当前位置：文档之家 › 第五节 可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程

  • 格式：pdf
  • 大小：349.32 KB
  • 文档页数：11

下载文档原格式

  / 11

合集下载

常微分方程课件--可降阶的高阶方程

常微分方程课件--可降阶的高阶方程

x 的方
dy 程，令 p 则方程（1.7.1７）化为 dx dp w 1 ( p) 2 dx H
分离变量，积分得：

w dx c1 H 1 p2
dp
x ln( p 1 ( p) ) c1 （1.7.1８） 即 a H 式中 a ．把初始条件 y(0) 0 代入 w （1.7.1８）上式得：1 0 ，故（1.7.1８）变为 c
x x
x
x
积分上式，得：
a a x a y (e e ) c2 ach( ) c2 2 a 把初始条件 y(0) b 代入上式得 c2 b a
H ．此时 c2 0，从而 为简单起见，假设b a w
得绳索的方程：
x a a y ach( ) (e e a ) a 2 x x
dx d n 1 x 方程,但乘以一个合适的因子 (t , x, , n 1 ) dt dt 后就成为全微分方程. 称其为方程(1.7.4)的积分
因子.
d 2 x dx 2 例 求解方程 x ( ) 0 2 dt dt
解：原方程可以写成 d ( xx ' ) 0 dt 故有 xx c
又由于
dS dy 2 1 ( ) dx dx
故
dW dy 2 w 1 ( ) dx dx d2y w dy 2 1 ( ) 2 dx H dx
从而方程（1.7.16）化为： （1.7.1７）
记 b 为绳索最低点Ｃ到坐标原点的距离， 则有： y(0) b, y(0) 0 （1.7.1７）是一个不显含自变量
原方程可以写成dtdtxxdt积分后得通解为故有dtdtdtdt可降阶的高阶方程的应用举例速度v运动方向永远指向p点求m点的运动例1追线问题平面上另有一点m它以常正向移动

7-5 可降阶的高阶微分方程-精品文档

7-5 可降阶的高阶微分方程-精品文档

解
f( 二、 y x ,y ) 型微分方程
其特点为： 二阶方程中不显含未知 函数 y.
dp 令 p y， 则 y ， 解法： dx
原方程可化为一阶方程
dy ( x ,C ) ， 如果其通解为 p 1 即有 ( x , C ) ， 1 dx 上式两端积分，可得原 方程的通解为 ：
5 3 2 y d x d x d x d x d . 1 2 3 4 5
返回
三、 y f ( y ,y ) 型微分方程
其特点为：二阶方程中不显含自变 量x. dp dp dy dp 则 y p ， 解法：令 p y， dy dx dy dx
2 2 故原方程的通解为 ： C y 1 ( C x C ) . 1 1 2
返回2 例 Fra bibliotek 求方程 y y y 0 的通解 .
d ) (y y 0 , 解 将方程改写成 dx y dy Cdx , 故有 y y C ,即
2 两边积分得通解 y C x C . 1 2
函数 y，一阶线性非齐 解 此二阶方程不显含未知 dp 次微分方程 令 y p， 则y ， dx dp p dp 2 x, x 0 , 即 原方程可化为 x p dx dx x dx dx 从而p y e x xexdx C 1 1 2 1 2 C1 xdx C 1 x x 3 x 13 y x C ln C x . 故原方程的通解为 ： 1 2 9
y ln C cos x 上式两端再积分一次得 2 1 ln 由yx 2 得 C 2 1 2 4 ln cos x . 故所求特解为 ： y

可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程
即 由
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.

可降阶的高阶微分方程.

可降阶的高阶微分方程.

