中考数学 专题21 几何三大变换问题之平移问题(含解析)

2021中考数学专题训练：平移与旋转一、选择题1. 观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个2. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB 和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则()A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶44. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是()A.(-1，2)B.(1，4)C.(3，2)D.(-1，0)5. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是()A．(3，－1) B．(1，－3)C．(2，0) D．(3，0)6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)7. 如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域．要使整个艺术走廊都能被监控到，还需再安装一个监控探头，则安装的位置是()A. E处B. F处C. G处D. H处8. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α二、填空题9. 在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是.10. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB 与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm.11. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为.12. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.13. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.14. 问题背景:如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论:P A+PC=PE.问题解决:如图②，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4.点O是△MNG 内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是.三、解答题15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2：(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.16. 如图，P为正方形ABCD内一点，若PA＝a，PB＝2a，PC＝3a(a＞0)．(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积．17. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，①求证：△BPE∽△CEQ；②当BP＝2，CQ＝918. 将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3.(1)求GC的长；(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N.通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．2021中考数学专题训练：平移与旋转-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.3. 【答案】A【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴勾股定理得，AC＝ 5.①当△ABC绕AB旋转时，则底面周长l1＝2π×BC＝2π，侧面积为S1＝π×BC×AC ＝5π；②当△ABC绕BC旋转时，则底面周长l2＝2π×AB＝4π，侧面积为S2＝π×AB×AC＝25π，∴l1∶l2＝2π∶4π＝1∶2，S1∶S2＝5π∶25π＝1∶2.4. 【答案】C[解析]如图，由旋转得:CB'=CB=2，∠BCB'=90°，D，C，B'三点共线.∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，∴OB=1，∴B'(2+1，2)，即B'(3，2)，故选C.5. 【答案】A6. 【答案】A[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.∵点A的坐标为(1，3)，∴AE＝1，OE＝3，∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝12OA′＝1，OF＝3，∴A′(3，1)．故选A.7. 【答案】D【解析】根据题意可知，在A，B处安装监控探头后，E，F，G 处均有探查不到的区域，而探头放在E，F处时同样存在这样的问题，放在H处恰好不存在．8. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.∵∠EDB＋∠ADB＝180°，∴∠C＋∠ADB＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.二、填空题9. 【答案】90°【解析】找到一组对应点A，A'，分别与旋转中心连接起来，则∠AOA'为旋转角，为90°.10. 【答案】(10-2)[解析]∵∠BAC=90°，∠BAD=15°，∴∠DAF=75°.由旋转可知，△ADE为等腰直角三角形，∠ADF=45°，过点A作AM⊥DF于点M，∠F AM=∠DAF-∠DAM=75°-45°=30°，∴AM=AD=3，∴AF=AM=2.∵AC=AB=10，∴FC=AC-AF=10-2.11. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2=18，∴AB=AE==3.12. 【答案】90[解析] 连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.13. 【答案】20[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.14. 【答案】2[解析]由题意构造等边三角形MFN，等边三角形MHO，则△MFH≌△MNO，∴OM+ON+OG=HO+HF+OG，∴距离和最小值为FG=2.三、解答题15. 【答案】解：(1)正确图形如解图．(2)正确图形如解图．解图16. 【答案】解：(1)将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，连接PQ，如图，则∠APB＝∠BQC，PB⊥QB，PB＝QB＝2a，AP＝QC＝a，∴PQ＝2 2a.在△PQC中，∵PC2＝9a2，PQ2＋QC2＝9a2，∴PC2＝PQ2＋QC2，∴△PQC 为直角三角形且∠PQC ＝90°. ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝∠BQP ＝45°，故∠APB ＝∠CQB ＝90°＋45°＝135°. (2)连接AC.∵∠APQ ＝∠APB ＋∠BPQ ＝135°＋45°＝180°， ∴A ，P ，Q 三点在同一条直线上．在Rt △AQC 中，AC 2＝AQ 2＋QC 2＝(a ＋2 2a)2＋a 2＝(10＋4 2)a 2，∴正方形ABCD 的面积S ＝AB 2＝AC22＝(5＋2 2)a 2.17. 【答案】(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠C ＝45°， 又∵AP ＝AQ ， ∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC .与△CQE 中，CQE (SAS)；(2)①证明：∵∠BEF ＝∠C ＋∠CQE ，∠BEF ＝∠BEP ＋∠DEF ， ∠C ＝∠DEF ＝45°， ∴∠CQE ＝∠BEP ， ∵∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CEQ ；BPE ∽△CEQ ， BP ·CQ ， 又∵BE ＝EC ， ∴BE 2＝BP ·CQ ， ∵BP ＝2，CQ ＝9， ∴BE 2＝2×9＝18， ∴BE ＝32，∴BC ＝2BE ＝6 2.18. 【答案】13解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，BC＝2 3，∴AB＝43，AC＝6.∵DF垂直平分AB，∴AD＝2 3.又∵∠DAG＝30°，∴DG＝2，AG＝4，∴GC＝AC－AG＝6－4＝2.(2)MD＝ND.证明：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝DB＝AD.又∵∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB＝60°.∵CN⊥DB，∴ND＝12DB.∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°. 又∵∠A＝30°，∴∠A＝∠EDA，∴HA＝HD.∵HM⊥AD，∴MD＝12AD.又∵AD＝DB，∴MD＝ND.(3)连接DG，则DG⊥AD′.由(2)知∠A＝∠EDA，由平移知∠E′D′A＝∠EDA，∴∠A＝∠E′D′A.∵D′E′恰好经过(1)中的点G(此时点D′与点B重合)，∴D′G＝AG，∴DD′＝AD＝2 3.。

