金太阳数学测试卷(二)[1]

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R A C B =（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]-【答案】C 【解析】集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 则()()2,2R A C B ⋂=-. 故答案为C.2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A. 2i --B. 2i -C. 2i -+D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.函数()f x =( ) A. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数非负，以及真数大于零，即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义， 则()0.5log 430,430x x -≥->，解得3,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】本题考查复合函数定义域的求解，属基础题.4.已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出,a b 共线时k 的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.【详解】(1,),(,4)a k b k ==，当,a b 共线时得24,2k k ==±，所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题. 5.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A. 7天 B. 8天C. 9天D. 10天【答案】C 【解析】 【分析】设所需天数为n 天，第一天3为1a 尺，先由等比数列前n 项和公式求出1a ，在利用前n 项和n 50S ≥，便可求出天数n 的最小值．【详解】设该女子所需天数至少为n 天，第一天织布1a 尺，由题意得：()5512512S -==- ，解得1531a =， ()512315012nn S -=≥- ，解得2311n ≥，982=512,2=256，所以要织布总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天， 故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，直接两次利用等比数列前n 项和公式便可得到答案． 6.a 、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 23a π B. 26a πC. 212a πD. 224a π【答案】B 【解析】 【分析】由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分别为32a a a 、、， 则其对角线长为222326a a a a ++=， 又长方体的顶点都在一个球面上， 所求的球半径6a R =， 所以表面积为2246R a ππ=. 故选：B .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题. 7.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）A. 70B. 75C. 66D. 68【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解. 【详解】依题意该班历史平均数估计为300.1500.2700.4900.368⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题. 8.已知tan 3α=，则πcos 22α⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A.35 B.310C.34D.310【答案】A 【解析】 【分析】由题意得222π22cos 2222? 1sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⎛⎫-====⎪++⎝⎭，结合条件可得所求结果．【详解】由题意得2222π222363cos 2222? 1?31105sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⨯⎛⎫-======= ⎪+++⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．9.若sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝的展开式中含x 项的系数是( )A. 210B. 210-C. 240D. 240-【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理求得a ，再利用二项式的通项公式，即可求得结果. 【详解】因为0sin a xdx π=⎰cos 02cos π=-+=.又6⎛ ⎝的通项公式为()63161r r r rr T C a x --+=-， 令2r =，故可得含有x 项的系数为4152240⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查微积分基本定理，以及二项式定义，属综合基础题. 10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若//l α，l β//，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 11.函数3()2x y x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ，故选B.考点：函数的图象.12.斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，且与双曲线的左、右支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A. 2) B. 3)C. 5)D. 5,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，求得,a b 的关系，即可求得离心率范围. 【详解】要满足题意，只需2ba>，故e =>故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，列出,a b 不等式关系是解题重点，属基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】 【分析】先求1()4f 的值，再求14f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-， 所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.在等差数列{}n a 中，1231819203,87a a a a a a ++=++=，则该数列前20项的和为_____. 【答案】300 【解析】 【分析】根据已知条件结合等差数列的性质可得129,a a ，求出120a a +，即可求解. 【详解】在等差数列{}n a 中，12232133,a a a a a ++=∴==，181920191987,329a a a a a +=∴==+，1202021920()10()3002a a S a a +∴==+=.故答案为：300.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题. 15.计算410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】2312【解析】 【分析】根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323252200()()255lg432⨯⨯=+-+-+ 52234312=+= 故答案：2312. 【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______. 【答案】2-. 【解析】 【分析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'(1)f 的方程，进而得到'(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值 【详解】解：求导得：''1()2(1)f x f x =+，令1x =，得''1(1)2(1)1f f =+，解得：'(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）必考题（共60分）17.已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集．（Ⅰ）求角C 的最大值；（Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积332S =，求当角C 取最大值时+a b 的值． 【答案】（1）（2）112【解析】【详解】试题分析：（1）若解集为空，则，解得.则C 的最大值为.（2）332S =＝，得， 由余弦定理得：， 从而得则.考点：解三角形及不等式点评：解三角形的题目常用到正弦定理sin sin sin a b cA B C==，余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 2222222cos ,2cos b a c ac B c a b ab C =+-=+-，三角形面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A === 18.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20人 30人50人（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．（Ⅱ）女生志愿者人数X=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望． 【解答】（Ⅰ）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是，∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×=2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有30×=3人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1﹣=．（Ⅱ）解：女生志愿者人数X=0，1，2， 则，，，∴X 的分布列为：∴X 的数学期望EX==．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，E 是1CC 的中点，1BC =，12BB =，160BCC ∠=︒.（1）证明：1B E AE ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）证明：连接1BC ，BE ，发现1⊥BC BC ，求出BE 和1B E ，并证得1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，所以1B E ⊥平面ABE ，证得1B E AE ⊥；（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面1AB E 的法向量为n ，设平面11A B E 的法向量为m ，然后计算夹角即可.【详解】解：（1）证明：连接1BC ，BE ，因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=︒．所以1⊥BC BC ．所以1112BE CC ==， 因为2211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⨯⨯︒=所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，AB BE B =，所以1B E ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(2A ，()13,0B -，132E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(13,2A -， 所以133,2B E ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(13,2AB =--，133,22A E ⎛=- ⎝，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c =，则1130{ { 0320x y B E n AB n x z -=⋅=⇒⋅=+=，取(1,3,2n =， 则11300{ { 033220a y B E m A m a b c E -=⋅=⇒⋅=-=， 取()1,3,0m =．所以6cos ,326m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯， 即二面角11A B E A --6． 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题.20.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率32e =，它与直线10x y ++=交于P 、Q 两点，若OP OQ ⊥，求椭圆方程．(O 为原点)．【答案】2215528x y += 【解析】【分析】先设出椭圆的标准方程,根据离心率的范围求得a 和c 的关系,进而表示出b 和a 的关系,代入椭圆方程,根据OP OQ ⊥判断出1212x x y y =-,直线与椭圆方程联立消去y ,进而根据表示出12x x 和12y y ,根据1212x x y y =-求得b 的值．进而可得椭圆的方程． 【详解】解：设椭圆方程为22221x y a b+=,由2c a =得12c b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴椭圆方程为222214x y b b+=,即22244x y b +=设()11,P x y ,()22,Q x y , 则由22121222215844044y x OP OQ x x y y x x b x y b=--⎧⊥⇒=-⇒++-=⎨+=⎩由212180,55b x x >⇒>+=-,212445b x x -= ()()2212121212448141111555b b y y x x x x x x --⎛⎫=++=+++=+-+= ⎪⎝⎭224414055b b --∴+= 25185b => ∴椭圆方程为2215528x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系,以及平面向量的几何意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．21.函数()x f x xe ax b =-+的图象在0x =处的切线方程为：1y x =-+.（1）求a 和b 的值；（2）若()f x 满足：当0x >时，()ln f x x x m -+，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 2,1a b ==；(2)(],2-∞.【解析】【分析】（1）根据切线斜率，以及导数值，即可求得参数；（2）分离参数，利用导数求解函数值域，即可容易求得结果.【详解】（1）因为()x f x xe ax b =-+，故可得()()1x f x ex a '=+-， 又因为在0x =处的切线方程为：1y x =-+，故可得()011f a =-'=-，解得2a =；又()0,1在函数()f x 的图像上，故可得1b =；综上所述：2,1a b ==.（2）因为当0x >时，()ln f x x x m -+，等价于1x xe lnx x m --+≥在区间()0,+∞上恒成立.令() 1xh x xe lnx x =--+，则只需()min h x m ≥即可. 故可得()()()11x x xe h x x+'-=，令()1x m x xe =-， 容易知()m x 其在()0,+∞为单调增函数，且()10,102m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00010x m x x e =-=.且()0h x '=，即001x x e =， 则()h x 在区间()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增. 故()()0000000001112x min h x h x x e lnx x x x x x ==--+=⨯+-+=， 故要满足题意，只需2m ≥， 即(],2m ∈-∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数求解恒成立问题，属综合中档题. （二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 选修4-4：参数方程与极坐标 22.在极坐标系中,过曲线2:sin 2cos (0)L a a外的一点)A (其中tan 2θ=，θ为锐角)作平行于()4R πθρ=∈的直线l 与曲线分别交于,B C ．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)；（Ⅱ）若||,||,||AB BC AC 成等比数列,求a 的值．【答案】(Ⅰ) 曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）1a =【解析】【分析】(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.（Ⅱ）写出直线l 的参数方程,代入曲线L 的普通方程得222(4)8(4)0t a t a -+++= ,利用韦达定理以及题设条件化简得到a 的值．【详解】(Ⅰ)由2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ得到2(sin )2(cos )a ρθρθ= 所以曲线L 的普通方程为22yax 由tan 2θ=，θ为锐角，得sin ,cos 55θθ==所以(25,)A 的直角坐标为25cos()2,25sin()4x y πθπθ=+=-=+=-，即(2,4)A -- 因为直线l 平行于直线()4πθρ=∈R ，所以直线l 的斜率为1即直线l 的方程为42=2y x y x +=+⇒-所以曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）直线的参数方程为222{24x t y =-+=- (t 为参数),代入22y ax 得到22(4)8(4)0t a t a -+++= ,则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+因为2||BC AB AC = ,所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-⋅=⋅即22(4)32(4)8(4)a a a ⎡⎤+-+=+⎣⎦解得1a =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()|1||2|f x x x a =++-+.（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞；（2）3a -.【解析】【分析】（1）令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；（2）由题意转化为|1||2|x x a ++-≥-，由（1）求得|1||2|3x x ++-≥，即可求解．【详解】（1）由题意，令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，如图所示，结合图象可得，不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞，函数()f x 的定义域为(,2][3,)-∞-⋃+∞.（2）由题设知，当x ∈R 时，恒有|1||2|0x x a ++-+≥，即|1||2|x x a ++-≥-，又由（1）知|1||2|3x x ++-≥，∴3a -≤，即3a ≥-.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．。

