数学资源篇正文

初一数学教学中的数学学科学习资源随着社会的发展和教育改革的推进，数学学科学习资源在初一数学教学中的作用越来越凸显。

合理有效地利用不同类型的学习资源，有助于提高学生的学习兴趣和学习效果。

本文将探讨初一数学教学中的数学学科学习资源的应用和意义。

一、教学课件数学教学课件是一种常见的数学学科学习资源。

教师可以通过精心制作的课件来展示数学概念、原理和解题方法，帮助学生理解抽象的数学概念。

此外，教学课件还可以加入动画、视频等多媒体元素，使得数学知识更加直观生动。

合理运用教学课件，能够提高学生的学习积极性和学习效果。

二、数学习题网站数学习题网站为学生提供了大量的习题资源，学生可以根据自己的学习进度和需求选择适合自己的习题进行练习。

这些网站不仅提供习题，还提供习题的解答和解题思路，方便学生及时纠正做题错误和巩固知识点。

通过数学习题网站的使用，学生可以提高数学技能，培养解题能力和逻辑思维。

三、数学思维训练软件数学思维训练软件可以帮助学生培养数学思维能力和解决实际问题的能力。

这些软件通过提供各种数学问题和情景，激发学生的思维，培养学生的创造力和探究精神。

学生可以通过实践操作，探索问题背后的数学原理和方法，提高数学思维的深度和灵活性。

四、数学教学视频数学教学视频为学生提供了在线学习的机会。

学生可以通过观看数学教学视频来理解数学知识点和解题方法。

教学视频一般由专业教师讲解，结合图表和实例进行说明，有助于学生深入理解和记忆数学知识。

此外，学生还可以根据自己的学习进度进行反复观看，加深对知识点的理解。

五、数学游戏数学游戏是一种融合了娱乐性和学习性的数学学科学习资源。

通过游戏的方式进行数学学习，能够提高学生的学习兴趣和主动性。

数学游戏可以设计成个体游戏或团体竞赛，激发学生的学习热情和竞争意识。

合理运用数学游戏，能够激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作精神和创新思维。

六、数学实验室数学实验室是一种提供实践机会和交流平台的数学学科学习资源。

教学资源小学六年级数学教案分享一、教学资源小学六年级数学教案分享1. 教学目标：- 知识目标：掌握六年级数学的相关知识，如小数运算、分数运算、图形的面积和体积计算等。

- 能力目标：培养学生的分析问题、解决问题和合作学习的能力。

- 情感目标：增强学生对数学的兴趣和学科的自信心。

2. 教学资源：- 第一单元：小数运算- 教材：小学六年级数学教科书- PPT课件：提供小数运算的相关概念和例题演练- 实物物品：提供十进制分位模型、小数计算器等实物进行教学辅助- 练习册：提供丰富多样的小数运算练习题供学生巩固和拓展- 第二单元：分数运算- 教材：小学六年级数学教科书- PPT课件：提供分数运算的基本概念和计算方法的讲解- 实物物品：提供分数条、分数卡片等实物进行教学辅助- 练习册：提供各种类型的分数计算练习题供学生反复练习和巩固知识- 第三单元：图形的面积和体积计算- 教材：小学六年级数学教科书- PPT课件：提供图形的面积和体积的计算公式及实例的演示 - 实物物品：提供拼图、实物模型等实物物品进行教学辅助- 练习册：提供各种类型的面积和体积计算题供学生巩固和应用3. 教学过程：- 第一单元：小数运算- 课堂导入：通过呈现一些关于小数的实际问题引起学生思考，并与学生进行讨论。

