华师大版数学九年级上册教案：第23章相似三角形小结与复习题教案(2)

华师大版九年级上册第23章相似三角形小结与复习题教案（２）教学内容：课本Ｐ９６~98页。

教学目标：１、构建相似三角形的方法体系；２、运用相似三角形的知识解决实际问题；教学重点：构建相似三角形的方法体系；教学难点：运用相似三角形的知识解决实际问题；教学准备：课件教学方法：讲授法教学过程：一、中位线法例１、如下图，在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，如果ＣＦ＝１０，求ＧＦ和ＧＭ的值。

解：连结ＭＤ。

∵ＡＭ＝ＢＭ，ＢＤ＝ＤＥ；∴ＤＭ∥ＡＥ，ＤＭ＝12ＡＥ；∵ＤＥ＝ＥＣ，∴ＭＦ＝ＦＣ＝10，ＥＦ＝12ＭＤ＝14ＡＥ，ＡＦ＝34ＡＥ；由ＤＭ∥ＡＦ得△ＤＭＧ∽△ＡＦＧ，∴ＭＧ：ＧＦ＝ＭＤ：ＡＦ＝12ＡＥ：34ＡＥ＝２：３∴ＭＧ＝２Ｋ，ＧＦ＝３Ｋ，由ＭＦ＝ＭＧ+ＧＦ得，２k+３k=１０，k=２;MＧ＝４，ＧＦ＝６；答：ＭＧ为４，ＧＦ为６.例２、如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F。

试说明∠BEN=∠NFC.解：连结ＡＣ，取ＡＣ的中点Ｇ，连结ＭＧ，ＮＧ。

∵M、N分别是AD、BC的中点，Ｇ是ＡＣ的中点；∴ＭＧ∥ＣＤ，ＭＧ＝12ＣＤ；ＮＧ∥ＡＢ，ＮＧ＝12ＡＢ；∴∠ＢＥＮ＝∠ＧＮＦ，∠ＧＭＮ＝∠ＮＦＣ，ＧＭ＝ＧＮ；∴∠ＧＮＦ＝∠ＧＭＮ，∴∠BEN=∠NFC.例３、如图．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．解：取ＢＣ的中点Ｆ，连结ＭＦ、ＮＦ。

∵BE，CD的中点分别是M，N，Ｆ为ＢＣ的中点。

∴ＭＦ∥ＡＣ，ＭＦ＝12ＡＣ；ＮＦ∥ＢＤ，ＮＦ＝12ＢＤ；∴∠ＡＢＱ＝∠ＦＮＭ，∠ＡＱＰ＝∠ＦＭＱ，ＦＭ＝ＦＮ；∴∠ＦＭＮ＝∠ＦＮＭ，∴∠ＡＰＱ=∠ＡＱＰ.∴ＡＰ＝ＡＱ。

二、模型化法，即利用相似三角形解决实际问题例１、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．解：过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB 、EF 于点G 、H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2， DH ＝CE ＝0.8，DG ＝CA ＝30．∵EF ∥AB ，∴DGDHBG FH =． 由题意，知FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5． ∴308.05.0=BG ，解之，得BG ＝18.75． ∴AB ＝BG+AG ＝18.75+1.2＝19.95≈20.0． ∴楼高AB 约为20.0米．例２、为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距 为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？解：（1）甲生的设计方案可行．根据勾股定理，得222223.24.328.73A C A D C D =+=+=． ∴28.73255A C =>=． ∴甲生的设计方案可行． （2）1.8米． （3）∵F D ∥B C∴△A D F ∽△ABC ． ∴FD ADBC AB =． ∴33.55F D =． ∴2.1F D =（cm ）．答：小视力表中相应2.1cmHH（图（图（图（第223.5㎝ACF3mB5mD例３、晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．求路灯的高.解：设路灯的高为x,∵GH⊥BD,AB⊥BD ∴GH∥AB ∴△EGH∽△EAB∴GH EHx EB=①同理△FGH∽△FCDGH FHx FD=②∴EH FH EH FHEB FD EB FD+==+∴3 4.512 4.5EB=+解得EB=11,代入①得1.8311x=解得x=6.6(米)三、小结１、学生小结；２、教师小结：本节课学习了中位线法，利用相似三角形的知识解决实际问题的方法。

《三角形的中位线》教学设计一、教材分析：1、教材中所处的地位：本节课是华东师大数学教材九年级上册第二十三章第四节内容。

三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。

在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想。

由于解决这一问题需要师生、生生之间的合作与交流，利于发展学生的合作与交流的意识与能力；由于本节课学生需要经历观察、归纳、猜想、推理及应用的全过程，对于今后的学习具有重要的指导意义。