一、单项选择题1. 若m，n是实数，且m+n=0，则下列说法正确的是（）A. m，n同号B. m，n异号C. m，n中至少有一个是0D. m，n都是非负数答案：B解析：由于m+n=0，即m=-n，所以m，n异号。

2. 已知x=2，则x^2+2x+1的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2答案：B解析：将x=2代入x^2+2x+1，得2^2+2×2+1=4+4+1=9，所以x^2+2x+1的值是9。

3. 若a，b是实数，且a+b=0，则下列说法正确的是（）A. a，b同号B. a，b异号C. a，b中至少有一个是0D. a，b都是非负数答案：C解析：由于a+b=0，即a=-b，所以a，b中至少有一个是0。

二、填空题1. 若a，b是实数，且a+b=0，则ab的值是（）答案：0解析：由于a+b=0，即a=-b，所以ab=(-b)b=-b^2，当b=0时，ab=0。

2. 已知x=3，则x^2-2x+1的值是（）答案：4解析：将x=3代入x^2-2x+1，得3^2-2×3+1=9-6+1=4，所以x^2-2x+1的值是4。

三、解答题1. 已知a，b是实数，且a+b=0，求证：ab≥0。

证明：由于a+b=0，即a=-b，所以ab=(-b)b=b^2，由于平方数非负，所以ab≥0。

2. 已知x=2，求x^2+2x+1的值。

解：将x=2代入x^2+2x+1，得2^2+2×2+1=4+4+1=9，所以x^2+2x+1的值是9。

总结：金太阳试卷初二数学下主要考查了实数的相关性质，包括同号、异号、非负数等概念，以及平方数非负的性质。

通过解答这些题目，可以巩固学生对实数性质的理解和应用。

广西壮族自治区金“金太阳联考”2025届高三上学期11月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x||x|≤2}，B={x|x2<4x}，则A∪B=A. [0,2]B. [−2,4]C. [−2,4)D. (0,2]2.已知复数z满足z(1+i)=2i2，则z的虚部为A. −1B. 1C. −iD. i3.已知a=0.30.2，b=0.20.3，c=0.20.4，则A. a>c>bB. c>a>bC. c>b>aD. a>b>c4.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=6，则该长方体外接球的表面积为A. 49πB. 49π4C. 50π D. 25π25.已知向量a=(3,m)，b=(2,m+1)，若a//b，则|a−2b|=A. 2B. 3C. 2D. 16.如图，对A，B，C，D，E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域(有公共边)所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有A. 480种B. 640种C. 780种D. 920种7.已知函数f(x)的定义域为R，f(2)=−2+2，且f(xy)=f(x)f(y)+2x+2y−6，则f(−2)=A. −2B. −4C. 22−2D. −22+28.已知F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，过原点O的直线与C相交于M，N两点，若|FM|=2|FN|，|OM|=|OF|，则C的离心率为A. 5B. 2C. 3D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知一组数据68，75，69，77，m，71，下列结论正确的有A. 若m<71，则该组数据的第40百分位数为mB. 该组数据的第60百分位数不可能是77C. 若该组数据的极差为10，则m=67或78D. 若m=60，则该组数据的平均数为7010.若函数f(x)=x(x−1)(x+1)，则下列结论正确的有A. f(x)为奇函数B. 若x>x2，则f(x)>f(x2)C. f(x)的所有极值点的和为0D. f(|sin x|)∈[−239,0]11.如图，在六面体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，四边形AA1D1D为正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，若AA1=2BB1=2，则下列说法正确的是A. 四边形A1B1C1D1为平行四边形B. 平面BCC1B1⊥平面ABCDC. 若过A1B的平面与平面AD1C平行，则该平面与B1C1的交点为棱B1C1的中点D. 三棱锥B−A1B1D1体积的最大值为223三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

