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§13.3 乘法公式
课题：两数和乘以这两数的差第一课时
设计者：学校：
教学目标：
[知识与技能]：会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
[过程与方法]：由学生自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。
[情感态度与价值观]：在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想方法。
教学重、难点：
[重点]：平方差公式的推导和运用。
[难点]：公式中字母的广泛含义。
教学过程：
反思：。
13.3.1两数和乘以这两数的差(即平方差公式)教学设计教学目标1．在已有的整式乘法的知识中摸索、探究，提炼出两数和乘以这两数的差这一乘法公式。
2．使学生会正确运用公式进行整式乘法运算，感受公式的便捷。
3、通过剪纸拼图的活动，体会图形与数学恒等式之间的联系，感受数学的乐趣。
4、注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力。
教学重点和难点重点：两数和乘以这两数的差的公式的的结构特征及应用。
难点：正确运用两数和乘以这两数的差的公式。
学具准备剪刀、纸片教学过程设计一、情境引入1.从前有一个狡猾的地主，他将一块长为x米的正方形一边增加2米，另一边减少2米，结果他说这块土地的面积不变，你觉得呢？现在这块土地的面积怎么表示？我们已经学过了整式的乘法，多项式与多项式相乘的法则是什么?你会计算(x+2)(x-2)的结果吗？2.计算：（1）（x+1）(x-1)（2）（x+3）(x-3)（3）（2x+1）(2x-1)（4）（x+a）(x-a)计算后大家讨论并交流，所乘的两个式子具有怎样的特点，计算的结果有几项，具有怎样的特征？让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？从而引出课题——乘法公式：两个数的和乘以这两个数的差(即平方差公式) （教师板书课题）二、探究新知1、教师评价学生的发现，从特殊中总结出一般性，得出两数和乘以它们的差这一乘法公式。
2、合作拼图，用图形的面积再一次说明公式，让学生用语言叙述公式。
二、知识应用例1 计算(1+2x)(1-2x)．解：(1+2x)(1-2x)=12-（2x）2=1- 4x2．教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么。
例2 计算(2a+3b)(3b-2a)解：(2a+3b)(3b-2a)＝(3b)2- (2a)2＝9b2- 4a2本例题由学生交流完成。
两数和乘以这两数的差一、创设情境、导入课题师：孩子们，中秋假期过去了，下一个等待我们的假期是什么呢？生：国庆！！！师：那同学们假期里面都做些什么呢？师：老师这里有一段动画片的插曲，请同学们猜猜这是哪部动画呢？会唱的同学可以跟着一起唱。
（PPT播放《喜羊羊与灰太狼》动画插曲）师：灰太狼在动画片里一直都在做一件什么事呢？可是它捉到羊没有呢？生：捉羊！！没有！！师：没有捉到羊，又要面临现实的生活问题，养活家人。
于是灰太狼想到了一个办法：将自己边长为a米（a>5）的正方形土地租给羊去种植。
可租了之后呢，它每天都在琢磨。
有一天，它找到慢羊羊村长说：“由于市政规划，要把这块土地的一边减少5米，一边增加5米，然后你再租，也不吃亏。
”村长当即一想是这样，就同意了。
可在回村的路上，村长总觉得不对劲，于是就回去问了喜羊羊。
喜羊羊一听说：“村长，你亏大啦！”师：那同学们，我们一起来看看村长是否吃亏了呢！之前土地的面积是？变化以后变成了长为？宽为？的长方形。
这个长方形的面积是多少呢？生：a2,。
（a+5）。
（a-5）。
(a+5)(a-5)。
师：同学们能计算出来吗？通过我们所学的什么知识进行计算呢？那喜羊羊为什么一听就知道村长吃亏了呢？这里面的计算是不是有什么奥秘呢？本节课我们就一起来探究这里面的奥秘！二、新知探究1、观察探索师：接下来老师在写两个式子给大家，看大家是否能计算的又快又准确。
PPT展示：(x+y)(x-y),(m+5n)(m-5n);抽同学回答计算结果。
师：请同学们认真观察我们所计算的三个式子：(a+5)(a-5)；(x+y)(x-y)；(m+5n)(m-5n)，回答下列问题：（1）等式左边的两个多项式有什么特点？（2）等式右边的结果有什么规律？（3）请用一句话归纳总结出等式的规律。
生：抽取三名学生回答以上问题，若有回答不出其余生补充回答。
师：若我们把其中一项当作是a，另一项当作是b，则可以得到生：(a+b)(a-b)=a2-b2（板书）2、规律验证师：这个式子是否成立呢？其实对于我们在代数中得到的式子，我们都可以通过拼图游戏来验证。
两数和乘以这两数的差（平方差公式）有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
2、通过实例，探究出有理数除法法则。
会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。
重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。
教学过程：一、创设情景，导入新课 1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
有一个因数是0，积就为0. 2、有理数乘法运算律：a ×b = b ×a (a ×b )×c = a ×(b ×c ). a ×(b+c )=a × b + a ×c 3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt ） 二、合作交流，解读探究 1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3） （－6）÷（－3） 学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。
教师：引导学生回顾小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求6÷3即要求3×？＝6，由3×2＝6可知6÷3＝2。
同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。
根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数a,b ，其中b ≠0，如果有一个有理数c 使得c ×b=a ，那么我们规定a ÷b=c ，称c 叫做a 除以b 的商。
2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引导学生对比乘法法则，自己总结有理数除法法则，经讨论后，板书有理数除法法则。
