当前位置：文档之家 › 第3章 短期聚合风险模型

第3章 短期聚合风险模型

  • 格式：ppt
  • 大小：581.50 KB
  • 文档页数：29

下载文档原格式

  / 29

合集下载

《风险理论》第1章_效用理论与保险

《风险理论》第1章_效用理论与保险


• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能 比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论)
以价格 P 元参与如下的
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E 那么保险人将以保 U W P X U W ， 费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费， 可从反映保险人 状况的效用均衡方程中解出：
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值 u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富 w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会 去比较 E u w X 和E u w Y ，并选择期望效用 较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富 w 的被保险 人，就可以决定为此支付的最大保费 P 了。这可以由均 衡方程 E u w X u w P 求出。 保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一 个最小的保费 P 。 如果保费介于被保险人的最大保费 P 和保险人的最小 保费 P 之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加 了。
风险偏好者的效用函数 u x 的特点：
u ' x 0, u " x 0 ，凸函数
风险中性人的效用函数 u x 的特点： ：
u ' x 0, u " x 0 ，直线
风险理论

风险理论

4理赔额和理赔次数的分布
4．1损失额分布
理赔额与损失额
常见的损失额分布
4.2理赔额分布
带有免赔额的理赔额分布
带有免赔额、保单限额和比例赔偿的理赔额分布
通货膨胀对理赔额分布的影响
4.3理赔次数的分布
单个保单的理赔次数分布：泊松分布；负二项分布；二项分布；泊松分布与负二项分布的关系；（a,b,0）分布类和（a,b,1）分布类
保单组合的理赔次数分布
相关性保单组合的理赔次数分布
免赔额对理赔次数的影响
5短期个体风险模型
5.1引言
5.2个体保单的理赔分布
5．3总理赔额的分布——卷积法
两项的卷积
多项卷积
5.4总理配额的分布——矩母函数法
5.5总理配额分布的正态近似
6短期聚合风险模型
6.1引言
6.2理赔总量模型
S的概率分布
S的均值、方差或高阶矩
6.3复合泊松模型
复合泊松模型的定义和基本性质
复合泊松模型的特殊性质
6.4聚合理赔量的近似模型
正态分布近似
平移伽马分布近似
6.5个体风险模型与复合泊松模型的关系
7破产模型
7.1盈余过程与破产概率
盈余过程
破产概率
7.2总理赔过程
理赔次数过程——泊松过程
理赔总量过程——复合泊松过程
7.3连续时间终极破产概率的计算
微分方程式与破产概率
最大总损失与破产概率
7.4破产概率与调节系数
调节系数的概念与性质
用调节系数表达破产概率7.5离散时间破产模型
7.6最优再保险与调节系数再保险附加费率与调节系数自留额与调节系数
7.7布朗运动与盈余过程
布朗运动与净现金流入过程盈余过程的破产概率。

2017年春季中国精算师协会会员水平测试指南

2017年春季中国精算师协会会员水平测试指南

附件2：2017年春季中国精算师协会会员水平测试指南第I部分中国精算师协会会员水平测试准精算师部分（A系列）A1数学测试时间：3小时测试形式：选择题测试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。

通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。

考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。

测试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1．概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式 (第一章)2．联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算 (第二章)3．随机变量的数字特征 (§3.1、§3.2、§3.4)4．条件期望和条件方差 (§3.3)5．大数定律及其应用 (第四章)B、数理统计（分数比例约为25%）1．统计量及其分布 (第五章)2．参数估计 (第六章)3．假设检验 (第七章)4．方差分析 (§8.1)C、应用统计（分数比例约为10%）1．一维线性回归分析 (§8.2)2．时间序列分析(平稳时间序列及ARIMA模型) (第九章)D、随机过程（分数比例约为20%）1．随机过程一般定义和基本数字特征 (第十章)2．几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动） (第十一章)E、随机微积分（分数比例约为10%）1．关于布朗运动的积分 (§11.5、第十二章)2．伊藤公式 (§12.2)测试指定教材：《数学》肖宇谷主编李勇权主审中国财政经济出版社2010版，所有章节。

A2 金融数学测试时间：3小时测试形式：选择题测试要求：本科目要求考生具有较好的数学知识背景。

通过学习本科目, 考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。

现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型

现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型


E[etX ] exp( et 1)
P(N

k)

r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]