湖南省2023-2024学年高三10月金太阳联考（电话角标）高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题():0,1p x ∃∈，33x =，则p 的否定是（ ）A ．()0,1x ∀∈，3x ≠B ．()0,1x ∃∈，3x ≠C ．()0,1x ∀∈，3x =D ．()0,1x ∀∉，3x ≠ 2．定义集合,,xA xB z z A y y B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭÷∈∈．已知集合{}4,8A =，{}1,2,4B =，则A B ÷的元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．已知函数()3132f x x x x=--的图象在()0x a a =>处的切线的斜率为()k a ，则（ ） A ．()k a 的最小值为6 B ．()k a 的最大值为6 C ．()k a 的最小值为4 D ．()k a 的最大值为44．已知某公司第1年的销售额为a 万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（参考数据：取111.27.43=）A ．35.15a 万元B ．33.15a 万元C ．34.15a 万元D ．32.15a 万元 5．设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则（ ） A ．()00f = B ．()40f = C ．()50f = D ．()20f -=6．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（ ） A ．22παβ+=B ．22παβ-=C ．22πβα-=D ．22πβα+=7．已知函数()cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ︒=∠，2AB =，以菱形ABCD 的四条边为直径向外作四个半圆，P 是四个半圆弧上的一动点，若DP DA DC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．5 D ．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()241lg 4f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最小值为1 B ．x ∃∈R ，()()12f f x += C ．()92log 23f f ⎛⎫>⎪⎝⎭ D ．0.10.18119322f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．若正项数列{}n a 是等差数列，且25a =，则（ ）A ．当37a =时，715a =B ．4a 的取值范围是[)5,15C ．当7a 为整数时，7a 的最大值为29D ．公差d 的取值范围是()0,511．若函数()f x 的定义域为D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x =，则称()f x 为“A 函数”，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()ln f x x =是“A 函数”B ．已知函数()f x ，()1f x 的定义域相同，若()f x 是“A 函数”，则()1f x 也是“A 函数” C ．已知()f x ，()g x 都是“A 函数”，且定义域相同，则()()f x g x +也是“A 函数”D ．已知0m >，若()sin x f x m =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“A 函数”，则m = 12．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，()0f x >且()()()()232x x f x f x f x f x ''-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则（ ）A ．()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦B ．()0,a ∀∈+∞，函数()()()0f x ay x x f x =+>有极值 C ．()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤-<-⎢⎥⎣⎦D ．()0,a ∃∈+∞，函数()()()0f x ay x x f x =+>为单调函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(),2AB x x =在向量()3,4AC =-上的投影向量为15AC -，则x =________． 14．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 23α=，则sin3α=________． 15．若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是________，这50个整数元素之和为________．16．如图，已知平面五边形ABCDE 的周长为12，若四边形ABDE 为正方形，且BC CD =，则当BCD △的面积取得最大值时，AB =________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2a b b B A c -=+． （1）求tan A ；（2）若a =ABC △的面积为ABC △的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，E ，F ，M 分别是PB ，CD ，PD 的中点．（1）证明：//EF 平面P AD ．（2）求平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值． 19．（12分）已知数列{}n a 满足12312121223n na a a a a a a a a n n++++++++++=⋅．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列n a n ⎛⎫⎪⎝⎭的前n 项和n S ． 20．（12分）某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a ，第2个号码为b ．设X 是不超过ba的最大整数，顾客将获得购物金额X 倍的商场代金券（若0X =，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用． （1）已知某顾客抽到的a 是偶数，求该顾客能获得代金券的概率； （2）求X 的数学期望．21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点()0,1C -，83,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的方程．（2）设P 是椭圆上一点（异于C ，D ），直线PC ，PD 与x 轴分别交于M ，N 两点，证明在x 轴上存在两点A ，B ，使得MB NA ⋅是定值，并求此定值． 22．（12分）已知函数()1ln a xf x e a x -=+-有两个零点1x ，2x ．（1）求a 的取值范围； （2）证明：122x x a +>．高三数学试卷参考答案1．A p 的否定是()0,1x ∀∈，3x ≠． 2．B 因为{}4,8A =，{}1,2,4B =，所以{}1,2,4,8A B =÷，故A B ÷的元素的个数为4．3．C ()2219224f x x x '=+--=，当且仅当419x =时，等号成立，所以()k a 的最小值为4． 4．D 设第()i i 1,2,,11=年的销售额为i a 万元，依题意可得数列{}()i i 1,2,,11a =是首项为a ，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为()()()11111 1.2 1.21102.2210.27.433.151.a a a a---===-万元．5．C 因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，则()10f =．又()23f x +是偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，所以()()510f f ==．6．A 因为1tan tan cos αββ+=，所以sin sin 1cos cos cos αβαββ+=，所以sin cos cos sin cos αβαβα+=，即()sin sin 2παβα⎛⎫+=-⎪⎝⎭．又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2παβα+=-，即22παβ+=或2παβαπ++-=，即2πβ=（舍去）． 7．A 令()1112m k k ππ-=∈Z ，得()1112m k k ππ=+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()1112x k k ππ=+∈Z 对称．令()22462m k k πππ+=+∈Z ，得()22124k m k ππ=+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22124k x k ππ=+∈Z 对称．因为()1112k m m k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 真包含于()22124m k k m ππ⎭=+∈⎧⎫⎨⎬⎩Z ，所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件． 8．A 如图，设DE kDA =，DF kDC =，设P 是直线EF 上一点，令DP xDE yDF =+，则1x y +=，()k x y k λμ+=+=．因为P 是四个半圆弧上的一动点，所以当EF 与图形下面半圆相切时，λμ+取得最大值．设线段AB 的中点为M ，线段AC 的中点为1O ，连接MP ，连接1DO 并延长使之与EF 交于点2O ，过M作2MN DO ⊥，垂足为N ．因为120ABC =︒∠，2AB =，所以11DO =，1212132O O O N NO O N MP =+=+=，则252DO =． 由DAC DEF △∽△，得2152DO DE k DA DO ===，故λμ+的最大值为52．9．ACD ()21lg 10lg1012f x x ⎡⎤⎛⎫=-+≥=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，A 正确．因为当且仅当12x =时，()f x 取得最小值，且最小值为1，所以()11f >，所以()()12f f x +>，B 错误．因为9lg 2lg 210log 2lg9lg83<=<=，所以911log 226->，又211326-=，且()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()92log 23f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 正确．因为0.10.20.189331=>>，所以0.10.1811193222->->，所以，D 正确．10．ABC 当37a =时，公差2d =，7347815a a d =+=+=，A 正确．因为{}n a 是正项等差数列，所以150a d =->，且0d ≥，所以公差d 的取值范围是[)0,5，D 错误．因为452a d =+，所以4a 的取值范围是[)5,15，B 正确．[)7555,30a d =+∈，当7a 为整数时，7a 的最大值为29，C 正确．11．BD 对于选项A ，当11x =时，()10f x =，此时不存在2x ，使得()()121f x f x =．A 不正确．对于选项B ，由()f x ，()1f x 的定义域相同，若()f x 是“A 函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x =，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x ⋅=，所以()1f x也是“A 函数”．B 正确．对于选项C ，不妨取()f x x =，()1g x x=，()0,x ∈+∞，令()()()12F x f x g x x x=+=+≥，则()()124F x F x ≥，故()()f x g x +不是“A 函数”．C 不正确．对于选项D ，因为()sin f x m x =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是“A 函数”，所以sin 0m x +≠在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．