文献综述-小波变换(Wavelet-Transform)的概念是1984年法国地球-...电子教案

小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域的波，而且是长度有限、均值为0的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

如下图正弦波Meyer 小波Morlet小波202()t j t t ee ωψ-=或频域形式：20()/2()eωωψω--=⋅121210()110t t t others ψ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩Haar小波简单来说，小波函数必须满足下列条件:（1）2|()|t dt ψ∞-∞⎰, 也即2()L R ψ∈ 并单位化 ，(2) |()|t dt ψ∞-∞<+∞⎰, 也即1()L R ψ∈(3) ()0t dt ψ+∞-∞=⎰， 小波变换的反变换及对基本小波的要求小波变换区别于某些常用变换（如傅里叶变换、拉氏变换）的一个特点是没有固定的核函数，但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波()t ψ。

任何变换都必须存在反变换才有实际意义，但反变换并不一定存在，对小波变换而言，所采用的小波必须满足所谓“容许条件”(admissible condition),反变换才存在。

容许条件：20|()|d ψωωω∞<∞⎰正规性条件（regularity condition ）本来满足容许条件的()t ψ便可用作基本小波，但实际上往往要求更高些，对()t ψ还要施加正规性条件，以便()ψω在频域上表现出较好的局域性能。

也就是要求()0pt t dt ψ∞-∞=⎰，1,2,,,p n =⋅⋅⋅ 且n 越大越好。

sin 2sin(2)cos(100)y x x x πππ=++sin 2sin(2)y x x ππ=+光滑紧支撑正交小波()t ϕ的构造满足（1）{()}k Z x k ϕ∈-是中的标准正交基；（2）()x ϕ满足双尺度方程(/2)()k kx a x k ϕϕ=-∑， （3）1()()x L R ϕ∈且ˆ(0)0ϕ≠ （4）()x ϕ是紧支撑的。

小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。

在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。

小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。

傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。

建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。

尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。

为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。

另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。

从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。

10.2小波变换的基本原理地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。

近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。

在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。

小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。

1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。

小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。

小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。

不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。

它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。

小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。

因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。

下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。

10.2.1小波分析的基本原理小波函数的数学表达正弦调和波形小波波形。

小波变换在现代的科学研究中有着广阔的应用。

作为一种近些年提出的新的数学概念，它的科学研究工具的作用正在被充分发掘。

1 小波变换的提出小波变换（wavelet transform ）是80年代后期发展起来的应用数学分支。

虽然从历史上往上追溯，在此之前已有一些学者零散地进行过一些工作，但在理论上构成较系统的构架则主要是法国数学家Y .Meyer 和地质物理学家J.Morlet 及理论物理学家A.Grossmanr 的贡献。

而把这一理论引入工程应用，特别是信号处理领域，法国学者 I.Daubechies 和 S.Mallat 则起着极为重要的作用。

因此人们有把小波分析的兴起归功于所谓‘法国学派’。

小波变换的含义是：把某一被称为基本小波[也叫母小波（mother wavelet ）]的函数()t ψ作位移τ后，再在不同尺度α下与待分析信号()x t 作内积：*(,)()(),0x t WT x t dt τατϕαα+∞-∞-=>等效的频域变化是：*(,)()()2j x WT x e d ωπατωϕαωωπ+∞+-∞=⎰其中()X t ，()ψω是()x t ()t ϕ的傅里叶变换。

2 小波变换的特点小波变换有以下特点：1、具有多分辨率（multi-resolution ）,也叫多尺度（multi-scale ）的特点，可以由粗及精地逐步观察信号。

2、也可以看成是用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度α下对信号作滤波。

由于傅里叶变换的尺度特性： 如果()t ψ的傅里叶变换是()ψω，则()t αϕ的傅里叶变换为()αψαω。

因此这组滤波器有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。

注意，α愈大相当于频率愈低。

3、适当地选择基本小波，使()t ϕ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，便可以使WT 在时频两域都有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。

基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。

小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。

具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。

4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。

傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。

在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。

定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。

可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。

尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。

但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。

1、图像处理中正交变换的目的是什么？答：1、使图像处理问题简化2、有利于图像特征提取3、有助于从概念上增强对图像信息的理解图形变换主要用于哪些方面？答：图像变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。

二维傅立叶变换有哪些性质？答：周期性、线性、可分离性、比例性质、位移性质、对称性质、共轭对称性、差分、积分、卷积、能量。

二维傅立叶变换的可分离性有何意义？答：分离性表明：二维离散傅立叶变换和反变换可用两组一维离散傅立叶变换和反变换来完成。

2、阅读有关小波变换的文献两篇（文献综述）高广春，熊凯等.自适应小波变换更新滤波器的优化研究[J].电路与系统学报.2011.16(3):81-86自适应和非线性小波变换能比传统小波变换以更稀疏的方式表示一幅图像。

随着JPEG2000图像标准中采用基于提升格式的小波变换，该种小波变换方法就越来越吸引研究者们的注意。

基于提升格式小波变换可以灵活构造线性和非线性滤波器。

最近，许多基于提升格式的自适应和非线性小波变换结构被提出。

基于提升格式的小波变换被称为第二代小波变换，该种结构提供了一种灵活构造非线性小波分解和重构的方法。

在先选定预测滤波器的基础上，对于给定信号，如何选取最优的滤波器系数，该论文根据最小均方误差准则，提出了优化的小波更新滤波器的设计方案。

并以来自MIT/BIH数据库样本100心电图信号为测试信号，设计了优化的更新小波变换滤波器，仿真过程证明了小波变换后的低频系数具有较好的能量集中特性，并可在信号重建过程中获得较好的线性近似，通过与其他不同结构的小波变换进行比较，验证了优化的小波更新滤波器的性能。