《两数和乘以这两数的差》教案教材分析本节课选自华师大版八年级上册第12章第三节内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法．因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一．学情分析1.学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能．通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯．2．学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性．教学目标1.知识与技能了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能应用公式进行计算。
1.过程与方法经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析和归纳能力。
通过对公式验证，感受代数与几何的内在统一性，同时体会数形结合的思想方法。
在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生思维能力和数学应用意识。
1.情感态度和价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。
在合作探究活动中让学生体验成功，增强自信。
教学重点理解平方差公式，掌握公式结构特征。
两数和乘以这两数的差(教案)（第一课时）巴中二中冯文[教学内容]：两数和乘以这两数的差[教学目标]1、知识与能力了解．．公式的几何背景，理解．．公式，在此基础上能应用．．公式进行计算。
．．并掌握2、过程与方法在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践”的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
3、情感态度与价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。
在活动中让学生体验成功，增强自信。
[教学重难点]1、教学重点：公式的验证及应用。
2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于公式中的b。
[教学策略]本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下三种教学方法：情景教学法，．．．：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣。
．．．教学法．．．．．．启发式探究性教学法．．．．．．：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过程，以加深对知识的理解。
[教 学 准 备]1．学具准备：每位同学课前观察教材P29的图13.3.1，然后制作一张卡片，准备一把剪刀。
（图1:教材P29的图13.3.1） (图2:学生制作的卡片) 2．多媒体辅助教学。
[教 学 课 时]：共2课时，授课内容为第一课时 [教学过程设计]一、创设情景（约2分钟） 用视频播放下面的生活场景：小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共4.2千克，每千克3.8元。
正当售货员还在用计算器计算时，小林马上说出了共15.96元。
售货员很惊奇地问：你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。
提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣） 二、观察概括（约6分钟）a1．师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。
下面，请同学们计算这三道题目，并抽一名学生回答出最终．．的答案。
两数和乘以这两数的差教学设计[大全五篇]第一篇：两数和乘以这两数的差教学设计两数和乘以这两数的差教学设计在教学工作者实际的教学活动中，时常需要准备好教学设计，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。
你知道什么样的教学设计才能切实有效地帮助到我们吗？以下是小编帮大家整理的两数和乘以这两数的差教学设计，希望对大家有所帮助。
一、教学内容：华东师大版八年级上册第十三章第三节乘法公式之两数和乘以这两数的差。
二、教材分析：（一）教材所处的地位：乘法公式是初中代数学习的几个重要的公式之一。
两数和乘以这两数的差实质上就是平方差公式。
此公式源于整式的乘法，又可用于整式的乘法。
同时也与今后学习因式分解中平方差公式互逆。
故掌握好平方差公式有利于今后学习因式分解时的知识迁移，又可减少之后学习完全平方公式时产生负迁移。
（二）教学重、难点及关键：1、重点：掌握平方差公式的特点，并会运用。
2、难点：公式的几何背景，会灵活运用公式。
3、关键：抓住公式的结构特点，能根据公式的特点，判断哪些多项式的乘法可以套用公式。
三、教学设计说明：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择“迁移引导法”探索式教学，引导学生探索、归纳到应用。
由学到“思”，由“思”到知识方法的提升，体验探索数学的方法，及应用的必要性，让学生感受学习数学是一件快乐的事，也是服务于生活的一种必备知识。
这种教学理念体现了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
我的教学设计流程是：创设情境--观察发现--归纳验证--强化训练--应用拓展等几个环节。
本节课的内容是学习公式、运用公式，公式的学习及运用主要以技能训练为主。
我在设计这节课时，遵循了以下几个原则：（1）、层次性原则：在教学时由浅入深，由易到难，使所有学生都处于“跳一跳就能摘到桃子“的学习情境中，再根据个别学生学习能力的差异，注意加以辅导，让学困生不掉队，优等生能有所发挥，做到面向全体学生。
两数和乘以这两数的差（教案）（第一课时）巴中二中冯文［教学内容］：两数和乘以这两数的差［教学目标］1、知识与能力了．解．公式的几何背景，理．解．并掌．握．公式，在此基础上能应．用．公式进行计算。
2、过程与方法在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践” 的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