又0m >，所以10m ->，且()()12sin sin 1m m x x ++=，即对于任意1,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都存在唯一的2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得21sin s 1in m m x x =-+，因为11sin 1m x m m -≤+≤+，所以1n 1i 1111s m m m x m m m -≤-≤-++-，由111111m m m m ⎧-≥-⎪⎪+⎨⎪-≤⎪-⎩，解得m =D 正确． 12．AD 设函数()()()()10f x g x x x f x =+>，则()()()()()()()()()()23222220xf x f x f x x f x xf x f x f x g x x f x x f x ''--⎡⎤⎡⎤''-⎣⎦⎣⎦'=-=<⎡⎤⎣⎣⎦⎡⎤⎦， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减，B 错误，D 正确． 从而()()12g g >，即()()()()12111122f f f f +>+，因为()0f x >，所以()10f >，()20f >，所以()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，C 错误，A 正确．光速解法：取()()0f x x x =>，满足()0f x >且()()()()232xf x f x x f x f x ''-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，()0,a ∃∈+∞，函数()()()0f x a y x x f x =+>为单调函数．13．1 向量(),2AB x x =在向量()3,4AC =-上的投影向量为3825AB AC AC x xAC AC AC⋅-⋅=，则138525x x--=，解得1x =．14 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,απ∈，所以sin 23α==，因为21cos 22cos13αα=-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=sin α=，所以()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin 9ααααααα=+=+= 15．[)(]44,4357,58--；925-或1625 不等式()277x a a x +<+等价于不等式()()70x a x --<．当7a =时，()()70x a x --<的解集为∅，不合题意；当7a <时，()()70x a x --<的解集为(),7a ，则50个整数解为43-，42-，…，5，6，所以4443a <-≤-，这50个整数元素之和为()436509252-+⨯=-；当7a >时，()()70x a x --<的解集为()7,a ，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以5758a <≤，这50个整数元素之和为()8575016252+⨯=．综上，a 的取值范围是[)(]44,4357,58--，这50个整数元素之和为925-或1625．16 过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．设()0A B x x =>，则B D A E D E x ===，因为BC CD =，所以3212AB BC +=，则362BC x =-．由0BC >，BC CD BD +>，得03x <<．在BCF △中，CF ===．记BCD △的面积为S ，则12S BD F C ⋅==()432918f x x x x =-+，则()()3224273642736f x x x x x x x '=-+=-+，令()0f x '=，得0x =或x =．当0x <<()0f x '>3x <<时，()0f x '<．故当x =时，()f x 取得最大值，则S 取得最大值，此时278AB -=．17．解：（1）因为cos cos 2a b b B A c -=+，所以sin cos 2sin cos sin sin A B B A B C -=+． 2分 又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以3sin cos sin B A B -=． 3分 因为sin 0B ≠，所以cos 13A =-． 4分 又()0,A π∈，所以sin A =，tan A =- 5分 （2）ABC △的面积n 12si 3A S bc bc ===6bc =． 7分 由22222c 23s 2o a b c bc b c bc A =+-=++，得()224253b c a bc +=+=， 9分 所以5b c +=，故ABC △的周长为5+ 10分18．（1）证明：取P A 的中点N EN ，DN ，因为E 是PB 的中点，所以//EN AB ，12EN AB =．1分 又底面ABCD 为正方形，F 是CD 的中点，所以//EN DF ，EN DF =，所以四边形ENDF 为平行四边形，所以//EF DN ． 3分因为EF ⊂/平面P AD ，DN ⊂平面P AD ，所以//EF 平面P AD ． 4分（2）解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB =，则()1,0,1E ，()1,2,0F ，()0,0,2P ，()0,2,0D ，()0,1,1M ． 5分 从而()1,1,0EM =-，()1,1,1MF =-，()1,2,0AF =． 6分设平面AMF 的法向量为()111,,m x y z =，则11111200x y x y z +=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得()2,1,1m =--． 8分设平面EMF 的法向量为()222,,n x y z =，则222220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令21y =，得()1,1,2n =． 10分1cos ,2m nm n m n⋅==-． 11分故平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值为12． 12分19．解：（1）当1n =时，12a =． 1分 当2n ≥时，()()111221212n n n na a a n n n n--+++=⋅--⋅=+⋅， 3分即()11212n n a a a n n -+++=+⋅， 4分当1n =时，上式也成立， 所以()()()()1221212322n n n n a n n n n n n n ---=+⋅--⋅=+⋅≥． 5分当1n =时，也符合()232n n a n n -=+⋅，所以()232n n a n n -=+⋅． 6分（2）由（1）知()232n na n n-=+⋅． 7分 ()102425232n n S n --=⨯+⨯+++⋅， 8分 ()0112425232n n S n -=⨯+⨯+++⋅， 9分则()()()()()012111122223222132221n n n n n n S n n n ------=++++-+⋅=+--+⋅=-+⋅+， 11分所以()1221n n S n -=+⋅-． 12分20．解：（1）当b a >时，该顾客能获得代金券．设“a 是偶数”为事件A ，，“b a >”为事件B ，则()()()()215206208201856421015P AB A -+-++-===， 2分 ()215814815P A A ⨯==， 3分所以()()()41158215P AB P B P A A ===，所以当顾客抽到的a 是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为12． 4分 （2）X 可能的取值为0，1，2，3．当0X =时，b a <，则()102P X ==． 5分 当1X =时，121a b a ≤+-≤，若11a ≥，则120a b +≤≤．对每一个a ，b 有20a -种不同的取值，则(),a b 共有98145+++=种可能的取值． 6分 若610a ≤≤，对每一个a ，b 有1a -种不同的取值，则(),a b 共有5678935++++=种可能的取值，所以()215453581 21P X A +===． 7分 当2X =时，231b a a ≤-≤．若7a ≥，则220a b ≤≤．对每一个a ，b 有212a -种不同的取值，则(),a b 共有753116+++=种情况． 若6a =，则1217b ≤≤，(),a b 共有6种可能的取值．所以()215166112 105P X A +===． 9分 当3X =时，341b a a ≤-≤，(),a b 只有()6,18，()6,19，()6,20这3种情况，所以()31321070P X ===． 10分 所以()181111331901232211057021030E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 12分 21．（1）解：设椭圆方程为221px qy +=， 1分 则164912525q p q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 3分 所以椭圆的方程为2214x y +=． 4分 注：若直接设22221x y a b+=得到2214x y +=，扣1分． （2）证明：设()00,P x y ，(),0A m ，(),0B n ，直线003385:8555y PD y x x +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+，令0y =，得000385535N x y x y -=+． 5分 直线001:1y PC y x x +=-．令0y =，得001M x x y =+． 6分 ()()()()00000000000038583355311535x y ny n x my y m x x MB NA n m y y y y ⎛⎫- ⎪+-++-⎛⎫⋅=--= ⎪ ⎪+++⎝⎭ ⎪+⎝⎭． 8分 令00058333my y m ny n ++=--，令583m n +=-，33m n =-，得4n =，4m =-， 10分则()()()()()()()()222220000002000000344344441258312153153583y x y y y y MB NA y y y y y y ⎡⎤⎡⎤-+--+---++⎣⎦⎣⎦⋅====-++++++． 故存在()4,0A -和()4,0B ，使得MB NA ⋅是定值，且定值为12-． 12分22．（1）解：令()0f x =，得10ln a x e x a -+-=，则11ln 11ln a x x e a e x x-+-=+． 2分 令函数()x g x e x =+，则11ln g a g x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 在R 1ln a x x -=，即n 1l a x x=+． 3分 令函数()n 1l h x x x =+，则()21x h x x -'=，则()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==． 4分因为当0x →时，ln l 11n x x x x x ++=→+∞，当x →+∞时，1ln x x+→+∞， 5分 依题意可得方程n 1l a x x =+有两个不相等的正根，所以1a >，即a 的取值范围是()1,+∞． 6分 （2）证明：令函数()2ln 11x x x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22102x x x ϕ-'=<-， 所以()x ϕ在()0,+∞上单调递减． 7分因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ>；当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ<． 8分 不妨假设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，所以()10x ϕ>，()20x ϕ<，所以111111111111l 2n 22x a x x x x x x ⎛⎫=+>+-=+ ⎪⎝⎭，则21121ax x >+， 9分222222211111l 2n 22x a x x x x x x ⎛⎫=+<+-=+ ⎪⎝⎭，则22221ax x <+， 10分 所以()()()22121212122a x x x x x x x x ->-=+-， 11分因为120x x -<，所以122x x a +>． 12分。

