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14.3因式分解(共4课时)强烈推荐

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人教版八上数学14.3.3因式分解—完全平方公式优质课(共35张PPT)

人教版八上数学14.3.3因式分解—完全平方公式优质课(共35张PPT)
4
（2）. 计算: 7652×17－2352 ×17.
解：7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352) =17(765+235)(765 －235) =17 ×1 000 ×530 =9 010 000.
（3）.2 0132+2 013能被2 014整除吗?
解：∵2 0132+2013 =2 013(2 013+1) =2 013 ×2 014 ∴ 2 0132+2 013能被2 014整除.
14.3 因式分解 14.3.2 完全平方公式
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， 那么m的值为（ B ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式

14.3因式分解(共4课时)

14.3因式分解(共4课时)

a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练____(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
复习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
a aa
2
2 2
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
m 7 m 7 __m_2___14_m___4_9_
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3)
= x2 (1+x2)(1–x2)
① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 ④ x2 – x6 ⑤ 6x3 – 54xy2 ⑥ (x+p)2 – (x–q)2
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)

最新人教部编版八年级数学上册《14.3 因式分解【全套】》精品PPT优质课件

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=a（b a2 -1） =a（b a+1）（a-1）
强化练习
分解因式：
（1）a2 - 1 b2；
（2）9a2 -4b2；
25
a
1 5
b
a
1 5
b
=(3a+2b)(3a-2b)
随堂演练
1.下列各式中，分解因式正确的是( D ) 不能分解 m(m-16) 不能分解
课堂小结 方向相反的变形
课堂作业
1.从书本练习中选择题目， 完成与本课时相关练习；
2.完成练习册本课时内容。
学习体会 1、本节课你学到了哪些基本知识？ 2、本节课你学到了哪些解题方法？ 3、还有哪些知识和方法上的问题？
Thank you！
Good Bye！
14.3.2 公式法
第1课时 利用平方差公式分解因式
②3mx-6my; =3m(x-2y)
④15a3+10a2.
=5a2(3a+2)
随堂演练
1.下列等式从左到右是因式分解的有( B )
(√1)x2-x=x(x-1) ;
(√3)a2-9=(a+3)(a-3)；
A.1个
B.2个
(2)a(a-b)=a2-ab；
(4)a2-2a+1=a(a-2)+1；
C.3个
（1） 4x2 -9 ；（2）（x+p）2-（x+q）2 ．
解：（1） 4x2 -9=（2x+3）（2x-3）； （2）（x+p）2 （x+q）2 =（x+p+x+q）（x+p-x-q） =（2x+p+q）（p-q）．
知识点3 综合运用平方差公式

14.3因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

14.3因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
(1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4=(x+2)(x-2) (3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(4) 2ax2+6ax+4a (4) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2) =2a(x+1)(x+2)
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
请直接口答计算结果：
1.(x+2)(x+1)= x2+3x+2 2.(x+2)(x-1)= x2+x-2
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍同号﹍，且a、b的符号与p的符号﹍相﹍同。 （2）当q＜0时，a、b﹍异号﹍，且﹍a、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较﹍大的﹍因﹍数与p的符号相同。
例２：试将x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
∴
x x
8 2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12

八年级数学上册14-3因式分解14-3-2公式法新版新人教版

八年级数学上册14-3因式分解14-3-2公式法新版新人教版

必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公
式进行因式分解.
3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先
提取公因式，再用完全平方公式分解因式.
知2－练
例 2 已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是
___±__2_4____.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
a，b可以是单项式，也可以是多项式
知1－讲
2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且 符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是 这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
知1－讲
一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－讲
1. 完全平方式：形如a2±2ab＋b2这样的式子叫做完全平 方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：首平 方，尾平方，积的2倍在中央
知2－讲
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首 末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这 两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以是 “－”.
－811＋x4 ＝x4－811＝
x2＋
1 9
x2－
1 9
＝
x2＋
1 9
x＋
1 3
x－
1 3
；
要分解到不能再分解为止
(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.
知1－练
解：16(a－b)2－25(a＋b)2 分别看成一个整体 ＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]