2、教学背景：通过教材和班级的实际情况，对教材中的三个地方需要稍加处理，才更适合我们的学生的实际情况，更符合学生的认知发展规律，抓住学生的最近发展区，提高课堂教学效率。

（1）设计困惑：①课堂上解决“如何把一个三角形分为四个全等的三角形”这个问题过于费时，学生很多想不到，就算是做出来也不明白为什么。

②教材中给出的定理证明方法为中位线倍长法，难度相当大，学生基本上都无法理解。

③中点四边形的证明如何作辅助线、为什么要这样作辅助线学生感到很困难。

（2）教材处理：①我校正在开展协同教育课题研究，学生是通过我校协同平台来完成学习任务的，于是我充分利用资源，让学生登陆协同平台完成我发布的作业，通过三个问题作铺垫：学生很快就搞定了。

②通过动画演示及教具演示，让学生直观感受中位线倍长法与旋转法、平行法的联系。

③通过教具演示，加上温馨提示，学生自然就明白作辅助线的奥妙了。

二、目标分析：1、教学目标：（一）知识目标：（1）理解三角形中位线的定义；（2）掌握三角形中位线定理证明及其应用。

（3）理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。

（新增）（二）能力目标：（1）通过动手操作与合作交流，发展学生的合作交流、实践操作及推理能力。

（2）通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高学生分析问题及解决问题的能力。

23.3.2 相似三角形的判定（二）【学习目标】1、探索并掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似.2、能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似. 【重点难点】相似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2、3并能灵活应用. 【自学内容】 一、复习回顾已学过的判定两个三角形相似的方法有：（1） . （2） . （3） . 【合作探究】思考：类似判定三角形全等的方法，我们能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？ 已知：如图，ABC ∆中，''''C A ACB A AB =，且'A A ∠=∠. 求证：ABC ∆∽'''C B A ∆.（利用判定一的证明方法启发引导学生探究证明方法）总结：相似三角形判定定理2如果一个三角形的 与另一个三角形的 ，并且 ，那么这两个三角形相似简单说成：两边 且夹角 ，两三角形相似练习：1..根据下列条件,判断△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似,并说明理由: ∠A=40º，AB=8，AC=15，∠A ’=40º,A ’B ’=16，A ’C ’=30. 2..证明图中的AEB ∆和FEC ∆相似.探索：做一做：在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数.画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？FACB'已知：如图，ABC ∆中，''''''AB AC BCA B A C B C ==.求证：ABC ∆∽'''A B C ∆. （学生探究证明方法）总结：相似三角形的判定定理3：三边 的两个三角形相似. 例：在△ABC 和△A'B'C' 中，AB=6cm ， BC=8cm, AC=10cm ， A'B'=18cm, B'C'=24cm ， A'C'=30cm. 求证：△ABC ∽△A'B'C'【巩固训练】1.如图已知, 试说明∠BAD=∠CAE.,ABBCACAD DEAE==2311111CFEBA2.如图, ∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证: (1) ⊿AEF ∽⊿ CEA. (2) ∠1+ ∠2= 45 °【课堂小结】相似三角形的判定方法： 1. 定义 2. 预备定理3. 两角对应相等的两个三角形相似4. 两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似5. 三边对应成比例的两个三角形相似。

教案定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.2、表示方法：教师介绍表示法，同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上〔可以以此与全等符号及表示作一比拟，加强记忆〕.3、相似比：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比〔或相似系数〕.强调：△A’B’C’与△ABC 的相似比是k ，那么△ABC 与△ A’B’ C’的相似比是k1. 三、合作交流、尝试练习△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似？并证明.师生共同探讨：1、目前要证明两个三角形相似只能根据什么？〔定义〕2、根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？〔对应角相等，对应边成比例〕3、△ADE 与△ABC 满足“对应角相等〞吗？为什么？4、对应边成比例，由“DE//BC 〞的条件可得到怎样的比例式⎪⎭⎫ ⎝⎛=AC AE AB AD 5、此题的关键归结为“只要证明什么〞？⎪⎭⎫ ⎝⎛=BC DE AC AE 6、根据以前的推论，如何把DE 移到BC 上去，即应添怎样的辅助线？〔EF//AB 〕思考：如下列图，DE ∥BC ，△ADE 与△ABC 是否还相似？ADB CE教师引导学生得出常用的结论：平行于三角形一边的直线和其它两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似。

