理解不等式的概念2.理解不等式的解与解集的意义,理解它们的区别与联系3.了解解不等式的概念4.用数轴来表示简单不等式的解集(二)目标解析1.达成目标1的标志是:能正确区别不等式、等式以及代数式.2.达成目标2的标志是:能理解不等式的解是解集中的某一个元素,而解集是所有解组成的一个集合.3.达成目标3的标志是:理解解不等式是求不等式解集的一个过程.4、达成目标4的标志是:用数轴表示不等式的解集是数形结合的又一个重要体现,也是学习不等式的一种重要工具.操作时,要掌握好“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可,边界点含于解集中用实心圆点,或者用空心圆点;二是定方向,小于向左,大于向右.三、教学问题诊断分析本节课实质是一节概念课,对于不等式、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学,学生不难理解,但是对不等式的解集的理解就有一定的难度.因此,本节课的教学难点是:理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集.四、教学支持条件分析利用多媒体直观演示课前引入问题,激发学生的学习兴趣.五、教学过程设计(一)动画演示情景激趣多媒体演示:两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏,现在换了一个大人上去,跷跷板发生了倾斜,游戏无法继续进行下去了,这是什么原因呢?设计意图:通过实例创设情境,从“等”过渡到“不等”,培养学生的观察能力,分析能力,激发他们的学习兴趣.(二)立足实际引出新知问题一辆匀速行驶的汽车在11︰20距离A地50km,要在12︰00之前驶过A地,车速应满足什么条件?小组讨论,合作交流,然后小组反馈交流结果.最后,老师将小组反馈意见进行整理(学生没有讨论出来的思路老师进行补充)1.从时间方面虑:<2.从行程方面: >50 3.从速度方面考虑:x>50÷设计意图:培养学生合作、交流的意识习惯,使他们积极参与问题的讨论,并敢于发表自己的见解.老师对问题解决方法的梳理与补充,发散学生思维,培养学生分析问题、解决问题的能力.(三)紧扣问题概念辨析 1.不等式设问1:什么是不等式?设问2:能否举例说明?由学生自学,老师可作适当补充.比如:<,>50,x>50÷都是不等式. 2.不等式的解设问1:什么是不等式的解?设问2:不等式的解是唯一的吗?由学生自学再讨论.老师点拨:由x>50÷得x>75 说明x任意取一个大于75的数都是不等式<,>50的解. 3.不等式的解集设问1:什么是不等式的解集?设问2:不等式的解集与不等式的解有什么区别与联系?由学生自学后再小组合作交流.老师点拨:不等式的解是不等式解集中的一个元素,而不等式的解集是不等式所有解组成的一个集合.4.解不等式设问1:什么是解不等式?由学生回答.老师强调:解不等式是一个过程.设计意图:培养学生的自学能力,进一步培养学生合作交流的意识.遵循学生的认知规律,有意识、有计划、有条理地设计一些问题,可以让学生始终处于积极的思维状态,不知不觉中接受了新知识.老师再适当点拨,加深理解.(四)数形结合,深化认识问题1:由上可知,x>75既是不等式<的解集,也是不等式>50的解集.那么在数轴上如何表示x>75呢?问题2:如果在数轴上表示x≤ 75,又如何表示呢?由老师讲解,注意规范性,准确性.老师适当补充:“≥” 与“≤”的意义,并强调用“≥”或“≤”连接的式子也是不等式.比如x≤ 75 就是不等式.设计意图:通过数轴的直观让学生对不等式的解集进一步加深理解,渗透数形结合思想.(五)归纳小结,反思提高教师与学生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答如下问题1、什么是不等式?2、什么是不等式的解?3、什么是不等式的解集,它与不等式的解有什么区别与联系?4、用数轴表示不等式的解集要注意哪些方面?设计意图:归纳本节课的主要内容,交流心得,不断积累学习经验.(六)布置作业,课外反馈教科书第119页第1题,第120页第2,3题.设计意图:通过课后作业,教师及时了解学生对本节课知识的掌握情况,以便对教学进度和方法进行适当的调整.六、目标检测设计 1.填空下列式子中属于不等式的有___________________________ ①x +7>②x≥y ② + 2 = 0④ 5x + 7 设计意图:让学生正确区分不等式、等式与代数式,进一步巩固不等式的概念.2.用不等式表示① a与5的和小于7 ② a的与b的3倍的和是非负数③ 正方形的边长为xcm,它的周长不超过160cm,求x满足的条件设计意图:培养学生审题能力,既要正确抓住题目中的关键词,如“大于(小于)、非负数(正数或负数)、不超过(不低于)”等等,正确选择不等号,又要注意实际问题中的数量的实际意义.3.填空下列说法正确的有_____________ ①x=5是不等式x-2>0的解②不等式 x2 > 0的解集为x =5 ④不等式 x-2 > 0的解集为 x> 2 设计意图:进一步让学生正确理解不等式的解与解集的区别与联系,并且理解数学中的从属关系与包涵关系.4.选择下列不等式的解集在数轴上表示正确的是:()A.x>-3B.x≥2 C.x≤5 D.0≤x≤10设计意图:进一步培养学生数形结合能力,理解空心圆圈与实心圆点的意义,并且能正确确定方向.第二篇:不等式及其解集教学设计《不等式及其解集》教学设计【教学目标】1.能够从现实问题中抽象出不等式,理解不等式的意义,会根据给定条件列不等式。