1
p (1
p)et
r
E[ X
]

r (1 p
p)
,Var[ X
]

r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
3.1 引 言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要 计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在 要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设


4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1

4
1 4
1, 2

4 1 2

2, 3

故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松 分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，
中国精算师考试用书

中国精算师考试用书

内含价值的定义；内含价值计算方法；内含价值的具体应用以及评价；具体的计算方法
4．偿付能力监管
偿付能力监管概述；欧盟及北美偿付能力监管实践及其进展；偿付能力监管中的资产评估；偿付能力管理的措施；我国偿付能力监管的实践和发展方向
D．养老金（分数比例约为15%）
1．养老金概述
养老金计划的基本概念；精算成本因素；给付分配的精算成本法；成本分配的精算成本法。
04寿险精算数学
考试时间：4小时
考试形式：客观判断题（单项选择题）
考试内容和要求：
考生应掌握生命表、纯保费（趸缴、均衡）、责任准备金（均衡、修正）、总保费、多元生命函数、多元风险模型等主要内容。能够熟练运用精算现值的概念以及平衡原理计算纯保费、年金和责任准备金。理解纯保费与总保费的影响因素的差别。对于多元生命函数和多元风险模型，能够熟练运用精算现值的概念以及平衡原理计算纯保费和年金。初步了解养老金计划的精算方法。
2.其他类型的证券，包括：可赎回债券、系列债券、其他证券。
F.利息理论的应用（分数比例约为10%）
利息理论的应用，包括：诚实信贷、不动产抵押贷款、APR的近似方法、折旧方法、投资成本。
参考书目：
《利息理论》（中国精算师资格考试用书）主编刘占国，中国财政经济出版社，2006年11月第1版第1～5章、第6章第6.1节
A.利息的基本概念（分数比例约为15%）
1.利息的度量，包括：名义利率与实际利率、单利与复利、名义贴现率与实际贴现率、利息强度。
2.利息问题的求解，包括：价值方程、投资期的确定、未知时间问题、未知利率问题。
B.年金（分数比例约为20%）
1.年金的标准型，包括：期初付年金与期末付年金、任意时刻年金、永续年金以及年金的非标准期、未知时间、未知利率等问题的求解。
精算数学课程教学内容与教学方法的

精算数学课程教学内容与教学方法的

摘要精算数学是保险精算学的基础，结合课程教学中的实践与体会，以精算师考试科目为基础的教学内容提取，以“实际问题→教学内容→实际问题”的循环教学模式，探讨了精算数学课程的教学内容与教学方法的改革及实践。

关键词精算数学教学内容教学模式Exploration of the Content and Method of the Actuarial Mathematics Class Teaching//Huang ShunlinAbstract Actuarial mathematics is the basis of actuarial sci－bining with the practice and experience of teaching, we explore the reform and practice of the content and teaching methods of the actuarial mathematics courses.We extract the contents from actuary examination subjects,and take the cycle teaching mode of"practical problems-teaching content-prac－tical problems".Key words actuarial mathematics;teaching content;teaching modeAuthor's address School of Applied Mathematics,Nanjing U－niversity of Finance and Economics,210023,Nanjing,Jiangsu, China１引言精算是以概率论和数理统计为基础，估计和分析未来不确定事件产生的影响，特别是对于财务的影响。