E FP CBA平移和几何最值问题题型一：平移解题思路：主要是使相等或有特殊关系的线段通过平移构造到同一三角形或四边形中①若AB CD =，并相交，平移CD 与AB 共顶点，会出现平行四边形''CDD C 和等腰AD B '△；平移CDDCBAD 'A (C' )DCB②若AB CD =，无交点，平移CD 与AB 共顶点，同样会产生平行四边形''CDD C 和等腰ABD '△．CDAB平移CD A (C' )CBDD '典例1：如图所示，ABC △为等边三角形，P 是ABC △内任一点，PD AB ∥，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC △的周长为12，则PD PE PF ++等于多少？解析：过F 作FN PE ∥，过D 作DM PF ∥∵PD AB ∥，PE BC ∥，PF AC ∥∴四边形FPEN 和四边形MDPF 是平行四边形∵△ABC 是等边三角形∴60∠=∠=∠=∠=︒A B AFN MDB ∴△AFN 和△MBD 是等边三角形∴PF =MD =MB ,PE =FN =AF ,PD =FM ∵等边ABC △周长为12 ∴PF +PD +PE =BM +MF +AF =AB =4PM N FEC A典例2：如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF ∥AB ，线段CF 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为( )ABCD.NMH G FEDCBA.P ONMH G FEDCBAPNMH G FEDCBA解析：如图，B【题型延伸】平移的辅助线构造方法 【延伸1】平移共端点 1. 两线段相交有交点ADBC平移CD 至A 点D 'D CBA变式1：如图，5==CD AB ，︒=∠15A ，︒=∠15C ，︒=∠105D ，则线段AD 的长为 ．O DCBAEO DCBA解析：如图，3．2. 两线段相交无交点ABCDD '平移CD 至A 点DC BA变式2：如图，3==CD AB ，︒=∠75A ，︒=∠45B ，︒=∠15D ，则线段AD 的长为 ．D CBAEDCBA解析：如图，62．3. 过中点平移点平移AB 、CDABCDEFGDCBA过对角线BC 中【延伸2】平移使重合 1. 平行变式3：已知平行四边形ABCD 对角线上有点E ，连接AE 、CE ，且CE AE ，求证：平行四边形ABCD 是菱形．E DCBAFEDCBA:解析：如图，四边形CEDF 为等腰梯形，对角线相等可得．A BCD EFEDCBA 与CD 重合平移AB ，使之2. 共线ABCDE FEDCB平移AB ，使之与CD 重合变式4：在凸四边形ABCD 中，∠BAD + ∠CBA ≤ 180°，点E 、F 为边CD 上的两点，且DE = FC ．求证：AD + BC ≤ AE + BF ．DCBAFE(1)解析：利用平移，如图(1)，将△ADE 沿着DC 的方向平移，使得DE 和FC 重合得到△GFC ，故AD + BC = GF + BC ，AE + BF = GC + BF ，可证AD + BC ≤ AE + BF .题型二：面积 解题思路O A BCD S 2S 1S 4S 3S 2S1S 4S 3S 1S 2S 3S 4S 1S 2S 3S 4S 4S 3S 2S 1上图中的面积关系依次是：1324S S S S ⋅=⋅；1324S S S S ⋅=⋅；1234S S S S ===；1324S S S S ⋅=⋅； 1324S S S S +=+；ABC DBC S S =△△典例:如图，在矩形ABCD 中，过BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 和PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积15S =，矩形QCNK 的面积2S = ．解析：∵=ABD BCD S S △△，BMK BQK S S =△△，DPK DNK S S =△△，∴AMKP ABD BMK DPK S S S S =--△△△5BCD BQK DNK QCNK S S S S =--==△△△．KNMQP D CBAOD 'ABP D C图 2图 1FCDPBEA变式：如图，矩形ABCD 内有一点P ．求证：⑴ 12PAD PBC PAB PCDABCD S S S SS +=+=△△△矩形；⑵2222PA PC PB PD +=+．解析：⑴如图1，过点P 作EF AB ⊥，分别交AB 、CD 于点E 、F ．11112222PAB PCD ABCD S S AB PE CD PF AB EF S +=⋅+⋅=⋅=△△矩形， 同理可证12PAD PBC ABCD S S S +=△△矩形．⑵方法一：如图1，在Rt AEP △、Rt BPE △、Rt CPF △、Rt FPD △中222AP AE EP =+，222BP EP BE =+，222CP CF PF =+，222DP FP DF =+ ∵AE DF =，BE CF =，∴2222AP CP BP DP +=+．方法二：如图2，过点P 作PD AD '∥且PD AD '=，连接DD '、CD '．可知四边形APDD'、BPD C '是平行四边形，∴DD AP '=，CD BP '=，∵CD PD '⊥ ∴利用任意对角线垂直的四边形的对边平方和相等的结论可得2222PC DD PD CD ''+=+，即2222AP CP BP DP +=+．2222PC AP PD PB +=+PDCB A题型三：最值问题解题思路：最值问题主要是利用三大变换实现线段的集散，解题核心思想：①两点之间线段最短；②点到直线之间垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边．典例:如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN AM CM 、、． （1）证明：ABM EBN △△≌（2）当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；（3）当AM BM CM ++的最小值为1时，则正方形的边长为 ．解析：⑴∵ABE △是等边三角形，∴BA BE ＝，60ABE ∠︒＝.∵60MBN ∠︒＝，∴MBN ABN ABE ABN ∠∠∠∠－＝－，即BMA NBE ∠∠＝. 又∵MB NB ＝，∴AMB ENB △△≌（SAS ）⑵如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小． 理由如下：连接MN ，由⑴知，AMB ENB △△≌，∴AM EN ＝. ∵60MBN ∠︒＝，MB NB ＝，∴BMN △是等边三角形，∴∴AM BM CM EN MN CM ++++＝根据“两点之间线段最短”，得EN MN CMEC ++＝最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长FA DB CE 点作EF BC ⊥交CB 延长线于F ，∴EBF ∠＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF ，2xEF ＝. 在Rt EFC △中，∵222EF FC EC +＝，∴)22212x x ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得，x .∴【分析】本题实质为寻找三角形的费马点，而找费马点的过程即为旋转的过程，其旋转角为60°，而60°旋转不论是在三角形还是四边形中都为常考内容，需要同学们熟练掌握．此题在题干部分已提示作法，并通过⑴⑵两问进行了逐步引导，具有很强的可操作性和训练价值，程度好的班级可适当拓展费马点的相关知识点．变式：⑴ 如图1所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A． B． C ．3 D⑵ 如图2，边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=°，E 、F 分别为BD 、BC 边上的动点，则CE EF +的最小值为 ．⑶ 如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点C ，需要爬行的最短距离是（ ）A． B ．25 C．5 D ．35PEDCBAF EDC BAA图1 图2 图3解析：⑴A．分析：PD PE PB PE BE AB +=+===≥⑵ C 对称到点A ，过点A 作BC 垂线，垂足即为F ED C BAF ，交BD 于点E．CE EF AF +==．⑶ 先把问题转化成平面上两点间线段最短问题．故需要把长方体的表面展开，有三种可能：按右上展开AC ===按右前展开25AC ==按后上展开AC B ．巩固提升平移巩固1：如图:,将一块斜边长为12cm ，60B ∠=︒的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°到'''A B C △的位置，再沿CB 向右平移，使点'B 刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离为__________．解析：62-面积巩固2：如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点1O ，作□11BCD O ，连结1BD 交AC 于点2O ，作□22BCD O ，连结2BD 交AC 于点3O ，……，以此类推．若AC AD ⊥，1AD =，60ADC ∠=︒，则□n n BCD O 的面积是 ．最值巩固3：如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．C''B''B'A'C BA D 1D 2O 3O 2O 1DCBA中考数学NMPBAO解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长为P P '''， ∵30AOB =︒∠，3OP OP OP '''===，∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=．。