《用代入消元法解不等式方程组》教案教案:用代入消元法解不等式方程组
一、教学目标:
1.理解代入消元法的基本原理。
2.能够熟练运用代入消元法解不等式方程组。
3.能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点:
1.代入消元法的基本原理。
2.解不等式方程组的步骤和注意事项。
三、教学难点:
代入消元法的灵活运用。
四、教学过程:
Step 1:导入新知
1.通过简单的例子引出不等式方程组的概念,让学生了解不等式方程组的定义和意义。
2.对比解方程与解不等式方程组的异同,引出代入消元法的重要性。
Step 2:讲解代入消元法的基本原理
1.指导学生如何选择代入变量,使得代入后可以对方程组进行简化。
2.讲解代入消元法的基本步骤以及注意事项。
Step 3:练习与讨论
1.给学生提供一组不等式方程组,引导学生运用代入消元法求解。
2.分组讨论解题思路和方法,引导学生进行思考和交流。
Step 4:解决实际问题
1.提供一些实际问题,让学生运用所学知识解决,培养学生的应用能力。
2.收集学生解题过程和答案,进行展示和讨论。
Step 5:学生总结和巩固
1.学生总结代入消元法的基本原理和解题思路。
2.练习一些类似的题目,巩固所学知识。
3.解答学生在学习过程中遇到的疑问。
五、教学资源:
1.教学课件或投影设备。
2.预先准备好的练习题和实际问题。
六、教学评价:
1.观察学生在课堂上的表现,了解他们对代入消元法的掌握程度。
2.收集学生的练习和解答过程,评价他们的解题能力。
小学六年级数学教案学习解方程和不等式的应用小学六年级数学教案:学习解方程和不等式的应用引言:数学是一门重要的学科,解方程和不等式是数学中的重要概念。
在小学六年级,学生需要掌握解方程和不等式的基本知识,并能应用于实际生活中的问题。
本教案将介绍解方程和不等式的概念以及应用,帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、解方程的概念及方法1. 什么是方程?方程是一个等式,其中包含未知数。
例如,2x + 3 = 7就是一个简单的一元一次方程,其中的x是未知数。
2. 解方程的步骤:(1)整理方程,将未知数移到等号一侧,常数移到等号另一侧;(2)化简方程,使得未知数的系数为1;(3)使用逆运算,将未知数求解出来;(4)检验解,将解代入原方程中确认是否成立。
3. 解方程的例题:例如,解方程3x + 5 = 20:(1)将方程整理为3x = 15;(2)化简方程得到x = 5;(3)将解5代入原方程,检验等式是否成立。
二、不等式的概念及应用1. 什么是不等式?不等式是一个数学表达式,其中包含了大于、小于、大于等于或小于等于的符号。
例如,2x + 3 > 7就是一个不等式,其中的x是未知数。
2. 解不等式的步骤:(1)整理不等式,将未知数移到不等号一侧,常数移到不等号另一侧(注意:当不等式乘以负数时,需要改变不等号的方向);(2)化简不等式,使得未知数的系数为1;(3)使用逆运算,将未知数求解出来;(4)检验解,将解代入原不等式中确认是否成立。
3. 解不等式的例题:例如,解不等式3x + 5 > 20:(1)将不等式整理为3x > 15;(2)化简不等式得到x > 5;(3)将解6代入原不等式,检验不等式是否成立。
三、解方程和不等式的应用1. 解方程和不等式在生活中的应用:(1)购物优惠:根据打折信息求解折扣力度和原价;(2)行程安排:根据出发时间和到达时间求解所需行程时间;(3)体育训练:根据已知运动量和目标运动量求解需要练习的次数或时间。
【教案设计】一、教学目标1.能够掌握不等式方程的相关知识点,理解其概念和意义;2.能够熟练运用不等式方程解决实际问题;3.培养学生的逻辑思维能力、数学分析能力和解决问题的能力。
二、教学内容不等式方程1.不等式方程的定义和基本性质;2.不等式方程的解法和求解步骤;3.不等式方程的应用。
三、教学重点难点1.不等式方程的基本概念和解法;2.实际问题的转化和解决。
四、教学方法1.教师授课结合学生互动,注重课堂实践和问题解决;2.组织小组合作学习,鼓励学生自主探究;3.利用多媒体教学和课件展示,使知识传播更加生动。
