第十二章 气体动理论
12－1 一容积为10L 的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg 的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子?
解：由式nkT p =，有
3
2023
52/1068.1573
1038.1760/10013.1100.1m kT p n 个⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==-- 因而器壁原来吸附的气体分子数为
个183201068.110101068.1⨯=⨯⨯⨯==∆-nV N
12－2 一容器内储有氧气，其压强为1.01⨯105 Pa ，温度为27℃，求：（l ）气体分子的
数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列）
分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知d n V ,10=即可求出。
解：（l ）单位体积分子数
3
25m 1044.2-⨯==kT p n
（2）氧气的密度
3m kg 30.1-⋅===RT pM V m ρ
（3）氧气分子的平均平动动能
J 1021.62321k -⨯==kT ε
（4）氧气分子的平均距离
m
1045.3193-⨯==n d
12－3 本题图中I 、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。
分析：由M RT v /2p =可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率p v 也就不同。因22O H M M <，故氢气比氧气的p v 要大，由此可判定图中曲线II 所标13p s m 100.2-⋅⨯=v 应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线I 、II 所处的温度相同，故曲线I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。
解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为
1
3P s m 100.2/2)(22-⋅⨯==H H M RT v
利用16/22H O =M M 可得氧气分子最概然速率为
1
2H P O O P s m 100.54)(/2)(222-⋅⨯===v M RT v
（2）由M RT v /2p =得气体温度
K
1081.42/22
p ⨯==R M v T
12－4 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如本题图所示。（1）说明曲
线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N 和v 0求a 值；（3）求在速率v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能.
分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数()v f 的物理意义。v N N v f d /d )(=题中纵坐标v N v Nf d /d )(=，即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数。同时要掌握)(v f 的归一化条件，即
1d )(0
=⎰
∞v v f 。在此基础上，根据分布函数并运用数学方
法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。
解：（l ）由于分子所允许的速率在0到2v 0的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积
()N
v v Nf S v ==⎰
020
d
即曲线下面积表示系统分子总数N 。 （2）从图中可知，在0到v 0区间内，0/)(v av v Nf =；而在v 0到2v 0
区间内，a v Nf =)(。
则利用归一化条件有
⎰⎰
+=00
020
d d v v v v
a v v av
N
得
03/2v N a =
（3）速率在v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数为
12/7d d 2/32/000
0N v a v v av
N v v v v =+=∆⎰⎰
(4)分子速率平方的平均值按定义为
习题12－3图
习题12－4图
⎰⎰∞
∞
==0
20
2
2
d )(/d v
v f v N N v v
故分子的平均平动动能为
2
0223
00
236
31)(21210
mv dv v N a dv v Nv a m v m v v v
K =+
==⎰
⎰ε 12－5 当氢气的温度为300℃时，求速率在区间3000m/s 到3010m/s 之间的分子数ΔN 1
与速率在区间v p 到v p +10m/s 之间的分子数ΔN 2之比。
解：氢气在温度T =273+300=573开时的最可几速率v p 为
/2182002
.0573
31.822秒米××===
M RT v p 麦克斯韦速度分布公式可改写为 x e
x N
N x ∆=∆-2
2
4
π
则速度在3000米/秒~3010米/秒间的分子数
2182102182300042
218230002
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆⎪⎭
⎫ ⎝⎛-e πN
N 速度在v p ~ v p 10米/秒间的分子数
e πN
N ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆⎪⎭
⎫
⎝⎛-2182102182218242
218221822
2 故 78021823000 2
218230002
21 .e
e N N =⎪⎭
⎫
⎝⎛=∆∆⎪⎭
⎫ ⎝⎛
12－6 有N 个粒子，其速率分布函数为 C Ndv
dN
v f ==
)( (v 0>v >0) 0)(=v f (v >v 0) (1) 作速率分布曲线；（2）求常数C ；（3）求粒子的平均速率。 解： （2）由归一化式
⎰⎰===∞
1)(v Cv
Cdv dv v f
得 0
1v C =
