第二章_Volterra_方程的求解

Ｉ ｌ ｆ （ ｘ ） ｌ 。 ｄ ｘ ＝ Ｄ
下 面应 用 逐 次 迫 近 法 解 第二 类 ｖ ｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ａ 型 积 分 方程 为此
先将方程 写成下面形式：
， ｘ
‘ Ｐ （ Ｘ ） ｏ （ Ｘ ） ＋ ｌ （ ） 【 ） ＋ ｚ （ Ｘ ） ＋ ・ ・ ・ ＋ ｌ （ Ｘ ） ＋ … ｌ ｌ ， （ ｘ ）
ｆ ｂ
（ ｐ （ Ｘ ） ｆ （ Ｘ ） ＋
ｆ Ｋ ｍ （ Ｘ ， ｓ ） ｆ （ ｓ ） ｄ ｓ
Ｋ１ ｘ ， Ｓ ） ＝ Ｋｘ ， ｓ ）
（ １ — ４ ）
其中Ｋ （ ｘ ， ｓ ） 由 下 面递 推 关 系确 定 ：
ｆ
‘ Ｐ （ Ｘ ） ＝ｆ Ｋ （ ｘ ， ｓ ） ‘ Ｐ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋ ｆ （ ｘ ）
解：
ｆ
（ Ｘ ） ： ｆ （ Ｘ ）
， Ｘ
，
（ Ｘ ） ：Ｉ Ｋ （ ｘ ， Ｓ ） ｏ （ ｓ ） ｄ ｓ
， Ｘ
ｚ
（ Ｘ ） ＝ｆ Ｋ（ ｘ ， ｓ ） ｌ ｌ Ｊ ｔ （ ｓ ） ｄ ｓ
， ｘ
‘ Ｐ １ （ Ｘ ） ｆ （ ｌ ｘ ） ＋ ｆ Ｋ（ Ｘ ， Ｓ ） ‘ Ｐ ０ （ ｓ ） ｄ ｓ
Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｒ ｎ型 积 分 方 程 和 ｖｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ｒ ａ型 积 分 方 程 的 区别 在 于 如果近 似解 （ ２ — ４ ） 是 收 敛 的， 则它的极 限给 出了方程 （ ２ 积 分 限， 前 者 的 积 分 上 限为 常数 ， 后 者 的 积 分 上 限 为 变数 １ ） 的解 ， 并表 示 为 以 下无 穷级 数 的 形 式： 现在讨论 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ 型 方程 的 一 种 形 式 ， 即 方程 的核 Ｋ（ ｘ ， ｓ ） 当Ｓ ＞ Ｘ是 恒 等 于零 ， 这 时称 它为 Ｖ ｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ｒ ａ 型 方 程 。 因此 Ｖｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ｒ ａ 型 第 二 类 方程 有 以 下 形 式 ： 口１ １

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６ ６
四川 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
的正周 期 解 的存 在 性 ， 中 ａ ｔ Ｅ Ｃ Ｒ， ０ 其 （） （ （ ，＋
； ０ ｔ ，） ＝ ｔｙ ， ＞０是 常 数． 一步 ， ＋ Ｙ ，） 进
∞） ，（ ＋ ） ＝ａ ｔ， （，） Ｅ Ｃ Ｒ ×［ ，＋ ）ａ ｔ （）ｇ ｔ ｙ （ ０ ∞］ ［ ， ， ＋∞） ，（，）＝ｇ ｔ ，） ＞０ ０ ）ｇ ￡ Ｙ （＋ Ｙ ， 是一 个 常 数 ，（） Ｅ Ｃ （ ∞ ，］ ０ ｋｒ （ 一 ０ ，［ ，＋ ∞） ）且
中 图 分 类 号 ： １５ １ Ｏ ７ ．４ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １ ３ ５ ２ ０ ） １ ０ ５０ １０ － ９ （ ０８ ０ － ６ －５ ８ ０
１ 引 言及 预 备 知 识
时 滞微分 方 程 的渐 近 性 态 和周 期 解 的存 在性
ｆ ｋ ｒｇ ￡ （ ＋ｒ ） ｒ （） （， ｔ ） ｄ ， Ｙ
则 方程 （ ）至少存 在一 个 一 １ 周期 解． 本 文将讨 论如 下具 分布 时滞 的微 分方 程
Ｙ（ ）＝一ａ ￡Ｙ Ｙ ｔ ｔ （， ） （）＋
ｏ ｔ
得出了保证方程（ ）（ ） ２ 一５ 正 一 周期解 的存在性和 多解性 的充分条件 ， 这些条件推广 和改进 了文 ［ ］ １
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２０ ０ ８年 １ 月 第３卷 第 １ １ 期
四川师范大学学 报（自然科学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｕｎＮ ｒ ｌ ｎｖｒｉ （ ａ ｒｌ ｃｅｃ ） ｏｒ ｌ ｆ ｅ ａ ｏｍａ Ｕ ｉ ｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉｎｅ ｎ Ｓｈ ｅ ｔ ｕ
Ｊｎ ２ ０ ａ ．，０ ８