人教版八年级数学上册《14.3.因式分解》优质PPT课件

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三、公式法
3、例题讲解
例3. 4a³- 4a 解：原式=4a(a²-1)
=4a(a+1)(a-1)
利用提取公因式法和平方差公式
三、公式法
3、例题讲解
例4. 5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2 解：原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)] =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3) 利用提取公因式法和平方差公式
14.3因式分解
情景导入
计算下列各式：
3x(x-2)=3x2-6x m(a+b+c)= ma+mb+mc (m+4)(m-4)= m2-16 (x-2)2= x2-4x+4 a(a+1)(a-1)= a3-a
3x2-6x=(3x)(x-2) ma+mb+mc=(m)(a+b+c) m2-16=(m+4)(m-4) x2-4x+4=(x-2)2 a3-a=(a)(a+1)(a-1)
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公 因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且 最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－ x(x2－x)．
三、公式法
1、平方差公式
把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2反过来，就得到 a2－b2= (a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的 和与这两个数的差的积．
左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不 同？右边变形的结果有什么共同的特点？
一、因式分解
1、定义
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这 个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

【初中数学】人教版八年级数学上册14.3因式分解ppt课件

【初中数学】人教版八年级数学上册14.3因式分解ppt课件

3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同字母的
x
最低次幂
字母：相同的字
母
所以，公因式是3x。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。
3、定指数：
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最
低次幂
练习：(x-y)2+y(y-x)
把下列个式分解因式
(4)2a( y z) 3b( y z) (5) p(a 2 b2 ) q(a 2 b2 )
小结
1、什么叫因式分解？
记住哟！
2、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2) ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4) 4(m+n)2+2(m+n) (5) 9m2n-6mn (6) -6x2y-8xy 2
（3） （a） （a2）
（2(m+n)） （3mn） （-2xy）
ma+ mb +mc
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
(1)ab+ac =____ (2)2x2-x =___
(3)m2-25 =_____ (4)ma+mb+mc =__
m2 – 25=(m+5)(m - 5)

人教版八年级数学上册《14.3因式分解》课件

人教版八年级数学上册《14.3因式分解》课件
关闭
C 解析 答案
一二
一二
2.提公因式法分解因式 【例 2】 分解因式: (1)3x2y2+6xy3; (2)x(m-n)+y(n-m). 分析:(1)中的公因式为 3xy2,(2)中看上去没有公因式,但仔细观察,发 现(m-n)与(n-m)是互为相反数,如果把其中一个提出一个“-”,则可以 出现公因式.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
学前温故 新课早知
1.乘法分配律: m(a+b) =ma+mb. 2.计算:2ab(a2+3ab)= 2a3b+6a2b2 .
学前温故 新课早知
1.把一个多项式化成了几个整式的积的形式 ,像这样的式子变形叫 做这个多项式的 因式分解 ,也叫做把这个多项式 分解因式 . 2.多项式 pa+pb+pc 的各项都有一个公共的 因式 p ,我们把因式 p 叫 做这个多项式各项的 公因式 . 3.一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来, 将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的 方法叫做 提公因式法 . 4.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( B ). A.(m-2)(m-1)=(2-m)(1-m) B.1-a2=(1-a)(1+a) C.(2x+1)(x-2)=2x2-3x-2 D.4a2+4ab+b2=4a(a+b)+b2
关闭
C
答案
1
2
3
4
5
6
7
2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( ).
A.x2-y