- 概念讲解：使用PPT课件介绍小数的概念和基本运算规则，并带领学生进行实例演练。

- 实物教学：使用十进制分位模型、小数计算器等实物进行操作示范，帮助学生理解小数运算。

- 练习巩固：在练习册中布置一些小数运算的练习题，让学生在课堂上进行解答，并及时纠正错误，巩固知识。

- 第二单元：分数运算- 课堂导入：通过观察水果、巧克力等实物，引导学生感知分数的概念，并与学生进行互动交流。

- 概念讲解：使用PPT课件介绍分数的基本概念和运算方法，并通过示例进行讲解。

- 实物教学：使用分数条、分数卡片等实物进行教学辅助，让学生直观地理解分数运算的过程。

小学五年级数学教学资源一、数学教学资源的重要性数学是一门重要的学科，对于培养学生的思维能力、逻辑思维和问题解决能力具有重要意义。

为了提高小学五年级数学教学的效果，丰富教学内容，教师们需要合理利用各种数学教学资源。

二、电子教学资源随着科技的发展，电子教学资源成为了现代教学的重要组成部分。

在数学教学中，多媒体课件、教学软件和网上资源提供了丰富的教学内容和互动方式。

通过播放精美的动画、图表和视频，可以直观地展示数学概念和解题方法，激发学生的学习兴趣。

同时，在线练习题和互动游戏可以帮助学生巩固知识，提高学习效果。

三、实物教学资源实物教学资源对于小学五年级数学教学非常重要。

例如，教学用具如直尺、量角器、计算器等可以直观地展示几何图形的性质和测量方法，帮助学生理解数学概念。

拼图、数字卡片等游戏可以增加学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

另外，教科书、练习册和参考书等纸质教材也是不可或缺的教学资源，提供了系统的数学知识和练习题，供学生进行自主学习和巩固知识。

四、实践教学资源数学是一个实践性很强的学科，实践教学资源对于学生的学习非常有帮助。

学校可以组织数学活动和实地考察，如参观数学展览、数学实验等，让学生亲身体验数学知识在实际生活中的应用和意义。

通过实践教学，学生可以更深入地理解数学概念，并能够将其应用到实际问题中解决。

五、多媒体教学资源多媒体教学资源包括图片、音频和视频等，能够多维度地呈现数学知识。

教师可以利用多媒体教学资源设计丰富多样的教学案例和示范，让学生通过观看、听取和模仿等方式学习数学知识。

此外，教师还可以利用多媒体教学资源创建学习平台，让学生在线上进行数学学习和互动。

六、教育游戏与应用教育游戏与应用是一种生动有趣的数学教学资源。

通过游戏和应用程序，学生可以在轻松愉快的氛围中进行数学学习。

教师可以选择一些专为小学生设计的数学游戏和应用，让学生通过游戏的方式巩固知识、培养计算能力和解决问题的能力。

七、家庭教育资源家庭教育资源是指家长在孩子数学学习中的配合和支持。

初中数学学习资源整合第一篇范文：初中数学学习资源整合在当今信息化社会，教育资源丰富多样，如何整合这些资源，提高初中数学教学质量，是我们面临的重要课题。

本文从教材、网络资源、实践活动等方面，探讨初中数学学习资源的整合策略。

一、教材整合教材是数学教学的基础，对新课标教材进行深入研究，挖掘教材中的知识点、方法和思想，是整合教育资源的第一步。

1.知识点的整合：按照教材的编排顺序，梳理各个章节的知识点，形成知识体系。

注重知识的前后联系，引导学生理解数学知识的形成过程。

2.方法的整合：教材中蕴含着丰富的数学方法，如归纳法、演绎法、分类法等。

教师要在教学过程中，引导学生发现、总结和运用这些方法，提高解题能力。

3.思想的整合：数学思想是数学教育的灵魂，教材中融入了诸如函数思想、方程思想、数形结合思想等。

教师要通过教学活动，让学生感悟和领会这些思想，培养学生的数学素养。

二、网络资源整合网络上有大量的数学教学资源，如何筛选、整合这些资源，为教学服务，是亟待解决的问题。

1.教学视频：精选优质的教学视频，如公开课、讲座等，结合课堂教学，提高教学效果。

2.教学素材：下载相关的数学教学素材，如课件、习题等，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣。

3.教育平台：利用教育平台，开展在线教学、辅导，实现资源共享，提高教学效率。

三、实践活动整合数学教学不仅仅是课堂上的知识传授，还需要开展丰富的实践活动，让学生在实践中学习和成长。

1.数学竞赛：组织学生参加各类数学竞赛，激发学生的学习兴趣，提高解题能力。

2.数学实验：开展数学实验活动，让学生在实验中探索数学规律，培养创新能力。

3.数学沙龙：定期举办数学沙龙，让学生分享学习心得，互相促进，共同成长。

四、总结初中数学学习资源整合，需要我们从教材、网络资源、实践活动等多方面入手，充分发挥各种资源的优势，提高教学质量，培养学生的数学素养。

我们应当不断探索和实践，为初中数学教育贡献力量。

第二篇范文：示范课课程设计一、课程背景在初中数学教学中，《相似三角形的性质》是学生继学习了三角形的基本概念、判定和性质之后，进一步研究三角形的重要内容。

学习资源小学数学学习资源的整理与利用数学作为小学生必修的学科之一，对学生的思维发展和逻辑推理能力有着重要的促进作用。

在学习数学的过程中，学生需要有有效的学习资源来辅助他们的学习。

本文将探讨如何整理和利用小学数学学习资源，让学生在数学学习中取得更好的成绩。

一、课堂教学资源课堂教学是学生获取数学知识的主要途径。

教师在设计数学教学的时候，应合理利用教材、教具、多媒体等资源，提升学生的学习效果。

教师可以根据教学内容准备多媒体课件，结合图表、动画等形式，直观地展示数学概念和解题方法。

同时，教师还可以利用教具进行实物演示，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。

在课堂上，教师还可以设计一些小组合作或游戏活动，让学生在合作中学习，激发他们的学习兴趣。

二、练习资源数学学习需要通过大量的练习来巩固知识并提高解题能力。

因此，学生需要有大量的练习资源来帮助他们进行针对性的练习。

学校可以建立数学练习库，收集整理各类数学练习题，供学生自主选择。

同时，学生还可以利用教辅书籍、网络资源等进行练习。

练习资源的选择应根据学生的学习水平和需求进行合理的调整，帮助他们逐步提高解题能力。

三、提高资源学生在学习数学的过程中，可能会遇到一些困难和难题。

对于这些问题，学生可以寻找提高资源来帮助解决。

首先，学生可以向老师请教，寻求帮助和解答。

其次，学生还可以与同学进行讨论和交流，共同解决问题。

此外，学生还可以利用网络资源，如数学学习网站、论坛等，寻找相关的讲解视频和解题方法。

提高资源的利用有助于学生克服困难，提高数学学习效果。

四、创新资源在数学学习中，教师可以通过创新的方式来设计教学资源，激发学生的学习兴趣和创造力。

例如，教师可以组织数学竞赛，让学生在竞赛中展示自己的才华和解题能力。

同时，教师还可以利用科技手段来设计数学学习游戏，通过游戏的方式来培养学生的逻辑思维和推理能力。

创新的资源设计可以让学生在轻松的氛围中享受数学学习的乐趣。

综上所述，对于小学数学学习资源的整理与利用，可以从课堂教学资源、练习资源、提高资源和创新资源等方面进行考虑。

四年级数学小故事10篇1．巧遇铅笔博士很久很久以前，有一个小小的点，圆圆的脑袋，人称小圆点。

小圆点常常想：有没有谁长得像我一样呢？这个世界上我是孤孤单单的一个吗？一天，他遇见一位穿着红袍子的大铅笔博士。

小圆点上前虚心地请教：“博土，您见多识广，您从前也碰到过像我这样微不足道的小圆点吗？”大铅笔博士哈哈地笑了起来：“这可太多了，太多了。

”说完，真的在他脚下又出现了一个小圆点。

大铅笔博士弯着腰乐呵呵地笑着说：“你们是亲生兄弟，都是点呀。

把你们两个点连接起来，就是一条线。

你们看看，”大铅笔博士说着，就在两点之间画了起来。

“哈哈……我们手拉手啦！”小圆点高兴地又跳又喊起来。

“我们手拉手啦！”“我们手拉手啦！”“我们……”说也奇怪，从线上传来了一阵又一阵的欢笑声。

“哗哗哗”一下子，一条线变成无数个小圆点，一个挤着一个。

“呀？这是怎么回事呢？哪儿来这么多的小圆点呀？”小圆点睁着大眼睛，又惊又喜。

“是呀，一条线就是由许多点组成的，数也数不清。

”大铅笔博士说。

“唰——”一下，原来许多你挤我，我挤你的小圆点又变成了一条线，直来直去，好玩极了。

小圆点再也看不见啦，只听见他们在唱着：“点点点，连成线，线儿长，点儿多，点点线线处处见。

”2．没完没了地走一天，小圆点走着走着，突然被地上的什么东西绊倒了。

低头一看，原来是弯弯曲曲的一条线。

“真讨厌！”小圆点生气地说。

“对不起，我是曲线，也是线呀。

”“曲线？”“你们可以把我拉直，拉直了，就成了直线了……”曲线说。

于是，曲线上两个小圆点使劲地拉了起来。

很快，一条直线出现在眼前了。

小圆点沿着笔直的方向高高兴兴地走在直线上，走呀，走呀，他走累了，自言自语地说：“我还要走多长时间呀，是不是快走到头了呢？”“哈哈……”一阵笑声，打断了小圆点的思索。