【2013年中考攻略】专题10：几何三大变换之平移探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由移动的方向和距离决定。

经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。

一、构造平移图形：典型例题：例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A l B l C l．(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．【答案】解：（1）、（2）如图所示：（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，∴边AC所扫过区域的面积=4³2=8。

【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。

（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。

（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。

一、选择题1．（2016四川省雅安市）已知△ABC 顶点坐标分别是A （0，6），B （﹣3，﹣3），C （1，0），将△ABC 平移后顶点A 的对应点A 1的坐标是（4，10），则点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A ．（7，1）B ．B （1，7）C ．（1，1）D ．（2，1）【答案】C ．【分析】根据点A 的坐标以及平移后点A 的对应点A 1的坐标可以找出三角形平移的方向与距离，再结合点B 的坐标即可得出结论．【解析】∵点A （0，6）平移后的对应点A 1为（4，10），4﹣0=4，10﹣6=4，∴△ABC 向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，∴点B 的对应点B 1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．故选C ． 考点：坐标与图形变化-平移．2．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣8，﹣1），B （﹣6，﹣9），C （﹣2．﹣9），D （﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD 沿x 轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A 1B 1C 1D 1，最后将四边形A 1B 1C 1D 1，绕着点A 1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x 轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）A ．（4，0）B ．（5，0）C ．（4，0）或（﹣4，0）D ．（5，0）或（﹣5，0）【答案】D ．【分析】根据题意画出图形，发现有两种情况：①对角线交点落在x 轴正半轴上，②对角线交点落在x 轴负半轴上；先求平移后的四边形A 1B 1C 1D 1对角线交点E 1的坐标，求OE 1的长，从而求出结论．【解析】由题意得：A 1（0，0），C 1（6，8），根据四个点的坐标可知：四边形ABCD 是平行四边形，∴对角线交点E 1是A 1C 1的中点，∴E 1（3，4），由勾股定理得：A 1E 12234 ，当对角线交点落在x 轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0），当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0），故选D．3．（2015来宾）如图，在平面直角坐标系中，将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（2，3） C．（0，1） D．（4，1）【答案】A．【解析】试题分析：将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（2，1﹣2），即（2，﹣1）．故选A．考点：坐标与图形变化-平移．4．（2015钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）【答案】D．考点：坐标与图形变化-平移．5．（2015扬州）如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 、在y 轴上，Rt△ABC 经过变换得到Rt△ODE ．若点C 的坐标为（0，1），AC =2，则这种变换可以是（ ）A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3【答案】A ．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．坐标与图形变化-平移．6．（2015广元）如图，把RI △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°， B C =5．点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．82【答案】C ．【解析】试题分析：∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB =3，BC =5，∵∠CAB =90°，∴AC =4，∴点C 的坐标为（1，4），当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，∴令y =4，得到4=2x ﹣6，解得x =5，∴平移的距离为5﹣1=4，∴线段BC 扫过的面积为4×4=16，故选C ．考点：1．一次函数综合题；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质．7．（2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），P M 的延长线与x 轴交于点N （n ，0），如图3，当m=3时，n 的值为（ ）A ．423-B ．432-C ．332-D ．332【答案】A ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．实数与数轴；3．等边三角形的性质；4．平移的性质；5．综合题．8．（2014年广西来宾3分）将点P （﹣2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是（ ）A ．（﹣5，﹣3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（5，﹣3）【答案】C ．【考点】1．坐标与图形的平移变化；2． 关于原点对称的点的坐标特征．【分析】∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，∴根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加，得P1（1，3），∵点P2与点P1关于原点对称，∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P2的坐标是：（﹣1，﹣3）．故选C．9．（2014年广西玉林、防城港3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】B．【考点】1．面动平移问题的函数图象问题；2．由实际问题列函数关系式；3．二次函数的性质和图象；4．分类思想和排它法的应用．故选B．10．（2014年湖南益阳4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A． 1 B． 1或5 C． 3 D． 5【答案】B．【考点】1．面动平移问题；2．直线与圆的位置关系；3．坐标与图形性质．【分析】平移分⊙P在y轴的左侧和y轴的右侧与y轴相切两种情况写出答案：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选B．11．（2014年浙江台州4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形E M CN的面积之比为（）A．4∶3 B．3∶2 C．14∶9 D．17∶9【答案】C．【考点】1．面动平移问题；2．菱形的性质；3．平移的性质；4．相似三角形的判定和性质；5．转换思想的应用．【分析】∵M E∥AD，∴△M EC∽△DAC．∴EC ME AC AD=.∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，∴AE=1cm，EC=3cm．∴EC3AC4=. ∴CMEDACS9S16∆∆=.∴图中阴影部分图形的面积与四边形E M CN的面积之比为：() 216916914999⨯-+-=+.故选C．二、填空题12．（2016四川省成都市）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD 中，AB =3，∠BAD =45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD 剪开，得到△ABD 和△BCD 纸片，再将△ABD 纸片沿AE 剪开（E 为BD 上任意一点），得到△ABE 和△ADE 纸片；第二步：如图②，将△ABE 纸片平移至△DCF 处，将△ADE 纸片平移至△BCG 处；第三步：如图③，将△DCF 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQ M 处（边PQ 与DC 重合，△PQ M 和△DCF 在DC 同侧），将△BCG 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处，（边PR 与BC 重合，△PRN 和△BCG 在BC 同侧）． 则由纸片拼成的五边形P M QRN 中，对角线M N 长度的最小值为 ．【答案】610． 【分析】根据平移和翻折的性质得到△M PN 是等腰直角三角形，于是得到当P M 最小时，对角线M N 最小，即AE 取最小值，当AE ⊥BD 时，AE 取最小值，过D 作DF ⊥AB 于F ，根据平行四边形的面积得到DF =2，根据等腰直角三角形的性质得到AF =DF =2，由勾股定理得到BD =5，根据三角形的面积得到AE =65，即可得到结论．