文章编号:1671-8585(2010)04-0239 -08
收稿日期:2010-04-30;改回日期:2010-05-19。
第一作者简介:李振春(1963)),男,理学博士,教授,博士生导师,中国石油大学(华东)地球物理系主任,主要从事地震波传播与正演模拟、地震成像与偏移速度分析、多尺度地震资料联合反演与CFP -AVP 分析理论与方法的教学与研究工作。
基金项目:国家自然科学基金(40974073)、国家863课题(2007A A060504)、国家973课题(2007CB209605)资助。
线性时频分析方法综述
李振春1
,刁 瑞1
,韩文功2
,刘力辉
3
(1.中国石油大学地球资源与信息学院,山东青岛266555;2.中国石油化工股份有限公司胜利油
田分公司,山东东营257000;3.北京诺克斯达石油科技有限公司,北京100192)
摘要:较详细地综述了目前已有的短时傅里叶变换、小波变换、S 变换和广义S 变换等几种线性时频分析方法,概括了线性时频分析方法的特点和优缺点,阐述了各种方法的发展历程。窗函数对分辨率影响巨大,是线性时频分析方法的关键,通过对窗函数的调节和改进,可以得到不同的线性时频分析方法和相对应的时频分辨率。理论分析和试验表明,广义S 变换的时频窗口能够随着频率尺度自适应地调整,具有较高的时频分辨率,在应用中具有更高的实用性和灵活性。利用广义S 变换对地震数据体进行谱分解,可以得到更丰富的地震属性信息,对储层预测和油气识别有重要作用。
关键词:时频分析;窗函数;小波变换;广义S 变换;谱分解中图分类号:P631.4
文献标识码:A
基于傅里叶变换的信号频域表示及能量频域分布揭示了信号在频域的特征,但傅里叶变换是一种整体变换,只能了解信号的全局特性,不能有效检测信号频率随时间的变化情况,只有把时域和频域结合起来才能更好地反映非平稳信号的特征。时频分析(Time -Frequency A nalysis,TFA)的基本思想是设计时间和频率的联合函数,同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度[1]。时频分析以联合时频分布的形式来表示信号的特性,克服了傅里叶分析时域和频域完全分离的缺陷,可以较准确地定位某一时刻出现哪些频率分量,以及某一频率分量分布在哪些时刻上。
线性时频分析方法主要有:短时傅里叶变换(STFT)、Gabor 换、小波变换(WT)、S 变换(ST )和广义S 变换(GST )等。20世纪40年代,Koenig 等[2]
提出了语谱图的方法。短时傅里叶变换由于实现简单已成为分析非平稳信号的有力工具,缺点是分辨率单一。法国地球物理学家Mo rlet 发现地震信号在低频端应该具有较高的频率分辨率,在高频端频率分辨率可以较低[3]。根据这一特点,由Meyer [4]和Grossm an 等[3]共同发展了小波变换方法,这是一种多分辨率分析方法。经过20多年的发展,小波变换取得了突破性的进展,形成了多分辨率分析、框架和滤波器组三大完整和丰富的小波理论体系。Sto ckw ell 等
[5]
提出了S 变换,这是短
时傅里叶变换和连续小波变换的延伸。在S 变换中,基本小波由简谐波与高斯函数的乘积构成,简谐波要进行伸缩变换,高斯函数要进行伸缩和平移
变换。由于S 变换中的窗函数固定不变,因而在应
用中受到了限制,Pinneg ar 等对S 变换进行了推广
[6~11]
,提出或应用了不同窗函数的广义S 变换。
下面详细介绍短时傅里叶变换、小波变换、S
变换、广义S 变换等方法的特点和优缺点。
1 短时傅里叶变换(ST FT )
1946年Gabor 提出了短时傅里叶变换,用以测量声音信号的频率定位,对于信号h(t)的短时傅里叶变换定义为
F x (t,8)=
Q h(S )w *t,8(S )d S =
Q
h(S )w *(S -t)e -j 8S d S
=3h(S ),w (S -t)e -j 8S 4
(1)
式中:w *
t,8(S )是w t,8(S )的复共轭,w t,8(S )=w(S -t)#e -j 8S
,+w(S )+=+w t,8(S )+=1,并且窗函数w (S )应取对称函数。当窗函数w(S )选取高斯窗函数时,式(1)就是Gabor 变换;如果w (S )=1,窗函数变为无限宽的矩形窗,则STFT 变为傅里叶变换。
STFT 的含义可解释为:在时域用窗函数
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第33卷第4期2010年8月
勘探地球物理进展
P ro gr ess in Ex plor ation Geo phy sics
V o l.33,N o.4A ug.,2010
w (S )去截信号h(S ),假定h(S )在窗函数的一个短时间间隔内是平稳的,对截下来的局部信号作傅里叶变换,即得到在t 时刻该段信号的傅里叶变换。不断地移动t,即不断地移动窗函数w (S )的中心位置,可得到不同时刻的傅里叶变换,这些傅里叶变换的集合即是F x (t,8)。短时傅里叶变换实际上是一类加窗的傅里叶变换,用窗口函数w (t)把信号划分成许多时间间隔,把每一时间间隔内的信号看作平稳信号,用傅里叶变换分析每一时间间隔,确定在不同时间间隔存在的频率,研究局部时间范围的频域特征。ST FT 的优点是:物理意义明确,对整个信号采用单一分辨率进行研究,可以反映信号的整体时频趋势;由于其概念直接,算法简单,实
现容易,已经成为研究非平稳信号十分有力的工具,在许多领域(如时变滤波、提高分辨率、地震旋回分析和瞬时属性提取等)得到广泛的应用。
图1a 是输入的地震合成记录;图1b 是对合成记录进行傅里叶变换得到的振幅谱,振幅谱能确定主频及各频率的分布情况,但不能确定频率随时间的变化情况;图1c 是对合成记录进行短时傅里叶变换得到的时频谱,短时傅里叶变换克服了傅里叶变换的缺陷,从图1c 中可以看出各个时刻的频率分布,以及各个频率主要的分布时间段;图1d 是对合成记录进行短时傅里叶逆变换的结果,合成地震记录在变换前后是一致的,短时傅里叶变换与短时
傅里叶逆变换是一一对应的关系。
图1 地震合成记录(a)与对其进行傅里叶变换得到的振幅谱(b)、进行短时傅里叶变换得到的时频谱(c)、进行短时傅
里叶逆变换得到的结果(d)
ST FT 的时频分辨率由窗函数w (t)的时频域大小直接决定,一旦窗口函数选定,其时频分辨率就已确定,不随频率和时间的变化而变化。窗函数对STFT 的影响很大,为了提高时间分辨率,窗函数的时间宽度尽可能短,但为了提高频率分辨率,则窗函数的时间宽度尽可能长,受不确定性原理的约束,时间分辨率和频率分辨率是一对矛盾体[12],线性时频分析方法都存在这一问题。图2为采用65点和17点hamm ing 窗的STFT 结果。从图2a 可以看出,选择较宽的窗函数时,虽然提高了频率
分辨率,但时间分辨率却明显降低了;而图2b 表明,选择较窄的窗函数,时间分辨率明显提高,此时频率分辨率却有所降低。在处理非平稳信号过程中,对于高频信息,为了获得较高的时间分辨率,需要用较窄的窗函数进行分析,而对于低频信息,则需要用较宽的窗函数进行分析,以获得较高的频率分辨率[13]。短时傅里叶变换的窗函数确定以后,只能以一种固定分辨率进行时频分析,无法兼顾高频信息和低频信息,这正是STFT 的不足之处。
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勘探地球物理进展第33卷