龚瑞昆.离散小波变换在传感器故障诊断中的应用[J].仪器仪表学报.2001.22(4):237-239近年来小波分析由于具有变时域和变频域特性而备受关注，它可以代替传统的傅立叶分析广泛地应用于故障诊断中。

小波网络由于可以逼近任意函数而广泛的应用于系统辨识中。

小波变换的发展简史从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。

与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。

1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。

有利于分析确定时间发生的现象。

（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。

信号长度为M 时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。

信号的时域和频域之间具有紧密的联系。

信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。

第10章 小波变换与JPEG 2000编码之小波变换虽然基于DCT 的JPEG 标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。

为了适应网络发展的需要，JPEG 于2000年底推出了采用DWT (Discrete Wavelet Transform 离散小波变换)的JPEG 2000标准。

小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT 这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。

本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG 2000的编码算法和标准。

10.1 小波变换小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。

原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。

时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。

而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。

本节先讨论小波变换与（窗口）傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和第二代小波变换（整数小波变换）。

10.1.1 傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier 发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。

鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor 于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform ）。

2015-7-29 小波变换wavelet | WangDingRainman的博客/rainman1984目录小波变换 (1)１学习小波变换所需的基础知识 (1)２信号的分解 (1)３小波变换的时频分析思想 (1)４小波变换的实质 (2)５连续小波变换，二进小波变换与离散小波变换的关系 (2)6 MALLA T算法的意义 (2)７小波变换的模极大值及其意义 (2)小波变换１学习小波变换所需的基础知识由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说傅里叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在傅里叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将傅里叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的傅里叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受．２信号的分解傅里叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．傅里叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数．３小波变换的时频分析思想傅里叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，傅里叶变换就失去了意义（包括加窗傅里叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多．４小波变换的实质小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据．如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）．当然这只是一种粗略的解释．５连续小波变换，二进小波变换与离散小波变换的关系尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生一大堆数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想．将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散．当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换！6 MALLAT算法的意义想必大家都注意到，小波变换是以内积或卷积的形式实现的，这给数值计算带来了不利之处，因为用计算机作数值积分其计算量大．MALLA T算法则解决了这一问题，它不涉及小波的具体形式，只是对系数进行操作！其计算也就是用高通及低通滤波系数与小波系数作卷积．因为作信号处理时，我们往往并不关心小波的具体形式，更为关心小波系数．需提出的是该算法仅适用于正交小波如果小波不是正交的（如Ｂ样条小波）则算法失效！７小波变换的模极大值及其意义对于我们搞信号奇异性检测的人来说，小波变换最重要的应用就是用模极大值定值奇异点．我觉得模极大值可以从两个方面去理解：第一，从直观角度，上文已说明小波变换的实质就是一种度量波形相似程度的方法．信号与小波越相似，则小波系数越大．这也就可理解为出现了小波变换的模极大值．因为当信号出现奇异点时，或是间断点，或是一阶导数不连续点，其在各个尺度下都将必然出现大的小波系数．从而可以定位奇异点！第二个方面从小波的取法来看，当小波取为光滑函数一阶导数或二阶导数时，从公式可以推导出小波变换将出现模极大值点或是过零点．也就是很多书上说的模极大值检测和零交叉检测．这些可以查书看！我只谈谈连续小波变换，对于离散的也有同样的argument。

1 小波变换简要回顾小波变换是调和分析（包括函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等）这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶；小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破。

1从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段。

（1）孤立应用时期（1985年以前）（2）国际性研究热潮和统一构造时期（1986—1992）（3）全面应用时期（1992—）23（1）孤立应用时期1910年Harr 提出Harr 正交基1938年Paley-Littlewood 的按二进制频率成分分组1965年Calderon 的再生核公式1981年对Harr 系的改进1984/5年A Grossmann ，J Morlet展开的伸缩平移系按一个函数ψ{}Zk j j j kb x a a ∈−−−,2/)(ψ4（2）国际性研究热潮和统一构造时期1986年Meyer 构造出了具有一定衰减性质的光滑函数1988年I Daubechies)(x ψ{}构成使得Z k j k j x ∈,,)(ψ的规范正交基)(2R L Communication on Pure and Applied Math.，1988, 41:909~996Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets 1989年S Mallat 1991年C K Chui ，J Z Wang 1992年I Daubechies 《Ten Lectures on Wavelets 》（3）全面应用时期1992年，《IEEE Transaction on Information Theory 》1993年，《Applied and Computational Harmonic Analysis》1993年，《IEEE Transaction on Signal Processing 》网络、软件、图书…52 小波变换与傅里叶变换1809年，J. Fourier（法）给出Fourier离散变换其想法是：用简单的函数表示复杂的周期函数1822年，——《热的解析理论》，提出Fourier变换1946年，D.Gabor引入窗口Fourier变换1965年，Cooley-Tukey（美）提出快速Fourier变换67D ．Gabor 变换或称为窗口傅里叶变换是Gaussian 函数，称为“窗口函数”.定义为的中的任何函数或信号FT t f R L )()(2∫−=Rt i dt e t f f ωω)()(ˆ∫−−=R t i a f dte b t g tf b G ωω)()(),(a t a e a tg 4/221)(−=π其中小波变换的定义∫∗−=R f dt ab t t f a b a W ))(1),(ψ>=<ψ,f。