例题讲解：例1 如图，D为△ABC的边AB的三等分点，DE//BC，DE=5,求BC的长四、归纳小结、稳固练习本节课的收获？练习：书63页练习1、2、3板书23.3.1相似三角形引入：相似三角形的符号：例相似比：。

课题相似三角形的应用授课时间授课班级
教学目标知识与技能：会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。

自己设计方案测量高度体会相似三角形在解决问题中的广泛应用。

过程与方法：通过利用相似解决实际问题，进一步提高学生应用数学知识的能力。

情感态度与价值观：让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用
重点难点重点：构建相似三角形解决实际问题。

难点：把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形解决。

自主学习
内容
预习教材72——74页，找出疑问的地方.
教学步骤教学内容教法学法二次备课
创设情境导入新课
师生合作探究新知1、相似三角形有哪些性质?
2、如图，B、C、E、F是在同一直线
上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，
(1) △DEF与△ABC相似吗?为什么?
(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那
么AB等于多少?
我军一小分队到达某河岸，为
了测量河宽，只用简单的工具，就
可以很快计算河的宽度，在河对岸
选定一个目标作为点A，再在河的这
一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然
后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视
确定BC和AE的交点D，此时如果测
得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50
米，就能算出两岸间的大致距离AB。

图24.3.13
分析：如图，为了估算河的宽
度，我们可以在河对岸选定一个目
标作为点A，再在河的这一边选定
复习导入
与同伴交流，是否
有相同结果。

图24.3.14。

23.3.3相似三角形的性质教学目标：知识与技能说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

数学思考与问题解决培养由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力。

情感态度经历探索相似三角形性质的过程，并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。

重点：相似三角形性质的应用。

难点：相似三角形的判定和性质的综合应用。

教学过程：一、复习引入1.三角形中的主要线段有哪些？2.全等三角形有哪些性质？类比全等三角形你能说说相似三角形的性质吗？二、自主探索1.根据相似三角形的定义我们可以知道哪些性质？对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形还有哪些性质呢？3.我们把相似三角形对应边的比值称为相似比4.猜想相似三角形对应高的比是否等于相似比性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)后两个定理的证明可以由学生独立完成。

5.相似三角形周长的比等于多少？（教师指导学生进行猜想、证明，让学生用类比的方法进行研究，培养推理能力。

）6.相似三角形面积的比等于多少？（指导学生猜想结论并加以证明）7.知识运用例：小王有一块三角形余料ABC，它的边BC=60cm，高线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。

（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形SPQR的面积。

三、巩固练习．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2．相似三角形对应边的比为2:5，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．3、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_____四．小结这节课你有什么收获？五．布置作业课本习题23的6、7、8板书设计23.3.3相似三角形的性质1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。

23.3.2相似三角形的判定（2）【教学目标】1. 探索并掌握相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等两三角形相似）2. 培养学生自主探究及逻辑推理能力3. 让孩子体会学习的快乐【教学重点】掌握运用相似三角形的判定定理2【教学难点】相似三角形的判定定理2的探索、猜想、证明 【学习导航】∙温故知新篇一. 学习准备1.如图（1）∠A=∠C,△______∽△______,理由：___________________________.2.如图（2），D 是△ABC 的边AC 上一点，要证△CBD ∽△CAB,已经具备的条件是_________,还需要添加的条件是__________,或____________.图（1） 图（2）二、自主探究观察图24．3．6，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图24.3.6图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31．将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当∠____ =∠___时，△ADE ∽△ABC 相似，判定方法是_______________________。

此时，_____=ACAE．你发现了什么？如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形一定相似吗？∙推理验证篇已知：如图（3）在△ABC 和△111C B A 中，∠A=∠A 1,1111C A ACB A AB =. 求证：△ABC ∽△111C B A 图（3）证明：这样我们就又有了一种判定两个三角形相似的方法：相似三角形的判定定理2：_____________________________________.如上图，此定理可用几何语言表示为：因为 ∠____=∠____,11C A AB=.所以 △______∽△______BAC DDAB CE 猜想A 1B 1C 1ABCABCA 1BC 1FDCBA图24.3.7 21EDCBA∙学以致用篇例4证明：图24．3．7中△AEB 和△FEC 相似．∙勇攀高峰篇在正方形ABCD 中，E 为AD 上的中点, 41=AB AF ，连结EF 、EC ；△AEF 与△DCE 是否相似?说明理由.【课内小结】1.请用一句话概括你本节课的收获：_____________________________________________________2. 至本节课结束，我们一共学了______种判定两三角形相似的方法,分别是：方法1：____________________________________,两三角形相似.方法2：通过平行线（相似三角形预备定理）证两三角形相似.方法3：________________________________,两三角形相似.【课内检测】1.选择：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形。

