2.3一次函数的图象和性质(2015年)

课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。

一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。

一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。

（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。

2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。

反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。

（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。

（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。

即该函数为减函数。

3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。

4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。

084. 一次函数的定义、图象特点和性质班级姓名知识要点：1.定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数.形如的函数，叫做一次函数.正比例函数是特殊的一次函数2.一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，图象称为直线y=kx+b．由于确定一条直线，画一次函数的图象只需要找到适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点 .画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.画函数y=2x+3的图像时取点，画函数y=-3x的图像时取点3.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向，也决定函数的增减性；（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；4.直线的平行、相交（1）同一平面坐标系内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系：当 时，两直线平行； 当 时，两直线相交。

5. 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P （x 0，y 0）在函数y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ；（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式y=kx+b 的一对对应值，那么以P （x 0，y 0）为坐标的点必在函数y=kx+b 的图象上．训练题：1.下列函数中是一次函数的是（ ）A.122-=x yB.x y 1-= C.31+=x y D.1232-+=x x y 2．关于的函数，当时，此函数是一次函数，当x ()n x m y -+-=21时，此函数为正比例函数．3.对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而_ _.对于函数, y 的值随x 值的_____而增大. 1223y x =-4.如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）y kx b =+y A ．，B ．，C ．，D ．，0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <5.已知函数y=(1-m)x+m-2,当m 时，y 随x 的增大而增大。

一次函数图像性质总结一次函数图像性质总结3、一次函数的图象及性质（1）形状：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.（2）画法：由于一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一般地，一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b）和b（－，0）的一条直线，当b=0时，即为正比例函数，其图象k是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线.（3）性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图像是一条直线，它的性质如下：性质一：（增减性）一次函数中k的取值决定了图像的倾斜方向。

①k＞0直线必然经过一、三象限，y的值随着x的增大而增大。

②k＜0直线必然经过二、四象限，y的值随着x的增大而减小。

性质二：一次函数中b的取值确定直线与y轴交点的位置，反之亦然。

①b＞0直线与y的交点在x轴的上方。

②b=0直线过原点。

③b＜0直线与y的交点在x轴的下方。

性质三：当k确定b变化时，图像为无数条平行线；即两直线平行K的值相等。

当b确定k变化时，图像为一束都经过点（0，b）的直线。

即当b相等时两直线相交于Y轴一点。

性质四：一般的，一次函数的k、b都未确定，他的图像分为四种情况：注意：一般的画一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)图像时，选取（0，b）、（－，0）两点，即选取直线与两坐标轴的交点。

bk扩展阅读：一次函数图像性质小结与配套练习一次函数的图像性质总结（阅读+理解）一、一次函数的图像姓名1.正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0,b）和B（-直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18Db，0）两点的一条k3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k≠0),当x=0时,y=b即直线与y轴的交点为A（0,b）,因此b叫直线在y轴上的截距.（2）直线y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A（0，b）和B（-4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）b，0）.k②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解;若l1与l2平行，则k1=k2.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数ykx(k0)一定经过点，经过(1一次函数ykxb(k0)经，)，过(0，)点，(，0)点．2.直线y2x6与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是。