金太阳数学测试卷（二）一、填空题。

1.温家宝总理有一句名言:“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量除以13亿，都会变得很小。

”若每人每天节约一分钱，那么我国每年(365天)能节约________元(四舍五入到亿)。

2.果园里有桃树、橘树、枣树若干棵，其中桃树占60%，橘树的扇形圆心角是54°，则枣树占_____%；若橘树有18棵，那么桃树有______棵。

3.A、B两地之间每隔36米竖一个电线杆，包括两端的两根电线杆在内，共61根电线杆。

现在要改为每隔48米竖一根电线杆，那么除了两端的两根电线杆外，A、B两地间还有____根电线杆可不必移动。

4.有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步：任意写出一个自然数（以下称原数）；第二步：再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止，不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最好这个相同的数就叫它为“黑洞数”，请你以2370为例尝试一下，2370，一步之后变为____，再变为______，再变为_______…“黑洞数”是________。

5.某服装店出售服装，去年按定价的85%出售，能获得19%的盈利，由于今年买入价降低，按同样定价的75%出售，却能获得30%姓名：___________的盈利。

那么，)%100(_____⨯-==买入价买入价卖出价盈利百分数。

去年买入价今年买入价6.将1.505，1.05，155%，1.5从小到大排列是________________。

7.钟面上时针每分钟走______度。

8.将长方形减去一个角，剩余部分的形状可能是___________。

9.计算2010200921212009120101⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯等于________。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 若一个数的平方是9，则这个数是（）A. 3B. -3C. 3或-3D. 62. 下列哪个不是有理数（）A. -2.5B. 0.01C. √4D. √-13. 已知a=-3，b=2，则a+b的值是（）A. -1B. 1C. -5D. 54. 下列哪个不是实数（）A. -√2B. √9C. √-1D. 05. 下列哪个不是正数（）A. 2.5B. -2.5C. 0D. 0.0016. 下列哪个不是整数（）A. -2B. 3C. 0D. 1/27. 下列哪个不是分数（）A. 1/3B. 2/5C. 3/7D. -1/28. 下列哪个不是无理数（）A. √2B. √4C. √-1D. √-49. 下列哪个不是实数（）A. 2B. -3C. √-1D. 010. 下列哪个不是正数（）A. 1B. -1C. 0D. 1/2二、填空题（每题4分，共40分）11. 3的平方根是______，5的立方根是______。

12. （-2）的倒数是______，2的倒数是______。

13. 下列数的相反数分别是：-2的相反数是______，0.5的相反数是______。

14. 下列数的倒数分别是：-3的倒数是______，1/2的倒数是______。

15. 下列数的平方分别是：-2的平方是______，3的平方是______。

16. 下列数的立方分别是：-2的立方是______，2的立方是______。

17. 下列数的算术平方根分别是：-2的算术平方根是______，3的算术平方根是______。

18. 下列数的立方根分别是：-2的立方根是______，2的立方根是______。

三、解答题（每题10分，共30分）19. （1）求下列各数的平方：-3的平方是______，0.25的平方是______。

（2）求下列各数的立方：-2的立方是______，-0.125的立方是______。

2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1．已知集合{}(1)0A x x x =-<，{}e 1xB x =>，则=⋂B )AC (R （ ）．A ．[1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．[0,1]2．函数()sin f x x x =的图像在点33,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．4π C ．34π D ．56π3．设2,log 3-===a b e c π，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a << 4．函数的图象可由y=cos2x 的图象经过怎样的变换得到（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5．下列命题中，是假命题的是A ．0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x > B ．x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠C ．函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2πD ．42log 323=6．在不等边三角形中，a 是最大的边，若222a b c <+，则角A 的取值范围是 （ ） A ．(,)2ππ B ．(,)42ππ C ．(0,)2π D ．(,)32ππ7．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5B ．6C ．10D ．118．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．已知变量x 、y 满足220110x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则42x y x +++的取值范围是（ ）A ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上,AB 是球O 的一条直径,且AC=2,BC=4,现有下面四个结论: ①球O 的表面积为20π; ②AC 上存在一点M ,使得AD ∥BM ; ③若AD=3,则BD=4;④四面体ABCD体积的最大值为3. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①③④B ．②④C ．①②D ．①④12．已知定义在R 上的函数()f x 在[0，7]上有1和6两个零点，且函数()2f x +与函数()7f x +都是偶函数，则()f x 在[0，2019]上的零点至少有（ ）个A ．404B ．406C ．808D ．812二、填空题13．已知i 是虚数单位，则复数21iz i-=+的共轭复数是_______. 14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则yx的最小值为__________．15．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为________ 16．已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则__________．三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．已知0)1)(12(3:,0352:22≤+-+-≤--m m mx x q x x p ．（其中实数2m >）．（1）分别求出p ，q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．在ABC ∆中，a ， b ， c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin -sin )()(sin sin )a A B c b B C =-+.（1）求角C 的值：（2）设函数()cos sin()3f x x x π=⋅+-(A)f 的取值范围.19．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点.已知AB=3米，AD=2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，请问AN 的长应在什么范围； （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求出最小面积.20．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和n S 满足212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）在（2）条件下，若245n m mT -<<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.21．如图，已知ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面,//ABCD AF DE ，且6DE =，2AF =.(1)求几何体ABCDEF 的体积； (2)求二面角A BE C --的余弦值.22．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212xx g x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.高三数学理科参考答案1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D7．C 8．B 9．B 10．A 11．D 12．C13．. 14．15.16．2【解析】设，则，所以，则,设，则，当时，.因为的最小值为，故将代入，解得，所以，得，故. .17．（1）；（2）.1由题意，命题（x 7）（x +5）≤0，解得，即得M =[5，7]；又由[x （2m -1）][x （m +1）]≤0，∵m ＞2，∴2m 1＞m +1，解得，即N =[m +1，2m 1]． （2）因为命题p 是q 的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，所以，且等号不同时取，解得-6≤m ≤4，又因为m ＞2，所以2＜m ≤4，即实数m 的取值范围.18．（1）；（2）（1）由正弦定理得：，∴，∴，∴.（2），∵，，∴. 19．（1）；（2）的长为米时，矩形的最小面积为平方米. （1）（），则由，得，∴，由，得，又，所以，解得，或，所以的长度的取值范围为；2 .，当且仅当，即时，等号成立．所以当的长度是时，矩形的面积最小，最小值为．20．（1）；（2）=；（3）.（1）当时，. 当时，，化简得，所以.（2）由（1）知，. 则，所以.（3），∴单调递增，∴. ∵，∴，要使得恒成立，则只需，解之得.21．（1）21；（2）解：（2）由题可知，全等于，过A作交BE于M，连接CM，则，为二面角的平面角，在中，，在中，，22．(1) 函数在上单调递增，在上单调递减;(2) 的取值范围为.（1）由题意知，，令，当时，恒成立，∴当时，；当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减. （2）∵，∴，由题意知，存在，使得成立.即存在，使得成立，令，∴.①时，，则，∴函数在上单调递减，∴成立，解得，∴；②当时，令，解得；令，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，又，∴，解得，∴无解；③当时，，则，∴函数在上单调递增，∴，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为.。

江西省“金太阳大联考”2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U =A ∪B ={0,1,2,3,4,5}，A ∩(∁U B)={1,3,5}，则集合B =( )A. {1,3,5}B. {0,2,4}C. ⌀D. {0,1,2,3,4,5}2.sin 25π12−cos 25π12=( )A. 12B.32C. −12D. −323.已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)−f(x−y)=2f(y)，则f(0)=( )A. 0B. 1C. 2D. −14.已知x >0，y >0，且1x +2y =1，则2x +1y 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 85.设函数f(x)=ln(x 2+1)+sin x +1，则曲线y =f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. 12B. 13C. 16D. 236.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则t min 后该物体的温度θ℃满足θ=θ0+(θ′−θ0)e −t4.若θ0，θ′不变，在t 1min ，t 2min 后该物体的温度分别为θ1℃，θ2℃，且θ1>θ2，则下列结论正确的是( )A. t 1>t 2B. t 1<t 2C. 若θ′>θ0，则t 1>t 2;若θ′<θ0，则t 1<t 2D. 若θ′>θ0，则t 1<t 2;若θ′<θ0，则t 1>t 27.已知log n m >1(m,n >0且m ≠1，n ≠1)，m +n =e 2，则( )A. (m−n +1)e <1 B. (m−n +1)e >1C. |m−n |e <1D. |m−n |e >18.在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ABC =90∘，点P 在△ABC 内部，且∠BPC =90∘，AP =2，记∠ABP =α，则tan 2α=( )A. 32B. 23C. 43D. 34二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“”的否定是( )A. ²B.C. ，D.2.已知集合( )A. B. C. D.3.若则z的虚部为( )A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则( )A. 5B.C. 6D. 135.在正四棱台中，，且三棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为( )A. 2B. 3C.D.6.若则( )A. B.C. D.7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则( )A. 5B.C.D. 68.直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线下列选项正确的是( )A. 若B. 若C. 直线l 恒过点D. 若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为10.如图，在菱形ABCD 中，，，将沿直线BD 翻折成不在平面ABCD 内，则A.B. 点 B 到直线PC 的距离为定值C. 当PB 与CD 所成的角为时，二面角的余弦值为D. 当PB 与平面BCD 所成的角最大时，三棱锥外接球的表面积为11.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的日均值单位：分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中日均值的说法正确的是( )A. 众数为32B. 第80百分位数是38C. 平均数是40D. 前4天的方差比后4天的方差小12.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号相同”，事件“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件“抽取的两个小球标号之和大于8”，则( )A. 事件A 与事件B 是互斥事件 B. 事件A 与事件B 是对立事件C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新疆金太阳高一第二册数学卷子
一、选择题
1.直线3x+2y+6-0和2x+5y-7=0的交点为()
A.(4，3)
B.(-4，3)
C.(-4，-3)
D.(4，-3)
2.直线x-y+1=0的倾斜角与在y轴上的截距分别是()
A，45°，1 B.45°，-1 C.135°，1 D.135°，-1
3.圆心为(11)且过原点的圆的方程是()
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)²+(y+1)2=2
D.(x-1)²+(y-1)²=2
4.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a等于()
A.-3
B.-6 D
5.圆柱的轴截面是正方形，面积是S则它的侧面积是()
a.1s B. 元S C.2xS D. 4πS
6.下列命题中，错误的是(
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个也相交
二.填空题
7.空闾中两条直线位置关系有相交、平行和14.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标______，半径=______
8.已知x轴上一点A与点B(512)的距离为13，则点A的坐标为_______
9.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是_______
三.解答题
10.
(1)已知两点A(3，0)，B(0，4)，求直线AB的一般式方程
(2)已知两点A(-2，0)，B(O，4)，求线段AB的垂直平分线的斜截式方程。