lotka-volterra方程中的相关参数的确定Lotka-Volterra方程是一种描述捕食者和猎物之间相互作用的动力学模型。

它由两个关联的微分方程组成，其中捕食者的数量和猎物的数量随时间的变化被描述。

在Lotka-Volterra方程中，有一些参数需要确定，以使模型能够适应特定的捕食者和猎物系统。

以下是确定这些参数的一些常见方法：
1.实验观测：通过实验观测获得的数据可以用来确定模型中
的参数。

这可能涉及到监测和记录捕食者和猎物数量随时间的变化。

2.相关研究：进行相似生态系统或相似物种之间的研究，以
获得类似系统中参数的估计。

这可能包括文献综述、野外观察或实地调查。

3.参数估计：使用统计方法，如最小二乘拟合或最大似然估
计，根据已有的数据拟合模型，并得出参数的估计值。

4.灵敏度分析：进行灵敏度分析来评估参数对模型结果的影
响程度。

这可以帮助确定对模型结果影响较大的参数，并优先考虑对这些参数进行准确估计。

需要注意的是，参数的确定是一个复杂的过程，并且涉及到模型假设的验证，数据收集和分析，在参数估计中使用统计技术，以及考虑误差和不确定性。

另外，根据具体的应用和研究目的，还会引入其他的参数
或因素，以更好地刻画特定系统的行为。

因此，参数的确定应该根据具体情况进行，并结合领域知识和相关实验和观测数据。

０ 引 言
首 先考 虑第 二类 Ｖｏｔ ， 者需要储 存 网格点 的所 前
有值 而 后者 只需 固定 数 目网格点 的信 息． 于方 程 对 （） １ 的这 种储存 ， 加可 以接 受应 用谱方法 的全 局基 更
函数． （） １
假 定 （） 的 解 充分 光 滑 ， 此 情况 下 ， 必 要 １式 在 有 利用 高次数 值方 法 例如谱 方法来 解 方程 （）对 于方 １．
程（）现已有很多数值方法例如配制法 、 １， 内积积分
法 ， Ｂ ｕ ｎ ｒ ． 而 ， 少 有 人 提 及 利 用 谱 逼 近 见 ｒ ｎ ｅＣ 然 ¨ 很
王 金 婵
（ 州学 院数 学 系 ， 东德 州 ２３ ２ ） 德 山 ５ ０ ３
擒 薹 ： 究 了求 解 Ｖｏ ｅｒ 积 分 方 程 的 方 法 ， 点 介 绍 了 基 于 谱 方 法 解 决 Ｖ ｌ ｒａ型 积 分 方 程 的 一 种 新 研 ｌ ｒａ型 ｔ 重 ｏｔ ｒ ｅ 的 数值 解 法 ， ｇ ｎ ｒ 配 制 法 得 到 充 分 的 应 用 ， 进 行 了严 格 的误 差 分 析 ， 明 在 核 函 数 和 原 函 数 充 分 光 滑 时 ， 值 ｌ ｅ ｄｅ ｅ 并 表 数
得 到高 次精度 的 主要 困难 在 于解 （ ） 中 的积 ３式
分项 ， 别 的 ， 于 充分 小 的值 ， （） 特 对 “ ｓ 有很 少 的信
息可 以利 用 ， 为此 ， 把积 分 区间 ［ １ ］转换 到 ［ 一 ， 一
１ １上 ， ，］ 然后 选择 恰 当的求 积 规 则． 实 上 ， 事 首先 作
一
个 线 性变换
收稿 日期 ：２ １ ０ — Ｏ ０ １— ７ ２
作 １ 介 ：王金蝉（ ９０一 ， ， Ｉ ｌ １８ ）女 山东庆云人 ， 讲师 ， 硕士 ， 究方向 ： 研 信息 与计算科学．

文章标题：探索Volterra积分方程和积分微分方程近年来，数学领域中的一个研究热点就是关于Volterra积分方程和积分微分方程的探索。

这两种方程作为微分方程的一种延伸和拓展，具有更广泛的应用领域和更丰富的数学内涵。

在本文中，我们将深入探讨Volterra积分方程和积分微分方程的基本概念、性质和应用，以对这两种方程有更全面的理解。

1. Volterra积分方程Volterra积分方程是由意大利数学家Vito Volterra在20世纪初提出的一种特殊类型的积分方程。

它的一般形式可以表示为：\[ y(t) = f(t) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]其中，\( f(t) \) 是已知函数，而 \( K(t, s) \) 是积分核函数。