我国财产保险公司偿付能力研究

我国财产保险公司偿付能力研究

维普资讯
０期 柏 ２０ 年 １ ３７ 月 期 ８ １
●
’
・
山Ｘ ＳＡｔ Ｎ 经Ｏ济Ｍ Ｈ Ｎ 东ＧＥ Ｎ ｉ ） Ｃ Ｏ Ｙ
， ’ ，
．Ｊ ． ０ ． ，ａ ・ ． ｎ２ ，
ｆ ｎ １８ Ｎｏ． ｅ ３ １
＿ ・ — ＿
［ 作者简介］ 鹏（ ８ 一 ）男， 陈 １ ２ ， 山东聊城人， ９ 山东财政学院硕士研究生。主要研究方向： 保险精算。
・
７ ・ ８
维普资讯
付能力的更高要求是由保险企业经营风险的特殊性
２ 短期聚合风Ｉ模型。 ． 硷
．
短期聚合风险模 型也称为风险理论法 ， 的 研究 所决定的。 险企业是经营风险补偿的特殊企业 ， 保 必须随时准备应付各种灾害事故的发生 ， 资产仅 能 时间区间为一年 ， 是指为使保险公 司下年不破产而
偿还债务是不够的 ， 不能应付突发 的灾害事故的赔 偿和给付， 不仅会危及投保人的利益 ， 影响到保险业 的健康发展， 而且会对整个金融体 系的稳定造成破 坏， 进而会威胁到国民经济的健康发展和社会保障 体系的完善。因此必须由监管机构规定一个偿付能 力额度， 即法定偿付能力额度， 保险公司的实际偿付 能力额度不得低于该法定偿付能力额度。而最低偿 付能力额度的测算不仅为法定偿付能力额度的确定 提供 了理论基础 ， 对保险公司合理配比资产负债 、 调 整实际偿付能力更具有重要的指导意义。 ’ 兰、 偿付能力理论模型的选取 西 方发达国家保险业发展较早 ， 其各个方面理 论的研究相对也成熟 ， 关于保险公司偿付能力的研
威胁 ， 财产保险业所面临的偿付 能力不足问题也 日
益严 重 。 ’
保险偿付能力是指保险公司对其承担的风险在
保险精算学风险投资和风险理论PPT课件

保险精算学风险投资和风险理论PPT课件


10.7.2 理赔次数的分布
N
S X i 的概率特征分布 i1
10.7.3 复合泊松分布的性质
10.8 长期聚合风险模型
10.8.1 理赔过程 定义理赔次数过程的方法有三种: 总体方法 微分方法 离散（或等待时间）方法
10.8.2 调节系数
这一概念是为了说明定理10.8.1
第二节 列昂惕夫反论及其解释
一、麦克道格尔对比较利益学说的经验论证 美国学者麦克道格尔（G.MacDougall）
通过比较英、美两国商品在第三国市场中 的竞争力，在研究了英、美两国的工资与 劳动生产率之后，以
两国类似的出口商品为对象，把两国在第三 国市场所占的份额与比较利益联系起来进 学的主要组成部分之一，它对 保险公司的经营情况进行分析、管理和控制，从 而为制定合理的保费及早期预测提供帮助。
10.2 投资工具
10.2.1 债券
债券的特征 风险分析 债券的定价
10.2.2 股票
普通股： 最后请求权 有限责任 优先股： 预定分红率 股东的请求权优先于普通股
二、列昂惕夫反论
简介：1953年，美国经济学家列昂惕夫 （W.W.Leontief）利用投入—产出分析 法， 以美国情况为例，对赫—俄模型 进行了经验检验，其结果与理论判断正 好相反。
结论：美国参与国际分工是建立在劳动密集 型生产专业化基础上的，而不是资本密 集型生产专业化基础上。
三、对于列昂惕夫反论的解释
第二章第一国节 际赫分克谢工尔（—俄下林）模型
第二节 列昂惕夫反论及其解释 第三节 国际贸易的新要素学说
第四节 产品生命周期理论 第五节 产业内贸易理论
第六节 国家竞争力优势理论 第七节 科学技术进步对发展中国家贸易格局
风险理论——精选推荐

风险理论——精选推荐

第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。

▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。

▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。

▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。

▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。

▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。

▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。

▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。

（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。

二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。

无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。

非寿险精算中的复合分布模拟方式

非寿险精算中的复合分布模拟方式

非寿险精算中的复合分布模拟方式
陈文;曹惠;韩冰
【期刊名称】《合作经济与科技》
【年(卷),期】2010(000)014
【摘要】随机模拟方法在非寿险问题中有着广泛的应用,特别是在用理论分布计算有困难或需要快速得到很长时间才能积累起来的观测值时,随机模拟方法就能显示其独特的作用.在非寿险精算中,当已知理论分布为常用的损失分布时,可以进行连续型随机变量的模拟;当已知理论分布为泊松分布、二项分布、负二项分布、几何分布时,可以进行离散型随机变量的模拟.但是,在一些模型问题中,只用连续型分布模拟或离散型分布模拟是解决不了问题的.例如,在机动车辆保险中,保险标的在保险期限内发生损失的总金额数.因为在车保中的损失总金额不但跟发生损失次数有关,还和每次损失额有关.在这种情况下,建立新的模型即短期聚合风险模型,这个模型在非寿险精算中有很重要的地位和应用,而对模型中的总金额的模拟就是复合分布随机数的模拟.
【总页数】2页(P56-57)
【作者】陈文;曹惠;韩冰
【作者单位】中国矿业大学(北京)管理学院;中国矿业大学(北京)管理学院;中国矿业大学(北京)管理学院
【正文语种】中文
【中图分类】F84
【相关文献】
1.中国非寿险准备金精算中的问题与对策 [J], 刘薇;刘宗凤
2.分层模型在非寿险精算学中的应用研究评述 [J], 段白鸽;张连增
3.非寿险精算中的无赔款优待模型在信用卡年费定价中的运用 [J], 张青庚
4.基于HLM2的算例分析及其在中国非寿险精算中的思考 [J], 孙维伟;张连增
5.基于中位数回归模型非寿险精算中费率因子的显著性判别分析 [J], 郭念国因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