小圆点低头一看，原来是直线在哈哈大笑：“你呀，你呀，你是永远也走不到尽头的。

你难道不知道，我直线是没有尽头的吗？”“什么，直线没头？那我往回走。

小学数学优秀参赛论文数学课程资源的开发与利用浅谈小学数学优秀参赛论文数学课程资源的开发与利用浅谈张森白银市育才学校课程资源是指形成课程的要素来源，以及实施课程的必要而直接的条件，而数学课程资源是指依据数学课程标准所开发的各种教学材料以及数学课程可以利用的各种数学资源、工具和场所。

一、教师是课程的建设者和开发者，是重要的课程资源教师是课程实施的组织者和促进者，决定课程资源的选择、开发和利用，是学生学习的引导者，因此，教师本身就是课程资源。

1.树立全新的课程资源观。

数学教师作为数学课程的实施者会直接影响到数学教学的效果。

由于教师的教育经历、学习兴趣、专业背景及性别的不同，对课程资源的驾驭能力也会有差异，而这些差应站在1.2.开展数学教学活动最基本、最便利、最重要的数学课程资源，是一切数学课程资源的基础和核心。

1.拓展教材，培养学生实践能力。

在数学教学中，要培养学生观察和认识周围事物的兴趣，使学生能初步运用所学的知识解决实际问题，提高学生解决问题的策略和方法。

例如，在学习了概率知识后，我利用扑克牌在课堂上与同学们一起玩摸牌中奖游戏，通过各种摸牌游戏，引导学生计算出中奖概率，进一步深入到社会中各种摸奖活动，让学生学会用概率知识揭露社会上的骗局。

2.利用学校的图书馆、多媒体等，丰富数学课程资源。

学校图书馆对于扩大学生的知识面，激发学生学习的兴趣有着重要作用。

同时教师可以引导学生关注报刊上的各种知识信息，让学生进一步体会数学与社会生活的关系。

其次，现代信息技术为数学教学提供了一个全新的展示平台，教师利用投影仪、幻灯片、电视机、录像机等多媒体手段，为学生展示各种数学模型，使学生对数学课产生兴趣，让学生积极的参与到课堂中，使本来枯燥的课堂变得活跃起来，因而收到了很好的效果。

3.构建学生自主学习的教育平台。

充分利用信息化课程资源所提供的广阔发展空间，提供学习者自主学习的教育平台，实现个性化学习。

为此，我们利用校园网，建立教学资源库，形成数学专题资源网站实现资源共享。

绿色圃五年级数学资源
摘要：
1.绿色圃五年级数学资源的概述
2.绿色圃五年级数学资源的内容
3.绿色圃五年级数学资源的使用建议
正文：
【绿色圃五年级数学资源概述】
绿色圃五年级数学资源是一款针对五年级学生的数学学习资源，它涵盖了五年级数学的全部知识点，包括数学基础知识、数学应用、数学思维训练等内容，旨在帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

