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离散数学-2-2 命题函数与量词

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离散数学第三章 谓词演算基础函数与量词.ppt

离散数学第三章 谓词演算基础函数与量词.ppt

例3 If a program can not be told a fact，then it can not learn that fact.
解：设 P(e)表示e为program; F(e)表示e为fact; T(e1，e2)表示e1 can be told e2; L(e1，e2)表示e1 can learn e2;
则原句译为： x(A(x) y(B(y) C(x，y)) )
例2 金子闪光，但闪光的并非全是金子。
解：设 G(e)表示e为金子； S(e)表示e闪光。
则原句译为：
x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
或 x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
试译：计算机学院的有些老师是青年教师。
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(e)限定x取值范围。
例1 某些人对某些食物过敏。
解：设 A(e)表示e为人； B(e)表示e为食物； C(e1，e2)表示e1对e2过敏。
例5 任何人均会犯错误。
解：设 P(e)表示e为人； M(e)表示e为错误； D(e1，e2)表示e1犯e2。
则原句译为：
x( P(x) y(M(y)D(x，y)) )
例6 己所不欲勿施于人。
解：设 P(e)表示e为人； T(e)表示e为东西； W(e1，e2)表示e1要e2； S(e1，e2，e3)表示e1施e2给e3。
x(N(xN)(x):x是y自(然N数(。y)
∧G(y,x))
则命题可以表示为：
也可以理解为x“(B(下x)∧句N(x)话) 是不对的‘存在一

第二章谓词逻辑

第二章谓词逻辑
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2-3 谓词公式及命题符号化
而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词 后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号 不是最外层括号，所以不可以省略。 谓词演算公式中使用的符号（共七种）
简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数
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2-2 命题函数与量词
例如，给定简单命题函数： A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好， 1.复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。 2.复合命题函数B(x)∧C(x)：x学习好，工作也好 3.复合命题函数B(x)→C(x)：若x学习好，则x工作也 好
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2-2 命题函数与量词
2-2.2个体域 (论域) 例1：设Q(x,y)表示“x比y重” x,y为人或物时，它是一个命题 x,y为实数时,Q(x,y)就不是一个命题。 例2:S(x)表示x是大学生 x范围是某大学学生， S(x)是永真式 x范围是某中学学生，则S(x)是永假式 x范围是某个剧场中的观众，则S(x)对某些观众 是真，对某些观众是假
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2-2 命题函数与量词
用全总个体域时，对每一个客体变元的变化范 围，用特性谓词加以限制。 全称量词：特性谓词常作为蕴涵的前件 存在量词：特性谓词常作为合取项 例题１.所有的自然数都是整数。 设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。 命题为：x(N(x)→I(x))

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2-2 命题函数与量词
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2-3 谓词公式及命题符号化
要注意区分客体函数与谓词间的区别体变元用客体带入后的结果依 然是个客体(3∈N,g(3)=6，所以g(3)∈N)。

离散数学-第2章 习题课

离散数学-第2章 习题课

A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
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谓词公式与翻译
例12 从数学分析中极限定义为：任给小正数s，则 存在一个正数z，使得当0<|x-a|<z时有|f(x)-b|<s。 此时称 lim f ( x ) b
x
解： P(x,y)表示“x大于y”，Q(x,y)表示“x小于y”， 故 lim f ( x ) b 可以表示为：
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谓词公式与翻译
例7 用谓词公式写出下式。 若x<y和z>0,则xz>yz
解：设G(x,y):x大于y。则有
(x)(y)(z)(G( y, x)G(0, z) G( xz, yz))
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谓词公式与翻译
例8 自然数共有三个公理： a)每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 b)没有一个数，使数1是它的后继。 c)每个不等于1的数，都有唯一的一个数是它的直接 先行者。 用两个谓词表达上述三条公理
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变元的约束
例14 对 (x)( P( x) R( x, y)) Q( x, y) 换名
( 解：可以换名为： z)( P( z) R( z, y)) Q( x, y) ， 但可以改名为： (y)( P( y) R( y, y)) Q( x, y)以 及 (z)( P( z) R( y, y)) Q( x, y)。因为后两种更改 都将使公式中量词的约束范围有所变动。
( P(a) Q(a)) ( P(b) Q(b)) ( P(c) Q(c)) d) (x)P( x) (x) P( x)
(P(a) P(a) P(a)) ( P(a) P(a) P(a))
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离散数学作业册