保险精算中的一个随机模型

保险精算中的一个随机模型

保险精算中的一个随机模型
黄勇富[1];林辉能[2];毛惠良[3];张元林[4]
【期刊名称】《经济数学》
【年(卷),期】1999(000)003
【摘要】本文假设投保人到达保险公司的过程是一个强度为λ（ｘ）的非齐次Ｐｏｉｓｓｏｎ过程、在时间区间（０，ｔ］中的索赔额是一个与保险规则及在（０，ｔ］中的投保人数有关的随机变量，提出一个新的保险精算模型，获得保险公司在（０，ｔ］中盈余额的一些数字特征．经典的个体模型和短期聚合风险模型均为本模型的特殊情形．
【总页数】6页(P17-22)
【作者】黄勇富[1];林辉能[2];毛惠良[3];张元林[4]
【作者单位】[1]东南大学应用数学系!南京;[2]210018;[3]中国工商银行杭州市分行!杭州;[4]310003
【正文语种】中文
【中图分类】F840.4
【相关文献】
1.关于随机差分方程的一个注记及其在GARCH模型中的应用 [J], 张志强;汤家豪
2.两步法随机模型在北海一个油藏中的应用 [J], 纪发华
3.在一个慢性过敏性接触性皮炎模型中应用0．1％他克莫司软膏的前瞻性随机临床试验 [J], Bdsito; D.; Wilson; D.; C.; Warshaw; E.
4.保险中的一个随机模型 [J], 喻开志;黄光鑫;丁朝远
5.一个细化的无胞自动机模型中的加速度和随机慢化效应及其与同步流可能的联系(英文) [J], 赵博涵;胡茂彬;姜锐
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

中国精算师考试指引——考试用书及考试形式

中国精算师资格考试指南第I部分中国精算师资格考试一准精算师部分A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。

通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。

考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。

考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式（第一章）2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算（第二章）3. 随机变量的数字特征（§3.1、§3.2、§3.4）4. 条件期望和条件方差（§3.3）5. 大数定律及其应用（第四章）B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布（第五章）2. 参数估计（第六章）3. 假设检验（第七章）4. 方差分析（§8.1）C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析（§8.2）2. 时间序列分析（平稳时间序列及ARIMA模型）（第九章）D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征（第十章）2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）（第十一章）E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分（§11.5、第十二章）2. 伊藤公式（§12.2）考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社2010版，所有章节。

A2金融数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目要求考生具有较好的数学知识背景。

通过学习本科目，考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。

《风险理论》教学大纲

《风险理论》教学大纲英文名称：Risk Theory课程编号：91134059学分/总学时：3/54（其中课堂：36学时；课内实验：18学时）先修课程：高等数学、线性代数、概率统计等授课对象：应用统计学专业学生一、教学性质与目的：本课程是统计学专业（保险与精算方向）的专业课，是数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系，在金融保险领域发挥着越来越重要的作用。

通过本课程的学习，使学生掌握风险理论的基本概念、经典风险度量模型模，掌握构建模型常用的经验法和参数估计法，能够利用模拟技术方法来模拟模型，从而使学生初步掌握处理随机风险的基本思想方法，培养学生运用基本理论分析和解决问题的能力。