这种积分方程与常见的微分方程有着本质的区别，它描述了系统状态在过去时间的影响，因此在建模动态系统、生态学、经济学等领域中得到广泛的应用。

2. 积分微分方程积分微分方程是微分方程的一种拓展，它在描述动态系统的行为时更为有效和准确。

一般形式可以表示为：\[ \frac{dy(t)}{dt} = f(t, y(t)) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]积分微分方程在研究振动系统、生物学等领域有着重要的应用价值，能够更准确地描述系统状态的演化过程。

3. 深入探讨从数学角度来看，Volterra积分方程和积分微分方程的研究涉及到广泛的数学理论和方法。

通过对积分核函数的性质、解的存在唯一性和稳定性等进行深入的分析，可以揭示这两种方程在动力系统、控制理论中的重要性。

对解的逼近算法、数值求解方法等也是研究的重点之一。

4. 应用领域近年来，随着数据科学和人工智能的发展，Volterra积分方程和积分微分方程在系统建模、数据拟合、信号处理等领域得到了广泛的应用。

通过结合深度学习、强化学习等技术，这两种方程能够更好地挖掘数据之间的关联性，从而为实际问题提供更准确、更有效的解决方案。

第二章 Volterra 方程的求解 §2.1 第二类Volterra 方程求解 积分方程是近代数学的一个重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学和有机分析等有着紧密的联系.同时，它也是解决力学、数学物理和工程技术等问题的一种重要工具.本章首先介绍积分方程的基本概念，其次利用压缩映照原理讨论积分方程的可解性及逐次逼近方法，并扼要介绍Fredholm 定理，讨论一些非线性积分方程的解法.第二类Volterra 方程一般形式为：()(,)()()xax K x t t dt f x ϕλϕ=+⎰ ,(2.1.1)A ． 化为常微分方程求解 例2.1.10().xx te t dt x ϕ-=⎰ 解 由0()xxtee t dt x ϕ-=⎰，得0()xt xe t dt xe ϕ--=⎰,求导得(),x x x e x e xe ϕ---=- 即()1x x ϕ=-.例2.1.2 0()().xx x t dt e ϕϕ=+⎰解 求导得()().x x x e ϕϕ'=+ 定解条件00(0)() 1.t dt e ϕϕ=+=⎰化为微分方程,(0) 1.x e ϕϕϕ'⎧=+⎨=⎩ 容易得到()(1)xx x e ϕ=+.定理2.1.1 如果第二类Volterra 方程(2.1.1)的核(,)K x t 为()x t -的(1)n -次多项式01(,)()()()K x t a x a x x t =+-22()()2!a x x t +-11()()(1)!n n a x x t n --++--, 令11()()()(1)!x n ay x x t t dt n ϕ-=--⎰，21()()()(2)!x n ay x x t t dt n ϕ-'=--⎰， ， ()()()n y x x ϕ=.则(2.1.1)可化为常微分方程求解. ()(1)01[]().n n n y a y a y f x λ---++= 例2.1.3()434()()xxx e x x t t dt ϕϕ=+---⎰.解 0()434()()x xxx ex x t dt t t dt ϕϕϕ=+--+⎰⎰，()43()()()xxx e t dt x x x x ϕϕϕϕ'=+--+⎰()43()xxx e t dt ϕϕ'=+-⎰,()4()xx e x ϕϕ''=-,()4(),(0)0,(0)7.xx e x ϕϕϕϕ''⎧=-⎨'==⎩ ()22cos 5sin xx e x x ϕ⇒=-+. B.迭代法首先,一般地,如12,ϕϕ为方程()(,)()bax K x t t dt ϕλϕ=⎰, (2.1.2)的解,则它们的任意线性组合也是方程之解.显然()0x ϕ≡为上面方程之解,称之为平凡解,如()x ϕ为上面方程之解,且()x ϕ不恒为零,称之为非零解或非平凡解.定义 2.1.1 凡使齐次方程(2.1.2)具有非平凡解的那些λ值,称为特征值,而对应于特征值的那些解称为特征函数.下面研究方程(2.1.1)之解,有定理定理 2.1.2 设核(,)K x t 在区域a t x b ≤≤≤上连续,()f x 在[,]a b 上连续,则方程(2.1.1)有唯一解()x ϕ,且()x ϕ可表示为212()()()()x f x x x ϕλϕλϕ=++()nn x λϕ+++， (2.1.3) 其中,1()(,)(),,xa x K x t f t dt ϕ=⎰1()(,)()xn n ax K x t t dt ϕϕ-=⎰，R λ∀∈，解的展开级数(2.1.3)一致收敛. 推论 2.1.3 Volterra 方程()(,)()bax K x t t dt ϕλϕ=⎰没有特征值。