【绿色圃五年级数学资源内容】
绿色圃五年级数学资源包括以下几个部分：
1.数学基础知识：包括数的认识、四则运算、小数和分数、几何图形等基本数学知识。

2.数学应用：包括日常生活中的数学问题、数学在科学中的应用等，帮助学生了解数学的实际应用。

3.数学思维训练：包括数学游戏、数学谜题、数学思维训练题等，旨在培养学生的数学思维能力。

【绿色圃五年级数学资源使用建议】
1.绿色圃五年级数学资源适合五年级学生自主学习，也适合家长和老师辅导学生学习。

2.学生在学习过程中，可以根据自己的学习进度和需要，选择适合自己的学习内容。

3.家长和老师可以根据学生的学习情况，利用绿色圃五年级数学资源进行有针对性的辅导。

4.在使用绿色圃五年级数学资源的同时，学生还需要多做练习，将理论知识转化为实际解题能力。

初中数学教学资源数学作为一门基础学科，在学生的学习过程中占据着举足轻重的地位。

它不仅锻炼了我们的思维能力，而且在我们未来的学习和工作中也起着至关重要的作用。

以下是关于初中数学学习的一些建议和方法，希望能对大家有所帮助。

主要学习内容初中数学的主要学习内容包括：数的运算、代数、几何、概率和统计、数学应用等。

每一个部分都有自己的特点和难点，学生需要通过努力学习，掌握每一个部分的知识和技能。

学习注意事项在学习数学的过程中，我们需要注意以下几点：1.注重基础：数学的学习是循序渐进的，只有基础打牢了，才能更好地理解和掌握后面的知识。

2.多做练习：数学是一门需要通过大量练习来提高的学科，只有通过不断的练习，才能掌握每一个知识点。

3.培养思维能力：数学的学习不仅仅是学习知识，更重要的是培养我们的思维能力，包括逻辑思维、创新思维等。

主要学习方法和技巧1. 分散学习法将学习内容分散到不同的时间段，而不是一次性学习。

这样可以避免因为长时间学习而导致的疲劳，也可以帮助我们更好地理解和记忆知识。

2. 归纳总结法对于每一个学习的内容，我们需要通过归纳总结，形成自己的知识体系。

这样可以帮助我们更好地理解和记忆知识，也可以在需要的时候快速地找到答案。

3. 错题本在做练习的过程中，我们会遇到很多错题，将这些错题整理在一个本子上，可以帮助我们更好地找出自己的问题，也可以在需要的时候快速地找到解决问题的方法。

中考备考技巧1.熟悉考试大纲：了解中考的考试内容和考试要求，有针对性地进行复习。

2.做真题：通过做历年的中考真题，了解考试的题型和难度，找出自己的弱点，有针对性地进行复习。

3.保持良好的心态：中考是一场考试，不是生死攸关的大事，我们需要保持良好的心态，以最好的状态去面对考试。

提升学习效果的策略1.制定学习计划：根据自己的学习情况，制定合理的学习计划，合理安排学习时间。

2.找到合适的学习方法：每个人的学习方法都是不同的，我们需要找到适合自己的学习方法，提高学习效率。

初三年级数学学习资源分享初三年级的数学学习是一段充满挑战与机遇的旅程。

在这个阶段，学生们不仅需要掌握数学基础知识，还需要培养解决问题的能力和数学思维。

为了帮助他们在这条道路上前行，我们分享一些优质的数学学习资源。

首先，数学教材是他们学习的重要基石。

就像一位贴心的导师，教材不仅系统地介绍各种数学概念，还提供了大量的练习题和案例，帮助学生们理解和应用所学内容。

通过教材，学生们可以逐步掌握代数、几何、概率等领域的知识，为将来的学习打下坚实的基础。

其次，数学在线学习平台为学生们提供了便捷和多样化的学习资源。

这些平台如同一位灵活的辅导员，随时随地为学生们解答疑惑，提供个性化的学习建议。

通过在线平台，学生们可以参与互动课程、观看教学视频，并通过在线测验检验自己的理解水平。

这种灵活性不仅丰富了学习的方式，也激发了学生们对数学的兴趣。

除了传统的教材和在线学习平台，数学竞赛和活动也是激发学生学习兴趣的重要途径。

这些竞赛不仅考验学生们的数学技能，还培养了他们解决复杂问题的能力和团队合作精神。

参加数学竞赛不仅可以锻炼学生们的数学实力，还可以为他们的学术和职业生涯打开更广阔的可能性。

最后，数学学习社区和资源分享平台为学生们提供了一个交流和分享的平台。

在这里，学生们可以与其他同学讨论问题、分享学习经验，互相学习和进步。

通过参与社区活动，学生们不仅能够拓展自己的视野，还能够建立起学术上的深厚友谊和合作关系。

总之，初三年级数学学习资源的丰富性和多样性为学生们的学习旅程增添了无限可能。

教材、在线学习平台、数学竞赛以及学习社区和资源分享平台，每一个都像是一位智慧而贴心的导师，为学生们的数学学习之路点亮了明灯。

让我们与学生们一同在数学的海洋中航行，共同探索知识的奥秘，培养未来的数学家和科学家。

八年级下册数学资源一、整式的概念与运算1.1 整式的定义整式是由常数与变量经过有限次的加、减、乘运算所得到的代数式。

1.2 整式的分类根据项数和次数的不同，整式可分为单项式、多项式和恒等式。

1.3 整式的加法与减法整式的加法与减法要遵循同类项相加减的原则，将同类项进行合并运算。

1.4 整式的乘法整式的乘法要将每一项与另一整式中的每一项进行乘法运算，并将结果进行合并运算。

1.5 整式的乘法公式常见的整式的乘法公式包括两个一次多项式相乘、一个一次多项式与一个二次多项式相乘等情况。

二、一次函数与一元一次方程2.1 一次函数的概念一次函数是指函数的自变量的最高次数为1的函数。

其图象是一条直线。

2.2 一次函数的性质一次函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2.3 一元一次方程的解法解一元一次方程可以通过等式两边加减相等的数或者乘除相等的数等运算，得到方程的解。