二、教学内容与要求：第一章风险理论基础（2学时）【基本内容】第一节风险与风险理论概述第二节随机变量1.2.1随机变量的概率分布1.2.2随机变量的数字特征第三节条件期望1.3.1条件分布与条件期望1.3.2条件期望的性质1.3.3条件方差第四节矩母函数1.4.1矩母函数的概念1.4.2矩母函数的性质1.4.3多元矩母函数及其性质【基本要求】1.了解风险和风险理论的含义，2. 熟悉随机变量的概率分布、随机变量的数字特征；条件分布与条件期望、条件期望的性质和条件方差；熟悉矩母函数的概念、矩母函数的性质、多元矩母函数及其性质。

【重点及难点】重点：条件期望和方差、常见分布的矩母函数难点：矩母函数【教学活动与教学方式】要求学生回顾概率论中关于条件分布的性质和常见的分布函数；本章主要以讲授和自学为主。

第二章个体保单的理赔额与理赔次数模型（6学时）【基本内容】第一节理赔额的分布2.1.1 保单限额2.1.2 免赔额2.1.3 保单限额+免赔额2.1.4 相对免赔额2.1.5 比例分担免赔第二节理赔次数的分布2.2.1（a，b，0）分布族2.2.2（a，b，1）分布族2.2.3 理赔次数分布的混合模型2.2.4 免赔额对理赔次数的影响【基本要求】1.理解损失与理赔额、免赔额、保单限额的概念；2.掌握常见的损失额分布以及不同赔偿方式下理赔额的分布；3.掌握单个保单理赔次数的分布以及(a，b，0)分布类和(a，b，1)分布类。

山东工商学院课程简介

目录统计学 (1)描述统计学 (1)数理统计学 (1)市场调查方法及应用 (1)抽样调查技术及应用 (2)经济预测 (2)企业经济统计学 (2)国民经济核算 (3)证券投资统计分析 (3)市场统计学 (3)经济预测与决策 (4)风险管理 (4)统计专业英语 (4)经济与社会统计学 (4)社会统计学 (5)决策概论 (5)试验设计与质量控制 (5)企业决策支持学 (6)经济与金融统计 (6)应用随机过程 (6)应用回归分析 (7)应用时间序列分析 (7)应用多元统计分析 (7)非参数统计学 (7)SPSS软件及其应用 (8)SAS软件及其应用 (8)风险理论 (8)生命表的构造理论 (9)寿险精算实务 (9)数值分析 (9)利息理论与应用 (9)人口数学 (10)保险精算学 (10)寿险精算数学 (10)非寿险精算数学 (11)▲课程名称：统计学课程编号：043101学分：3 学时：48先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计课程内容简介：统计学是经济管理各专业的基础课程，主要内容包括：统计调查和整理、综合指标、抽样调查与推断、统计指数、相关与回归分析、时间序列分析等内容，使学生掌握并能运用统计基本方法和技术进行分析问题。

▲课程名称：描述统计学课程编号：043102学分：2.5 学时：40先修课程：高等数学、线性代数、概率论、数理统计学课程内容简介：描述统计学是统计专业的基础课程，主要内容包括：统计设计、统计调查、统计整理和统计分析，以提高科学研究和实际工作能力。

通过本课程的教学，使学生明确统计的特点和作用，理解并记忆统计学的有关基本概念和范畴，掌握并能运用统计基本方法和技术。

▲课程名称：数理统计学课程编号：043103学分：3 学时：48先修课程：高等数学、概率论课程内容简介：数理统计是在概率论的基础上建立的一门学科。

其主要研究对象是利用一定的数学模式来描述不确定性现象的统计规律，主要包括统计分布、参数估计、假设检验及线性回归分析等内容。

个体风险模型


i 1
i 1
有了矩母函数后，就可算出总理赔额S 的各阶原点矩：
k
M
k
X
0
同时还可算出其均值与方差：
E S ln MS t ' t0; Var S ln MS t '' t0
§3.4 S 分布的近似计算法
对于数目较大的保单组合来说，实用的方法是求出近似 分布。对于独立同分布的随机变量有下列中心极限定理。
(, )，设S X1 X2 Xn，求S 的分布。
【解】伽马分布的密度函数为
f ( x) x1e x ( )
经计算得到
MX
(t)
1
t
,t
由公式（3.3.1）求得
Ms (t)
n i 1
M Xi (t) (M X (t))n
1
t
n
, t
因此，S 服从伽马分布 (n , )。可见，服从伽马分布的独
例
3-2-3（续例
3-2-1）设随机变量
X1
,
X2
,
X
相互独立,
3
它
们的分布列分别为
0
X1
~
0.5
1 0.3
2 0.2
，
X
2
~
0 0.4
1 0.3
2 0.2
3 0.1
0 1 2 3 4
X3
~
0.5
0
0.3
0.1
0.1
用卷积方法求S X1 X2 X3的分布。
【解】由于S X1 X2 X3，所以S 的分布等于 X1 X2的
Fn
(
x
)
lim P n
(x)
0 0.5 0.4 0.5 0.2 0.1 0.2 0.1