【解析】∵△ABE ≌△CDF ≌△P M Q ，∴AE =DF =P M ，∠EAB =∠FDC =∠M PQ ，∵△ADE ≌△BCG ≌△PNR ，∴AE =BG =PN ，∠DAE =∠CBG =∠RPN ，∴P M=PN ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB =∠DCB =45°，∴∠M PN =90°，∴△M PN 是等腰直角三角形，当P M 最小时，对角线M N 最小，即AE 取最小值，∴当AE ⊥BD 时，AE 取最小值，过D 作DF ⊥AB 于F ，∵平行四边形ABCD 的面积为6，AB =3，∴DF =2，∵∠DAB =45°，∴AF =DF =2，∴BF =1，∴BD 22DF BF +5AE =DF AB BD ⋅565N 2610610．考点：平移的性质．13．（2016广东省广州市）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB 的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．【答案】13．【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案．【解析】∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，∴EF=DC=4cm，FC=7cm，∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C，BF=5cm，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm，∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．故答案为：13．考点：平移的性质．14．（2016黑龙江省龙东地区）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．【答案】（﹣201431）．【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【解析】解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×3231，横坐标为2，∴A （2，31+），第2016次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为31+，横坐标为2﹣2016×1=﹣2014，所以，点A 的对应点A ′的坐标是（﹣2014，31+），故答案为：（﹣2014，31+）． 考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移；规律型．15．（2015镇江）如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB =AC =3cm ．BC =2cm ，将△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D 1B 1C 1，连接AC 1，BD 1．如果四边形ABD 1C 1是矩形，那么平移的距离为 cm ．【答案】7．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．矩形的性质；4．平移的性质．16．（2015咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，6），将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′落在直线34y x =-上，则点B 与其对应点B ′间的距离为 ．【答案】8．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．坐标与图形变化-平移．17．（2014年湖南邵阳3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动▲ 次后该点到原点的距离不小于41．【答案】28．【考点】1．探索规律题（图形的变化类）；2．数轴；3．不等式的应用；4．分类思想的应用．【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题：由题意可得：移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；…∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．①当3n﹣2≥41时，解得：n≥433．∵n是正整数，∴n最小值为15，此时移动了29次．②当3n﹣1≥41时，解得：n≥14．∵n是正整数，∴n最小值为14，此时移动了28次．综上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．18．（2014年山东德州4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（▲ ，▲ ）．【答案】4027，4027．【考点】1．探索规律题（图形的变化类）；2．二次函数图象与几何变换．【分析】根据抛物线y=x2与抛物线y n=（x﹣a n）2+a n相交于A n，可发现规律：∵M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，∴x2=（x﹣a1）2+a1．∴2a1x=a12+a1，x=12（a1+1）．∵x为整数点，∴a1=1，M1（1，1）．∵M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，∴x2=x2﹣2a2x+a22+a2．∴2a2x=a22+a2，x=12（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3）．∵M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，∴x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=12（a3+1）．∵x为整数点，∴a3=5，M3（5，5）．…M n（2n1,2n1--）．∴对于M2014有，2014×2﹣1=4027．∴顶点M2014的坐标为（4027，4027）．三、解答题19．（2016山东省聊城市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【答案】（1）A1（2，2），B1（3，﹣2）；（2）A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）．【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移；作图题．20．（2016四川省巴中市）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）1509 676．【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），∴直线A1B1为y=5x﹣5，直线B2C2为y=x+1，直线A2B2为115y x=-+，由551y xy x=-⎧⎨=+⎩解得：3252xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（32，52），由55115y xy x=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得：15131013xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点F（1513，1013），∴S△BEF=35133139115322222222621313⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=1509676，∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为1509676．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换；作图题．21．（2016四川省资阳市）已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（54-，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作M N⊥x轴于点N，连接O M．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△O M N沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，M N′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．①当点F 为M′O ′的中点时，求t 的值；②如图2，若直线M′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）241921515y x x =-++；（2）①1；②t =2时，EH 【分析】（1）设抛物线解析式为5(6)()4y a x x =-+，把点M （1，3）代入即可求出a ，进而解决问题． （2））①如图1中，AC 与O M 交于点G ．连接EO ′，首先证明△AOC ∽△M NO ，推出O M⊥AC ，在RT△EO ′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．②由△GHE ∽△AOC 得EG ACHE CO==EG 最大时，EH 最大，构建二次函数求出EG 的最大值即可解决问题．【解析】（1）设抛物线解析式为5(6)()4y a x x =-+，把点M （1，3）代入得a =415-，∴抛物线解析式为45(6)()154y x x =--+，∴241921515y x x =-++． （2）①如图1中，AC 与O M 交于点G ．连接EO ′．∵AO =6，OC =2，M N =3，ON =1，∴AO MN OC ON ==3，∴AO OCMN ON=，∵∠AOC =∠M ON =90°，∴△AOC ∽△M NO ，∴∠OAC =∠NM O ，∵∠NM O +∠M ON =90°，∴∠M ON +∠OAC =90°，∴∠AGO =90°，∴O M⊥AC ，∵△M′N ′O ′是由△M NO 平移所得，∴O ′M′∥O M ，∴O ′M′⊥AC ，∵M′F =FO ′，∴E M′=EO ′，∵EN ′∥CO ，∴''EN AN CO AO =，∴'526EN t -=，∴EN ′=13（5﹣t ），在RT△EO ′M′中，∵O ′N ′=1，EN ′=13（5﹣t ），EO ′=E M′=4133t +，∴224151()1()3333t t +=+-，∴t =1．