《相似三角形的应用》教案教学目标1．知识与能力：①利用相似三角形不能直接测量的长度或宽度的问题。

②会用相似三角形的知识解决生活实际问题。

2．过程与方法：经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。

3．情感、态度与价值观：①通过利用相似形知识解决生活实际问题，使学生体验数学来源于生活，服务于生活。

②通过对问题的探究，培养学生认真踏实的学习态度和科学严谨的学习方法，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。

教学重点、难点和关键重点：利用相似三角形的知识解决实际问题。

难点：运用相似三角形的判定定理构造相似三角形解决实际问题。

关键：将实际问题转化为数学模型，利用所学的知识来进行解答。

【教学过程】一、知识梳理1．相似三角形的识别方法：的两个三角形相似；的两个三角形相似；的两个三角形相似。

2．相似三角形的性质：相似三角形的。

二、情境导入（多媒体图片）世界上最高的树：红杉世界上最高的楼：台北101大楼问题：怎样测量这些非常高大物体的高度？世界上最宽的河：亚马逊河5.学习例7，测量河宽还能用什么方法？（多媒体出示方法二）6.跟踪练习五、思维拓展1.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高AB?2.金字塔还可以怎么测量高度？六、回顾小结1. 相似三角形的应用主要有两个方面：（1）测高（不能直接测量的高度）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。

（2）测距（不能直接测量的距离）测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。

2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）认真审题。

（2）构建图形，实际问题转化为数学问题。

（3）利用相似解决实际问题。

年级 九年级 课题 相似三角形的判定 课型 新授教学媒体 多媒体教 学 目 标知识技能掌握两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似的判定定理.过程方法类比全等三角形的判定方法SAS,经历猜想结论、画图及推理验证，探究相似三角形的判定定理.情感 态度 培养学生从特殊到一般的认识事物，用类比的方法展开思维，获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣.教学重点 掌握相似三角形的判定定理，会运用定理判定两个三角形相似. 教学难点探究三角形相似的条件，运用相似三角形的判定定理解决问题.教 学 过 程 设 计教学程序及教学内容复习引入1. 我们学习了哪些证明三角形相似的方法？2. 类比全等三角形的判定方法SAS,思考下面问题：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且它们的夹角相等， 那么这两个三角形相似吗? 引出课题：这节课接着探究相似三角形的判定 二、自主探究● 猜想结论，并利用刻度尺和量角器画图、测量、验证.1. 画△ABC 和△A ；B ‘C ‘，使∠A=∠A ；，AB:A ；B ‘=AC:A ；C ‘=k, 量出它们的第三组对应边BC 和B ‘C ‘的长，它们的比等于k 吗？ ∠B=∠B ‘∠C=∠C ‘吗？2. 改变∠A 的度数或者改变k 的值，是否有同样的结论？推理论证结论已知：如图，△ABC 和△A ；B ‘C ‘中，∠A=∠A ；，AB:A ；B ‘=AC:A ；C ‘求证：△ABC ∽ △A ；B ‘C ‘其他证法：在△ABC 的边AB 、AC 的延长线截取.得到：两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．● 思考：将条件中的∠A=∠A ；改成∠B=∠B ‘其它条件不变，这两个三角形还相似吗？● 应用例1 如图，证明图中△AEB 和△FEC 相似．图24.3.7例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD 的长B'C'A'AB C板 书 设 计分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出ACCDCD AB =，结合∠B=∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式ADACAC CD =，从而求出AD 的长．三、课堂训练1.依据下列各组条件，证明三角形相似 ①∠A=60°，AB=5，AC=10；∠A ′=60°，A ′B ′=3，A ′C ′=6②∠A=∠A ′，且AB ·A ′B ′=AC ·A ′B ′2.如图，AB•AC=AD•AE ，且∠1=∠2， 求证：△ABC ∽△AED ．3．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD2=PD •AD ， 求证：△ADC ∽△CDP ．四、课堂小结1.到目前已经学习了哪几种相似三角形的判定方法2.对照全等三角形的判定方法与相似三角形的判定方法，你有什么体会 五、作业设计 练习册27.2 相似三角形的判定相似三角形的判定： 例1 例2教 学 反 思。