五、教学过程设计一、导入与热身(10分钟)教师可以从学生已经学过的知识出发,如不等式的相关知识点等,引出不等式方程的概念和意义。
二、学习和探究(60分钟)1.讲授不等式方程的定义和基本性质;2.演示不等式方程的解法和求解步骤,并设置相关练习;3.组织学生进行小组合作学习,让学生彼此合作发散思维,独立探究不等式方程的相关知识点,并在过程中解决应用问题。
三、巩固和拓展(20分钟)1.整合所学知识,让学生进行练习和应用;2.提供拓展资料,让学有余力的学生自主拓展知识。
四、总结与归纳(10分钟)教师根据学生的学情,对知识点进行总结,帮助学生加深对知识点的理解。
六、教学资源准备1.教材、教辅及课件;2.多媒体设备和投影仪;3.相关的练习和试题,以及实际应用题目。
七、教学评价方式1.结合实际应用情况设置考查题目,考察学生对知识点的掌握程度和应用能力;2.开展课堂互动互评,鼓励学生积极参与,加深对知识点的理解和运用。
八、教学妙招1.通过多媒体教学提高教学效率与趣味,让学生更加容易掌握;2.融入故事情境或生动图像,让学生感受到学习知识的趣味性和实用性;3.通过激发学生的探究兴趣,让学生重视知识点的实际应用,加强学习价值的认知。
沪教版数学六年级下册6.6《一元一次不等式的解法》教学设计一. 教材分析《一元一次不等式的解法》是沪教版数学六年级下册第六章第六节的内容。
这一节主要让学生掌握一元一次不等式的解法,培养学生解决实际问题的能力。
教材通过生活中的实例引入一元一次不等式,然后引导学生通过观察、分析、归纳等方法,探索并掌握一元一次不等式的解法。
教材内容由浅入深,循序渐进,既注重了知识的发生发展过程,又重视了学生能力的培养。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的代数基础,对一元一次方程有一定的了解。
但是,对于一元一次不等式,他们还是初次接触,需要通过具体的生活实例来理解其意义。
另外,学生在解决实际问题时,常常会受到具体情境的干扰,难以将实际问题转化为数学问题。
因此,在教学过程中,我需要关注学生对一元一次不等式的理解,引导他们通过观察、分析、归纳等方法,探索并掌握一元一次不等式的解法。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法,能够运用一元一次不等式解决实际问题。
2.过程与方法:培养学生观察、分析、归纳的能力,提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣,使学生体验到数学在生活中的应用,增强学生自信心。
四. 教学重难点1.重点:一元一次不等式的概念,一元一次不等式的解法。
2.难点:一元一次不等式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法、小组合作学习法等,充分调动学生的学习积极性,引导学生通过观察、分析、归纳等方法,探索并掌握一元一次不等式的解法。
六. 教学准备1.教具:课件、黑板、粉笔。
2.学具:练习本、铅笔、橡皮。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个生活中的实际问题,引入一元一次不等式的概念。
例如:小华买了一本书,原价是12元,商店搞活动满30元减10元,小华需要花多少钱买这本书?引导学生列出不等式,解决问题。
2.呈现(10分钟)通过多媒体课件,呈现一组一元一次不等式,引导学生观察、分析,发现一元一次不等式的解法。
课题:第九章不等式与不等式组9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集教学目标(一)知识与技能1.了解不等式的概念;2.理解不等式的解集;3.能正确表示不等式的解集。
(二)过程与方法经历把实际问题抽象为不等式的过程,能列出不等关系式;初步体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型,培养学生的建模意识。
(三)情感态度价值观培养学生的知识迁移能力和建模意识,加深同学之间的合作与交流。
教学难点不等式解集的表示教学难点不等式解集的确定教具准备Powerpoint课件课型教学手段教学方法新授课多媒体授课练习——归纳法教学过程(师生活动)设计理念提出问题多媒体演示:1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏.现在换了一个小胖子上去,跷跷板发生了倾斜,游戏无法继续进行下去了.这是什么原因呢?2、一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50千米。
