人大《统计学》第十章_相关与回归

第十章相关与回归第一节直线相关及相关系数的显著性检验一、变量之间的两种关系（一）函数关系它反映着现象之间存在着严格的依存关系。

在这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一变量的确定的值与之对应。

例如：圆面积对于圆半径的依存关系可用一个确定的公式 A = R2反映出来。

函数关系是确定性的关系。

这种变量的表现，都是非随机变量。

（二）相关关系相关关系是对随机变量而言的。

这种关系的主要特征是：某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系，但它们不是确定的和严格依存的。

在这种关系中，对于某项标志的每一个数值，可以有另外标志的若干个数值与之相适应，这延缓数值之间表现出一定的波动性，但又总是围绕着它们的平均值遵循一定的规律而变动。

例如：1．一般地，身高相同者，体重不一定相同；而身高不同者，体重却有可能相同。

对应于同一身高的人们，其体重或大或小，不全相同，而是在所有这些体重的平均值周围波动。

2．速跑（单位：秒）与跳远（单位：米）的关系一例：30 米跑 3. 7 3. 6 3. 5 3. 9 3. 5 3. 6跳远 5. 30 5. 55 5. 65 5. 10 5. 25 5. 50由表中看到，30米跑成绩相同的人，跳远成绩并不相同。

但人们知道，速度与跳远的关系确实是很密切的，可是此时不能用一种确定的数学公式来反映这两个变量间的相互关系。

类似情形在体育中是大量存在的，如速度与撑杆跳高，体重与投掷项目的成绩，等等。

当研究的两个事物或现象之间，既存在着密切的数量关系，又不象函数关系那样，能以一个变量的值精确地求出另一个变量的数值，这类变量之间的关系称为相关关系，简称相关。

函数关系与相关关系在一定条件下可以互相转化。

如：因为误差的存在，函数关系在实际中常以相关关系表现出来。

而当人们对某些事物的规律了解得更深刻、更准确时，相关关系也可以转化为函数关系。

二、相关系数的意义相关系数是表示两个变量之间直线关系的密切程度和相关方向的一种统计指标，用符号r 表示（总体间的相关系数用 表示）。

统计学中的相关系数与回归分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，其中包括相关系数和回归分析这两个重要的概念。

相关系数和回归分析都是用于了解变量之间的关系以及预测未来趋势的工具。

本文将介绍相关系数和回归分析的基本概念、计算方法和应用场景。

一、相关系数相关系数衡量了两个变量之间的相关程度。

它反映了两个变量的线性关系强度和方向。

常见的相关系数有皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）、斯皮尔曼等级相关系数（Spearman's rank correlation coefficient）和切比雪夫距离（Chebyshev distance）等。