2.4 一元一次方程的应用一元一次方程的应用包括问题的建立、方程的列立、方程的解法和解的验证等过程。

三、平面直角坐标系与图形的性质3.1 平面直角坐标系的构建平面直角坐标系由横轴（x轴）和纵轴（y轴）组成，通过确定原点和两个轴的正方向来构建。

3.2 点的坐标与坐标轴的交点点的坐标是通过横坐标和纵坐标确定的，坐标轴的交点即为平面直角坐标系中的点。

3.3 图形的平移与旋转图形的平移是将图形沿着平面直角坐标系的轴的正方向进行移动，旋转是将图形绕着某一点进行旋转。

3.4 图形的对称性图形的对称性包括轴对称和点对称，通过将图形折叠或旋转后，使得两部分完全或部分重合。

四、函数的概念与性质4.1 函数的定义函数是指通过一定的规则将自变量与因变量对应起来的关系。

4.2 函数的表示与性质函数可以用方程、图象、表格等形式来表示，函数的性质包括定义域、值域、单调性等。

4.3 函数的运算函数的运算包括函数的加减乘除和复合运算，通过将两个函数的运算结果进行合并。

第一部分 填空题 练习(一)1. (2015·新课标全国Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|(x －1)(x ＋2)＜0}，则A∩B＝__________.3. (2016·天津六校期末)若复数2－bi1＋2i(b∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，则b ＝________．4. (2015·上海长宁区期末 )根据下面的框图，打印的最后一个数据是________．5. (2016·广州一模)已知f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝__________．6. (2016·广东四校联考)从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为________．7. (2015·安徽)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．(填序号)① 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行； ② 若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行；③ 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④ 若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面．8. (2016·开封期末)已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c(c ＞0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c)x 与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是________．9.(2015·藁城一中月考 )已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.10.(2016·台州期末)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＞1，则不等式f(x 2－3)＞f(12x)的解集为________．11.(2015·天水一中月考)已知{a n }是首项为32的等比数列，S n 是其前n 项和，且S 6S 3＝6564，则数列{|log 2a n |}的前10项和为________．12.(2015·普陀调研)若抛物线y 2＝4xm(m ＞0)的焦点在圆x 2＋y 2＝1外，则实数m 的取值范围是________．13.(2015·沈阳联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为________．14(2015·银川一中月考)对于实数a 和b ，定义运算“*”：ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a>b ， 设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．练习(二)1. (2016·嘉兴期末)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|(12)x ≤1}，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A∩B＝________．3.(2015·银川一中月考)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________．4.(2016·广州一模)执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝3，则输出k 的值为________．5.若函数f(x)(x∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________．6.(2015·上海长宁区期末)已知a ，b ∈{－3，－2，－1，1，2，3}且a≠b，则复数z ＝a ＋bi 对应点在第二象限的概率为________．(用最简分数表示)7.(2015·保定期末)已知函数f(x)＝sin(wx ＋π4)(w>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝________．8.(2016·廊坊期末)用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，现将半径为2的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为________．9. (2015·四川新津中学一诊)△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OC →·AB →＝________．10. (2015·宁德期中)已知等比数列{a n }的首项a 1＝2 015，公比为q ＝12，记b n ＝a 1a 2a 3…a n ，则b n 达到最大值时，n 的值为________．11. (2015·襄阳调研)已知sinα－cosαsinα＋cosα＝1＋2，则tan2α＝________．12. (2015·江西名校联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是________．13. (2015·广东联考)已知p ：M∈{(x，y)||x|＋|x －2|＋y 2＋2y ＋2≤3}，q ：M∈{(x，y)|(x －1)2＋y 2<r 2}(r>0)．如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是________．14. (2015·南昌二中月考)已知λ∈R ，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜0，lgx ，x ＞0，g(x)＝x 2－4x ＋1＋4λ，若关于x 的方程f(g(x))＝λ有6个解，则λ的取值范围为________．练习(三)1. (2015·山东师大附中三模)已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x|x ＝2a ，a ∈M}，则集合M∩N ＝________．3.(2015·上海长宁区期末 )复数2＋2i1－i＝________．(i 是虚数单位)4.(2016·日照一中期末)如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是_________．5.(2015·渭南白水中学月考)把函数y ＝sin(5x －π2)的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________．6.(2016·廊坊期末)从集合{0，2，4，6，8}中随机取一个数m ，从集合{0，4，8}中随机取一个数n ，则“事件m ≤n ”发生的概率是________．7.(2015·重庆丰都实验中学月考)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为________．8.(2016·广东月考)已知双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p＝________．9.(2015·上海杨浦区调研)向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则实数m ＝________．10.(2015·上海长宁区期末)已知数列{a n }是以－2为公差的等差数列，S n 是其前n 项和，若S 7是数列{S n }中的唯一最大项，则数列{a n }的首项a 1的取值范围是________．11.(2016·西安一模)若△ABC 的内角满足sinA ＋2sinB ＝2sinC ，则cosC 的最小值是________．12.(2016·嘉兴期末)已知圆心在原点，半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中A(4，0)，B(6，8)，C(2，4)，则R 的取值范围是________．13.(2015·云南模拟)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．14.(2015·沈阳联考)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心(三角形中三条边上中线的交点叫重心)，且∠AOB＝60°.若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．练习(四)1. (2015·安徽)设p ：1<x<2，q ：2x>1，则p 是q 成立的______________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件” 或“既不充分也不必要条件”)2. (2015·重庆一中一诊)已知集合A ＝{0，1，m}，B ＝{x|0<x<2}，若A∩B＝{1，m}，则m 的取值范围是________.3. (2016·成都一诊)设复数z 满足－iz ＝(3＋2i)(1－i)(其中i 为虚数单位)，则z ＝________．4. (2015·云南模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0＝________．5. (2015·蚌埠质检)不等式0<1－x 2≤1的解集为________．6. (2015·北京石景山区期末)若抛物线y ＝ax 2的焦点与双曲线y 23－x 2＝1的焦点重合，则a 的值为________．7. (2015·新课标Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90，C 为该球面上的动点，若三棱锥OABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．8. (2015·淄博六中)已知a 是函数f(x)＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f(x 0)的值________0.(填“大于”或“小于”)9. (2016·台州期末)如图，等边△ABC 的边长为2，△ADE 也是等边三角形且边长为1，M 为DE 的中心，在△ABC 所在平面内，△ADE 绕A 逆时针旋转一周，BD →·AM →的最大值为________．10. (2015·邯郸质检)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，过点A(2，3)作O 的切线，切点分别为P 、Q ，则直线P 、Q 的方程为____________．11. (2016·桂林、崇左一模)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为________．12. (2016·嵊州期末)已知函数y ＝f(x)的图象是由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位得到的，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．13. (2015·新课标Ⅰ)设函数f(x)＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)＜0，则a 的取值范围是________．14. (2016·天津六校期末)已知定义在R 上的函数，当x ∈[0，2]时，f(x)＝8(1－|x－1|)，且对任意的实数x∈[2n －2，2n ＋1－2](n∈N *，且n≥2)，都有f(x)＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1，若方程f(x)＝|log a x|有且仅有四个实数解，则实数a 的取值范围为________．练习(五)1. (2015·天津)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝________．2.(2015·上海五校联考)函数y ＝1－lgx 的定义域为________．3.(2016·兴平一检)已知i 为虚数单位，复数z 满足iz ＝1＋i ，则z －＝________．4.(2015·淄博六中)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出的y 值是________．5.(2016·徐汇期末)正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为________．6.(2016·嘉兴期末)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f(π)＝________．7. (2015·福建理)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的__________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”)8.(2016·台州期末)已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 为非零实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则1a 2＋2b2的最小值为________．9.(2016·成都一诊)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为________．10.(2016·兴平一检)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f(x)>2的解集为________．11.(2016·天津六校期末)圆O 中，弦AB ＝2，AC ＝7，则AO →·BC →的值为________．12.(2016·广州一模)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．13.(2016·日照一中期末)已知函数f(x)＝x ＋sinx(x ∈R )，且f(y 2－2y ＋3)＋f(x 2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，yx＋1的取值范围是________．14.(2015·沈阳联考)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你根据这一发现，得出函数f(x)＝x3－3x2＋3x＋1的对称中心为________．练习(六)1. (2015·广东)若集合M ＝{x|(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x|(x －4)(x －1)＝0}，则M∩N ＝________．2.(2015·福建文)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．3.(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z|＝________．4.(2015·陕西理)根据下面的程序框图，当输入x 为2 006时，输出的y ＝________．5.(2016·广东四校期末)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝64－4n5，设A n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12|(n∈N *)，当A n 取得最小值时，n 的取值是________．6.(2015·广东文)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．7.(2016·日照一中期末)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ≤3，x ＋y ＋k≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为6，则常数k ＝________．8.(2015·四川)过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB|＝________．9.(2016·汕头金山中学期末)在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝________．10.(2016·哈尔滨六中月考)若曲线y ＝a x＋1(a ＞0且a≠1)在点(0，2)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________．