东南大学电气工程学院MATLAB数学建模实验报告三种方法解析Vol terra方程刘海东(16006213)2008/12/13一、实验目的:通过MATLAB实现书上含初值一阶Volterra方程纽的解析，在解析过程之中注意加深对三种方法：向祈欧拉公式、改进的欧拉公式和四阶龙格-库塔公式的理解，注意各个方法的细节和精度比较。

进一步熟悉MATLAB编程。

二、实验原理：在数学建模理论课上，我们在书上6. 4节中介绍了Volterra模型，并用相平面分析法对问题作了简要分析。

随后我们又在6.7节中学习到了常微分方程数值解，学习了欧拉方法和龙格- 库塔方法，所以我们尝试借助6. 7节中的数值方法来考虑如下Volterra方程：坷=“（1-0・1心），x2 = x2（-0.5 + 0.02Xj）, Xj（0） = 25,X2（0） = 2.为了跟书上的解析图相对应，我选取区间t e ［04习：步长/i=0.1o1）向前欧拉公式（1阶箱度）：我们先根据步长将区间分为150等分，在其中任一区间K/J上（OSk V150* wZ）取对应左端点-的“伙）和孔伙）作为递推山伙+ 1）和£伙+ 1）的初值，将其带入到向前欧拉公式组得到如下方程组：X］伙+ 1）=册（加- 0.1兀2伙）］, x2（k + 1） = X2（J）［-0.5 + 0.02 旺伙）］, “（0） = 25山2（0） = 2・这样，我们就可以根据初值层层递推出对应后面150个t值的x值。

具体在MATLAB中的实现过程：首先将各•自初值賦予初始变童，并将步长输入。

根据步长.在取定循环值t=0. 1:0. 1:15形成一个150次的循环，循环过程为：根据上面方程组的前两行带入初值求解下一次数值，然后将下次数值作为初值不停迭代下去，即得到150个要求的值。

因为总数据太过庞大，我数据输出只输出了t在[0,2]上的数据，为使结果更为形象直观，我在把全部结果其标注在图形上，并随后进行30阶拟合成Volterra解析曲线。

一类第二种非线性Volterra 积分程积分数值解法1前言微分程和积分程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分程对于问题的解决比微分程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较便，结果也比较完美,所以研究积分程便得越来越有用,日益受到重视. 积分程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分程。

所以最早研究积分程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分程，并用两种法求出了它的解,第一的积分程便是以Abel 命名的程.该程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该程称为广义Abel 程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分程的反变换，这就说明在早些时候积分程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分程.积分程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和Volterra 奠定的，积分程主要是研究两类相关的程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个程被命名为Fredholm程和Volterra程。

后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。

东南大学电气工程学院MATLAB数学建模实验报告三种方法解析Volterra方程刘海东（16006213）2008/12/13一、 实验目的：通过MATLAB 实现书上含初值一阶Volterra 方程组的解析，在解析过程之中注意加深对三种方法：向前欧拉公式、改进的欧拉公式和四阶龙格-库塔公式的理解，注意各个方法的细节和精度比较。

进一步熟悉MATLAB 编程。

二、 实验原理：在数学建模理论课上，我们在书上6.4节中介绍了Volterra 模型，并用相平面分析法对问题作了简要分析。

随后我们又在6.7节中学习到了常微分方程数值解，学习了欧拉方法和龙格-库塔方法，所以我们尝试借助6.7节中的数值方法来考虑如下Volterra 方程：.2)0(,25)0(),02.05.0(),1.01(2112'221'1==+-=-=x x x x x x x x为了跟书上的解析图相对应，我选取区间]15,0[∈t ；步长h =0.1。

1)向前欧拉公式(1阶精度)：我们先根据步长将区间分为150等分，在其中任一区间[1,+k k t t ]上（Z k k ∈<≤,1500）取对应左端点j t 的)(1k x 和)(2k x 作为递推)1(1+k x 和)1(2+k x 的初值，将其带入到向前欧拉公式组得到如下方程组：.2)0(,25)0()],(02.05.0)[()1()],(1.01)[()1(21122211==+-=+-=+x x k x j x k x k x j x k x这样，我们就可以根据初值层层递推出对应后面150个t 值的x 值。

具体在MATLAB 中的实现过程：首先将各自初值赋予初始变量，并将步长输入。

根据步长，在取定循环值t=0.1:0.1:15形成一个150次的循环，循环过程为：根据上面方程组的前两行带入初值求解下一次数值，然后将下次数值作为初值不停迭代下去，即得到150个要求的值。

volterra积分方程
Volterra积分方程是一种常见的积分方程，其形式为：
$$y(t)=y_0+\int_0^tK(t,s)y(s)ds$$
其中，$y(t)$ 是未知函数，$y_0$ 是初值，$K(t,s)$ 是称为积分核的函数。