3、情感态度与价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。
在活动中让学生体验成功，增强自信。
［教学重难点］1、教学重点：公式的验证及应用。
2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于公式中的b。
［教学策略］本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下三种教学方法：情．景．教．学．法．，．启．发．式．教．学．法．：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣探．究．性．教．学．法． ：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过 程，以加深对知识的理解［教 学 准 备 ］1．学具准备：每位同学课前观察教材 P29 的图 13.3.1，然后制作一张卡片， 准备一把剪刀。
（图 1:教材 P29 的图 13.3.1） 2．多媒体辅助教学。
［教 学 课 时］：共 2 课时，授课内容为第一课时［教学过程设计 ］一、创设情景 （约 2 分钟）用视频播放下面的生活场景：小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共 4.2 千克，每千克 3.8 元。
正当 售货员还在用计算器计算时， 小林马上说出了共 15.96 元。
售货员很惊奇地问： 你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。
提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出 4.2×3.8 的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣 ）二、观察概括 （约 6 分钟）1．师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。
12.3.1 两数和乘以这两数的差一、学习目标与重难点1．认识平方差公式，并了解公式的意义（ABC ）；2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题（ABC ）;3．核心素养：通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何之间的联系（AB ）. 重点：平方差公式的推导过程.难点：平方差公式的应用.二、教学过程1.复习引入（1）多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（2）注意事项：不漏乘；合并同类项（3）练习题：观察这些式子有什么共同点？提出猜想，引入课题2.自主学习，完成任务（3min ）（1）仔细阅读教材3032页内容，并完成书上空格填写；（2）尝试完成书上课后练习3.预习检测，讲授新知（1）讲授新知①验证公式从数的角度：从几何的角度 黄色纸片的面积可表示为 ；拼成的长方形面积可表示为 . 即 (a+b) (ab)=a 2b 2②新知归纳两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.平方差公式：使用平方差公式时，关键在于找a 与b③新知运用游戏环节4.例题讲解基础过关例1）：（1）(3a+b)(3ab) （2）例1（纲要23页(−2a 2+5b )(−2a 2−5b ) （规范过程，注意打括号）能力提升例2：简便计算：1 002 × 998变式练习（纲要25页例4）：计算22018-20172019⨯例3（纲要24页例2）：若的值为则b a b a b a +=-=-,21,4122（ ）A. 21B.21 变式练习：若a 2−2a −1=0，那么代数式(a +2)(a −2)−2a 的值为 思维拓展，讨论交流，学生展示5.课堂小结（1）什么叫做平方差公式？（2）在应用平方差公式时，关键点是什么？6.课堂练习（1）课本32页练习1、2题（2）单页题卡第一部分—基础巩固三、板书设计。
《两数和乘以这两数的差》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能：使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以这两数的差这一乘法公式，通过变式训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用数学的乐趣。
2、过程与方法：经历探究两数和乘以两数差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辨证思想；通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想；正确理解两数和乘以它们的差的公式意义；掌握两数和乘以这两数差的公式结构特征，并能正确运用。
3、情感态度与价值观：形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感。
二、教学重点
对两数和乘以这两数的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
三、教学难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式意义，会运用公式进行计算。
四、课前准备：多媒体课件、导学案
五、课堂教学流程
（一）情境引入（2分钟）：
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。
（板书课题：§12.3.1两数和乘以这两数的差）
（二）知识回顾（2分钟）：
1、多项式与多项式相乘法则：
2、利用多项式与多项式的乘法法则写出(x＋a)(x＋b)的结果：
(x＋a)(x＋b)=
（三）新知探究：（12分钟）学生自主合作探究，小组交流，归纳总结。
请同学们认真完成表格中的计算，回答下列问题：
1、计算观察，探索规律
归纳小结：两数和与这两数差的积，等于这两数的______________，
即：=___________________。
这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为 公式。
2、平方差公式的特征：
（1）公式左边是两个数
3 也可以表示单项式或多项式；
）必须符合平方差公式结构特征的代数式才能用平方差公式
4（四）尝试练习：（10分钟）
(x ＋3)(x －3)=
(a ＋2b)(a －2b)=
(4m ＋n)(4m －n)=
(5＋4y)(5－4y)=
(a ＋b)(a －b)=
()()b a b a -+－
(a+b)(a －b)
－
(a+b)(a －b)???????