1 1 将x ' |t 0 0代入 ， C 所以 x ' （ 1 cot 2t） 2m 2m 1 1 再积分 x （t sin 2t） C2 2m 2
将x |t 0 0代入， C2 0
1 1 所求运动规律为x （t程
k 其中k 0为比例系数，记a m
2
d x dx 2 m 2 k ( ) dt dt
2
(1)
x '' a 2 ( x ') 2 x |t 0 0 x ' | 200 t 0
p ' a p
2 2
(2)
令 p x'
(2)变为
(3)
1 2 分离变量 2 dp a dt p
例3 求方程(1x2)y2xy 设yp 则方程yf(x y) 的通解 解 设yp 则原方程化为 化为 pf(x p) (1x2)p2xp 设此方程的通解为 dp 2x 或 p 0 2 pj(xC1) dx 1 x 2x dx 则 yj(xC1) 于是 p C1e1 x 2 C1(1 x2) 于是方程yf(x y)的通解为 即 yC1(1x2) 方程的解法
原方程变为
例4 求方程yyy20的通解
解 设yp 则原方程化为 dp 2 yp p 0 dy dp 1 p 0 ( y0 p0) dy y 1 y dy p C1e C1 y
dp p f ( y, p) dy
或 于是
设此方程的通解为 pj(y C1) dy 即 j ( y, c) dx
p '(1 e ) p 0
x
1 3 y x sin x C1 x C2 6

可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程

y
( x3 6
ex
2x)dx

x4 24
ex

x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p

C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e

3 x
dx
dx
C1]

第五节可降阶的高阶微分方程

第五节可降阶的高阶微分方程
解法：设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解 设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .

第五节 可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程
dp dp y p = p2 dy
方程化为
dp dy = p y
S2 = ∫ y(t) d t
0
x
解 解 p = C y, 利用定解条件得 C =1,再 y′ = y, 得 得 1 1 x , y = C2 e , 再利用 y (0) = 1 得 C2 =1 故所求曲线方程为
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
B(x, y)
(−1,0) O
(0,1)
vt
x
d x ′2 dx = ∫ 1+ y d t −1
y
代入 ① 式得所求微分方程:
(0,1)
A vt
B(x, y)
(−1,0) O
x
1 x y′′ + 1+ y′2 = 0 即 2 其初始条件为
y
x =−1 = 0,
y′ x=−1 =1
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 求下列各微分方程的通解: 2、 1、 y ′′′ = xe x ； 2、 y ′′ = 1 + y ′ 2 ； 2 3 y′ 2 = 0 . 4、 3、 y ′′ = ( y ′ ) + y ′ ； 4、 y ′′ + 1− y 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 1、 y 3 y ′′ + 1 = 0 , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 0 ； 2、 y ′′ − ay ′ 2 = 0 , y x = 0 = 0 , y ′x = 0 = −1； 3、 y ′′ = 3 y , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 2 . 三、试 求 y ′′ = x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y = + 1相切的积分曲线 . 2

第五节可降阶的高阶微分方程

第五节可降阶的高阶微分方程

两边积分后得通解 y2 C1 x C2
13
可降阶的高阶微分方程
2002年考研数学一, 3分
微分方程 yy y2 0 满足条件 y x0 1,
y x0
1 2
的特解是
y
x 1 或 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
对于不含有 y、y、、y(k1)的n阶方程 F( x, y(k), y(n) ) 0
只须作变换,令 p y(k) .
方程就可化为 n k 阶方程 F ( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
6
可降阶的高阶微分方程
例 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
解法 设 y p, y dp p. 将p作为新的 dx
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
3
可降阶的高阶微分方程
yy y2
y2
d( dx
y ) 0
y
y y C1
故 y C1 y
可分离变量方程
从而通解为 y C2eC1x
12
可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例 求方程 yy y2 0 的通解.
解 将方程写成 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1 可分离变量方程