八年级数学上册14.3因式分解课件(新版)新人教版

八年级数学上册14.3因式分解课件(新版)新人教版

,即ab=
1时,
6
原式=24ab=4.
第九页，共19页。
因式分解与特殊三角形判定(pàndìng) 的综合 例5 已知△ABC的三边长a,b,c满足(mǎnzú)a2+b2+c2-6a-
6b-10c+43=0,试判断△ABC的形状.
〔解析〕将等号的左边(zuǒ bian)变形为几个非负数的和的形 式,然后转化为关于a,b,c的方程,确定a,b,c的值即可.
第二页，共19页。
1.因式分解(yīn shì fēn jiě).
(1)16(x-1)2 - (x+2)2
(2)a2-14a+49
=[4(x-1)]2-(x+2)2
=[4(x-1)+(x+2)][4(x-1)-(x+2)] =(4x-4+x+2)(4x-4-x-2) =(5x-2)(3x-6) =3(5x-2)(x-2).
解:(1)原式=(88+112)×(88-112)=200×(-24)=-4800.
(2)原式=122+2×12×8+82=(12+8)2=202=400.
【解题归纳】 运用因式分解进行(jìnxíng)简便计算,关键是先 将所给式子进行(jìnxíng)因式分解,常见的方法:①先提公因式, 再运用公式法;②直接运用公式法.
八年级数学(shùxué)·上 标 [人]
新课
第十四章 整式的乘法(chéngfǎ)与因式 分解
14.3 因式分解(yīn shì fēn jiě)
第一页，共19页。
选择合适(héshì)的方法进行因式分
例1 把下列(xiàliè解)各式因式分解.

人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件

人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件

针对训练：
（1）-x2y+yx-xy2 (2)-4x2+8ax+2x （3）-3ab+6abx-9aby
例2 、因式分解 2(a-b)2 -a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)
点拨：提公因式时，将因式改变符号后，才能看出公因式。 针对训练:
提公因式法： 其中一个因式是各项的公因式m另一个因式 (a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商．像这 种分解因式的方法叫做提公因式。 归纳：如果多项式各项都有公因式，可以把 这个公因式提出来，将多项式写成积的形式， 这就叫做提公因式分解因式。
指出下列各多项式中各项的公因式
⑴5xy-10x ⑵9y2+12y ⑶7x3y2-42x2y3 ⑷7(a-3)-b(a-3) 注意：1.公因式系数为各项系数的最 大公约数。 2.取各项相同的字母。 3.找出相同字母的最低次幂。
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式
• 1.了解公因式的概念和因式分解的意义，培 养逆向思维的能力；
• 2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法 与因式分解的区别和联系；
• 3.掌握如何用提公因式来分解因式。
运用已学过的知识填空:
⑴ x(x-2)= X2-2x ;
⑵ (x+2)(x-2)= x2-4 ;
(1) a(x-y)-x+y (2) 7(x-3)-x(3-x) (3) (a-2)2-2a(2-a) (4)(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)
归纳总结: 分解因式的一般步骤：
1. 找出，找出应提取的公因式。 2. 除以，用多项式去除以公因式。 3. 整理，把多项式写成因式积的