2023-2024学年江西金太阳联考高二下学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−2,0,2}，B ={x|x +3x−2<0}，则A ∩B =A. {0} B. {−2,0} C. {0,2} D. {−2,0,2}2.若曲线y =f(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为2，则lim Δx→0f(3+Δx)−f(3−Δx)Δx =A. 1B. 2C. 4D. 63.在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1a n =2a n +1−4，则a 23=A. 1B. 4C. −1D. −24.已知函数f(x)的定义域为[−2,2]，则函数g(x)=f(2x)1−x 的定义域为A. [−1,1)B. [−1,1]C. [−4,1)D. (1,4]5.已知a =312，b =513，c =log 65，则A. a <c <bB. c <a <bC. b <c <aD. c <b <a6.“a ≥1”是“∀x >1，有x +ax−1≥3”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.设函数f(x)=mx−sin 2x 在区间[0,π3]上单调递减，则m 的取值范围是A. (−∞,−1]B. (−∞,−12]C. (−∞,1]D. (−∞,2]8.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1=S n +2n(n ∈N ∗)，则S 20=A.5×319−412B.5×320−412C.5×319−392D.5×320−392二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数f(x)=x 3−3x +4，则A. y =−4x +m 不可能是曲线y =f(x)的切线B. f(x)有两个极值点C. f(x)有三个零点D. 点(0,4)是曲线y =f(x)的对称中心10.已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，若S 16+S 12=S 14+S 10，则下列结论正确的是A. S 26=0B. 若S 13=−1，则S 39=3C. 当n =13时，S n 取得最小值D. 当d >0时，满足S n <0的最大整数n 的值为2511.已知函数f(x)={1−|x +1|,x ≤0,f(x−2)2,x >0,则下列结论正确的是A. ∑n i =1f (2i−1)=2−12n−1B. 方程12[f(x)]2−7f(x)+1=0的实根个数为9C. 函数y =4f(x)−log 6(x +4)有5个零点D. 关于x 的方程f(x)=2−10的所有根之和为179三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

中考真题改编江西卷(二)数学金太阳教育答案一、选择题(本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分.)1.下列运算正确的是( ).A.an•a2=a2nB.a3•a2=a6C.an•(a2)n=a2n+2D.a2n-3÷a-3=a2n2.人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫.它具有自我对弈的学习能力，决战前已做了两千万局的训练(等同于一个人近千年的训练量).此处“两千万”用科学记数法表示为( ).A.0.2×107B.2×107C.0.2×108D.2×1083.，厂房屋顶人字形(等腰三角形)的钢架的跨度BC=10米，∠B=36o，则中柱AD(D为BC的中点)的短为( ).A.5sin36oB.5cos36oC.5tan36oD.10tan36o4.已知关于x的方程的解是非负数，则m范围是( ).A.m>2B.m≥2C.m≥2且m≠3D.m>2且m≠35.若关于x的方程x2-2x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为( ).A.30°B.45°C.60°D.75°6.已知一个圆锥体的三视图所示，则这个圆锥体的侧面积是( ).A.40πB.24πC.20 πD. 12π7.，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为( ).A.65°B.50°C.40°D.35°8.，矩形ABCD中，AB= ，BC= ，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则的值为( ).A. B. C. D.9.二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是( ).A.点C的座标就是(0，1)B.线段AB的短为2C.△ABC是等腰直角三角形D.当x>0时，y随x增大而增大10.，⊙C过原点，与x轴、y轴分别处设A.D两点.未知∠OBA=30°，点D的挤标为(0，2)，则⊙C半径是( ).A.433B.233C.43D. 211.，在菱形ABCD中，∠B=45o，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切. 向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖挂在阴影区域的概率就是( ).A.1-32π16B.2- 3π8C.1- 3π8D.3π812.，边长分别为1和2的两个等边三角形，已经开始它们在左边重合，小三角形紧固不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x，两个三角形重合面积为y，则y关于x的函数图象就是( ).A. B. C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共84分后)说明：将第Ⅱ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题(本大题共6小题，共18分后. 只建议核对最后结果，每小题填对得3分后.)13. 分解因式：x2-y2-3x-3y=__________14.排序的结果就是__________________.15.，已知函数y=ax+b与函数y=kx-3的图象相交于P(4，-6)，则不等式ax+b≤kx-3<0的解集是_______________.16排序：.17.，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于 .18.手机上常用的wifi标志右图，它由若干条圆心相同的圆弧共同组成，其圆心角为90°，最轻的扇形半径为1.若每两个相连圆弧的半径之高为1，由里往外的阴影部分的面积依次记作S1、S2、S3……，则S1+S2+S3+……+S20= _______________.三、解答题(本大题共7小题，共66分. 解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本题满分8分后)某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：课题测量教学楼高度方案一二图示测得数据 CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43°参照数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93请你选择其中的一种方案，求教学楼的高度(结果保留整数)20.(本题满分8分后)目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度(态度分为：A.无所谓;B.基本赞成;C.赞成;D.反对)，并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长;(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整;(3)根据抽样调查结果，恳请你估算1万名中学生家长中存有多少名家长抱持反对态度;(4)在此次调查活动中，初三(1)班和初三(2)班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.21.(本题满分8分后)小明早晨从家里出发匀速步行去上学.小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校.已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s 千米，且s与t之间的函数关系的图象中的折线段OA﹣AB所示.(1)试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式;(2)请解释图中线段AB的实际意义;(3)恳请在Rewa的图中图画出来小明的妈妈在追上小明的过程中，她所在位置与家的距离s(千米)与小明出发后的时间t(分钟)之间函数关系的图象.(友情告诫：恳请对画出的图象用数据作适当的标注)22.(本题满分10分后)LED灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于LE D灯的使用，某校数学兴趣小组为了解LED灯泡与普通白炽灯泡的销售情况，进行了市场调查：某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：LED灯泡普通白炽灯浸进价(元) 45 25标价(元) 60 30(1)该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个?(2)由于春节期间热卖，很快将两种灯泡销售回去，若该商场计划再次供货两种灯泡120个，在不能折扣的情况下，答如何发货，销售回去这批灯泡时买进最少且不少于进货价的30%，并算出此时这批灯泡的总利润为多少元?23. (本题满分10分)，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，极易证：CD=BE，△AMN 就是等边三角形.(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立?若成立请证明，若不成立请说明理由;(2)当△ADE拖A点转动至图3的边线时，△AMN与否还是等边三角形?若就是，恳请得出证明;若不是，恳请表明理由.24. (本题满分10分)，在Rt△ABC中，∠C=90o，sinA= ，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径并作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，联结DF.(1)求证：DF为⊙O的切线;(2)若AO=x，DF=y，谋y与x之间的函数关系式.25.(本题满分12分)，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线创建平面直角坐标系则，抛物线y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.(1)写出点A、点B的坐标;(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右位移，分别缴线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，相连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0(3)在(2)的条件下，是否存在t，使△PAM就是直角三角形?若存有，命令出点P的座标;若不存有，恳请表明理由.一、选择题(本大题共12小题，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，填在题后的小括号内，每小题选对得3分. 错选、不选或多选均记零分.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B C C C C B A D B A B二、填空题(本大题共6小题，共18分后. 只建议核对最后结果，每小题填对得3分后.)13. (x+y)(x﹣y﹣3);14. 23+1;15. -4三、答疑题(本大题共7小题，共66分后. 求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤)19.解方案一，解法如下：在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，∵tan∠BCG=BGCG ,∴CG=6.9tan13o≈6.90.23=30，……………………………3分在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，∵tan∠ACG=AGCG，∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，…………………6分∴AB=AG+BG=12+6.9≈19(米).……………………………………7分后答：教学楼的高度约19米.……………………………………8分方案二，数学分析如下：。