要在12:00以前驶过A地,车速应该满足什么条件?若设车速为每小时x千米,你能用一个式子表示吗?(学生经过讨论从时间、路程两个角度分别列出不等式)通过实例创设情境,从“等”过渡到“不等”,培养学生的观察能力,激发他们的学习兴趣.(一)不等式、一元一次不等式的概念1、在学生充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳得出:用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式;用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
(学生联想等式,读背记忆概念)注意:a.不等号开口所对的数较大;b.不等式中可以含有未知数,也可以不含未知数。
引导学生仔细观察并归纳出不等式的意义。
探究新知2、下列式子中哪些是不等式?(1)a+b=b+a (2)-3>-5 (3)x≠l(4)x十3>6 (5) 2m< n (6)2x-3上述不等式中,有些不含未知数,有些含有未知数.我们把那些类似于一元一次方程,含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。
(学生联想一元一次方程,读背记忆概念)3、小组交流:说说生活中的不等关系.分组活动.先独立思考,然后小组内互相交流并做记录,最后各组选派代表发言。
第 3 次课 学生: 柯兰姿 授课时间: 2012 年 12 月 9 日 13 : 30 --- 15 :30 教师 罗飞燕 审核教师 授课课题 解不等方程
授课目的与考点分析:
1.利用整除及奇偶性解不定方程
2.不定方程的试值技巧
3.学会解不定方程的经典例题
1、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
2、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解
不定方程的试值技巧
1、奇偶性
2、整除的特点(能被2、
3、5等数字整除的特性)
3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质)
模块一、利用整除性质解不定方程
【例 1】 求方程 2x -3y =8的整数解
【解析】 方法一:由原方程,易得 2x =8+3y ,x =4+
32
y ,因此,对y 的任意一个值,都有一个x 与之对应,
并且,此时x 与y 的值必定满足原方程,故这样的x 与y 是原方程的一组解,即原方程的解可表为:
342x k
y k ⎧
=+⎪⎨
⎪=⎩
,其中k 为任意数.说明 由y 取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解. 方法二:根据奇偶性知道2x 是偶数,8为偶数,所以若想2x -3y =8成立,y 必为偶数,
当y =0,x =4;当y =2,x =7;当y =4,x =10……,本题有无穷多个解。
【巩固】 求方程2x +6y =9的整数解
【解析】 因为2x +6y =2(x +3y),所以,不论x 和y 取何整数,都有2|2x +6y ,但2Œ9,因此,不论x 和y 取
什么整数,2x +6y 都不可能等于9,即原方程无整数解.
说明:此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【例 2】 求方程4x +10y =34的正整数解
起航学校个性化辅导教案提纲
【解析】 因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后,得 2x +5y =17,5y 的个位是0或5两种情
况,2x 是偶数,要想和为17,5y 的个位只能是5,y 为奇数即可;2x 的个位为2,所以x 的取值为1、6、11、16……
x =1时,17-2x =15,y =3, x =6时,17-2x = 5,y =1,
x =11时,17-2x =17 -22,无解
所以方程有两组整数解为:16
,31x x y y ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩
【巩固】 求方程3x +5y =12的整数解
【解析】 由3x +5y =12,3x 是3的倍数,要想和为12(3的倍数),5y 也为3的倍数,所以y 为3的倍数即可,
所以y 的取值为0、3、6、9、12…… y =0时,12-5y =12,x =4, x =3时,12-5y =12-15,无解
所以方程的解为:40
x y =⎧⎨
=⎩
【巩固】 解不定方程:2940x y +=(其中x,y 均为正整数)
【解析】 方法一:2x 是偶数,要想和为40(偶数),9y 也为偶数,即y 为偶数,也可以化简方程2940x y +=,
4092052
2x y
x y -=
=-+
知道y 为偶数,所以方程解为:112
,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 模块二、利用余数性质解不定方程
【例 3】 求不定方程7111288x y +=的正整数解有多少组?
