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CH4,控制系统的分析方法
早期的控制系统分析过程复杂而耗时,如想得到一个系统 的冲激响应曲线,首先需要编写一个求解微分方程的子程 序,然后将已经获得的系统模型输入计算机,通过计算机 的运算获得冲激响应的响应数据,然后再编写一个绘图程 序,将数据绘制成可供工程分析的响应曲线. MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出现, 给控制系统分析带来了福音. 控制系统的分析包括系统的稳定性分析,时域分析,频域 分析及根轨迹分析.
三,时域分析应用实例
例 exp4_7.m 某 2 输入 2 输出系统如下所示:
0 0 x1 4 x1 2.5 1.22 x 1.22 2 0 0 0 x2 2 = + x3 1 1.14 3.2 2.56 x3 2 x4 0 0 2.56 0 x4 0
1,对数频率特性图(波特图) exp4_10.m exp4_10_.m
对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图.横坐标为 频率w,采用对数分度,单位为弧度/秒;纵坐标均匀分度,分别为幅值 函数20lgA(w),以dB表示;相角,以度表示. MATLAB提供了函数bode()来绘制系统的波特图,其用法如下: bode(a,b,c,d):自动绘制出系统的一组Bode图,它们是针对连续状态 空间系统[a,b,c,d]的每个输入的Bode图.其中频率范围由函数自动选取, 而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点. bode(a,b,c,d,iu):可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图. bode(num,den):可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的 波特图. bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w):可利用指定的角频率矢量绘制 出系统的波特图. 当带输出变量[mag,pha,w]或[mag,pha]引用函数时,可得到系统波特 图相应的幅值mag,相角pha及角频率点w矢量或只是返回幅值与相角. 相角以度为单位,幅值可转换为分贝单位:magdb=20×log10(mag)
1 例exp4_1.m 2 x= 已知某系统的模型如右所示: 4 7 y = [ 2
2 1 0 6 3 0 x + u 7 8 5 0 2 1 6 1 5 6 1]x + 7u
2 1
要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统. 例exp4_2.m 系统模型如下所示,判断系统的稳定性,以及系统 是否为最小相位系统.
求其阶跃响应曲线.
2
仿真时间t的选择: 对于典型二阶系统根据其响应时间的估算公式
ts =
3~ 4 ξwn 可以确定.
对于高阶系统往往其响应时间很难估计,一般采用试探的方法,把t选 大一些,看看响应曲线的结果,最后再确定其合适的仿真时间. 一般来说,先不指定仿真时间,由MATLAB自己确定,然后根据结果, 最后确定合适的仿真时间. 在指定仿真时间时,步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度,一般 不易取太大. 例exp4_6_.m
第一节 控制系统的稳定性分析
一,系统稳定及最小相位系统判据
对于连续时间系统,如果闭环极点全部在S平面左半 平面,则系统是稳定的. 对于离散时间系统,如果系统全部极点都位于Z平面 的单位圆内,则系统是稳定的. 若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面;或 若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内, 则系统是最小相位系统.
3s 3 + 16s 2 + 41s + 28 G( s) = 6 s + 14 s 5 + 110s 4 + 528s 3 + 1494 s 2 + 2117 s + 112
ii=find(条件式) 用来求取满足条件的向量的下标向量,以列向量表示. 例如
exp4_1.m中的条件式为real(p>0),其含义就是找出极点 向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标,并将结果返回到ii 向量中去.这样如果找到了实部大于0的极点,则会将该极点的 序号返回到ii下.如果最终的结果里ii的元素个数大于0,则认为 找到了不稳定极点,因而给出系统不稳定的提示,若产生的ii向 量的元素个数为0,则认为没有找到不稳定的极点,因而得出系 统稳定的结论.