理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解一般地，形如（，是常数，≠当＝时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函要注意其中对常数，的要求，函数（、为常数，且≠当＞时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜时，直线是由直线向下平移||一次函数（、为常数，且≠为常数，且）和（、的的增大而增大3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：）与相交；），且与平行；一次函数（，是常数，≠）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后B组待定系数法求函数的解析式1、（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为____________．（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为___________．答案与解析举一反三类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．B组一次函数图象的应用2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：(1)求李明上坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式；(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?答案与解析类型三、一次函数的性质3、已知一次函数．（1）当、是什么数时，随的增大而增大；（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（）A． B． C．D．【答案】C；【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．D中当＞0，＜0，的值随的值增大而增大，且与的正半轴相交，符合条件．故选C．【总结升华】根据，的正负来确定一次函数图象所处的象限.举一反三【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．答案与解析B组一次函数的性质3、已知自变量为的一次函数的图象经过第二、三、四象限，则（ • ）A．＞0，＜0 B．＜0，＞0 C．＜0，＜0 D．＞0，＞0答案与解析举一反三类型四、一次函数综合4、已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标．【答案与解析】解：由题意得，，则.一次函数的图象过点，.当时，，；当时，，.综上所述，点A的坐标为或.【总结升华】我们可以把点A、B的坐标用、表示出来，根据OA＝3OB可以建立一个关于、的方程，再根据它的图象过P，可以再找到一个关于、的方程，两个方程联立，即可求出、的值，就可以求出点A的坐标.巩固练习一.选择题1. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（）A． B． C． D．2．一次函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是A. B. C. D.4．某村办工厂今年前五个月中，每月某种产品的产量（件）关于时间（月）的函数图象如图所示，该厂对这种产品的生产是（）A．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量逐月减少B．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量与3月持平C．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月均停止生产D．1月至3月每月生产量不变，4、5两月均停止生产5．已知直线和直线相交于点(2，)，则、的值分别为（）．A．2，3 B．3，2 C．，2 D．，36. 如图弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，则不挂物体时，弹簧长度为（）．A．7 B．8 C．9D．10二.填空题7. 如果直线经过第一、二、三象限，那么______0．8. 点是一次函数图象上的两个点，且，则_ ．（填＞，＜或＝）9. 已知一次函数的图象与直线平行, 则＝______.10. 一次函数的图象与轴的交点坐标是____，与轴的交点坐标是___．11. 已知点A(－4, ),B(－2, )都在一次函数(为常数)的图象上，则与的大小关系是______（填“＜”、“＝”或“＞”）.12.一次函数与两坐标轴围成三角形的面积为4，则＝________.三.解答题13. 已知一次函数，（1）当______时，它的图象经过原点；（2）当______时，它的图象经过点(0，－2)；（3）当______时，它的图象与轴的交点在轴的上方；（4）当______时，它的图象平行于直线；（5）当______时，随的增大而减小.14. 已知与成正比例，且当＝1时，＝5（1）求与之间的函数关系式；（2）若图象与轴交于A点，与交于B点，求△AOB的面积.15. 某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过部分每人10元．（1）写出应收门票费（元）与游览人数（人）之间的函数关系式；（2）利用（1）中的函数关系计算：某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了多少元？【答案与解析】巩固练习一.选择题1. 如果一次函数当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么此函数的解析式是（）．A． B．C．或 D．或2. 已知正比例函数（是常数，≠0）的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（）．3．已知函数的图象不经过第二象限，那么、一定满足（）A．＞0，＜0 B．＜0，＜0 C．＜0，＞0 D．＞0，≤0 4．下列说法正确的是（）A．直线必经过点（－1，0）B．若点（，）和（，）在直线（＜0）上，且＞，那么＞C．若直线经过点A（，－1），B（1，），当＜－1时，该直线不经过第二象限D．若一次函数的图象与轴交点纵坐标是3，则＝±15．如图所示，直线：和：在同一坐标系中的图象大致是（）6. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与的大致图象应为（）二.填空题7．若函数为正比例函数，则的值为________；若此函数为一次函数，则的值为________．8. 已知一次函数与的图像交于轴上原点外的一点，则＝______.9. 直线，它的解析式中为整数，又知它不经过第二象限，则此时＝______.10. 若点（，）在第四象限内，则直线不经过第______象限，函数值随着的增大而______.11. 已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P（，－1）为坐标系内一动点，若△ABP面积为1，则的值为___________________.12. 如图, 直线与轴、轴分别交于A、B两点, 把△AOB以轴为对称轴翻折，再将翻折后的三角形绕点A顺时针旋转90°, 得到△，则点的坐标是____.三.解答题13. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4, 0）．（1）求直线的解析式；（2）设直线与轴交于点B，点P 在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足, 求P的坐标．14. 已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1），C（－1，0），过点C 的直线绕C旋转，交轴于点D，交线段AB于点E.（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；（2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE的解析式；②若轴上的一点P满足∠APE＝45°，请直接写出点P的坐标.15. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P沿边按A—B－C—D的方向运动到点D（但不与A、D两点重合）．求△APD的面积（）与点P所行的路程（）之间的函数关系式．【答案与解析】。