离散数学作业册

离散数学作业册第一章命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！ ( ) 其真值( )(6)5x=． ( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人． ( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q→R∧S). ( )(2)((R→(Q→R)→(P→Q)). ( )(3) (P∨QR)→S. ( )(4)((?P→Q)→(Q→P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)?(P∨?Q).(2)?P→(Q→P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧?(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)?T.(2)P→(Q∧R)?(P→Q)∧(P→R).(3)?(P∨Q)∨(?P∧Q)??P．1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)．(2) (P→Q)→Q?P∨Q．(3)?(P↓Q)??P↑?Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{?，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若A∧C?B∧C，则A?B．(2)若?A??B，则A?B．(3)若A→C?B→C，则A?B．1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)?(P∧Q)∧(?P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)(?(P→Q)∧Q)∨R．(3)(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)?P→(Q∧R)(2) ┑(P?Q)?(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R?┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S?R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S?P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S?R∨S第二章谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语．(1)?x(E(x)∧D(x ，6))．(2)?x(O(x)→?y(P(x)→?D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域．(1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ?∧→?∨．(2)?x(P(x ，y)∨Q(z))∧?y(R(x ，y)→ ?zQ(z))．4.设个体域为A ＝{a ，b ，c}，消去公式?xP(x)∧?xQ(x)中的量词．2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（?x A(x)→B）?(?x(A(x)→B))．(2)（?x A(x)→B）??x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)?x（（┑?yP(x,y)）→(?zQ(z)→R(x))）．(2)?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))．2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。

命题函数与量词知识点总结

命题函数与量词知识点总结

命题函数与量词知识点总结一、命题函数命题函数是数学中一个重要的概念。

在逻辑学和数学中，命题函数是将每个元素对应至精确一个命题的函数。

1.1 命题函数的定义命题函数通常被定义为一个函数，其定义域是一个集合，而值域是命题集合的一个子集。

对于每个特定的输入值，该函数将返回一个命题。

一个命题函数可以有一个或多个自变量。

当只有一个自变量时，该命题函数也可以看做是命题逻辑中真值函数的一个实例。

1.2 命题函数的性质命题函数具有以下性质：- 定义域：每个命题函数都有一个定义域，即输入值的集合。

- 值域：每个命题函数都有一个值域，即可能的命题集合的子集。

- 真值：对于每个定义域中的元素，命题函数都具有一个真值。

1.3 命题函数的应用命题函数的主要应用在逻辑学、离散数学、集合论、概率论等领域。

在这些领域中，命题函数被用来描述符合各种逻辑规则的关系，以及描述各种可能性事件。

在计算机科学中，命题函数也经常被用来表示逻辑表达式。

二、量词量词是经常用来表达命题中的全称和存在等概念的逻辑符号。

在数理逻辑中，量词是被用来表示一个命题在一个特定范围内的所有元素。

常见的量词包括全称量词和存在量词。

2.1 全称量词全称量词通常用符号∀来表示。

对于一个集合中的所有元素，全称量词都可以用来描述它们都满足某个条件。

2.2 存在量词存在量词通常用符号∃来表示。

存在量词用来描述在一个集合中存在某个元素，满足某个条件。

2.3 量词的运用量词在数理逻辑中被广泛运用。

它们可以帮助我们清晰地表达复杂的逻辑关系，并帮助我们做出一些定量的推断。

量词也在数学、计算机科学和其他领域中有广泛的应用。

三、命题函数与量词的关系在逻辑学和数学中，命题函数和量词经常结合使用，以帮助我们描述和推断一些复杂的逻辑关系。

命题函数可以帮助我们描述一些命题的关系，而量词可以帮助我们描述这些关系在一个范围内的适用情况。

3.1 命题函数和全称量词当我们需要表达一个命题函数对定义域中所有的元素都成立时，我们可以使用全称量词。

离散数学(2.3谓词公式与翻译)