人教版数学八年级上册 《143 因式分解》课件

人教版数学八年级上册 《143 因式分解》课件

探究：因式分解的几种方法 2.观察下列多项式，看一看它们之间有什么共同特
征，你能运用乘法的分配律将它们分解因式吗？ ①ax＋ay＋a；②8x2－10xy.
3.多项式a2－b2有什么特征？你能将它分解因式吗？
4.多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？ 你能将它们分解因式吗
(a+b)(a-b)
请同学们完成下列计算，看谁算得又快又准. ①3.145×（－37）＋3.145×（－63）； ②1012－992； ③572＋2×57×43＋432.
探究：因式分解的几种方法
1.把下列多项式写成整式乘积的形式 ①a2＋a＝______； ②a2－b2＝______； ③xm＋ym－cm＝______； ④x2－2x＋1＝______.
（5）16a2－24a＋9； 解：原式=（4a－3）2
（6）4（x－y）2＋4（y－x）＋1.
解：原式=4(x－y)2-4(x-y)+12 =(2x－2y＋1)2
本课时学习了因式分解与整式乘法的关系和灵 活运用各种方法进行因式分解.
②原式＝（1－b）（a－3）；
③原式＝［3（m＋n）］2-［ 1（m－n）］2
[3 (m n ) 1 (m n )3 ] (2m [ n ) 1 (m n )]
2
2
(7m5n)(5m7n)
2 22 2
④原式＝(a＋b)2－2(a＋b)·9c＋(9c)2
＝(a＋b－9c)2.
D
D 5a(x-y)(a-2)
D
因式分解 2ab a-2
(2x+3y)(2x-3y) a(a+1)(a-1) 4mn
C
例1：计下列变形中是因式分解的是（ D ） A.a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad B.（a＋b）（a－b）＝a2－b2 C.a2＋2＝a（a＋ 2 ）
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②6x4 y3 2x3 y 3xy2
③x 2
9 4x4
x
3 2x2
x
3 2x2
④5x2 y 3x2 y 2x2 y
创设情景
学校打算把操场重新规划一下，分 为绿化带、运动场、主席台三个部分， 如下图，计算操场总面积。
a
b
c
m
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc
① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 ④ x2 – x6 ⑤ 6x3 – 54xy2 ⑥ (x+p)2 – (x–q)2
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
x2 1 x 1x 1
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 因式分，解也叫做把这个多项 式分解因。式
因式分解
x2 1
x 1x 1
整式乘法
因式分解与整式乘法是逆变形
依照定义，判断下列变形是不是 因式分解 （把多项式化成几个整式的积）
①x 2x 2 x2 4
新课引入
问题：630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行 分解质因数 630 = 2×32×5×7
类似地，在式的变形中， 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式
以便于更好的解决一些问题
试试看
(将下列多项式写成几个整式的乘积)
回忆前面整式的乘法
x2 x ___x_x___1_ __ x2 1 __x__1__x__1__
如何准确地找到多项 式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的
3、系数与字母相乘
例题精讲 用提取公因式法因式分解： ①9a2b 15ab2c = 3ab (3a–5bc)
最大a的公b最的因低最数指低为数指3为数1为1
② 12s3t 2 8st 3 4st 2
1、已知m n 5，mn 4，求 m2n mn2的值。
2、因式分解:
1 x x1 x x1 x2 x1 x3 x1 x 2011
3、计算 1 2 2010 2 2011 2 2012 3
第2 课时
第3 课时
教学目标
1.掌握平方差公式，会用平方差公式进行因 式分解。
在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。
= – 4 s t2 (3s2–2t+1)
③ 5 pq2 7 p2q 1 pq
9
9
3
= 1 pq (5q+7p+3) 9
做一做
按照提公因式 法因式分解。
①3a2b 6abc
⑤36x2 y3 45x3 y2
② 5x3 y 10xy2 20xy ⑥74a3b2c4 111a4b3c4
③ 1 m3n mn 5 mn2
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3)
= x2 (1+x2)(1–x2)
a
b
c
mm
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？
m ( a + b + c ) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m ( a + b + c )
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式 中每一个项都含有的因式，叫做 公。因式
3
6
④0.49 p2q 0.21pq2
⑦ x2 y 2x3y x2 y2 23 6
⑧49 4mn2 98 5n2m
因式分解：
提 高
①6xm n 7 ym n
训 练
②4ab1
()
④3 p q4 9q p3
提高训练(二)
第1 课时
第2 3 课时
第4 课时
教学目标
1.理解因式分解与整式乘法的区别 2.懂得寻找公因式，正确运用提公因式法进
行因式分解。 3.培养学生善于类比归纳的能力。
复习回顾
口答：
xx 1 __x_2___x__ x 1x 1 ___x_2 __1__ 2x3x 7 _6_x_2__1_4_x_
2.掌握因式分解的基本方法和步骤。
复习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
a aa
2
2 2
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
m 7 m 7 __m_2___14_m___4_9_
新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 平方差公式
试计算：9992 – 12 = (999+1)(999–1) = 1000×998 = 998000
因式分解:（1）x2 – 422 ;（2）y2 – 2552 = (x+2)(x–2) = (y+5)(y–5)