旋转的基本性质_平面图形的旋转

九年级数学旋转知识点总结数学中的旋转，是指图形在平面内绕某一点或者某一直线旋转成相似的图形。

在九年级的数学学习中，旋转是一个重要的知识点，它有着广泛的应用。

下面是对九年级数学旋转知识点的总结。

一、旋转的基本概念在数学中，旋转就是将一个点或一个图形绕某一点或某一直线旋转一定角度，得到与原图形形状相似的新图形。

旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

二、旋转的基本性质1. 旋转不改变图形的大小和形状。

2. 旋转保持图形的对称性。

3. 旋转可以使得图形在平面上任意位置进行变换。

三、旋转的表示方法1. 点的旋转：对于给定一个点P(x,y)，绕原点旋转θ度，旋转后的点为P'(x', y')。

根据旋转的性质，我们可以得到点的旋转公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ2. 图形的旋转：对于给定一个图形，绕某一点O旋转θ度，旋转后的图形与原图形相似。

在平面直角坐标系中，可以通过点的旋转来实现对图形的旋转。

四、旋转的应用场景1. 图形的变换：通过旋转，可以实现图形的转动，可以用于制作动画、机械运动等领域。

例如，风电机组的叶片通过旋转来转动风车。

2. 几何问题的解决：旋转在解决几何问题时可以起到关键作用。

例如，在解决平行四边形相关问题时，可以通过旋转把问题转化成熟悉的几何形状进行求解。

3. 数学建模：旋转可以应用于数学建模中，来解决与旋转相关的实际问题。

例如，在建筑设计中，通过数学方法模拟旋转来计算建筑物的结构和力学性能。

五、旋转相关定理1. 旋转定理：旋转不改变图形的面积和周长。

2. 旋转对称性：旋转图形保持图形对称特点不变。

3. 点的旋转定理：若直角坐标系中有点P(x,y)绕原点顺时针旋转θ度得到点Q(x',y')，则有：x' = x*cosθ + y*sinθy' = -x*sinθ + y*cosθ六、旋转的练习题请你计算以下图形绕指定点或直线旋转后的新图形坐标：1. 将点A(3,4)绕原点逆时针旋转90度。

《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何变换概念。

它不仅在数学知识体系中占据着关键地位，也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。

一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

例如，时钟的指针围绕时钟的中心旋转，风车的叶片绕着中心轴旋转等，都是生活中常见的旋转现象。

二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。

即旋转前后，图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。

例如，在一个正三角形绕其中心旋转的过程中，三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。

2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

旋转过程中，对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。

比如，一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度，任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。

3. 旋转前后的图形全等。

经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变。

无论旋转角度是多少，旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。

例如，一个圆绕其圆心旋转任意角度，得到的图形仍然是与原来一样的圆。

三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。

它决定了图形旋转的位置。

不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。

2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。

明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。

3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。

旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。

四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时，常常可以通过旋转图形，使分散的条件集中起来，从而找到解题的思路。