皮尔逊相关系数是最常用的相关系数之一。

它通过计算两个变量之间的协方差除以它们各自的标准差的乘积来衡量它们的线性关系。

皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示没有线性关系。

通过计算相关系数，我们可以判断变量之间的关系以及预测一个变量的变化情况受到其他变量的程度。

斯皮尔曼等级相关系数是一种非参数相关系数，它不要求变量服从特定的分布。

它通过将原始数据转化为等级来计算变量之间的关系。

斯皮尔曼等级相关系数的取值范围也在-1到1之间，其含义与皮尔逊相关系数类似。

切比雪夫距离是一种度量两个变量之间差异的方法，它不仅考虑了线性关系，还考虑了其他类型的关系，如非线性关系。

切比雪夫距离通常用于分类问题和模式识别领域。

二、回归分析回归分析是一种用于建立因变量和自变量之间关系的统计方法。

它通过寻找最合适的拟合曲线来描述变量之间的函数关系，并用此拟合曲线来预测未来的结果。

简单线性回归是回归分析的一种基本形式，它适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。

简单线性回归可以用一条直线来描述变量之间的关系，其中直线的斜率表示了自变量对因变量的影响程度。

多元线性回归是回归分析的一种扩展形式。

它适用于多个自变量和一个因变量的情况。

统计学中的相关分析与回归分析统计学中的相关分析与回归分析是两种重要的数据分析方法。

它们帮助研究人员理解和解释变量之间的关系，并预测未来的趋势。

在本文中，我们将深入探讨相关分析和回归分析的定义、应用和原理。

第一部分：相关分析相关分析是用来衡量和评估两个或更多变量之间相互关系的统计方法。

通过相关系数来量化这种关系的强度和方向。

相关系数的取值范围在-1到+1之间，其中-1表示完全负相关，+1表示完全正相关，0表示没有相关性。

相关分析通常用于发现变量之间的线性关系。

例如，研究人员想要了解身高和体重之间的关系。

通过相关分析，他们可以确定是否存在正相关关系，即身高越高，体重越重。

相关分析还可以帮助确定不同变量对某一结果变量的影响程度。

第二部分：回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来预测和解释变量之间关系的方法。

它可以用来预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。

回归分析可分为简单回归和多元回归两种类型。

简单回归分析适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。

例如，研究人员想要预测一个人的体重，他们可以使用身高作为自变量。

通过建立线性回归模型，他们可以得到身高对体重的影响，从而预测一个人的体重。

多元回归分析适用于有多个自变量和一个因变量的情况。

例如，研究人员想要了解影响一个城市房价的因素，他们可以考虑多个自变量，如房屋面积、地理位置、房龄等。

通过建立多元回归模型，他们可以确定每个因素对房价的影响程度，并进行预测。

第三部分：相关分析与回归分析的应用相关分析和回归分析在各个领域都有广泛的应用。

在医学研究中，相关分析可以帮助确定两个疾病之间的关联性，并为疾病的预防和治疗提供依据。

回归分析可以用来预测患者的生存率或疾病的发展趋势。

在经济学中，相关分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP 与通货膨胀率之间的关系。

回归分析可以用来预测经济增长率，并评估政治和经济因素对经济发展的影响。

在市场营销中，相关分析可以帮助企业了解产品销售和广告投放之间的关系，并制定有效的市场推广策略。

统计学的相关与回归分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

相关与回归分析是统计学中常用的两种方法，用于探索和解释变量之间的关系。

本文将介绍相关与回归分析的基本概念、应用和意义。

一、相关分析相关分析用于确定两个或多个变量之间的关联程度。

相关系数是用来衡量变量之间线性相关关系强弱的统计指标。

相关系数的取值范围为-1到+1，其中-1表示完全负相关，+1表示完全正相关，0表示无相关关系。

相关分析的步骤如下：1. 收集数据：收集相关的数据，包括两个或多个变量的观测值。

2. 计算相关系数：使用合适的统计软件计算相关系数，如皮尔逊相关系数（Pearson）或斯皮尔曼等级相关系数（Spearman）。

3. 判断相关性：根据相关系数的取值范围，判断变量之间的关系。

相关系数接近于-1或+1时，表明变量之间线性相关性较强，接近于0时表示无相关性。

4. 解释结果：根据相关分析的结果，解释变量之间关联的程度和方向。

相关分析的应用：- 市场调研：通过相关分析可以了解产品的市场需求和用户行为之间是否存在相关关系，以指导市场决策。

- 医学研究：相关分析可以帮助医学研究人员确定疾病与危险因素之间的相关性，从而提供预防和治疗方案。

二、回归分析回归分析用于描述和预测因变量与自变量之间的关系。

通过回归分析可以建立一个数学模型，根据自变量的取值来预测因变量的值。

回归分析常用的方法包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。

回归分析的步骤如下：1. 收集数据：收集因变量和自变量之间的观测数据。

2. 建立模型：选择适当的回归模型，如线性回归模型、多项式回归模型或逻辑回归模型。

3. 拟合模型：使用统计软件对回归模型进行拟合，得到回归系数和拟合优度指标。

4. 检验模型：通过假设检验和拟合优度指标来评估回归模型的适应程度和预测能力。

5. 解释结果：根据回归系数和显著性水平，解释自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析的应用：- 经济预测：回归分析可以用于预测国民经济指标、股票价格和消费行为等。

统 计 学 — 相关与回归统计 第十章 相关与回归统计第一节、 相关统计一、相关关系的概念：相关关系是指变量之间存在的不确定的数量依存关系。

变量之间存在的数量依存关系有函数关系和相关关系两类。

1、函数关系是变量之间存在的确定性的数量依存关系。

例如：圆的面积 2r S ∏=，圆的面积和圆的半径是一一对应的。

2、相关关系是指变量之间存在的不确定的数量依存关系。

例如：农作物的亩产量和施肥量的关系，在一定条件下，施肥量越多，亩产量越高；但相同的施肥量未必有相同的亩产量。

相关关系的特点在于：一个变量的取值与另一个变量有关系，但不是有这个变量唯一确定的。

二、相关关系分类。

1、按相关关系的方向分，可分为正相关和负相关。

正相关是指变量之间的变化方向相同（产量和总成本之间的关系）；负相关是指变量之间的变化方向相反（产量和单位成本之间的关系）。

2、按相关关系的形式分，可分为线性相关（直线相关）和非线性相关（曲线相关）。

3、按自变量的多少分，可分为单相关（一个自变量）和复相关（多个自变量）。

三、确定变量之间是否存在相关关系的方法有：1、定性判断，是指利用概念、知识、经验判断变量之间是否存在相关关系。

2、相关图（散点图），是指将自变量和因变量的关系在坐标图上用点的形式描述出来的方法。

3、相关表，是指将自变量和因变量的数据在统计表中排列，以表现变量之间相关关系的方法。

四、相关系数，是用于度量变量之间线性相关关系的紧密程度的指标。

相关系数的计算公式：()()()()2222∑∑∑∑∑∑∑-⨯--=y yn x x n yx xy n r相关系数的取值含义： 1、相关系数的取值范围在：11≤≤-r2、相关系数的绝对值范围在：10≤≤r3、相关系数的取值范围在01≤≤-r 表明X 和Y 之间是负相关关系；当r =－1 表明X 和Y 之间是完全负相关。

4、相关系数的取值范围在10≤≤r 表明X 和Y 之间是正相关关系；当r =1 表明X 和Y 之间是完全正相关。