11.(2016·郑州一测)已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．12.(2015·宁德期中)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝________．13.(2015·上海长宁区期末)已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5tanB ＝6ac a 2＋c 2－b 2， 则sinB 的值是________．14.(2015·湖南理)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．练习(七)1. (2015·西安八十三中段测)集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x|－1＜x ＜2}，则A∩B＝________．2. (2015·南昌二中月考)复数z 满足z(3－4i)＝1(i 是虚数单位)，则|z|＝________．3. (2015·北京文)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程 (千米) 2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日 48 35 600100千米平均耗油量为________升．4. (2015·天津理)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．5. (2015·山东师大附中三模)已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．6. (2015·西安临潼区一模)在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是________．7. (2015·上海五校联考)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1，其双曲线的右焦点与抛物线y 2＝43x的焦点重合，则该双曲线的方程为________．8. (2016·徐汇一模)函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4(x∈R )的单调递增区间是________． 9. (2016·嵊州期末)已知向量a ，b ，|a|＝2，|b －a|＝1，则|a ＋b|的最大值为________． 10. (2016·宁波期末)已知实数{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝8，则a 1a 9＋a 1a 5＋a 5a 9的最小值是________．11. (2016·廊坊期末)如图所示，y ＝f(x)是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋3是曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h ′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是________．12. (2015·宁德期中)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝________． 13. (2016·桂林、崇左一模)若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是________．14. (2015·唐山模拟)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”．不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件：① b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；② 数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”．下面三个数列：① 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3(n 2－1)；② 数列1，2，3，4，5；③ 1，2，3， (11)具有“P 性质”的为________，具有“变换P 性质”的为________．(填序号)练习(八)1. (2016·南阳期末)已知集合A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为________．2. (2015·深圳一模)将容量为n 的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个长方形的面积之比3∶4∶5∶2∶1，且最后两组数据的频数之和等于15，则n ＝________．3. (2016·郑州一测)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＝________．4. (2016·广东四校期末)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．5. (2016·泉州质检)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，若|PF|＝4，点P 到y 轴的距离等于3，则点F 的坐标为________．6. (2015·平凉一模)已知命题p ：x 2＋2x －3＞0，命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是____________．7. (2016·广东月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤2，x －y≥－1，x ＋y≥1，若目标函数z ＝2x ＋ay仅在点(3，4)取得最小值，则a 的取值范围是____________．8. (2015·惠州一调)双曲线x 23－y22＝1的焦距为________．9. (2016·桂林、崇左一模)已知π2＜α＜π，3sin2α＝2cos α，则cos (α－π)＝________．10. (2016·南昌二中月考)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3，若AF →＝λAB →＋AC →，且AF →⊥BC →，则实数λ的值为________．11. (2015·江西名校联考)在△ABC 中，A ＝2B ，且3sinC ＝5sinB ，则cosB ＝________．12. (2016·台州期末)设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．13. (2015·哈尔滨六中月考)正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为________．14. (2016·南阳期末)已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是________．练习(九)1. (2016·天津六校期末)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，M ＝{2，3，4，6}，N ＝{1，4，5}，则(∁U M )∩N＝________．2.(2015·广东文)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x －＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．3.(2016·日照一中期末)已知1－bi1＋2i＝a ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________．4.(2015·漳州一模)如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于________．5.(2015·合肥一模)已知函数f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，则满足不等式f[f(t －1)]＜0的实数t 的取值范围是________．6.(2016·广东月考)已知平面向量a 、b 满足|a|＝|b|＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b|＝________．7.(2016·开封期末)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，若f(－1)＞－2，f(－7)＝a ＋13－2a，则实数a 的取值范围为________．8.(2016·汕头金山中学期末)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为________．9.(2016·郑州一测)△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cosA ＋sinA 3sinA －cosA＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则2cosB ＋sin2C 的最大值为________．10.(2015·澄海区校级模拟)若曲线y ＝xlnx 上点P 的切线平行于直线x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．11.(2015·广东联考)在△ABC 中，A ＝45°，B ＝75°，c ＝2，则此三角形的最短边的长度是________．12.(2016·南阳期末)如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1上，那么|PQ|的最小值为________．13.(2016·泉州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝6，S 2＝4，S n ＞0，且S 2n ，S 2n －1，S 2n ＋2成等比数列，S 2n －1，S 2n ＋2，S 2n ＋1成等差数列，则a 2 016＝________．14.(2015·张掖二中月考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lgx|，0＜x≤10，－15x ＋3，x ＞10，若a 、b 、c 均不相等且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围为________．练习(十)1. (2015·平凉一模)设集合A ＝{1，2，4，6，8}，B ＝{1，2，3，5，6，7}，则A∩B 的子集个数为________．2. (2015·崇川区校级一模)某中学共有学生2 800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为________．3. (2016·武汉调研)设i 是虚数单位，若复数a －174－i(a ∈R )是纯虚数，则实数a 的值为________．4. (2016·桂林、崇左一模)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为________．5. (2016·南阳期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＞0，q ＞1，且a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 6＝________．6. (2015·银川一中月考)设m>1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，y ≤mx ，x ＋y≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．7. (2015·淄博六中期末)定义式子运算为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3sinx 1cosx 的图象向左平移n(n ＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为________．8. (2016·嵊州期末)如图，椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆上的点P 作y 轴的垂线，垂足为Q.若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该椭圆的离心率为________．9. (2016·东莞期末)在△ABC 中，|AB →|＝|CA →＋CB →|，|CA →|＝4，|CB →|＝3，BP →＝2PA →，则CP →·AB →的值为________．10. (2015·上海长宁区期末)现有如下命题：① 函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是2π；② 终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k ∈Z }；③ 在同一坐标系中，函数y ＝sinx 的图象和函数y ＝x 的图象有一个公共点；④ 把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图象； ⑤ 在△ABC 中，若acosB ＝bcosA ，则△ABC 是等腰三角形； 其中真命题是________．(填序号) 11. (2015·江西名校联考)设甲、乙两个圆锥的底面积分别为S 1，S 2，母线长分别为L 1，L 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则L 1L 2的值是________．12. (2015·云南模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA|的最小值为________．13. (2016·南昌二中月考)已知a ，b 都是负实数，则a a ＋2b ＋ba ＋b的最小值是________．14. (2016·成都一诊)如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栅栏进行隔离，古建筑群的边界为曲线y ＝1－43x 2的一部分，栅栏与矩形区域边界交于点M ，N.则△MON 面积的最小值为________．练习(十一)1. (2015·普陀调研)若集合A ＝{x|lgx ＜1}，B ＝{y|y ＝sinx ，x ∈R }，则A∩B＝________．2. (2015·湖南理)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9141 1 12 2 23 34 45 5 56 67 815 0 1 2 2 3 3 33. (2016·南阳期末)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝________．4. (2016·郑州一测)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线bx＋ay ＝1的斜率k≥－25的概率是________．5. (2015·渭南白水中学月考)在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．6. (2015·山东师大附中二模)已知x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cosx ＝45，则tan2x ＝________．7. (2015·西安一中月考)曲线f(x)＝x ＋ax在(1，a ＋1)处的切线与直线3x ＋y ＝0垂直，则a 等于________．8. (2016·嘉兴期末)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA|＝|MO|，则椭圆的离心率为________．9. (2016·南阳期末)如图在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝4，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．10. (2015·沈阳一模)函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．11. (2016·台州期末)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≥0，x －2y ＋1≤0，2x ＋y －8＜0，则u ＝2x ＋3yx ＋y的取值范围为________．12. (2015·衡水调研)抛物线y 2＝4x 上一点P 到直线x ＝－1的距离与到点Q(2，2)的距离之差的最大值为________．13. (2015·四川新津中学一诊)已知函数f(x)＝xlnx ，且0＜x 1＜x 2，给出下列命题： ① f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜1；② f(x 1)＋x 2＜f(x 2)＋x 1； ③ x 2f(x 1)＜x 1f(x 2)；④ 当lnx 1＞－1时，x 1f(x 1)＋x 2f(x 2)＞2x 2f(x 1)． 其中正确的命题为________．(填序号)14. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．练习(十二)1. (2015·惠州一调)设集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{x|－2≤x≤2，x ∈R }，则P∩Q＝________．