可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
5.5
可降阶的高阶微分方程
y
( n)
= f ( x ) 型的方程
y′′ = f ( x , y′ ) 型的方程
y′′ = f ( y , y′ ) 型的方程
小结
思考题
作业
1
第5 章
微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
一、 y
(n) n
= f ( x ) 型的方程 = ( x)
L 对于不含有 y、y′、 、y ( k −1)的n阶方程 F ( x , y ( k ) ,L y ( n ) ) = 0
只须作变换, 只须作变换 令 p = y . 方程就可化为 n − k 阶方程
(k )
F ( x , p, L , p ( n − k ) ) = 0
求出通解后, 再积分k次 即可求得原方程的通解. 求出通解后 再积分 次, 即可求得原方程的通解
3 x 2 y′ y′′ = 1 + x3 y x = 0 = 1, y′ x = 0 = 4
因方程中不含未知函数y, 解 因方程中不含未知函数 属y′′ = f ( x, y′)型 代入原方程, 令 y′ = p, y′′ = p′, 代入原方程 得
3x p p′ = 1 + x3
2
p的可分离变量的一阶方程 的可分离变量的一阶方程
2
8
5.5 可降阶的高阶微分方程
三、y′′ = f ( y , y′) 型的方程
方程缺自变量x 特点 方程缺自变量
dy p = p( y) =p( y(x )) =p 解法 设 y′ = dx dp d 2 y dp dp dy 则 y′′ = 2 = = ⋅ = p , 方程变成 dy dy dx dy dx dx dx dp p = f ( y , p). 这是关于变量 p 的一阶方程 这是关于变量y, 一阶方程. dy

7546;可降阶的高阶微分方程

7546;可降阶的高阶微分方程

分离变量有 dp dy p 0
p 2y
两端积分得
1 ln p 2 ln y ln C1
故 p C1 y
即 再分离变量
dy C1 dx y
ydy C1dx
再积分得 化简得
2
y
3 2
3
C1x C2
3
y 2 C3 x C4
2
或 y (C3 x C4 ) 3
例 7 已知曲线, 它的方程y=f(x)满足微分方程
（降低了阶数，转化 为p与y的关系）
即 y f ( y, y) 不显含x型
解法
：令 y p(x),则
y dp dp dy p dp . dx dy dx dy
代入原方程 p dp f ( y, p) （降低了阶数，转化
dy
为p与y的关系）
设通解为： p ( y, c1),
dy dx
p2
)
ln
y
ln
c1
,
即
1 1 p2
yc1 ,
p 1
Q y 1, y 1, 上式不满足初始条件的解，
x0
x0
考虑 p 1, 即 dy 1, y x c dx
满足初始条件的解为 y=1-x
小 结 1. y(n) f (x)
解法：视 y(n) [ y(n1) ]，积分一次得
（降了一阶）
三、不显含自变量 x 的二阶微分方程
形如 y'' f ( y, y' )的微分方程。
解法： 令y' p,并利用复合函数的求导法则
把y''化为对y的导数，即
y'' dp dp dy p dp y p. dp
dx dy dx dy

11.5 可降阶的高阶微分方程

11.5 可降阶的高阶微分方程

目录
上页
下页
返回
思考练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些.
有时用后者方便 . 例如,
2. 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发,速度大小为 2v, 方向 方向指向A , 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程 及初始条件.
12
目录
上页
下页
返回
为使物体永远脱离地面， r 必须可以无限增加，
从而有 gR2 0 ． r
由于式（*）的左边是非负数，故等式右边也一定
是非负数， 因此必须有
1 2
v02

gR

0
，
即发射速度 v0 应满足
v0 2gR 29.81 6.4106 11200 (km/s) 11.2 (m/s)
y C2 ex , 再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
2019年6月29日星期六
20
目录
上页
下页
返回
2019年6月29日星期六
15
目录
上页
下页
返回
业：
P319:1(3) 2(2) 3(4)
2019年6月29日星期六
16
目录
上页
下页
返回
2. 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v的速度沿 y
轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发,速度大小为 2v, 方向
方向指向A , 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程
令v