湖北省“金太阳联考”2025届高三12月数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−3,−2,−1,0,1}，B ={x|12x+3<0}，则A ∩B =( )A. {−3,−2,−1,0,1}B. {0,1}C. {−3,−2}D. {−3}2.已知复数z =3−12i 3，z 为z 的共轭复数，则z 的虚部为( ) A. 12B. −12C. −12iD. 12i3.已知平面向量a ⃗=(1,−2)，b ⃗⃗=(2x,x −1)，且a ⃗⃗//(b ⃗⃗−a ⃗⃗)，则x =( ) A. 5B. 15C. 45D. 144.黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层(第一层)的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层(第七层)的底面面积为( )A. 8平方米B. 9平方米C. 10平方米D. 11平方米5.已知α为锐角，cos(2α+8π9)=79，则sin(π18−α)=( )A. 13B.2√ 23C. −2√ 23D.2√ 23或−2√ 236.已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =log 2x 图象上不同的两点，则( ) A.y 1+y 22<log 2x 1+x 22 B.y 1+y 22>log 2x 1+x 22 C. y 1+y 2<log 2x 1+x 22D. y 1+y 2>log 2x 1+x 227.在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB =4，PC =PD =3，∠PCA =45∘，则四棱锥P −ABCD 的体积为( ) A.163B.16√ 23C.323D. 168.已知函数f(x)=(mx −1)2−sinx −m 在[0,π2]上只有一个零点，则正实数m 的取值范围为( ) A. (0,1] B. (0,1]∪[2(π+2)π2,+∞) C. (0,1]∪[4(π+2)π2,+∞)D. (0,1]∪[4(π+1)π2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