一类聚合风险模型及破产概率的研究


定义 ５特征函数定义为 ： ：
， ４ ∞ －
ｆ ）Ｅｅ） ｅｄ（） （ ＝ （ ＝Ｊ Ｆｘ ｔ 慨
Ｊ 一∞
（４ １）
（） ６
定义 ６ 概率母函数 它主要是对离散的随机变量的定义 ： ：
称为 Ｆ Ｘ）Ｈ（ 的卷积 ， （ ， Ｙ） 记作 ｑ＝ Ｈ。 Ｆ
设 ｘ ｘ ， ， ， ：… ｘ 是独 立同分布的随机 变量 ， ｘ）ｉ １２ Ｆ（ （＝ ，，
０
［ Ｆ ｘ］ｘ １ （） － ｄ
－
【］郭元 源 、 １ 陈瑶 瑶 、 仁 勇 ： 市 创 业 环 境 评 价 方 法 池 城
研 究 及 实证 ［ 科技 进 步与 对 策 ．０ ６２ ） 『 】 ２ ０ （３
【 ２ 】蔡 壮 华 、 旭 辉 、 耀 伟 ： 业环 境 评 价指 标 体 系 杨 李 创 构 建 Ｕ． 业 时代 ，０ ８ ３ ） Ｊ 商 ２ ０ （４ ． ／］许 俊 、 凌 云 ： ２ 环 境 影 响 因 素 研 究 现 状 及 要 ３ 冯 创， ｋ 素模 型 探 讨 Ｕ． 业 时代 ，０９ ２ ） ］ 商 ２ ０ （２ ．
Ｊｏ ＝ Ｊ ：
（） １ ｏ
定义 ３ 数学期望定义 ： ：
若 ｘ是概率空间（ Ｆ上的随机变量 ， 是在 Ｆ Ｒ，） Ｐ 上的概率 ， 若 ｘ为离散型随机变量 ， 则其数学期望为 ：
Ｅ Ｘ＝Ｅｘ（） （） ｊＰ ｊ （ １ １）
上式 称为 Ｃ ａ ｒ Ｌ ｎ ｂｒ ｒ － ｕｄｅ ｍｅ ｇ近似 。 经典风险模 型很 好的解决 了单险 种经典模 型的破产 概率 问题 ， 同时给出了初始资本为 ０或理赔额分 布为指数分布时的
（３ ． １】
记Ｓ ｔ ∑ｘ表 到 刻ｔ 止 索 总 ｖ ≥ ， 表 时 （： 示 时 为 的 赔 额， ０ 它 示 刻ｔ ）

风险理论第五章 短期个别风险模型


S X1 X 2
X n = X i
i 1
n
1. 引言
一般情况下，要获得总理赔额S的分布是非常 困难的，个体风险模型采用如下假设： （1）每张保单是否发生理赔以及理赔额的 大小是相互独立的，即 X 1 , X 2 ,..., X n 是独立的 随机变量序列。 （2）每张保单在此时间段内至多发生一次理赔。 （3）保单总数 n 是事先确定的正整数，因此 也称为封闭模型。
例5.3
• 设有某种汽车车辆险保单，赔付规则设定 免赔额为250元，最高赔付额为2000元， 还假定在保险期限内至多有一次索赔， 且 P I 1 0.15 。由于损失超过2250元后最 多赔付2000，因此对索赔额B假定：
P B 2000 I 1 0.1 ，而在2000元以下部分
2 f X ( x) (100 x ),0 x 100 2 100 记 S X 1 X 2 ，计算 f s 120 。
例 5.5 设 X 1 , X 2 相互独立，且均服从下列分布，
f X ( x)
记 S X 1 X 2 ，计算 f s 120 。 【解】由卷积公式可得
的概率分布函数为
• 试讨论理赔额X的概率分布。
0, x0 2 x P B x I 1 0.9 1 1 , 0 x 2000 2000 1, x 2000
3. 总理赔额的分布——卷积法 • 两项的卷积 • 多项卷积
0
所以，S 的分布密度为 f S ( s) 0 f X ( x ) fY ( s x )dx 利用求和的可交换性，S 的分布密度也可以写为：
f S ( s ) f X ( s y ) fY ( y )dy
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