Volterra积分方程常用来描述动态系统的行为，特别是在描述动态系统中的反馈过程时。

它在工程、物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用。

求解Volterra积分方程的方法有很多，其中常用的方法有：分段常数法、分段线性法、拉普拉斯变换法、小波变换法、Laplace变换法等。

具体使用哪种方法，取决于积分核的性质和解题的目的。

总之，Volterra积分方程是一种常见的积分方程，在描述动态系统行为时有广泛的应用，有多种方法可以用来求解这种方程。

第一类Volterra积分方程论文：第一类Volterra积分方程数值方法的研究【中文摘要】第一类Volterra积分方程是很重要的一类积分方程，它是在二十世纪发展并成熟起来的。

物理，力学等领域中的许多实际问题都可以通过转化为第一类Volterra积分方程来求解。

当核函数是连续或具有弱奇性时，通常精确解很难给出。

因此，Tolterra 积分方程的数值解法占有了很重要的地位，通过研究它们有很多有益的分析结果得以实现。

本文正是考虑在数据没有扰动的情况下第一类Volterra积分方程的数值解法。

本文结构如下：第一章主要介绍第一类Volterra积分方程的历史背景，国内外研究现状以及发展趋势。

第二章是一些求解第一类Volterra积分方程的预备理论，包括不适定问题，本文所需要使用的正则化方法：Tikhonov，正则化方法，全变差正则化方法等知识。

第三章研究在数据没有扰动的情况下，求解第一类、Volterra积分方程。

主要利用配置点方法，包括方法的格式构造以及收敛性分析。

第四章数值实验，主要利用Tikhonov正则化方法及全变差正则化方法，正则化参数选取方法为L-曲线法。

【英文摘要】The first-kind Volterra integral equations are a very important kind of integral equa-tions. It has been developed and matured since the twentieth century. Many practicalproblems about physics and mechanics can be solved by changing into the first-kindVolterra integral equations. Whenthe kernel function is continuous or weakly singu-lar, the exact solution is always di?cult to work out. Therefore, the numerical methodsof the first-kind Volterra integral equations play a very important role in mathematics. Byresearching the first-kind Volterra integral equations, there are many wonderful analysis .This article considers the numerical methods of the first-kind Volterra integral equationswhen the data are undisturbed and disturbed.This structure is as follows:In chapterⅠ, we introduce the background , the domestic and foreign researchingsituation and the developping tendency of the first-kind Volterra integral equations. Thisarticle lists some classical methods of solving thefirst-kind Volterra integral equations.In chapterⅡ,we show some preparatory theory of solving the first-kind Volterraintegral equations, ill-posed problems, the regularization methods using in this article:Tikhonov regularization method,total variation regularization method .In chapterⅢ, we research the numerical methods of the first-kind Volterra integralequations when the data is undisturbed, The format structure and convergence analysisare also introduced in this article.In chapterⅣ, we give a numerical experiment based on Tikhonov regularizationmethodand total variation regularization method.The regularization parameter method isthe L-curve method.【关键词】第一类Volterra积分方程不适定问题离散的正则化方法 Tikhonorv正则化方法全变差正则化方法【英文关键词】The first-kind Volterra integral equation Ill-posed problem Discrete regular-ization method Tikhonov regularization method Total variation regularization method【备注】索购全文在线加好友：1.3.9.9.3.8848同时提供论文写作一对一指导和论文发表委托服务【目录】第一类Volterra积分方程数值方法的研究中文摘要3-4Abstract4第1章绪论7-12 1.1 第一类Volterra积分方程的发展历史7-8 1.2 第一类Volterra积分方程的基本理论8-12第2章预备理论12-29 2.1 不适定问题的简介12 2.2 不适定定问题的正则化方法12-29 2.2.1 Titkhonov正则化方法14-16 2.2.2 离散的正则化方法16-19 2.2.3 全变差正则化方法19-26 2.2.4 正则化参数的选取方法26-29第3章数据没有扰动情况下第一类Volterra方程的数值解法29-46 3.1 线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法29-35 3.1.1 方法的格式构造29-30 3.1.2 方法的理论分析30-35 3.2 非线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法35-45 3.2.1 方法的格式构造35-40 3.2.2 方法的理论分析40-45 3.3 本章小结45-46第4章数值实验46-53 4.1 Tikhonov正则化方法的数值实验47 4.2 全变差正则化方法的数值实验47-52 4.3 本章小结52-53结论53-54参考文献54-59致谢59-60攻读学位期间发表的学术论文60。