②如图2中，∵GH ∥O ′M′，O ′M′⊥AC ，∴GH ⊥AC ，∴∠GHE =90°，∵∠EGH +∠HEG =90°，∠AEN ′+∠OAC =90°，∠HEG =∠AEN ′，∴∠OAC =∠HGE ，∵∠GHE =∠AOC =90°，∴△GHE ∽△AOC ，∴EG ACHE CO==EG 最大时，EH 最大，∵EG =GN ′﹣EN ′=24191(1)(1)2(5)15153t t t -++++--=2416415153t t -++=2412(2)155t --+，∴t =2时，EG 最大值=125，∴EH 最大值t =2时，EH考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；存在型；平移的性质；压轴题．22．（2016四川省达州市）如图，已知抛物线226y ax x =++（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF =2，且△CEF 的面积为6． （1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）21262y x x =-++；（2）存在一点P （1，152），使得△ACP 的面积最大，面积的最大值为272；（3）4343【分析】（1）根据三角形的面积公式求出m 的值，结合点C 的坐标利用待定系数法即可求出a 值，从而得出结论；（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ．根据抛物线的解析式找出点A的坐标．设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点P 的坐标为（n ，21262n n -++）（﹣2＜n ＜4），由点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式，代入x =n ，即可得出点N 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S △ACP 关于n 的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）根据直尺的摆放方式可设出直线CD 的解析式为y =﹣x +c ，由点C 的坐标利用待定系数法即可得出直线CD 的解析式，联立直线CD 的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D 的坐标，令直线CD 的解析式中y =0，求出x 值即可得出点E 的坐标，结合线段EF 的长度即可找出点F 的坐标，设出点M 的坐标，结合平行四边形的性质以及C 、D 点坐标的坐标即可找出点N 的坐标，再由点N 在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【解析】（1）∵S △CEF =12EF •y C =12×2m=6，∴m=6，即点C 的坐标为（4，6），将点C （4，6）代入抛物线226y ax x =++（a ≠0）中，得：6=16a +8+6，解得：a =12-，∴该抛物线的解析式为21262y x x =-++；（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ，如图1所示．令抛物线21262y x x =-++中y =0，则有212602x x -++=，解得：12x =-，26x =，∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（6，0）．设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点P 的坐标为（n ，21262n n -++）（﹣2＜n ＜4），∵直线AC 过点A （﹣2，0）、C （4，6），∴0264k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =x +2．∵点P 的坐标为（n ，21262n n -++），∴点N 的坐标为（n ，n +2）． ∵S △ACP =12PN •（x C ﹣x A ）=211(262)[4(2)]22n n n ⨯-++--⨯--=2327(1)22n --+，∴当n =1时，S △ACP 取最大值，最大值为272，此时点P 的坐标为（1，152），∴在直线AC 上方的抛物线上存在一点P ，使得△ACP的面积最大，面积的最大值为272，此时点P 的坐标为（1，152）．令直线CD 的解析式y =﹣x +10中y =0，则0=﹣x +10，解得：x =10，即点E 的坐标为（10，0），∵EF =2，且点E 在点F 的左边，∴点F 的坐标为（12，0）．设点M 的坐标为（12﹣2t ，0），则点N 的坐标为（12﹣2t ﹣2，0+2），即N （10﹣2t ，2）．∵点N （10﹣2t ，2）在抛物线21262y x x =-++的图象上，∴21(102)2(102)622t t --+-+=，整理得：28130t t -+=，解得：143t =243t =，∴当t 为4343C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．考点：二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；最值问题；二次函数的最值；平移的性质；压轴题．23．（2016山东省聊城市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （﹣3，0），B （9，0）和C （0，4）．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直与x 轴，垂足为E ，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点． （1）求出二次函数的表达式以及点D 的坐标；（2）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt△A 1O 1F ，求此时Rt△A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ≤6）得到Rt△A 2O 2C 2，Rt△A 2O 2C 2与Rt△OED 重叠部分的图形面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）2484279y x x =-++，D （6，4）；（2）163；（3）221 (03)31312(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式；（2）由GH ∥A 1O 1，求出GH =1，再求出FH ，S 重叠部分=S △A 1O 1F ﹣S △FGH 计算即可； （3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．【解析】（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点A （﹣3，0），B （9，0）和C （0，4），∴设抛物线的解析式为y =a （x +3）（x ﹣9），∵C （0，4）在抛物线上，∴4=﹣27a ，∴a =427-，∴设抛物线的解析式为y =427-（x +3）（x ﹣9），即2484279y x x =-++，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），∴24844279x x -++=，∴x =6，∴D （6，4）；（2）如图1，∵点F 是抛物线2484279y x x =-++的顶点，∴F （3，163），∴FH =43，∵GH ∥A 1O 1，∴11GH FH AO FG =，∴4334GH =，∴GH =1，∵Rt△A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=S △A 1O 1F﹣S △FGH =12A 1O 1×O 1F ﹣12GH ×FH =12×3×4﹣12×1×43=163； （3）①当0＜t ≤3时，如图2， ∵C 2O 2∥DE ，∴22O G OO DE OE =，∴246O G t =，∴O 2G =23t ，∴S =S △OO 2G =12OO 2×O 2G =1223t t ⨯ =213t ；②当3＜t ≤6时，如图3，∵C 2H ∥OC ，∴22DC C H CD OC =，∴2664C H t -=，∴C 2H =2(6)3t -，∴S =S 四边形A 2O 2HG =S △A 2O 2C 2﹣S △C 2GH =12OA ×OC ﹣12C 2H ×（t ﹣3）=12×3×4﹣12×23（6﹣t ）（t ﹣3）=213123t t -+，∴221 (03)31312(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．考点：二次函数综合题；分类讨论；分段函数；平移的性质；压轴题．24．（2016山东省菏泽市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积； （3）若直线12y x =-向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+；（2）3；（3）158＜b ≤3． 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）求出直线BC 与对称轴的交点H ，根据S △BDC =S △BDH +S △DHC 即可解决问题．（3）由212122y x b y xx ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，当方程组只有一组解时求出b 的值，当直线12y x b =-+经过点C 时，求出b 的值，当直线12y x b =-+经过点B 时，求出b 的值，由此即可解决问题． （3）由212122y x b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得到x 2﹣x +4﹣2b =0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b ）=0，∴b =158，当直线12y x b =-+经过点C 时，b =3，当直线12y x b =-+经过点B 时，b =5，∵直线12y x =-向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，∴158＜b ≤3．考点：待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数的性质．