高等数学课件--D7_5可降阶高阶微分方程

高等数学课件--D7_5可降阶高阶微分方程

x 0
0, 得 C2 1
故所求特解为
2012-10-12
1 e
y
x
目录 上页 下页 返回 结束
同济版高等数学课件
例8.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 积记为 区间[ 0, x ] 上以 为曲边的曲边梯形面积 满足的方程 . 解: 在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
2012-10-12
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求解 解:
(1 x ) y 2x y
2
y
x0
1,
y
x0
3
代入方程得
(1 x ) p 2x p
2
分离变量
积分得 ln p ln (1 x 2 ) ln C1 ,
利用 y
x0
x
2012-10-12 同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分 令 y p(x) ,
令 y p( y ) ,
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
2012-10-12
思考与练习
1. 方程 如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
目录 上页 下页 返回 结束
dx dt

F0 m
(t
t
2
2T
) C1
利用初始条件
dx dt F0 m (t t
2
得 C1 0, 于是
)
2 3
2T

7-5可降阶的高阶微分方程

7-5可降阶的高阶微分方程
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、 y(n) f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y) 型的微分方程 三、 y f ( y, y) 型的微分方程 四、小结
2019年9月7日星期六
《高等数学》第七章
1
一、 y(n) f ( x) 型的微分方程
特点： 不显含未知函数 y及 y, y,L , y(n1). 解法： 积分 n 次即得通解.
dx
y f ( y, y) 设 y p( y), 则 y p dp
dy
2019年9月7日星期六
《高等数学》第七章
10
例1 求 y x 的通解。
解： y
(x

)dx


x

x

C
y


x

x

C x

C
即为所求通解。
2019年9月7日星期六
《高等数学》第七章
2
例2 求方程 y ex cos x 的通解.
解：
y


ex

sin
x

C
y

乘 不 为 零 因子
y
,
yy y
y

d( dx
y) , y
故 y C y,
从而通解为 y CeCx .
2019年9月7日星期六
《高等数学》第七章
9
四、小结
高阶方程通过代换化成较低阶的方程来求解。 y(n) f ( x) 积分 n 次即得通解. y f ( x, y) 设 y p( x), 则 y dp
解 得 y p C( x ), 由 y x 得 C .

高等数学可降阶高阶微分方程

高等数学可降阶高阶微分方程

p
2
1 e2y C 1 2
y 0 y x 0
利用初始条件, 得 C1 0, 根据 p
1 0, 得
积分得 e y x C2 , 再由 y 故所求特解为
dy y p e dx
x 0
0, 得 C2 1
目录 上页 下页 返回 结束
1 e y x
积分得 即
ln sin(y c1 ) x ln c2
sin( y c1 ) c2e x 或 y arcsin(c2e x ) c1 若 p 0 则 y c 包含在通解中
目录 上页 下页 返回 结束
注
如一方程既属于不含 x 型 又属于不含 y 则一般而言 型
若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三） 来解较简单 若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二） 来解较简单

d x
C1 x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
目录
上页
下页
返回
结束
例1.
2x 解: y e cos x d x C


1 2x e sin x C 2
1 2 x cos x Cx C y e 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C2 x C3 8
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求解 解:
(1 x 2 ) y 2x y
y
2
x0
1 , y
x0
3
代入方程得
(1 x ) p 2x p
分离变量
积分得 ln p ln (1 x 2 ) ln C1 ,

课件：第五节 可降阶的高阶微分方程

课件：第五节 可降阶的高阶微分方程

【解法】求解这类方程可令 y p( y) 则
y dy dp( y) dy dp p dx dy dx dy
于是，方程 y f ( y, y)可化为 p dp f ( y, p) dy
这是关于 y 和 p 的一阶微分方程, 如能求出其解
p ( y,C1) ,则可由
dy dx
(
y,C1 )
dx
ox
两端积分得
a r sh p
x a
C1,
则有
a r sh p ln( p 1 p2 )
得C1 0,
两端积分得 故所求绳索的形状为
y
a ch
x
a (exa
得C2 ex
a
)
0
a2
8
上页 下页 返回 结束
3. y f ( y, y) 型的微分方程 【方程特点】右端不显含自变量 x
再设法求解这个方程.
11 上页 下页 返回 结束
【例5】 求方程 yy y2 0 的通解.
【解】 将方程写成 d ( yy) 0, dx
故有 yy C, 即 ydy Cdx,
积分后得通解 y2 C1x C2. 【注意】这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
12 上页 下页 返回 结束
得 p( x) f ( x, p( x)) 这是一个关于自变量 x 和未知函数 p( x) 的一阶微分方程,
若可以求出其通解 p ( x,C1) ,则 y ( x,C1) 再
积分一次就能得原方程的通解.
4 上页 下页 返回 结束
【例2】 求方程 2xyy 1 ( y)2 的通解. 【解】 因2 xyy 1 ( y)2不显含未知函数 y,则令 y p( x), 故 y( x) p( x)，将其代入所给方程,得