江苏省2023-2024学年金太阳百校联考高三第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数的模长为()A.B.C.2 D.<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=()2.已知集合M={x|-A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),则“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,A(,0),B(,-1),则f(x)的解析式是()A.f(x)=sin(x+)B.f(x)=sin(x-)C.f(x)=sin(2x+)D.f(x)=sin(2x-)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“>”,则P(A)=()A.B.C.D.6.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为()A.2ln 2B.ln 2C.ln 2D.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C 交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为()A.2023×2024B.22024-1C.6-D.-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是()A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=1D.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:-=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-(x-a),=2,则双曲线C的离心率为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是()A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值C.若M为BC的中点,则=2-D.·的最小值为-12.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有()A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是▲.14.已知{a n}是递增的等比数列,且满足a3=1,a1+a3+a5=,则a4+a6+a8= ▲.15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为▲.16.设a>0,已知函数f(x)=e x-a ln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为▲.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-=.(1)证明:cos B=.(2)求的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,2S n=3a n-3.(1)证明数列{a n}为等比数列;(2)设数列{a n}的前n项积为T n,若-) -)>·对任意n∈N*恒成立,求整数λ的最大值.20.(12分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,已知=3.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F的坐标为(1,0),P是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A2P交y轴于点Q.若△A1PQ的面积与△A2FP的面积相等,求直线A2P的斜率.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD, M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x ln x-ax2(a>0).(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2 (x1<x2),证明:x1x2>.江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=-=-) -)) -)=--=-1-2i,所以||=|z|=,故选D.法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以||=|z|=,故选D.2.C【解析】解不等式-<-1,即-<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e,所以N=(0,e),所以M∪N=(0,e),故选C.3.C【解析】a=(-2,1),c=(2,t).若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a与c互为相反向量;若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C【解析】由图象知T=4×(-)=π,故ω=2.将(,-1)代入解析式,得sin(+φ)=-1,所以+φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,即φ=,所以f(x)=sin(2x+).故选C.5.C【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件; 当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=, 故选C.6.B【解析】设切点为(x0,ln x0),y'=,则,,得b=ln x0-1,∴2a+b=+ln x0-1.设f(x)=+ln x-1(x>0),f'(x)=-+=-,当x∈ 0,2)时,f'(x)<0,当x∈ 2,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)min=f(2)=ln 2,∴2a+b的最小值为ln 2.7.C【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA===-y2,因为B1(-1,y2),所以=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0==2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.8.D【解析】当n=1时,a1=,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令≥,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=.∴T1=b1=,T3=b1+(b2+b3)=+=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=++=,…,∴T2047=11×=,∴T2023=-=-,故选D.9.ABD【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=x,解得S(,),联立直线l与渐近线y=-x,解得R(-,-),由题可知,=2,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,=-,解得b=a,所以e=,故D正确.故选BD.11.BCD【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C,=++,=+,故2-=-=,故C正确;对于D,设=λ,·=(++)·=(λ--)·λ=(λ--)·λ=(λ-λ--)· λ-λ)=λ(λ-1)||2-λ2·-λ·-λ(λ-1)·+λ2||2+λ·=λ(λ-1)||2-(2λ2-λ)·-λ·+λ2||2+λ·=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-)2-≥-,当且仅当λ=时,等号成立,所以·的最小值为-,故D正确.故选BCD.12.BD【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即e x+1-x=0,又e x≥x+1>x-1,所以e x+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.对于B,因为f(x)=a(e x+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=a e x-1,当a≤0时,由于e x>0,则a e x≤0,故f'(x)=a e x-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=a e x-1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,则f(x)在(-ln a,+∞)上单调递增.当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-ln a处取得,所以C错误.对于D,由上知f(x)min=f(-ln a)=a(e-ln a+a)+ln a=1+a2+ln a,要证f(x)>2ln a+,即证1+a2+ln a>2ln a+,即证a2--ln a>0恒成立,令g(a)=a2--ln a(a>0),则g'(a)=2a-=-.令g'(a)<0,则0<a<;令g'(a)>0,则a>.所以g(a)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g()=()2--ln=ln>0,则g(a)>0恒成立,所以当a>0时,f(x)>2ln a+恒成立,D正确.综上,故选BD.13.(-∞,1]【解析】因为x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤,因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a小于或等于的最大值,当x=0时,=0,当x≠0时,=≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以的最大值为1,故a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273【解析】设公比为q,a1+a3+a5=+a3+a3q2=,解得q2=9或,因为{a n}递增,所以q=3,则a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3=×33=273.故答案为273.15.12π【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R为球O的半径),∴△AOO1与△AOM全等,∴AM=r1,同理BM=r2,∴AB=r1+r2,∴O1=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2=12,∴O1O2=2,∴圆台的内切球半径R=,∴内切球的表面积为4πR2=12π.故答案为12π.16.【解析】f(x)≥0⇔ax+e x≥a ln(ax+b)+(ax+b),设g(x)=a ln x+x,易知g(x)在(0,+∞)上递增,且g(e x)=a ln e x+e x=ax+e x,故f(x)≥0⇔g(e x)≥g(ax+b)⇔e x≥ax+b.法一:设y=e x在点P(x0,)处的切线斜率为a,=a,即x0=ln a,切线l:y=ax+a(1-ln a),由e x≥ax+b恒成立,可得b≤a(1-ln a),∴ab≤a2(1-ln a),设h(a)=a2(1-ln a),a>0,h'(a)=2a(-ln a),当a∈ 0,)时,h'(a)>0,当a∈ ,+∞)时,h'(a)<0,∴h(a)max=h()=,∴ab的最大值为.故答案为.法二:设h(x)=e x-ax-b,h'(x)=e x-a,当x∈ -∞,ln a)时,h'(x)<0,当x∈ ln a,+∞)时,h'(x)>0,∴h(x)min=h(ln a)=a(1-ln a)-b≥0,即有b≤a(1-ln a),∴ab≤a2(1-ln a),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为-===,所以(1-cos A)·cos B=sin A·sin B, ........................................... 2分所以cos B=cos A cos B+sin A sin B,即cos(A-B)=cos B,而-<A-B<,0<B<,所以A-B=B,即A=2B, .......................................... 4分所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得a=2b cos B,即cos B=. .......................................... 5分证法二:由-===,所以=,即sin· 1+cos 2B)=cos·sin 2B,所以sin=sin 2B·cos-cos 2B·sin=sin(2B-),又0<A<,0<B<且A+B>,所以=2B-或+(2B-)=2B=π,所以A=2B或B=(与锐角△ABC不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,即cos B=. (2)由上知A=2B,则C=π-A-B=π-3B,在锐角△ABC中,<B<, ........................ 7分由正弦定理,得====2cos B∈ ,), ............................ 9分所以的取值范围是(,)................................................... 10分18.【解析】(1)记事件D:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E:此人来自甲市,记事件F:此人来自乙市,记事件G:此人来自丙市....................................... 1分Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥,由题意可得P(E)==0.2,P(F)==0.3,P(G)==0.5,P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,P(D|G)=0.04, ......................................... 3分由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054, 5分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. ................. 6分(2)由条件概率公式可得P(E|D)=))=)·))=...=..................... 11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为......................... 12分19.【解析】(1)因为2S n-3a n+3=0,①当n≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,② ................................................... 2分①-②得a n=3a n-1(n≥2),即-=3(n≥2),所以数列{a n}是首项为3,公比为3的等比数列..................................... 4分(2)由(1)知a n=3n,所以S n=-)-=-,T n=a1a2a3…a n=3×32×33×…×3n=31+2+3+…+n=), ................................... 6分所以-) -)=-)--·))=-))=(-)=-3>·对任意n∈N*恒成立,.......................... 8分故λ<3--恒成立, ........................................................... 9分令f(n)=3--,则f(n+1)-f(n)=3--(3--)=>0, ........................... 11分所以数列{f(n)}单调递增,所以f(n)min=f(1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0..... 12分20.【解析】(1)由题可知,|A1A2|=2a,由=3,所以||=3||,所以||=|A1A2|=a,即a+c=a,所以椭圆的离心率e==.............................................. 3分(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为+=1,直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A1到直线A2P的距离为h1,F到直线A2P的距离为h2,则h1=,h2=, .......................................................... 5分又△=h1·|PQ|,△=h2·|A2P|,△=△,所以==, ............................................................... 8分由图可得=,又因为A2(2,0),Q(0,-2k),所以P(,-k), ...................... 10分又P在椭圆上,代入椭圆方程解得k2=,因为k<0,所以k=-. ...................... 12分法二:由题意知,直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,联立--,,消去y得到方程(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,所以·x P=-,所以x P=-, .............................................. 5分代入直线方程得P(-,-),Q(0,-2k), ....................................... 7分△=|A2F|·y P=,△=△-△=·4· -2k)-·4·y P,又因为△=△,所以y P=-4k, ............................................ 10分所以·-=-4k,解得k2=,因为k<0,所以k=-................................ 12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AD⊥PD, ...................................................... 2分同理CD⊥PD.∵AD∩CD=D,AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.............................................................. 4分(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).∵PD⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), ......................................... 5分=λ 0≤λ≤1),∴=(-2,-2,1),=(0,-2,2),∴=+=+λ=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),则·--,·--,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ).................................. 7分设平面BMN与平面ABCD的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,m>|=|·|=-)-)=-, ...................... 8分设t=1-λ,则0≤t≤1.①当t=0时,cos θ=0.......................................................... 9分②当t≠0时,cos θ=-=2-=2)-=2[ -)],当t=时,cos θ=,∴0<cos θ≤.......................................... 11分综上,0≤cos θ≤.∴平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为[0,]..... 12分22.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-ax+1, ......................... 1分由题意,f'(x)≤0恒成立,即a≥恒成立, ...................................... 2分设h(x)=,h'(x)=-,当x∈ 0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,当x∈ 1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减, .............. 3分∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1....................................................... 4分(2)证法一:∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=-a,当x∈ 0,)时,g'(x)>0,当x∈ ,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,)上递增,在(,+∞)上递减,∴0<x1<<x2,又∵g(1)=1-a>0,∴0<x1<1<<x2, ................................................................ 6分要证x1x2>,只需证x2>(>),只需证g(x2)<g(),即证g()=-ln(ax1)-+1>0,即证ln(ax1)+-1<0,(*) ............................. 8分由g(x1)=ln x1-ax1+1=0,设ax1=t∈ 0,1),则ln x1=t-1,x1=e t-1,则(*)⇔ln t+e1-t-1<0, .. 10分设G(t)=ln t+e1-t-1(0<t<1),G'(t)=--=---,由(1)知ln x≤x-1,∴e x-1≥x,∴e t-1-t≥0,即G'(t)≥0,G(t)在(0,1)上递增,G(t)<G(1)=0,故(*)成立,即x1x2>. .................. 12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<-),当t>1时,ln t>-).设G(t)=ln t--)(t>0),G'(t)=-)=-))≥0,∴G(t)在(0,+∞)上递增,又G(1)=0,当0<t<1时,G(t)<G(1)=0,当t>1时,G(t)>G(1)=0,∴引理得证. ........................ 5分∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=-a,当x∈ 0,)时,g'(x)>0,当x∈ ,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,)上递增,在(,+∞)上递减,∴0<x1<<x2,即0<ax1<1<ax2.................. 6分要证x1x2>,只需证ln x1+ln x2>-ln a,即证a(x2+x1)>2-ln a,(*) .................... 7分由引理可得ax2+ln a-1=ln(ax2)>-),化简可得a2+a(ln a-2)x2+ln a+1>0,① ..... 9分同理ax1+ln a-1=ln(ax1)<-),即有a2+a(ln a-2)x1+ln a+1<0.②.............. 10分由①-②可得,a2(x2+x1)(x2-x1)+a(ln a-2)(x2-x1)>0,即a2(x2+x1)+a(ln a-2)>0,即a(x2+x1)>2-ln a,故(*)得证,从而x1x2>................................................... 12分。