【解析】 本题无论x 或是y ,情况都较多,故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数,所以11y 也是7的倍
数,则y 是7的倍数.
设7y z =,原方程可变为11184x z +=,z 可以为1,2,3,……16.由于每一个z 的值都确定了原方程
的一组正整数解,所以原方程共有16组正整数解.
【例 4】 求方程3x +5y =31的整数解
【解析】 方法一:利用欧拉分离法,由原方程,得 x =
3153
y -,即 x =10-2y +
13
y +,要使方程有整数解
13
y +必须为整数.
取y =2,得x =10-2y +13
y +=10-4+1=7,故x =7,y =2 当y =5,得x =10-2y +13y +=10-10+2=2,故x =2,y =5 当y =8,得x =10-2y +
13
y +=10-16+3无解
所以方程的解为:72
,25x x y y ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩
方法二:利用余数的性质
3x 是3的倍数,和31除以3余1,所以5y 除以3余1(2y 除以3余1),根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为:
取y =1,2y =2,2÷3=0……2(舍)
y =2,2y =4,4÷3=1……1(符合题意) y =3,2y =6,6÷3=2(舍)
y =4,2y =8,8÷3=2……2(舍)
y =5,2y =10,10÷3=3……1(符合题意) y =6,2y =12,12÷3=4(舍)
当y >6时,结果超过31,不符合题意。
所以方程的解为:72
,25x x y y ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩
模块三、解不定方程组
【例 5】 解方程1800120080016000
15
a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ ( 其中a 、b 、c 均为正整数 )
【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得9648015
a b c a b c ++=⎧⎨
++=⎩,根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后
为:(964)4()80415a b c a b c ++-++=-⨯,整理后得5220a b +=,根据等式性质,2b 为偶数,20为
偶数,所以5a 为偶数,所以a 为偶数,当2a =时,52220b ⨯+=,5b =,所以8c =,当4a =时,
54220b ⨯+=,5b =,所以无解。
所以方程解为258a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
【例 6】 解不定方程153100
3
100x y z x y z ⎧
++=⎪⎨⎪++=⎩
(其中x 、y 、z 均为正整数) 根据等式的性质将第一个方程整理得159300100
x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩,根据消元思想与第二个式子相减得148200x y +=,根
据等式的性质两边同时除以2得:74100x y +=,根据等式性质4y 为4的倍数,100为4的倍数,所以7y 为4
的倍数,所以y 为4的倍数试值4812
18,11,4788184
x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪
===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩
不定方程解应用题
例1、55人去游园划船,小船每只坐4人,大船每只坐7人,问要租大、小船各多少只? 解:列不定方程,设大船x 只,小船y 只。
7x +4y=55。
因此x =1,或x=5。
所以有 x=1,y=12以及x=5,y =5两组解。
例2、 王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元,西红柿种子每包4元,萝卜籽1元钱7包,问他每种各买了多少包?
解:设买油菜籽x包,西红柿种子y包,则萝卜籽(100-x-y)包,列
28y+100-x-y=700,也即20x+27y=600。
因此y≤22.因此y=20,x=3,100-x-y=77。
答:购油菜籽3包,西红柿种子20包,萝卜籽77包。
例3、100匹马驮100筐物品,一匹大马驮3筐,一匹中马驮2筐,两匹小马驮1筐.问大、中、小马各多少?
解:设大、中、小马的匹数依次为x、y、z,由题意,列不定方程为:
因此y≤33.由于5|100,所以5|3y.y=0,5,10,…,30.相应地可以得到x和z.但(3,5)=1,所以5|y.因此把结果列出:
三、本次课后作业:
四、学生对于本次课的评价:
○特别满意○满意○一般○差
学生签字:
五、教师评定:
1、学生上次作业评价:○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价:○好○较好○一般○差
教师签字:
家长签字:学习管理师签字:
起航学校教务处。