20 例 exp4_4.m 已知系统的开环传递函数为:Go (s) = 4 s + 8s3 + 36s2 + 40s
求系统在单位负反馈下的脉冲激励响应曲线. 例exp4_5.m 已知某典型二阶系统的传递函数为:
wn G(s) = 2 ,ξ = 0.6, wn = 5 ,求系统的阶跃响应曲线. 2 s + 2ξwn s + wn 10s + 25 例 exp4_6.m 已知某闭环系统的传递函数为:G(s) = 0.16s3 + 1.96s2 + 10s + 25
第三节 控制系统的频域分析
一,频域分析的一般方法
频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应,从频率响应中可以得出 带宽,增益,转折频率,闭环稳定性等系统特征. 频率特性是指系统在正弦信号作用下,稳态输出与输入之比对频率的关 系特性.频率特性函数与传递函数有直接的关系,记为: X ( jw ) G ( jw ) = o = A ( w ) e j ( w ) X i ( jw ) X (w) 其中 A ( w ) = o 为幅频特性 ( w ) = o ( w ) i ( w )为相频特性 X i (w) 频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种典型方法.采用这种方法 可直观地表达出系统的频率特性,分析方法比较简单,物理概念比较明确, 对于诸如防止结构谐振,抑制噪声,改善系统稳定性和暂态性能等问题,都 可以从系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途经.通常将频率特 性用曲线的形式进行表示,包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称 幅相曲线,MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数. 求取系统对数频率特性图(波特图):bode() 求取系统奈奎斯特图(幅相曲线图或极坐标图):nyquist()
二,系统稳定及最小相位系统的判别方法
1,间接判别(工程方法) 劳斯判据:劳斯表中第一列各值严格为正,则系统稳定, 如果劳斯表第一列中出现小于零的数值,系统不稳定. 胡尔维茨判据:当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔 维茨矩阵为正定矩阵时,系统稳定. 2,直接判别 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数,因此 可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否 为最小相位系统进行判断.
20 例 exp4_3.m 已知系统的开环传递函数为:Go (s) = 4 s + 8s3 + 36s2 + 40s
求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线.
2,impulse()函数的用法
求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致.
y=impulse(num,den,t);[y,x,t]=impulse(num,den);[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t) impulse(num,den);impulse(num,den,t) impulse(A,B,C,D,iu);impulse(A,B,C,D,iu,t)
1,step()函数的用法
exp4_3_.m y=step(num,den,t):其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和 分母多项式系数,t为选定的仿真时间向量,一般可以由t=0:在仿真时刻各个输出所组成的矩阵.
[y,x,t]=step(num,den):此时时间向量t由系统模型的特性自动生成, 状 态变量x返回为空矩阵. [y,x,t]=step(A,B,C,D,iu):其中A,B,C,D为系统的状态空间描述矩阵,iu 用来指明输入变量的序号.x为系统返回的状态轨迹. 如果对具体的响应值不感兴趣,而只想绘制系统的阶跃响应曲线,可 调用以下的格式: step(num,den);step(num,den,t);step(A,B,C,D,iu,t);step(A,B,C,D,iu); 线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取,其调用格式为: dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)
ξπ 1ξ 2
由典型二阶系统特征参数计算公式 σ = e
× 100 , t p = π ( wn 1 ξ 2 ) 得:
ξ = ln
100
σ
/[π + (ln
2
100
σ
) ] , wn = π
1 2 2
(t p 1 ξ 2 )
例 exp4_9.m 根据输入的典型二阶系统参数阻尼比 alph 及自然振荡频率 wn,求取系统的单 位阶跃响应参数:超调量 pos(100%) ;峰值时间 tp;上升时间 tr;调节时间 ts2( ± 2% )
例 exp4_8.m 某系统框图如下所示,求 d 和 e 的值,使系统的阶跃响应满足: (1)超调量不 大于 40%, (2)峰值时间为 0.8 秒. R(s) + _ 1+es
由图可得闭环传递函数为: Gc ( s ) =
d s(s + 1)
C(s)
d ,其为典型二阶系统. 2 s + ( d e + 1) s + d
1 0 u1 0 u2 0
x1 y1 0 1 0 3 x2 0 2 u1 y = 0 0 0 1 x + 2 0 u ,求系统的单位阶跃响应和冲激响应. 3 2 2 x4
MATLAB的step()和impulse()函数本身可以处理多输入多输出 的情况,因此编写MATLAB程序并不因为系统输入输出的增 加而变得复杂.
二,常用时域分析函数
时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为,系统 特征如:上升时间,调节时间,超调量和稳态误差都能从时间响应上 反映出来.MATLAB除了提供前面介绍的对系统阶跃响应,冲激响应 等进行仿真的函数外,还提供了大量对控制系统进行时域分析的函数, 如: covar:连续系统对白噪声的方差响应 initial:连续系统的零输入响应 lsim:连续系统对任意输入的响应 对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以,如dstep, dimpulse等. 它们的调用格式与step,impulse类似,可以通过help命令来察看自学.