例如，对于两个有公共顶点的等腰三角形，可以通过旋转其中一个三角形，使它们的对应边重合，进而证明全等。

2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。

数学旋转的知识点数学中的旋转是一种基本的几何变换，它可以使我们更好地理解和解决各种问题。

在这篇文章中，我将为您介绍数学旋转的几个重要知识点，帮助您更好地理解和应用它们。

一、旋转的基本概念在数学中，旋转是指围绕一个中心点按照一定的角度将物体或坐标系转动。

旋转可以是顺时针或逆时针方向，角度可以是正数或负数。

二、旋转矩阵旋转可以用一个矩阵来表示，这个矩阵被称为旋转矩阵。

一个二维平面上的旋转矩阵可以写成如下形式：cosθ -sinθsinθ cosθ其中，θ表示旋转的角度。

对于三维空间中的旋转，旋转矩阵会稍有不同。

三、旋转的性质旋转具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和应用旋转。

1.旋转是保角的：旋转不改变物体之间的角度关系，两个物体的夹角在旋转前后保持不变。

2.旋转是保距的：旋转不改变物体上两点之间的距离，两点间的距离在旋转前后保持不变。

3.旋转是可逆的：旋转可以通过逆向旋转来恢复到原来的状态。

四、旋转的应用旋转在数学和其他科学领域有着广泛的应用。

1.几何学：旋转可以用来解决各种几何问题，如求解物体的位置和姿态，计算点、直线和曲线的旋转等。

2.物理学：旋转在物理学中也有着重要的应用，如刚体转动、天体运动等。

3.计算机图形学：旋转是计算机图形学中的基本操作之一，用于实现物体的旋转、变形和动画效果。

4.人工智能：旋转在人工智能领域也有着广泛的应用，如图像处理、模式识别和机器人导航等。

五、旋转的实例下面给出一个简单的旋转实例，以帮助读者更好地理解旋转的应用。

假设有一个平面上的点A(2, 3)，我们要将这个点绕原点逆时针旋转60度。

根据旋转矩阵的公式，我们可以得到旋转后的坐标B(x, y)，计算过程如下：x = 2 * cos60° - 3 * sin60° = 1y = 2 * sin60° + 3 * cos60° = 4.196所以，点A(2, 3)绕原点逆时针旋转60度后的坐标为B(1, 4.196)。