25．（2016广东省）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC =2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y =S △OPB ，BP =x （0≤x ≤2），求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值．【答案】（1）四边形APQD 为平行四边形；（2）OA =OP ，OA ⊥OP ；（3）当P 点在B 点右侧时， y =21142x x +；当P 点在B 点左侧时， y =21142x x -+；当x =2时，y 有最大值为2． 【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ 与AB 的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQOPQO ，根据全等三角形的判定与性质，可得AO 与OP 的数量关系，根据余角的性质，可得AO 与OP 的位置关系；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE 的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．【解析】（1）四边形APQD 为平行四边形；（2）OA =OP ，OA ⊥OP ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =PQ ，∠ABO =∠OBQ =45°，∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO =45°，∴∠ABO =∠OBQ =∠PQO =45°，∴OB =OQ ，在△AOB 和△OPQ 中，∵AB =PQ ，∠ABO =∠PQO ，BO =QO ，∴△AOB ≌△OPQ （SAS ），∴OA =OP ，∠AOB =∠PQO ，∴∠AOP =∠BOQ =90°，∴OA ⊥OP ；（3）如图，过O 作OE ⊥BC 于E ．①如图1，当P 点在B 点右侧时，则BQ =x +2，OE =22x +，∴y =12×22x +•x =21142x x +，即211(1)44y x =+-，又∵0≤x ≤2，∴当x =2时，y 有最大值为2；②如图2，当P 点在B 点左侧时，则BQ =2﹣x ，OE =22x -，∴y =12×22x -•x =21142x x -+，即211(1)44y x =--+，又∵0≤x ≤2，∴当x =1时，y 有最大值为14； 综上所述，当P 点在B 点右侧时， y =21142x x +；当P 点在B 点左侧时， y =21142x x -+； ∴当x =2时，y 有最大值为2；考点：四边形综合题；分类讨论；平移的性质；最值问题；二次函数的最值；探究型；压轴题．26．（2016四川省南充市）如图，抛物线与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0）．与y 轴交于点C （0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和Q ，交直线AC 于点M 和N ．交x 轴于点E 和F ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M 和N 都在线段AC 上时，连接M F ，如果sin∠A M F =1010，求点Q 的坐标； （3）在矩形的平移过程中，当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．【答案】（1）212533y x x =--+；（2）Q （﹣4，73）；（3）M 为（﹣2，3）或（26-36）或（26-36． 【分析】（1）设抛物线为y =a （x +5）（x ﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题．（2）作FG ⊥AC 于G ，设点F 坐标（m ，0），根据sin∠A M F =FG FM 10 （3））①当M N 是对角线时，设点F （m ，0），由QN =P M ，列出方程即可解决问题．②当M N 为边时，M N =PQ 2设点Q （m ，212533m m --+）则点P （m+1，212633m m --+），代入抛物线解析式，解方程即可．（3）①当M N 是对角线时，设点F （m ，0）．∵直线AC 解析式为y =x +5，∴点N （m ，m+5），点M （m+1，m+6），∵QN =P M ，∴2125533m m m --+--=2126[(1)(1)5]33m m m +--+-++，解得m=36-±，∴点M 坐标（26-+，36+）或（26--，36-）． ②当M N 为边时，M N =PQ =2，设点Q （m ，212533m m --+）则点P （m+1，212633m m --+），∴2212126(1)(1)53333m m m m --+=-+-++，解得m=﹣3，∴点M 坐标（﹣2，3），综上所述以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（26-+，36+）或（26--，36-）．考点：二次函数综合题；平移的性质；分类讨论；压轴题．27．（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求m 的取值范围；（3）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【答案】（1）224y x x =-++，M （1，5）；（2）2＜m ＜4；（3）P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．【分析】（1）将点A 、点C 的坐标代入函数解析式，即可求出b 、c 的值，通过配方法得到点M 的坐标；（2）点M 是沿着对称轴直线x =1向下平移的，可先求出直线AC 的解析式，将x =1代入求出点M 在向下平移时与AC 、AB 相交时y 的值，即可得到m 的取值范围；（3）由题意分析可得∠M CP =90°，则若△P CM 与△BCD 相似，则要进行分类讨论，分成△P CM∽△BDC 或△P CM∽△CDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．【解析】（1）把点A （3，1），点C （0，4）代入二次函数2y x bx c =-++，得：23314b c c ⎧-++=⎨=⎩ 解得：24b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为224y x x =-++，配方得2(1)5y x =--+，∴点M 的坐标为（1，5）； （2）设直线AC 解析式为y =kx +b ，把点A （3，1），C （0，4）代入得：314k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =﹣x +4，如图所示，对称轴直线x =1与△ABC 两边分别交于点E 、点F ．把x =1代入直线AC 解析式y =﹣x +4解得y =3，则点E 坐标为（1，3），点F 坐标为（1，1），∴1＜5﹣m ＜3，解得2＜m ＜4；（3）连接M C ，作M G ⊥y 轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为（0，5）．∵M G =1，GC =5﹣4=1，∴M C 22MG CG +2211+2y =5代入y =﹣x +4解得x =﹣1，则点N 坐标为（﹣1，5），∵NG =GC ，G M=GC ，∴∠NCG =∠G CM=45°，∴∠N CM=90°，由此可知，若点P 在AC 上，则∠M CP =90°，则点D 与点C 必为相似三角形对应点．①若有△P CM∽△BDC ，则有MC CD CP BD =，∵BD =1，CD =3，∴CP =MC BD CD ⋅21⨯2，∵CD =DA =3，∴∠DCA =45°，若点P 在y 轴右侧，作PH⊥y 轴，∵∠PCH =45°，CP =23，∴PH=22313，把x =13代入y =﹣x +4，解得y =113，∴P 1（13，113）； 同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把x =13-代入y =﹣x +4，解得y =133，∴P 2（13-，133）； ②若有△P CM∽△CDB ，则有MC BD CP CD =，∴CP =231=32PH=322=3； 若点P 在y 轴右侧，把x =3代入y =﹣x +4，解得y =1；若点P 在y 轴左侧，把x =﹣3代入y =﹣x +4，解得y =7∴P 3（3，1）；P 4（﹣3，7），∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．考点：二次函数综合题；二次函数图象及其性质；分类讨论；动点型；平移的性质；二次函数图象与几何变换；压轴题． 28．（2016浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点O 为原点，平行于x 轴的直线与抛物线L ：2y ax =相交于A ，B 两点（点B 在第一象限），点D 在AB 的延长线上．（1）已知a =1，点B 的纵坐标为2．①如图1，向右平移抛物线L 使该抛物线过点B ，与AB 的延长线交于点C ，求AC 的长．②如图2，若BD =12AB ，过点B ，D 的抛物线L 2，其顶点M 在x 轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）如图3，若BD =AB ，过O ，B ，D 三点的抛物线L 3，顶点为P ，对应函数的二次项系数为a 3，过点P 作PE ∥x 轴，交抛物线L 于E ，F 两点，求3a a 的值，并直接写出AB EF 的值．【答案】（1）①422324(y x =；（2）313a a =-，3AB EF =． 【分析】（1）①根据函数解析式求出点A 、B 的坐标，求出AC 的长；②作抛物线L 2的对称轴与AD 相交于点N ，根据抛物线的轴对称性求出O M ，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）过点B 作BK ⊥x 轴于点K ，设OK =t ，得到OG =4t ，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B （t ，2at ），求出3a a 的值，根据抛物线上点的坐标特征求出AB EF的值． 【解析】（1）①二次函数2y x =，当y =2时，2=2x ，解得12x ，22x =-AB =22∵平移得到的抛物线L 1经过点B ，∴BC =AB =22AC =42。