年真题） 【例题3.2】（2005年真题）总损失额S服从复合分布，S的概率函数可表示为： 例题 】 年真题
n + 2 3 *( n fS ( x ) = ∑ f X n) ( x ) 1 2 L 0.2 × 0.8 ，x = 0 ， ， ， n n =0
∞
* 其中，个体损失额X的概率函数为：fX(1)=0.20，fX(2)=0.50，fX(3)=0.30。f X ( n ) 表示fX的n重卷
(3.2) (3.3)
M S (t ) = E (etS ) = M N ln M Ci (t ) (3.4) 只要已知理赔次数N的矩母函数MN(t)和理赔额Ci的矩母函数，便可由上式进行复合运算得
到S的矩母函数。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
e − λ λ n *n FS ( x) = ∑ P ( x) n! n =0
∞
e − λ λ n *n f S ( x) = ∑ p ( x) n! n =0 E ( S ) = λ p1
∞
Var ( S ) = λ p2 M S (t ) = e
（2）特殊性质 ①求和的封闭性： 已知S1，S2，…，Sm是相互独立的随机变量，Si为参数λi的复合泊松分布，理赔额变量的 分布函数为Pi(x)=1，2，…，m。则S=S1+S2+…+Sm服从参数为 λ = 分布函数为：
λ [ M C ( t )−1]
∑ λ 的复合泊松分布，且S的
i =1 i
m
P( x) = ∑
λi P ( x) λ i i =1
m
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
②可分解性： 假设随机变量S服从复合泊松分布，参数λ＞0，理赔额变量为离散型，概率函数为 πi=P(C=xi)，i=1，2，…，m，其中xi 表示理赔额变量的取值。若记Ni 为S中取值为xi 的次数， i=1，2，…，m，则有： N=N1+N2+…+Nm，N＞0，
§3.2 1．S的概率分布 ． 的概率分布
理赔总量模型
设理赔总量S的分布函数为Fs(x)，密度函数为fs(x)，则：
FS ( x) = P( S ≤ x) = ∑ P ( S ≤ x | N = n P( N = n) ）
n =0
∞
= ∑ P ( N = n ) P* n ( x )
n =0 ∞
∞
官方总站：圣才学习网
（3）泊松分布 ①参数λ为常数：
P { N = k} =
λk
k! E ( N ) = Var ( N ) = λ M N (t ) = e
λ et −1
， e − λ，k = 0，2， ，λ＞0 1 ⋅⋅⋅
( )
注：泊松分布是二项分布的一种极限结果。 ②参数λ为随机变量： 假定N的泊松分布的参数λ是随机变量，记作Λ，设其分布离散型分布都可归入（a，b）类计数分布：
官方总站：圣才学习网
【要点详解】 要点详解】
§3.1
理赔次数和理赔额的分布
短期聚合风险模型： 短期聚合风险模型：
N C + C2 + ⋅⋅⋅ + C N = ∑ Ci S = 1 i =1 0
N＞0 N= 0
(3.1)
其中：N表示某类保单在单位时间内发生理赔的次数，Ci表示该类保单在此期间第i次理赔 的金额，S为该类保单在此期间的理赔总量。 模型假设： ☞ 随机变量N，C1，C2，…相互独立。 ☞ C1，C2，…具有相同的分布，即Ci都是同质风险。记它们的共同分布为P(x)、概率密度 （或概率函数）为p(x)，用C表示服从该共同分布的随机变量。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
1．理赔次数的分布 ． 理赔次数变量是取值非负整数的随机变量，它刻画保单组合在给定的时间内的总理赔次 数。 （1）二项分布
n n −k P { N = k } = q k (1 − q ) ，k = 0，2， ，n，0＜q＜1 1 ⋅⋅⋅ ， k E ( N ) = nq ，Var ( N ) = nq(1 − q ) M N ( t ) = ( q + pet )
P { N = n}= ∫ P ( N = n | Λ = λ ) u (λ )d λ = ∫
0
∞
∞
λn
n!
0
e − λ u (λ ) d λ
E ( N ) = E[ Λ ] Var ( N ) = E (Λ) + Var (Λ) M N (t ) = M Λ ( et − 1)