离散数学(2.3谓词公式与翻译)
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
8
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &

左孝凌离散数学课件2.1谓词概念与表示-2.2命题函数与量词


①若x，y，z ∈ R（实数），且P(x,y)：x小于y，则这个式子表 示“若x小于y且y小于z，则x小于z”。这是一永真式。
②若 x，y，z ∈人，且P(x,y)解释为：x为y的儿子，则这个式 子表示“若x为y的儿子且y是z的儿子则x是z的儿子”。这是一 个永假式。
③若x，y，z ∈地面上的房子，且P(x,y)：x距离y 10米，则这 个式子表示“x距离y10米且y距离z10米则x距离z10米”。这 个命题的真值将由x，y，z的具体位置而定，它可能为T， 也可能为F。
的取值范围有关。
2.2命题函数与量词
三、量词 • 量词：全称量词()和存在量词() 1.全称量词：用来表达“一切”、“所有”、“凡”、
“每一个”、“任意”等词，用符号“” 表示，
– ｘ表示对个体域里的所有个体 – ｘＦ(ｘ)表示个体域里的所有个体具有性质F. – 符号“”称为存在量词.
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2.2命题函数与量词
18
2.2命题函数与量词
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为
x(M(x) ∧ G(x))
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2.2命题函数与量词
三、量词
2.1谓词的概念与表示
一、基本概念
1. 客体 2. 谓词 3. 表示方法：谓词用大写字母，客体用小写字母 例1、采用谓词表示下列命题
1) 地球绕着太阳转； 2）济南位于北京与南京之间； 3）张三是大学生，李四是工人 解：1）设：L:……绕着……转，a：地球；b：太阳
即，L(a，b) 2）设：L：…位于…与…之间，a：济南；b：北京；c：南京