2. (2016·开封期末)若复数z ＝a ＋3i1－2i(a∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则在复平面内z对应点的坐标为________．3. (2016·朝阳一模)已知i 为虚数单位，则复数2i1＋i＝________．4. (2016·广州一模)如果函数f(x)＝cos (ωx＋π4)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为________．5. (2015·定西期末)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________．6. (2015·邢台模拟)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．7. (2016·汕头金山中学期末)用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，其中真命题是________．(填序号)① 若a∥b，b ∥c ，则a ∥c ； ② 若a⊥b，b ⊥c ，则a⊥c； ③ 若a∥y，b ∥y ，则a∥b； ④ 若a⊥y，b ⊥y ，则a∥b.8. (2016·日照一中期末)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →.若点M 在圆C 上，则实数k ＝________．9. (2016·广东四校期末)设第一象限内的点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为________．10. (2016·廊坊期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c.若sinB ＝2sinC ，a 2－b 2＝32bc ，则角A 等于________．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA ＝__________．12. (2016·廊坊期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＞1，设a ＞b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．13. 定义在R 上的奇函数y ＝f(x)满足f(3)＝0，且不等式f(x)＞－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x ＋1|的零点个数为________．14. 已知椭圆C ：x 29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝________.练习(十三)1. (2016·嵊州期末)设集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，4}，B ＝{2}，则B∪(∁U A)＝________．2.(2015·山东师大附中二模)已知i 为虚数单位，则1＋3i1－i＝________．3.(2015·渭南白水中学月考)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________．4.(2015·西安八十三中一段)设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－2x ＋a(a∈R )，则f(－2)＝________．5.(2016·郑州一测)按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件为________．6.(2016·徐汇一模)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的标准方程是________．7.(2016·南阳期末)已知数列{a n }满足a n ＋1＋2a n ＝0，a 2＝－6，则{a n }的前10项和等于________．8.(2016·泉州质检)已知y ＝f(x)(x∈R )的导函数为f ′(x)．若f(x)－f(－x)＝2x 3，且当x≥0时，f ′(x)＞3x 2，则不等式f(x)－f(x －1)＞3x 2－3x ＋1的解集是__________．9. (2015·唐山模拟)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3·BD →|BD →|，则四边形ABCD 的面积是________．10. (2016·桂林、崇左一模)已知△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c)2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．11. (2016·珠海期末)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－1或x ＞12，则f(10x)＞0的解集为__________．12. (2015·沈阳一模)若直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是________.13. (2015·普陀调研)设a 为大于1的常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ＞0，a x ，x ≤0.若关于x 的方程f 2(x)－bf(x)＝0恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是________．14. (2016·开封期末)若曲线y ＝12ex 2与曲线y ＝alnx 在它们的公共点P(s ，t)处具有公共切线，则实数a ＝________．练习(十四)1. (2015·高台一中二检)已知集合A ＝{x|y ＝lg(x ＋3)}，B ＝{x|x≥2}，则A∩B＝________．2.(2016·天津新华中学期末)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为________．3. (2016·上海崇明)已知z ＝(a －i)(1＋i)(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝________．4.(2016·肇庆四中月考)如图，是一个算法伪代码，若输入x ＝－2，则输出的y 值为________．Read xIf x ＞1 Then y←x Elsey←x 2＋1 End If Print y5.(2015·山东理)已知函数f(x)＝a x＋b(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．6.(2016·腾冲一模)双曲线x 24－y2b2＝1(b ＞0)的焦距为6，则双曲线的渐近线方程为________．7.(2016·济南月考)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f(0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为________．8. (2016·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________．9. (2015·张掖二中月考)设f(x)是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝12，a n ＝f(n)(n∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．10. (2015·山东师大附中二模)△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G.若AG →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y 等于________．11. (2016·天津六校期末)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，若直线y ＝k(x ＋1)上存在点P ，使得过P 向圆C 所作两条切线所成角为π3，则实数k 的取值范围为________．12. (2016·兰陵期末)已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且f(x ＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)＜e x的解集为________．13. (2016·泉州质检)对于同一平面的单位向量a ，b ，c ，若a 与b 的夹角为60°，则(a －b )·(a －2c )的最大值是________．14. (2015·天津理)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x ≤2，（x －2）2，x ＞2， 函数g(x)＝b －f(2－x)，其中b∈R .若函数y ＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b 的取值范围是__________．练习(十五)1. (2016·开封期末)设集合A ＝{x|2x －2＜1}，B ＝{x|1－x≥0}，则A∩B＝________．2. (2015·惠州一调)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________．3. (2015·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)＝________．4. (2016·郑州一测)设双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为________．5. (2016·漳州东山二中期中)某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，100]内，且频率分布直方图如图所示(成绩分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为________．6. (2015·新课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．7.(2016·江西名校联考)已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐标为π3的交点，则常数φ的值为________．8. (2015·山东理)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．9.(2015·西安八十三中一段)在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是________．10.(2016·南阳期末)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f(log 12a )≤2f(1)，则a 的取值范围是________．11.(2016·太原一模)圆心在曲线y ＝2x(x ＞0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．12(2015·天水一中月考)设非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a|＝|a ＋b|，则|2a ＋t b||b|(t∈R )的最小值是________．13(2015·上海五校月考)已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB →·AC →＝23，∠BAC＝30°.若△MBC、△MAB、△MAC 的面积分别是x ，y ，z ，则1x ＋y ＋4z的最小值为________．14(2015·福建理)若a ，b 是函数f(x)＝x 2－px ＋q(p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为________．第二部分 解答题练习(一)1. (2016·成都一诊)已知向量m ＝(cos2x ，32sinx －12cosx)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32sinx －12cosx ，设函数f(x)＝m·n .(1) 求函数f(x)取得最大值时x 取值的集合；(2) 设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，若cosB ＝35，f(C)＝－14，求sinA 的值．2.(2016·大兴期末)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，C 1C ⊥底面ABC ，CC 1＝AB ＝AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 的中点．(1) 求证：直线AB 1∥平面BC 1D ； (2) 求证：平面BC 1D ⊥平面A 1ACC 1； (3) 求三棱锥DC 1CB 的体积．3. (2016·徐汇一模)某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(0＜t≤25)；曲线BC 是抛物线y ＝－ax 2＋50(a ＞0)的一部分；CD⊥AD，且CD 恰好等于圆E 的半径．假定拟建体育馆的高OB ＝50(单位：米，下同)．(1) 若t ＝20、a ＝149，求CD 、AD 的长度；(2) 若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；(3) 若a ＝125，求AD 的最大值．4. (2015·兴平一检)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1) 求实数m 的取值范围；(2) 求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．5. (2016·汉阳一中月考)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝5，a 4＝2a 2＋a 1. (1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .① 求T n ；② 若T 1，T m ，T n 成等比数列，m ＞1，求正整数m ，n 的值．6.(2016·台州期末)已知a ＞0，b ∈R ，函数f(x)＝4ax 2－2bx －a ＋b 的定义域为[0，1]． (1) 当a ＝1时，函数f(x)在定义域内有两个不同的零点，求b 的取值范围； (2) 记f(x)的最大值为M ，证明：f(x)＋M ＞0.练习(二)1. (2015·西安一中月考)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且acosB＋bcosA ＝355csinC.(1) 求cosC ；(2) 若a ＝6，△ABC 的面积为85，求c.2.(2016·成都二诊)三棱锥SABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AC ⊥BC 且AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.(1) 证明：SC⊥BC；(2) 求三棱锥的体积V SABC .3.(2016·济南期末)第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本为C ()x 万元．若年产量不足80台时，C ()x ＝12x 2＋40x(万元)；若年产量不小于80台时， C ()x ＝101x ＋8 100x－2 180(万元)．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1) 求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(2) 年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？4.(2015·襄阳调研)已知函数f(x)＝ln(x ＋1)，g(x)＝x 2＋bx ＋1(b 为常数)，h(x)＝f(x)－g(x)．(1) 若存在过圆点的直线与函数f(x)、g(x)的图象相切，求实数b 的值；(2) 当b ＝－2时，x 1、x 2∈[0，1]使得h(x 1)－h(x 2)≥M 成立，求M 的最大值； (3) 若函数h(x)的图象与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)、B(x 2，0)，且0＜x 1＜x 2，求证：h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0.5. (2015·上海五校联考)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1) 求C 的方程；(2) l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.6. (2015·普陀调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 已知c n ＝2n ＋3(n∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C ＞0且C≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列？若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若数列{b n }对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列．。