第二类Volterra积分方程的一种特殊解法王金婵【摘要】In this paper,we study the method of solving the second kind of Volterra integral equations,propose a new numerical method for solving Volterra integral equations based on spectral method,Legendre preparation method is fully applied and a rigorous error analysis is done.The results show that the numerical error is the index fell.When kernel function and the original function is sufficiently smooth%研究了求解Volterra型积分方程的方法,重点介绍了基于谱方法解决Volterra型积分方程的一种新的数值解法,legendre配制法得到充分的应用,并进行了严格的误差分析,表明在核函数和原函数充分光滑时,数值误差是指数下降的.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2012(028)004【总页数】3页(P11-13)【关键词】legendre谱方法;Volterra积分方程;收敛性分析【作者】王金婵【作者单位】德州学院数学系,山东德州253023【正文语种】中文【中图分类】O175.5首先考虑第二类Volterra积分方程其中k（x，s，u（s））是核函数.假定（1）式的解充分光滑，在此情况下，有必要利用高次数值方法例如谱方法来解方程（1）.对于方程（1），现已有很多数值方法例如配制法、内积积分法，见Brunner［1］.然而，很少有人提及利用谱逼近法，在文献［2］中，作者用chebyshev谱方法在多重代数精度下求解第一类，但这些方法理论上不能获得高次精度.这种方法一直未能得到很好的应用.众所周知，Fredholm方程类似边界值问题见文献［5］，因此，许多边界值问题有效的数值方法例如谱方法能直接用来解决Fredholm方程，而方程（1）类似初值问题，因此用谱方法解是非常困难的.主要原因在于方程（1）是一个局部方程而谱方法用到全部基函数.主要困难在于如何执行这种算法使其能最终得到精确谱.此外，方程（1）的数值解法有可能不同于标准初值问题.从这个意义上说，前者需要储存网格点的所有值而后者只需固定数目网格点的信息.对于方程（1）的这种储存，更加可以接受应用谱方法的全局基函数.不失一般性，假定解的区域为［－1，1］，第二类线性积分方程一维形式如下设定N＋1个配置点作为Legendre Gauss点集假定方程（2）在xi处成立，则有得到高次精度的主要困难在于解（3）式中的积分项，特别的，对于xi充分小的值，u（s）有很少的信息可以利用，为此，把积分区间［－1，xi］转换到［－1，1］上，然后选择恰当的求积规则.事实上，首先作一个线性变换则（3）式转换为然后利用N＋1个点的Gauss积分法，以及Legendre权重｛ωi｝，则有其中其中｛θj｝j＝0，…N，与配置点相一致.用ui，0≤i≤N代替u（s（xj，θj）），用lagrange插值多项式表示u即.其中Fj是第j个lagrange基函数，代入（7）式，得从（8）式可以看出，为了计算u（xi）的近似值，需要的完全解信息和的半局部信息.其中－1≤s（xi，θj）≤xi，这不同于配制法或内积积分法，原因在于它们用到和的半局部信息.谱配制算法的执行令得到方程的矩阵形式其中矩阵A中元素如下给出下面讨论Fj（s（xi，θp）的计算效率，由于αp，j是Fj的离散的多项式系数，它的递推关系如下（见文献［5］）其中由（10）式和（11）式可得结合LP（s）的递推公式，能有效的得出Fj（s（xi，θp）），这种情况也可以推广到非线性方程及二维情况（见文献［3］）.下面从数值方面对Volterra方程进行收敛性分析，目的在于表明它的收敛率是指数型的，既谱精度可以从以提出的谱逼近中得到.引理1［5］假设N＋1个点Gauss求积公式，及lagrange权重应用积分内积uφ，其中u∈Hm（I），I＝（－1，1）m≥1，φ∈PN，则存在不依赖于N的常数C，使得其中引理2［5］假定u∈Hm（I），INu表示与它的N＋1个Gauss点相关的插值多项式，即则引理3［5］假定Fj（x）是第N个Gauss点相关的Lagrange插值多项式，则其中是一个有界常量.引理4（Gronwall不等式），如果非负积分函数E（t）满足其中 G（t）是可积函数，则定理1 令u是Volterra方程（2）的精确解，假定其中uj由（8）给出，Fj（x）是同高斯点相关的第j个Lagange基函数，若，则对于这里N充分大，s（xi，θ）由（6）式给出，C是不依赖于N的常数（证明见文献［3］）.由定理1知，收敛速度似乎是不可以选择的，应为Ο（Nm），而不应为（11）式给出的，如果引理3的估计能够进一步改进，这个结果应该是正确的，一个可能的改进是证明，假设这是正确的，则在定理1中应用‖J1‖L1（I）＝O（N－m），在这种情况下，收敛阶O（N－m）能够得到.本文总结了Volterra积分方程的解法，并对他们的优缺点进行分析.同时给出了不同解法的收敛情况.重点介绍了基于谱方法解决二维第一类型Volterra积分方程的数值解法，借助离散Gronwall不等式，给出了一系列漂亮的结果.【相关文献】［1］H.Brunner.Couocation Methods for Volerra Integral and Related Functional Equations Methods［M］.Cambridge University Press，2004.［2］H.Fujiwara.High－accurate Numerical Methed for Integral Equations of the First Kind under Muttipleprecision Arithmetic［M］.Preprint RIMS，kyoto，University，2006. ［3］T.Tang，X.Xu，J.Cheng.On Spectral Methods for Volerra Type Integral Equations and the Convergence Analysis［J］pwl Math，2007.［4］H.C.Tian.Spectral Methods for Volerra Integral Equations［M］.Msc Thesis，Simon Fraser University，1995.［5］C.Caunto，M.Y.Hussaini，A.Quarteroni，etal.Spectral Methodes Fundamentals inSingle Domains［M］.Springer－Verlag，2006.。