离散数学第二章


(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象及其关系的数学理论。

它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续对象和其性质。

离散数学在计算机科学、信息科学、电子工程等领域具有重要的应用价值。

下面将对离散数学的主要知识点进行总结。

1.命题逻辑：命题逻辑研究由命题符号组成的复合命题及其逻辑关系。

其中命题是一个陈述性的语句，可以是真或假。

命题逻辑包括命题的逻辑运算、真值表、命题的等价、充分必要条件等。

2.谓词逻辑：谓词逻辑是对命题逻辑的扩充，引入了量词、谓词和项。

它的研究对象是命题函数，可以表示个体之间的关系。

谓词逻辑包括谓词的运算、量词的运算、公理化和推理规则等。

3.集合论：集合论是研究集合及其操作的数学分支。

集合是一种由确定的对象组成的整体。

集合论包括集合的基本运算（交、并、差、补）、集合的关系（包含、相等、子集、真子集）以及集合的运算律和推导定理等。

5.组合数学：组合数学是研究物体的组合与排列问题的数学分支。

它包括排列、组合、分配、生成函数等内容，经常应用于计数和概率问题中。

6.图论：图论是用来描述物体间其中一种关系的图形结构的数学理论。

它研究的对象是由顶点和边构成的图，包括无向图、有向图、带权图等。

图论研究的内容包括图的性质、连通性、路径、回路、树、图的着色等。

7.代数系统：代数系统是一种由一组元素及其相应的运算规则构成的数学结构。

常见的代数系统有群、环、域、格等，它们分别研究了集合上的不同运算规律和结构。

8.布尔代数：布尔代数是一种应用于逻辑和计算机的代数系统。

它以真和假为基础，通过逻辑运算（与、或、非）构成了布尔代数。

布尔代数在计算机硬件设计和逻辑推理中广泛应用。

9.图的同构与图的着色：图的同构是指两个图在结构上相同，也就是说，它们具有相同的顶点和边的连接关系。

图的同构判断是一个NP难问题，需要借助于图的着色等方法来判断。

图的着色是给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点的颜色不同。

第二章 谓词逻辑-最终版


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2-1 谓词逻辑中的基本概念与表示 学习目标： 描述 “张三是河工大的学生”。 “李四是河工大的学生”。
内容 谓词 n元谓词。
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谓词逻辑的引入
命题是具有真假意义的陈述句。 从语法上分析，这种句子一般有主语和谓语。 如：“我是大学生”，。 “我”：主词、主语(一般是客体)，是句子叙述 的主体，指出句子要表达、描述的人或物； “是大学生”：谓词 (用来描述或判定客体性质、 特征或客体之间关系的词项) 如：“3大于2” 3和2都是客体，而“大于”是谓词。 对应的，在研究命题内部结构时，把这两部分称 为客体（或个体）、谓词。
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例：语句“x＞3”不是命题，含有不确定的 x，该语句 由两个部分组成： 第一部分是变量x，即语句的主语， 第二部分为语句的谓词“大于3”，表示主语的一 个性质。 可以用 P(x) 表示语句“ x ＞ 3” 。其中 P 表示谓词 “大于3”，x为变量。 一旦给变量x赋值， P(x) 就成为命题。 ？？问题： P(4)和P(2)的含义和值是什么？ P(4)：4>3，真值：T P(2) ：2>3，真值：F
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将命题函数→命题的两种方法
1）将变元取定具体的值。 如：A(x)：x是素数。A(2)：2是素数（真命题）
A(6)：6是素数（假命题）
2）将谓词量化。如(x)P(x), (x)P(x)。
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命题函数举例
例 . 设 S(x) 表示“ x 学习很好” , W(x) 表示“ x 工作很 好”, A(x)表示“ x身体好” S(x) 表示“x学习不是很好”, S(x) ∧W(x) 表示“x学习和工作都很好”。 A(x)→(S(x)∧W(x)) 表示“如果x身体不好，则x的学习与工作都不 会好”。 S(x), W(x)是简单命题函数, 而S(x), S(x)W(x), A(x)→(S(x)∧W(x))是 复合命题函数。
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二、个体域
客体变元的取值范围对命题函数是否可成 为命题及其真值极有影响 例4 R(x)：x是大学生

如果x的讨论范围是某大学里班级中的学生，则 R(x)是永真式 如果x的讨论范围是某中学班级里中的学生，则 R(x)是永假式。 而如果x的讨论范围是一个剧场中的观众，其中 有一部分大学生，那么，对某些观众，R(x)为真， 对另一些观众R(x)为假。
例
（a）所有人都是要呼吸的。
(b) 每个学生都要参加考试。

(c) 任何整数或是正的或是负的。 若设M(x):x是人，H(x):x要呼吸。

P(x):x是学生，Q(x):x要参加考试。 I(x):x是整数, R(x):x是正数，N(x):x是负数。 则(a)记为（x）(M(x) → H(x)) (b)记为（x）(P(x) → Q(x)) (c)记为（x）(I(x) → (R(x)∨N(x) )
例：将下列命题符号化，并讨论它们的真值。 ⑴ 2与3都是偶数。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：⑴ 设F(x)：x是偶数。 a： 2， b： 3 该命题符号化为： F(a)∧F(b) F(b)表示3是偶数，它是个假命题。所以F(a)∧F(b)为假。 ⑵ 设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，这是个 假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
一、命题函数
与命题逻辑中命题常量和命题变元的概念 类似，代表个体的个体标识符也可以表示 客体（个体常量）或客体变元（个体变元）


表示具体或特定个体的标识符称作个体常元， 一般用小写英文字母a、b、c、…或这些英文字 母带下标表示。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为 个体变元，常表示为x、y、z、…等或这些英文 字母带下标。
2
一、命题函数
上述三例中H(x),L(x,y),A(x,y,z)（其中x,y,z 为客体变元）本身不是一个命题，只有当 x,y,z取特定客体时，才确定了一个命题。 定义2-2.1 由一个谓词，一些客体变元组 成的表达式称为简单命题函数。