?
1、计算：（1） （2） （3） （4）
2、运用平方差公式计算：
（1）9.8 ×10.2 （2）1998×2002
解：9.8 ×10.2 =（10－ ）×(10+ )
= =
3、街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
4、计算：
5、公式的变形应用：
（1）位置变化：=__________；
（2）符号变化：=_______________________；
（3）系数变化：=____________________________； （4）指数变化：=_________________________________；
（5）增项变化：= ；= ； （6）连用公式变化：=____________________； （五）小结反思（2分钟）：我们今天学到了什么？你还有什么困惑？
（六）当堂检测：（10分钟）
1、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A. (x+y)(- x - y)
B. (2 x + 3 y)(2 x -3 z)
C. (－a －b)(a －b)
D. (m －n)(n －m)
2、下列计算正确的是( )
A. (2x+3)(2x －3)=2x 2－9
B. (x+4)(x －4)=x 2－4
(3)(3)a
a +-(23)(23)a
b a b +-)21)(21(
c c -+)
2)(2(y x y x ---)6)(6()5()1(-+--a a a a ))()(()2(22y x y x y x +-+()()a b a b +-+()()b a b a ---()b a b a 35.0321-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+()()2222b a b a -+()()c b a c b a +---()()c b a c b a +--+()()()()
4422b a b a b a b a +++-
C. (5+x)(x －6)=x 2－30
D. (－1+4b)(－1－4b)=1－16b 2
3、下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )
A. (－a －b)(－b+a)
B. (xy+z)(xy －z)
C. (－2a －b)(2a+b)
D. (0.5x －y)(－y －0.5x) 4、计算：=
5、计算:
（1） （2） ； （3） ； （4） ；能力提升：（小组合作，勇往直前）
计算： （1） （2）观察下列各式：；
； ；（五）作业布置： 教材P36 习题12.3 1、2、3
（六）教后反思：
这一课时的教学设计经过实际的教学实践，在前面内容的学习中，同学们已经学习了幂的运算和整式乘法运算，为此，在教学中，我有意识地培养学生的推理能力，鼓励学生通过合情推理进行大胆推测，利用符号间的运算验证猜测或解决问题，同时鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，最后通过多媒体动态演示，给出平方差公式的一个几何解释。
本堂课采用“情境引入—新知探究—合作交流—应用提高”灵活的教学方法，借助课时课件ppt 展示，基本实现教学目标，突破教学难点，效果较好。
本节课在教学设计上从以下几个方面出发，注意创建适合学生发展的教学思路：
)1)(1)(1(24a a a a ++-+)23)(23()32)(32(n m n m n m n m +---+))((y x y x n
n +-)()())((2222a a b a b a -∙---+2017201520162⨯-1)12()12)(12)(12)(12(64842++++++ 1)1)(1(2-=+-x x x 1)1)(1(32-=++-x x x x 1)1)(1(423-=+++-x x x x x
1、以提高兴趣，培养能力为中心。
不求过分讲细，讲全，只求调动所有学生积极参与，提高学生学习数学的积极性。
2、教学过程始终关注中下等学生。
教学过程的每一个环节都要注意教学反馈。
通过课堂提问、观察、练习、谈话等及时获得学生学习情况的反馈信息，随时调节教学。
3、六人为一学习小组，分组讨论交流，组长把关。
4、提供学生交流、讨论的空间，多让学生从中体会数学的应用价值，养成谈数学、想数学、用数学的良好习惯。
5、时间让给学生，教师只是学生学习的组织者、引导者、合作者。
在这节课的教学过程中，提供学生交流讨论的空间，学生的思维始终保持着高度的活跃性，真正体现了人人参与数学学习活动。
不同的人学习不同的数学,效果明显。
个别学生对变形的能否运用公式运算出现困难，要加强辅导。
