《高数导数与微分》PPT课件

x
x
x
当 x 0时 ,y在 1和 1之间振荡而 . 极限 x
f(x)在 x0处不 . 可导
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2 . f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5、 曲 线 yex在 点 (0,1) 处 的 切 线 方 程 为
__________________.
二、在下列各题中均假定f (x0 ) 存在，按照导数的定 义观察下列极限，分析并指出A 表示什么？
1、lim f (x) f (x0 ) A；
xx0
x x0
2、lim f (h) A，其中f (0) 0且f (0)存在； h0 h
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0 )和 右 导 数 f (x 0 )都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
★
设函 f(x 数 ) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x 0 x )f(x 0)
x 0
x
lx i 0m (x 0 x x )(x 0)f (x0)存,在
若 lim f(x 0 x )f(x 0)
x 0
x
lx i 0m (x 0 x x )(x 0)f (x0)存,在
解 ylilm oa(x gh )loax g
h 0

求 f 0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0

即 c' 0
例8 幂函数的导数。设 y xn（ n 为正整数），求 y' 。
解： 记 f (x) xn ，
y (x x)n xn xn nxn1x n(n 1) xn2 (x)2
2
nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 (x)n
2
y nxn1 n(n 1) xn2x (x)n1
f
'(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
例1 求函数 y x2 5x 在 x 1处的导数。
解：当 x 1时，y 4。当x 1 x 时，y (1 x)2 5 (1 x) ， 故
y (1 x)2 5 (1 x) (1 5) 2x (x)2 5x (x)2 3x
三、导数的几何意义
函数 f (x)在 x0 处的导数 f '(x0 )，其几何意义就是函数 y f (x)在点M (x0, y0 )处的切线的斜率
f
'( x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
tan
tan
( )
2
如果 f '(x0 ) 0，则函数曲线在相应点 M 处的切线倾角 是锐角，且在点 M 附近曲线是上升的。
（2）
如果极限
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ) 存在，则称此
极限值为 f (x)在点 x0 处的右导数，记作 f '(x0 ) 。
显然，当且仅当 f (x)在点 x0 处的左、右导数都存在 且相等时，函数在该点才是可导的。左右导数常常 用于讨论分段函数在分段点处的可导性。
另外，如果 f (x) 在开区间 (a,b) 内处处可导，且 f '(a) 及 f'(b) 均存在，则称 f (x)在闭区间 [a,b] 上可导。

h 则 tanα = 500
h
dα = 1 ⋅ 1 ⋅140 故sec α = 2 , ∴ d t 2 500
2
两边对 t 求导 500 1 dh dα 2 = 2 2 sec α ⋅ sec α = 1+ tan α 500 dt dt dh 已知 = 140 , 且h = 500 时, tanα = 1 , dt h=500 ( rad/ m ) in
若上述参数方程中 则由它确定的函数 利用新的参数方程
二阶可导, 二阶可导 且 可求二阶导数 . , 可得 dy ψ′(t ) : = G(t) = dx ϕ′(t )
x = ϕ(t )
d2 y d d = (G(t )) = (G(t )) dx 2 d x dx dt dt ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) = ϕ′(t ) ′2 (t ) ϕ
( x −1)( x − 2) 例6. 求 y = 的导数. 的导数 ( x − 3)( x − 4)
可以验证
′ u′( x) (ln | u( x) |) = u( x)
先两边取对数
1 ln y = [ ln(x −1) + ln(x − 2)− ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2
由直线的点斜式公式， 由直线的点斜式公式， 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
×
t f ′′(t )
x = f ′(t ) d2 y 例如， 例如 y = t f ′(t ) − f (t ) , 且 f ′′(t ) ≠ 0, 求 2 . dx
dy dy / dt = 解: = dx dx / dt
r
πR (h− x)

x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
前页 后页 结束
例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
前页 后页 结束
例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
前页 后页 结束
三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x

1
拐点
2
拐点是函数曲线由一侧凹转为凸或由一
侧凸转为凹的点，可以通过二阶导数的
符号变化来判定。
3
局部极值
函数的局部极值是指在某一区间内的最 大值或最小值，可以通过导数的符号变 化来判定。
最值
函数的最值是指在整个定义域内的最大 值或最小值，可以通过导数和二阶导数 的性质来判定。