旋转的性质有哪些
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。

本文整理了旋转相关性质，欢迎阅读。

旋转性质
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，
①对应点到旋转中心的距离相等。

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

③旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变。

④旋转中心是唯一不动的点。

⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度。

旋转三要素
①定点—旋转中心；
②旋转方向；
③旋转角。

注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样。

旋转角定义
旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角。

旋转角性质
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

DB 旋转的三要素山东 老杨出品1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内 某一点O 转动 一个角度 就叫做图形的旋转. 旋转的三要素：旋转 中心 ；旋转 方向 ；旋转 角旋转的基本性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等.（2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于 旋转角（3）旋转前后的两个图形是全等的2、 旋转作图基本步骤：○1明确旋转三要素：_旋转中心_、__旋转方向__、___旋转角___ ○2找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置. ○3按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形. 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，如果它能够与 另一个图形 重合，那么就说这两个图形 关于这个点对称或中心对称.这个点叫做对称中心.性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 .（2）中心对称的两个图形是 图形.4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，如果旋转后的图形能够与 完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形.中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系.区别：中心对称是针对两个图形而言的，而中心对称图形指是一个图形.联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为中心对称图形.把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们中心对称.5、 利用尺规作关于中心对称的图形：○1明确对称中心的位置 ○2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点 ○3按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来6、点（x，y）关于x轴对称后是（ x ,-y ）点（ x , y ）关于y轴对称后是（-x，y）点（x，y）关于原点对称后是（ -x ，-y ）第二部分：例题剖析例题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180 ，画出旋转后对应的△A1B1C；（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2；（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．【详解】（1）△A1B1C如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．．评析：本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换．例题2、如图，在ΔABC 中，ACB 90∠=，点P 为ΔABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，求PA+PB+PC 的最小值，小华的解题思路，以点A 为旋转中心，将ΔAPB 顺时针旋转60得到ΔAMN ，那么就将求PA+PB+PC 的值转化为求PM+MN+PC 的值，连接CN ，当点P ，M 落在CN 上时，此题可解．（1）请判断ΔAPM 的形状，并说明理由；（2）请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC ；（3）当2AC BC ==，求PA+PB+PC 的最小值．【详解】（1）等边三角形；PA 绕A 点顺时针旋转60得到MA ，PAM 60PA MA ∠∴==，，ΔAPM ∴是等边三角形.（2）ΔABP 绕点A 顺时针旋转60得到ΔANM ，PB MN ∴=，由（1）可知PA PM =，PA PB PC PM MN PC ∴++=++.（3）由（2）知PA PB PC PM MN PC ++=++，当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA+PB+PC 取到最小．连接BN ，由旋转的性质可得：AB=AN ，∠BAM=60°∴ΔABN 是等边三角形；NB NA ∴=，AC BC 2==，NC ∴是AB 的垂直平分线，垂足为点Q ，ACB 90∠=，AB 22∴=，CN CQ NQ 2sin45sin602226∴=+=⨯+⨯=+， 即PA PB PC ++的最小值为26+.点评：本题为旋转综合题，掌握旋转的性质、等边三角形的判定及性质及理解小华的思路是关键． 第三部分：变式训练1．平面内两个正六边形有一边AB 重合在一起，将左侧的正六边形绕平面内的某一点，旋转一定的角度后能与右侧的正六边形完全重合，平面内这样的旋转中心有（ ）个．A ．1B ．3C ．5D ．无数2．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°．在同一平面内，将△ABC 绕点C 旋转到△A′B′C 的位置，设旋转角为（0°<<180°）.若△A′B′C 中恰有一条边与△ABC 中的一条边平行，则旋转角的可能的度数为 ．3．如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF．（1）试探索BE和CF的数量关系？并说明理由；（2）找出图中可以通过旋转而相互得到两个图形，并说出旋转过程．变式训练解析、、、、五个旋转中心.故选C.1．C【详解】由图可知：共有A B O M N2．20°；70°；110°；160°【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，∴∠A=70°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵△A′B′C是由△ABC绕点C旋转α得到的，∴∠A′=∠A=70°，∠B′=∠B=20°；①如①所示，当AB∥A′C时，∠A=∠ACA′=α=20°；②如②所示，当BC∥A′B′时，∠B=∠B′CB=α=70°；③如③所示，当AB∥B′C时，∠A=∠ACA′=20°，则α=∠ACB+∠ACA′=90°+20°=110°，即α=110°；④如④所示，当AC∥A′B′时，∠B′=∠ACA′=70°，则α=∠ACB+∠ACA′=90°+70°=160°，即α=160°；综上所述，旋转角α的可能的度数为20°，70°，110°或160°；故答案是：20°，70°，110°或160°．3．（1）BE=CF ，见解析；（2）△FAC 和△BAE 可以通过旋转而相互得到，△FAC 以点A 为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BAE【详解】（1）BE=CF ，理由如下：∵四边形ABGF 和四边形ACDE 是正方形，∴AF=AB ，AC=AE ，∵∠BAF=∠CAE=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC即∠FAC=∠BAE ，∵在△FAC 和△BAE 中，AF AB FAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAC ≌△BAE （SAS ），∴BE=CF ；（2）△FAC 和△BAE 可以通过旋转而相互得到，△FAC 以点A 为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BAE ．。

旋转知识点总结旋转知识点归纳知识点1：旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

如果图形上的点P经过旋转到点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

如图1，线段AB绕点O顺时针转动90度得到AB'，这就是旋转，点O就是旋转中心，∠BOB'和∠AOA'都是旋转角。

说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。

决定旋转的因素有三个：一是旋转中心；二是旋转角；三是旋转方向。

知识点2：旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的。

由此得到如下性质：⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同。

⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。

⑶对应点到旋转中心的距离相等。

⑷对应线段相等，对应角相等。

例1：如图2，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ADB绕点A逆时针方向旋转到△ADC的位置，则∠ADD'的度数是（）。

分析：抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决。

由△ADC是由△ADB旋转所得，可知△ADB≌△ADC，∴AD=AD'，∠DAB=∠D'AC，∵∠DAB+∠___，∴∠D'AC+∠___，∴∠ADD'=45，故选D。

评注：旋转不改变图形的大小与形状，旋转前后的两个图形是全等的，紧紧抓住旋转前后图形之间的全等关系，是解决与旋转有关问题的关键。

知识点3：旋转作图1.明确作图的条件：（1）已知旋转中心；（2）已知旋转方向与旋转角。

2.理解作图的依据：（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转；（2）旋转的性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

第二十三章旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．。