专题21几何三大变换问题之平移问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。

平移有如下性质：1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等；2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。

一.直线（线段）的平移问题1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；5（2）()()2m8m122m4d24m6<⎧-+-≤⎪=⎨≤≤⎪⎩（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=143【解析】解：（1）2；5。

（2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。

当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。

当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。

一、平移变换1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注：⑴平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换． ⑵图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．⑶图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等． 平移变换前后的图形具有如下性质： ⑴对应线段平行(或共线)且相等； ⑵对应角的两边分别平行且方向一致； ⑶对应的图形是全等形．注：⑴要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．⑵“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3．简单的平移作图 想一想：⑴生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质(如：平移不改变图形的大小和形状等)作图，要找出图形的关键点．⑶平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．４．平移变换的方法应用⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的知识点睛平移与几何探究条件与结论有机地联系起来． ⑵平移法在应用时有三种情况：①平移条件：把条件中的某条线段或角平移； ②平移结论：把结论中的线段或角平移；③同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移． 5．平移变换的主要功能：把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．题型一：作平行线构造平行四边形题型说明：涉及平移变换的几何证明题基本思想是构造平行四边形，转化线段之间的数量与位置关系，而辅助线多以作平行线的形式出现。

平移、对称、旋转——三大几何变换解题全攻略
平移、对称、旋转——三大几何变换解题全攻略，适合几何一轮复习使用。

目录
一、怎样解图形的轴对称问题
“轴对称”主要考查轴对称、轴对称图形的定义、性质，以及图形翻折后线段和角的计算，难点是运用轴对称的知识作图求最值。

•1.见等腰构造三线合一。

•2.见垂直平分线构造等腰三角形•3.角平分线构造全等
二、怎样解图形的平移问题
平移问题是指在同一个平面内，将一个图形(含点、线、面)整体按照某个方向移动定的距离。

平移是由平移的方向和距离决定。

平移前后图形的形状、大小不变。

平移前后图形的对应点所连的线段相等且平行（或共线）；平移前后图形的对应线段平行（或共线）且相等，
对应角相等。

三、图形的旋转问题
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xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;评卷人得分②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.试题2:把直线沿y轴方向平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m的取值范围是【】A． B． C． D．试题3:定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．试题4:如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D在抛物线上，直线是一次函数的图象，点O是坐标原点。

轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。

平移有如下性质：1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等；2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。

一.直线（线段）的平移问题原创模拟预测题1.如图，直线1y x2=-与双曲线kyx=（k＜0，x＜0）交于点A，将直线1y x2=-向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线kyx=（k＜0，x＜0）交于点B，若OA=2BC，则双曲线的解析式为【】A、128y25x= B、64y5x= C、64y5x=- D、128y25x=-原创模拟预测题2. 把直线y x 3=-+沿y 轴方向平移m 个单位后，与直线y 2x 4=+的交点在第二象限，则m 的取值范围是【 】A ．m >1B ．m <5-C ．5<m <1-D ．5m 1-≤≤二.曲线的平移问题原创模拟预测题3.如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。

（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向上平移m个单位长度后，得到的抛物线与直线OB只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标。

（2）根据已知条件可求出OB 的解析式为y=x ，将抛物线向上平移m 个单位长度后，得到的解析式为：2y x 3x m =+-，由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标。

原创模拟预测题4. 如图，抛物线2y ax bx c =++关于直线x 1=对称，与坐标轴交于A 、B 、C 三点，且AB=4，点D ()23-，在抛物线上，直线l 是一次函数()y kx 2k 0=+≠的图象，点O 是坐标原点。

学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。

【中考数学必备专题】几何三大变换之平移一、单选题(共4道，每道25分)1.（2011河北）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为()．A.1.5B.2C.2.5D.3答案：B解题思路：解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.（2009江汉区）如图，把图中的⊙A经过平移得到⊙O（如左图），如果左图中⊙A上一点P的坐标为（m，n），那么平移后在右图中的对应点P′的坐标为（）A.（m+2，n+1）B.（m-2，n-1）C.（m-2，n+1）D.（m+2，n-1）答案：D解题思路：解：由点A的平移规律可知，此题点的移动规律是（x+2，y﹣1），照此规律计算可知P′的坐标为（m+2，n﹣1）．故选D．试题难度：三颗星知识点：坐标于图形变化——平移3.（2011日照）以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（）A.（3，3）B.（5，3）C.（3，5）D.（5，5）答案：D解题思路：解：图形如上：可得C（5，3），∴平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（5，5）．故选D．试题难度：三颗星知识点：坐标于图形变化——平移4.如图，AA′=BB′=CC′=2,∠AOB′=∠BOC′=60°，则的大小关系是( )A.B.C.D.不确定答案：A解题思路：如图：以点O为顶点构造等边△ODF，易证△DAE≌△OA′C，△EBF≌△C′BO，因为△ODF的面积为，所以，所以选A.试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质。

平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一 平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒， 易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ， 可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积． 易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系． 作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． 在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二 共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点． 下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠． 在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =． 在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =． 连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线 且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。

中考数学专题分类复习：平移变换涉及图形平移的问题一般在选择题或填空题中出现的比较多，相对比较容易，在解答题中会和轴对称，旋转相结合，是区分度较大的一类几何问题。

平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；②对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；③平移的距离即是对应点的连线段的长度.如图△ABC 平移到△DEF 时，点A ，B ，C 的对应点分别是点D ，E ，F ，根据平移的性质有：①△ABC ≌△DEF ；②AB ∥DE 且AB ＝DE ，BC ∥EF 且BC ＝EF ，CA ∥FD 且CA ＝FD ；③AD ＝BE ＝CF .1.抓住平移前后的对应点，对应线段，对应点之间的距离是平移的距离，对应线段平行且相等或在同一条直线上；2.如果图形上的一个点沿一定的方向移动一定的距离后，那么这个图形上所有点移动的方向和距离都相同；3.点P （a ，b ）在坐标系内的移动，遵循“正方向＋，负方向－”的规律；4.线段AB 的中点是C ，已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）C （x ，y ）中任意两个点的坐标，即可利用中点坐标公式：122x x x +=，122y y y +=，求第三个点的坐标.例1.如图，将△ABC 沿BC 方向平移3cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为20cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）A . 20cmB . 22cmC . 24cmD ．26cm【答案】D例2.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（）A. （4，3）B. （3，4）C. （﹣1，﹣2）D. （﹣2，﹣1）【答案】B【精细解读】直接利用平移中点的变化规律求解即可．解：由A点平移前后的纵坐标分别为﹣1、2，可得A点向上平移了3个单位，由A点平移前后的横坐标分别为﹣4、﹣2，可得A点向右平移了2个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得点B′的坐标为（1＋2，1＋3），即为（3，4）．故选：B．例3.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点Ｃ的方向平移到△ＤEF的位置，AB＝10，ＤH＝4，平移距离为6，求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积为48.1.如图，图形W，X，Y，Z是形状和大小相同，能完全重合的图形.根据图中数据可计算的图形W的面积是（）A. 4－πB. 1－0.25πC. 4－0.25πD. 1－16【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，通过平移知四个小图形占四个小正方形，且中间缺少一个圆，正方形的边长为1，圆的半径为0.5，然后可求面积为2×2－π×0.5×0.5＝4－0.25π.故选：C .2.在平面直角坐标系中，将点A 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点B （﹣2，1），则点A 的坐标为（ ）A . （﹣5，3）B . （﹣5，﹣1）C . （1，3）D . （1，﹣3）【答案】C【解析】设点A 的坐标是（x ，y ），∵将点A 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得点B ，可得B 的坐标为（x ﹣3，y ﹣2），∵点B 的坐标是（﹣2，1），∴x ﹣3＝﹣2，y ﹣2＝1，∴x ＝1，y ＝3，∴A 的坐标是（1，3），故选C ．3.某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米， 30BAC ∠=︒， 90C ∠=︒，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为________．【答案】（2＋3）米;1.若将点A (1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到B ，则点B 的坐标为( )A . (－2，－1)B . (－1，0)C . (－1，－1)D . (－2，0)【答案】C【解析】根据坐标点的平移，上加下减，左减右加，可得B 点的坐标为（1－2，3－4），即（－1，－1）. 故选：C .2.如图，将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3． 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′＝（ ）A 、1 B、23C 、13-D 、32- 【答案】C 3.如图，直角边长为3的等腰直角三角形ABC 沿直角边BC 所在直线向上平移1个单位，得到三角形A'B'C'，则阴影部分的面积为____________。