（ ）＝ Ｕ 一１
Ｊａｇ等 ｌ 把 给 定 的积 分 微 分 方 程 转 换 成 第 二 ｉ ｎ １ 类积 分方 程 的方 程组 ， 因此 ， 积 分微 分 方 程 的主 要 解
工作 就转 变成 求解 这 个积 分方 程 组 ． ｔｉｓｎ 提 出 Ａｋ ｏ ｎ 了多 种求 解第 二 类 积 分 方 程 的数 值 方 法 ， 且 作 了 并 误差 分析 ． ａｇ等 提 出 了 用 Ｌｇｎ ｒ 点 法 求 解 Ｔｎ ｅｅｄｅ配 Ｖ ｌｒ ｏ ｅｒ 积 分 方 程 的 方 法．Ｃ ｅ 等 分 别 用 ｔ ａ型 ｈｎ
（） ２
式中， 函数 ＿ ｔ ， ￡ 和 核 函数 Ｒ（ ，） 是 充分 光 厂 ）ｇ（） （ ｔｓ 都 为 了分 析方 便 ， 式 （ ） （ ） 换 为定 义 在 将 １和 ２ 转 ［一１１ 上 的 等 价 问题 ． 过 变量 替 换 ， 式 （ ） ，］ 通 将 １ 和
（ ） 化为 ２转
ｄ ｉ ０ ３ ６ ／ ． ｓ ． ０ ７ ２ ６ ． ０ ０ ． １ ｏ ：１ ． ９ ９ ｊ ｉ ｎ １ ０ —８ １ ２ １ ． ２ ０ ４ ｓ １
Ｃ ｅ ｙｈ ｖ配 置 点 法 解 Ｖ ｌ ｒａ型 积 分 微 分 方 程 ｈ ｂ ｓｅ ｏｔ ｒ ｅ
吴 华 ， 张 珏
（ 海 大学 理 学 院 ， 海 ２ ０４ ） 上 上 ０４ ４
表 示为 ｛ ｝ ． （ ） 。 式 ５ 在点 时 ， 有
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本 研 究 主 要 是 利 用 Ｃ ｅｙｈｖ配 点 法 求 出 ｈｂｓｅ

近年来，随着科学技术的不断发展，对于微分方程数值解法的研究也愈发深入。

其中，volterra积分微分方程数值解法备受关注。

在本文中，我将为您深入解析volterra积分微分方程数值解法，并共享我个人对这一研究的理解和观点。

1. 了解volterra积分微分方程volterra积分微分方程最早由意大利数学家Vito Volterra在20世纪提出，是描述系统动力学行为的重要数学工具。