高数-7_5可降阶高阶微分方程-精选文档

高数-7_5可降阶高阶微分方程-精选文档
x x 两端积分得 Ar y 0 得 C 0 , sh p C ,由 0 1 1 a
设 OA a ,则得定解问题: 1 2 y 1 y a
y
悬链线
M

T
则有
x y sh a
x
两端积分得 y a ch C ,由 yx a , 得 C 0 2 0 2 a x x a x a a 故所求绳索的形状为 y a ch (e e ) a 2
( y ) d y f ( x ) d x 分离变量方程 g
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P(x)y 0 dx
( x ) d x P y C e
一阶线性齐次方程 一阶线性非齐次方程
d y P (x )yQ (x ) d x
P ( x ) d x P ( x ) d x P ( x ) d x y C e Q ( x ) e d x e
目录 上页 下页 返回 结束
H M 点受切向张力T g s ( : 密度, s :弧长) 弧段重力大小
A
g s
x
x yx a , y 0 0 0 H A a dp g s 令 y p ( x ), 则y , 原方程化为 x dx O dp 1 dx 2 2 Ar sh p ln ( p 1 p ) 1 p a
目录 上页 下页 返回 结束
2 x (n ) 一、 y f (x ) 型的微分方程 y e c o sx .
令 z y
(n 1 )
dz ),因此 , 则 y (n) f(x dx
z x ) d x C 1 f(
即
( n 1 ) y f ( x ) d x C 1
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

则 y d p d p d y p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1 y,
(一阶线性齐次方程) 故所求通解为
法二
yy y 2 0 ,
yy y2 d y
( ) 0,
y2
dx y
故
y y
C1,
(ln | y |) C1,
ln | y | C1x ln | C2 |,
从而通解为 y C2eC1x .
法三
原方程变为
y y , y y
(ln | y |) (ln | y |)， ln | y | ln | y | ln | C1 |，
即 y C1 y，
原方程通解为 y C2eC1x .
例 4 求 方 程 yy y2 0 的 通 解.
例2. 求解 解:
(1 x 2 ) y 2x y y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x 2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x 2 ) ln C1 ,
利用 y x 0 3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 (1 x 2 ) 两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
解： 法一：
…
法二：将方程写成 d ( yy) 0, dx
故有
yy
1 2 C1,
即 ( y2 ) C1,
积分后得通解 y2 C1x C2.
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
例5.
解初值问题
y e2y
y
x0
0 0,
y x0 1
解:
令
y
p ( y),
则
y
pdp, dy
代入方程得
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
由初始条件, 得 C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得 C2 1
故所求特解为 1 e y x
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、 y (n) f (x) 型的微分方程
解法:
y (n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
例1.
解: y e2x cos x dx C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos
x
C1x
C2
yБайду номын сангаас
1 e2x 8
sin
x
C1x2
C2x
C3
二、 y f (x, y) 型的微分方程
特点： 不显含未知函数y. 解法： 设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程：
设其通解为 p ( x, C1)
则得
y (x, C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x, C1) dx C2
作业
P288习题4_5 1(单)，2(单)，3，4
y x3 3x 1
三、 y f ( y , y ) 型的微分方程
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 令 y p ( y),
则 y d p d p d y dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y, C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
例3. 求解 解:
代入方程得