怎样上好一节数学课一、导课要能激起学生的学习欲望兴趣是最好的老师。

导课环节应该紧扣本节课的核心内容、联系学生的生活经历和实际体验、充分调动学生的学习兴趣，激发他们对本节课的学习热情和探究欲望。

要具有针对性、启发性、趣味性和导向性。

二、探究中要有程序、有步骤课堂探究环节是整个课堂教学活动的核心环节。

学生对学习过程的体验、感受；学习结论的得出、应用以及小组合作是否切实、有效，都要在这个环节得以落实。

课堂探究首先要做到有序。

即教师在上课前要对本节内容中哪些需要引导、哪些需要小组讨论、交流、哪些需要个人反思、哪些需要实验探究、哪些需要反馈巩固，都要做到心中有数。

要事先找出各知识点之间的内在联系、因果关系，按照由表及里、由浅入深、由易到难、层层递进的逻辑顺序来组织课堂教学活动。

其次，课堂探究要注重效果。

本节课我们可以重点安排两个探究。

一个是探究摩擦力大小与压力大小之间的关系，另一个是探究摩擦力大小与接触面粗糙程度之间的关系。

为了让这两个探究活动得以有效地进行，我们可以事先对学生进行了分组，明确了每一个学生的分工：比如谁当组长、谁当观查者、记录者、操作者、上台演示者、总结发言者等等，每一位学生都有一个或几个明确的任务、几种不同的身份，这样就防止了在小组活动中有些学生不知道该干什么，不去思考、不去动手，滥竽充数。

为了使探究活动有序进行，在探究前，我们可以准备2个简单易行的小实验来启发学生的思维。

然后让每个小组自主设计出实验方案，进行实验探究。

设计实验、进行实验、归纳分析、得出结论是科学探究的重中之重，为了让学生真正体验探究的过程、自己获得结论、享受成功的喜悦，我们可以参与到每一小组中去观察和指导，给学生留足了实验的时间。

这样，有几种创造性的发现，在课堂教学中生成了预设中没有考虑到的情况。

再次，课堂探究要做到有分寸。

即不要过多过滥的探究，不要不分轻重是问题都要去探究，通过这节课掌握了探究的方法之后，以后我们再继续探究摩擦力与其他因素的关系。

数学万能教学资源模板
引言
本文档提供了一个数学教学资源模板，旨在帮助教师设计和准备数学课程。

模板包含了多种教学资源，可以根据不同的教学需求进行定制和修改。

教学目标
- 提供数学教学的基本框架和结构
- 收集各种数学教学资源并整理分类
- 提供模板以便教师进行个性化定制
教学资源分类
以下是一些常见的教学资源分类，教师可以根据需要添加或修改分类。

1. 课件
- 知识点概述
- 例题和练题
- 演示动画和模拟实验
- 实用技巧和解题策略
2. 工作单
- 练题和题集
- 探究性研究任务
- 个人或小组作业
3. 视频教学
- 知识点详解和解题示范
- 实例分析和案例讲解
- 智慧板或投影仪展示教学内容
4. 实践活动
- 数学竞赛和游戏
- 数学实验和实地考察
- 数学建模和项目研究
5. 数学工具
- 物理计算器和几何工具
- 计算机软件和应用
- 在线教育平台和互动工具
使用说明
根据不同的教学目标和学生需求，教师可以从各个分类中选择合适的资源进行使用。

可以根据模板自行设计教学内容，也可以修改已有资源以适应特定的教学需求。

结论
这份数学万能教学资源模板为教师们提供了一个方便和灵活的工具，可以帮助教师有效地设计和准备数学课程。

通过合理的教学资源选择和使用，可以提升学生的学习效果和兴趣。

教师们可以根据实际教学情况对模板进行个性化的定制和修改，以适应不同学生群体的需求。

A2数字教育资源获取与评价(数学4篇)A2数字教育资源获取与评价《三角形的面积》为例资源名称资源媒体形式在该主题教学中的作用和意义音视频资源丰富，教学过程更加形象生动，一些传统教学无法表达的内容可以更完美地展现。

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