最优化问题
1 概念
2 应用
应用
控制系统
微分方程描述了包含导数的方程， 它在自然科学和工程领域中有着 广泛的应用，用于解决实际问题。
各种函数所对应的微分方程可以 用于建立数学模型，从而分析和 预测实际现象，并优化解决方案。
微分方程在控制系统中起着重要 作用，用于描述动态系统的行为， 进行稳定性分析和控制器设计。
函数的极值和拐点
高阶导数
概念
高阶导数描述了函数变化率 的变化率，它们提供了函数 更为详细的局部信息。
计算方法
高阶导数的计算方法是通过 重复对函数进行求导得到的， 每次求导都可以得到一个新 的导函数。
物理解释
高阶导数在物理学中常用于 描述速度、加速度等导数的 变化率的变化率，给出了更 为精确的运动规律。
微分方程
概念
麦克劳林级数是一种通过多 项式逼近函数的方法，可以 将复杂的函数近似为简单的 多项式函数。
泰勒级数
泰勒级数是麦克劳林级数的 推广，可以将函数近似为无 穷多项式的级数形式，更加 灵活和精确。
应用
麦克劳林级数和泰勒级数在 数理科学中有广泛的应用， 例如物理学中对复杂物理现 象的近似计算。
导数的性质和微分运算
最优化问题是指在一定约 束条件下，寻找使目标函 数取得最优值的变量取值。

它是在x处，y随x变化的变化率。
第四章
导数与微分
§ 4. 2
4.2 导数的基本公式与求导法则 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。 然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。
4.2.1 基本初等函数的导数 例4.2.1．f (x) = c，即常值函数，求f ’(x)
解：由定义
f ( x △x) f ( x) cc c' lim lim 0 x 0 x 0 △x x
所以，常数的导数为0，即 c’ = 0
第四章
导数与微分
§ 4. 2
例4.2.2．f (x) = sinx，求f ’(x) 解：由定义
x x 2 cos x sin sin(x x) sin x 2 2 (sin x)' lim lim x 0 x 0 x x x sin x 2 cos x lim cos x lim x 0 x 2 x 0 2 (sinx)’ = cosx 所以，
(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)
g ( x x) g ( x) f ( x x) f ( x) lim g ( x x) f ( x) x 0 x x
f ' ( x ) g ( x ) f ( x) g ' ( x )
②．再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义，
v lim v lim
t 0 t 0
O
t0
图4.1-3
t
S (t0 t ) S (t0 ) t
第四章

例1、设 y 2x5 sin x, 求 y和 y(0).
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
第15页/共36页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
第7页/共36页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
第16页/共36页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
第23页/共36页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4、设
y
f
(
x
)

x0
x
lim C C 0 x0 x
即(C)' 0,通常说成 : 常数的导数等于零.
返回 上页 下页
例2 求y x的导数.并求y |x1 .
解 因为 lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
x x x
lim
y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即
f(x0) =tan ( /2)， 其中是切线的倾角． 于是有
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
y-f(x0)=
1 f ( x0 )
别 为 dy1 =______2_x__13__________
，
dx
3
dy2 dx
=____x_23________
.
返回 上页 下页
4、 设 f ( x) x 2,则 f f ( x) _____4__x_2________；
5、 曲 线 y e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 _____x___y___1___0____.
x0
x
lim
1
1.
x0 x x x 2 x
y |x1
1 2x
|x1
1. 2
一般地，对于幂函数 y= x 有公式
返回 上页 下页
( x )′ = x 1
对于基本初等函数中的y ax , y loga x, y sin x, y cosx都可以仿例1，例2的方法求得导数如下：

f

k dy 1 3t 2 dx t1 2t
t 1
2 1 2
于是所求旳切线方程为 y =－x
例题：设
x ln(1 t 2 ) ，求 d 2 y
y t arctan t
dx2
(6) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数旳求导措施 求出导数.
合用范围:
函数相乘和幂指函数 u(x)v(x)的情形.
两边对x求导数，得
1 y
y
1 2
1 x 1
1 x2
x
1 3
x
1
4
,
y
1 2
y
1 x 1
x
1
2
x
1 3
x
1
4
1 2
(x 1)(x (x 3)(x
2) 4)
1 x 1
x
1
2
x
1 3
x
1
4
.
首页 上页 下页
（7）抽象函数旳求导法则
1.y f (x2 ),求y
2.y f (x2 ),求y
1.已知f (x) xex ,求f (1)
2.已知y ln(1 x),求y
3.已知y xex ,求y(0)
练习：P51 2(1) (4) (5)
上页 下页
8、微分
（1）微分旳定义
设函数y f ( x)在某区间内有定义 , x0及x0 x 在这区间内, 如果
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数),则称函数y f ( x)
一般地，可得 y( n ) e x .
n 例 求 y sin x 旳
阶导数.
解