由这个定义可知，n元谓词就是有n个客体变元 的命题函数。当n=0时称为0元谓词，它本身就 是一个命题，所以命题是n元谓词（命题函数） 的一个特殊情况。

用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得 到的表达式就是前面所说的谓词填式。也把谓 词填式叫做0元谓词（含0个客体变元）。
4
一、命题函数
由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而 成的表达式称复合命题函数。

逻辑联结词 、∧、∨、→、↔ 的意义与命题演算中 的解释完全类同。
书例见P56 例1-例3
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三、量词
全称量词与存在量词统称为量词。 每个由量词确定的表达式，都与个体域有关， 如前列中（x）(M(x) → H(x))表示所有的人 都要呼吸，若把个体域限制在“人类”这个范 围中，那么亦可简单的表示为（x）(H(x)) 指定论域不仅与表达形式有关，而且与命题的 真值有关，如上例中设论域为“自然数”，则 命题的真值为F。为了方便，我们将所有命题函 数的个体域全部统一，使用全总个体体变元 的论述范围有关。


在命题函数中，客体变元的论述范围称为个体 域或论域。 个体域可以是有限的，也可以是无限的，包含 任意个体域的个体域称为全总个体域，它是由 宇宙间一切对象组成的集合。
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三、量词
有了客体变元和谓词之后，有些命题还是不能准 确的符号化，原因是还缺少表示客体（变元）之 间数量关系的词。称表示客体（变元）之间数量 关系的词为量词。量词可分两种:
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一、命题函数
设H是谓词“能到达山顶”


i表示客体李四、t表示老虎，c表示汽车 H(i)、H(t)、H(c)分别表示了三个不同命题，它们有一 个共同的共同的形式，即H(x) x取l时表示：李四能到达山顶 x取t时表示：老虎能到达山顶 x取c时表示：汽车能到达山顶
同理，若L(x,y)表示“x小于y”,那么L(2,3)表示一 个真命题：2小于3。而L(5,1)则表示假命题:5小于 1 又如A(x,y,z)表示“x+y=z”,则A(3,2,5)是一个真 命题，而A(1,2,4)是一个假命题。
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三、量词
⑵ 存在量词 “存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”等 词统称为存在量词，将它们符号化为“ ”。并用(x)， (y)等表示个体域里有些个体，而用(x)F(x)和(y)G(y) 等分别表示在个体域中存在个体具有性质 F 和存在个体具 有性质G。 例 (a)存在一个数是质数。 (b)一些人是聪明的。 (c)有些人早饭吃面包。 设P(x)：x是质数。 M(x): x是人。 E(x): x早饭吃面包。 则 (a)记为(x)(P(x)) (b)记为(x)(M(x)∧R(x)) (c) 记为(x)(M(x)∧E(x))
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二、个体域
例5 (P(x,y) ∧ P(y,z)) → P(x,z)
若P(x,y) ：x小于y。当x,y,z都在实数域中取值 时，该式永真 若P(x,y) ：x为y的儿子。当x,y,z都指人时，该 式永假 若P(x,y) ：x距离y 10米。若x,y,z表示地面上的 房子，则命题的真值将由x,y,z的具体位置而定， 可能为真，也可能为假。
⑴ 全称量词 日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的”， “每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词统称为全 称量词，将它们符号化为“”。并用(x)，(y)等表示 个体域里的所有个体，而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别 表示个体域中的所有个体都有性质F和都有性质G。

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三、量词
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一、命题函数

因为命题函数中包含客体变元，因此命题函数 没有确定的真值，它不是命题。只要用客体取 代所有的个体变元，就得到了命题。
例如，用 H(x,y) ： x+y≥0 ，显然此命题函数不是命题， 因为它无法判断真假。令 a：5, b：-7 用 a,b 分别取代 x,y ，就得到 H(a,b) ，它表示 5+( － 7 )≥ 0 ， 这是个假命题，它的真值为假。