中考数学知识点：平移定义知识点在中考数学中，平移是一个重要的知识点。

它不仅在几何图形的研究中有着广泛的应用，也是解决许多数学问题的关键工具。

平移，简单来说，就是在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。

这种移动不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。

比如说，我们有一个三角形 ABC，我们将它沿着水平方向向右移动5 个单位长度，那么三角形的每个顶点 A、B、C 都向右移动了 5 个单位长度，移动后的三角形与原三角形的形状和大小完全相同，只是位置发生了变化。

平移具有以下几个重要的性质：首先，平移前后的图形全等。

这意味着平移不会改变图形的边的长度、角的大小等关键特征。

例如，一个正方形经过平移后，它依然是一个边长相等、四个角都是直角的正方形。

其次，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

对应点就是指在平移前后，两个图形中相对应的点。

比如，在刚才提到的三角形平移中，点 A 平移后的对应点为 A'，那么线段 AA'与平移的方向平行，并且长度等于平移的距离。

再次，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。

还是以三角形为例，AB 线段在平移后对应的线段 A'B'，它们的长度相等且相互平行。

平移在实际生活中也有很多应用。

比如在建筑设计中，设计师常常需要将一个设计图案在图纸上进行平移，以确定不同位置的布局效果；在地图制作中，地图上的各种标志和符号可能需要根据实际情况进行平移。

在中考中，关于平移的题目类型多种多样。

常见的有要求根据给定的平移条件画出平移后的图形，或者根据平移前后的图形关系求解平移的距离或方向。

我们来看一个具体的例子。

已知有一个平行四边形 ABCD，其中 A 点坐标为(1, 1)，B 点坐标为(3, 1)，C 点坐标为(4, 3)，D 点坐标为(2, 3)。

将这个平行四边形向右平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度，求平移后的平行四边形各个顶点的坐标。

初中数学几何三大变换（平移、旋转、轴对称）易错题汇总（含解析）典型易错题1（易错指数★★）下列图形中，对称轴的条数最少的图形是（）.【答案解析】A 、四条．B 、三条．C 、四条．D 、四条．故选：B ．典型易错题2（易错指数★★）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有 .【答案解析】圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形.典型易错题3（易错指数★★★★）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径线与轴围成的面积为( ).【答案解析】典型易错题4（易错指数★★★★）【答案解析】先将 DABC 绕着 B?C 的中点旋转 180°，再将所得的三角形绕着 B?C? 的中点旋转180°，即可得到△ A?B?C?；先将 DABC 沿着 B?C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着 B?C? 的垂直平分线翻折，即可得到△ A?B?C?；故选：D.典型易错题5（易错指数★★）答案解析】A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，正确；B ．线段和角都是轴对称图形，正确；C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，正确；D ． DABC @ DDEF ，则 DABC 与 DDEF 不一定关于某条直线对称，错误；故选：D ．典型易错题6（易错指数★★★★）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案解析】Q轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形， \通过轴对称得到的是（1）．故选：A典型易错题7（易错指数★★★★）【答案解析】典型易错题8（易错指数★★★★）【答案解析】。

平移典型例题及练习含答案一、知识点复平移是指在平面内，一个图形沿某个方向移动一定距离的变换。

平移的要素包括方向和距离，其中方向是原图上的点指向它的对应点的射线方向，距离是连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。

平移具有不改变图形形状和大小，仅改变位置的性质。

平移后的图形与原图形上对应点连成的线段数量相等，位置关系是平行或在同一条直线上。

判断一组图形能否通过平移得到的方法是看对应点连线是否平行或在同一条直线上，以及形状、大小是否发生变化，位置的变化是否由平移产生。

二、典型例题题型1：生活中平移现象生活中的平移现象包括：推开教室的门、急刹车时汽车在地面上的滑动等。

因此，答案为B。

题型2：平移的性质在平移过程中，对应线段一定相等，对应线段的位置关系是平行或在同一条直线上，周长不变，因此正确的选项为①②③。

题型3：与平移有关的计算将△XXX沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE。

连接AE，若△ABC的面积为2，则△XXX的面积为4.例题6】：如图所示，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是多少？答案：由于△ABE和△DCF是平移，所以它们的周长相等。

设△ABE的周长为16cm，则△DCF的周长也为16cm。

因为AE、DC交于点G，所以△ADG和△CEG是全等三角形，它们的周长之和为2×AD+2×CE=2×AG+2×CG=2×AC=2×(AE+EC+CD)=2×16cm=32cm。

例题7】：如图所示，大矩形长是10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为2厘米，则空白部分面积是多少？答案：阴影部分的面积为10cm×2cm=20cm²，所以空白部分的面积为80cm²-20cm²=60cm²。

例题8】：如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？答案：如图所示，将长方形地块分成四个小矩形和一个中间的正方形。

中考数学几何三大变换之平移真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由移动的方向和距离决定。

经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。

一、构造平移图形：典型例题：例1. 顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A l B l C l．(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．【答案】解：（1）、（2）如图所示：（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。

【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。

（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。

（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。