它所描述的系统通常包括了历史信息对当前状态的影响，因此对于这类方程的数值解法，要求更高的深度和广度。

2. volterra积分微分方程的数值解法在volterra积分微分方程的数值解法中，常常涉及到离散化、插值、逼近等数值计算方法。

对于不同类型的volterra积分微分方程，如延迟型、非线性型等，需要采用不同的数值解法。

在研究过程中，研究者们不断探索新的数值解法，以提高计算精度和效率。

3. 我的观点和理解在我看来，volterra积分微分方程数值解法是一个非常值得深入研究的课题。

在实际应用中，许多系统对历史信息的依赖程度较高，因此对于这类系统的数值模拟和预测，需要充分理解和掌握volterra积分微分方程的数值解法。

尤其是在生态系统、经济模型等领域，volterra 积分微分方程数值解法的研究将有着更为广阔的应用前景。

4. 总结与回顾通过本文的深度探讨，我们对volterra积分微分方程数值解法有了更为清晰的认识。

在数值解法的研究中，我们需要不断探索新的方法，提高计算精度和效率，以满足实际应用的需求。

我也希望更多的科研工作者能够投入到这一领域的研究中，共同推动数值解法的发展。

通过对volterra积分微分方程数值解法的研究，我们将能够更好地理解系统的动力学行为，并为实际应用提供更有力的支持。

希望本文能够为您对这一课题的理解提供一定的帮助。

5. 进一步探讨volterra积分微分方程数值解法的应用领域除了生态系统和经济模型领域，volterra积分微分方程数值解法还有许多其他的应用领域。

Operations Research and Fuzziology 运筹与模糊学, 2023, 13(5), 5571-5580Published Online October 2023 in Hans. https:///journal/orfhttps:///10.12677/orf.2023.135556卷积型Volterra积分微分方程的一种快速算法李海洋*，胡怀青，刘婧雅贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳收稿日期：2023年9月4日；录用日期：2023年10月17日；发布日期：2023年10月25日摘要卷积型Volterra积分微分方程是一类重要问题，广泛应用于生物学、经济学，本文研究了一种快速算法求解卷积型Volterra积分微分方程。

该方法采用多步配置方法对卷积型Volterra积分微分方程进行离散，结合卷积核的特性，得到离散方程的线性系统由Toeplitz矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵组合而成。

考虑Toeplitz矩阵与向量的快速算法，设计系数矩阵与向量的快速计算格式。

本文利用GMRES算法与快速计算格式结合，获得一种快速求解线性系统的改进算法，并通过实验验证改进算法的高效性。

关键词Volterra积分微分方程，快速计算，GMRES，广义多步配置方法A Fast Algorithm for Convolutional VolterraIntegral Differential EquationsHaiyang Li*, Huaiqing Hu, Jingya LiuSchool of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang GuizhouReceived: Sep. 4th, 2023; accepted: Oct. 17th, 2023; published: Oct. 25th, 2023AbstractConvolutional Volterra integral differential equations are an important class of problems, widely used in biology, economics, among other fields. This study presents a fast algorithm for solving convolutional Volterra integral differential equations. The method involves discretizing the equa-tions using a multi-step collocation approach, combined with the characteristics of the convolu-tion kernels, resulting in a linear system of equations composed of Toeplitz matrices, diagonal matrices, and sparse matrices. Considering fast algorithms for Toeplitz matrices and vectors, a fast computation format for the coefficient matrix and vector is designed. By combining the GMRES al-gorithm with the fast computation format, an improved algorithm for efficiently solving linear systems is obtained. Experimental results verify the effectiveness of the improved algorithm.*通讯作者。

其中｛ Ｎ ｛） 与配置 ｆ。 ， ： 点取值对应相等， 权函数 取值如 （ ） ， 式 ２．
：
。，
一
于 是 得 到 配 置 方 程
“ ， ＋ （， ， （（） ， ＝ （，） （ ）∑ ；（） ） ， ｆ （ （） ） ｇ Ｙ． ｊ
用ｌ表示 考 ， （ ） ｌ ， ｉ （（） ｆ ，且 ， ）
积公 式 ，则 存 在 常数 Ｃ以及 与 ｃ无 关 的 自然 数 Ⅳ ，有
ｌ（ 出（ ≤Ｎ ｆ 一， Ｃ ，） ” ） Ｉ
有 唯一解 ．
们 是核 函数 ，ｇ ｘ 是源 函数 ，假设 ｇ ） （ ） ，； ） ； Ｊ ∈Ｃ ，则 方程 （１ （， ∈ｃ Ｄ ，七 ） ， ， ７ （ ） ）
．
．
＜一
．
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１ Ｃ ｅ ｙ ｈ ｖ谱 配置 方 法 ｈ ｂｓ ｅ
考 虑二 维 的 Ｃ ｅ ｙ ｈ ｖ多项 式 ｈ ｂｓｅ
（） ５
第２ ５卷 第 ２期
陈少军等 ：二维 Ｖ ｌ ｒ 积分方程 Ｃ ｅ ｙｈｖ谱配置解法及误差分析 ｏ ｅｒ ｔ ａ ｈ ｂｓｅ
１ ７
其中 ，；（，（） 专 Ｊ） ） ｆ＝
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忌 ， ｒ （ｙ １ ，． ）
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基 金 项 目 ：广 东省 自然 科 学 基金 资 助项 目 （１ ４ ２ ０ ｌ０ ８ ５） ０ ５ ９ ００ ５ ４
作 者 简介 ： 陈 少军 （ ９ ２ ）男 ， 河 南正 阳人 ，硕 士研 究 生 ，研 究 方 向 为微 积 分 方 程 数值 解 法 ；王 奇 生 ，教 １８ 一 授 ，博 士 ，硕 士 生 导 师 ，通 信 作 者 ，研 究 方 向 为微 积 分 方程 数 值 解 法．

一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。

所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。

后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。