定理： 定理：当Λ取定为某个值λ后，N服从参数为λ的泊松分布，Λ~Gamma(α，β)，则N的无条件 分布为负二项分布，参数分别为：
r = α，p =
β
1+ β
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
2．理赔额变量 ． 理赔发生后的理赔金额是一个取值于非负实数的随机变量，它刻画每次理赔的损失金额 状况。各类离散型分布、连续分布、混合型分布都可用于描述理赔额分布。 年春季真题） 【例题3.1】（2008年春季真题）某保险人承保保险标的索赔次数N服从参数为Λ的泊松 例题 】 年春季真题
0 S = x1 N1 + x2 N 2 + ⋅⋅⋅ + xm N m
有以下结论成立： ☞ N1，N2，…，Nm相互独立； ☞ Ni服从参数为λi=λπi的泊松分布，i=1，2，…，m。
N =0 N＞0
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
§3.3 1．复合泊松模型的定义 ． 短期聚合风险模型满足以下条件时： （1）N服从参数为λ＞0的泊松分布。
复合泊松模型
（2）理赔额变量C1，C2，…相互独立具有相同的分布，简称为理赔额变量C。其分布函 数为P(x)，x≥0；密度函数为p(x)，x≥0；并记其k阶原点矩为：
∞
pk = ∫ x k dP ( x) k = 1 2， ， ， ⋅⋅⋅
0
（3）N与C1，C2，…，相互独立。 则短期聚合风险模型的随机变量S为参数λ＞0的复合泊松模型。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
2．复合泊松模型的性质 ． （1）基本性质
第3章 短期聚合风险模型 章
【考试内容】 考试内容】 3.1 理赔次数和理赔额的分布 理赔次数的分布 理赔额变量 3.2 理赔总量模型 S的概率分布 S的均值、方差 S的矩母函数 3.3 3.4 复合泊松模型 聚合理赔量的近似模型 正态近似 平移伽玛近似
中华精算师考试网
0
∞
∞
λ ne−λ
n!
0
e− λ d λ
=2
− ( n +1)
∫
∞ 0
λ n+1−1e −2 λ
Γ(n + 1)
2n+1 d λ
= 2− ( n+1)
故
P( N = k ) 1 = P( N = k − 1) 2
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
（2）负二项分布
n
r + k − 1 r k P { N = k} = ， 1 ⋅⋅⋅ p q ，k = 0，2， k rq E(N ) = p rq Var ( N ) = 2 p p M N (t ) = t 1 − qe
r
中华精算师考试网
f S ( x ) = ∑ P ( N = n) p * n ( x )
n =0
2．S的均值、方差 ． 的均值 的均值、
E ( S ) = E ( N ) E (Ci ) Var ( S ) = E 2 (Ci )Var ( N ) + E ( N )Var (Ci )
3．S的矩母函数 ． 的矩母函数
分布，假设Λ服从参数为l的指数分布，则
P( N = k ) =（ P( N = k − 1)
E．6/7
）。
A．1/2 【答案】A 答案】
B．2/3
C．3/4
D．5/6
【解析】由已知，有fΛ(λ)=e-λ，λ≥0，则 解析】
P { N = n} = ∫ P { N = n | Λ = λ} f Λ (λ )d λ = ∫
③分布计算的递推性质 ☞ 对于复合泊松模型，当理赔额变量C取值于正整数时，有如下的fS(x)的迭代公式：
f S (0) = e− λ f S ( x) =
λ
x
∑ ip(i) f
i =1
x
S
( x − i ) ，x = 1 2，⋅⋅⋅ ，3
(3.5)
☞ 若理赔次数N的分布满足：
b P { N = n} = a + P { N = n − 1}，n = 1 2， ， ⋅⋅⋅ n
解得：p=1.51。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
例题3.4】 年春季真题） 【 例题 】 （ 2008年春季真题） 假定理赔次数N服从几何分布，概率分布为P(N=n)=pqn ， 年春季真题 n=0，1，2，…，0<p<1，p+q=1；个别理赔额X服从参数为β的指数分布Exp(β)，聚合理赔S的 矩母函数Ms(t)等于（ p A. qβ 1− β −t p( β − t ) E. β − qβ + t 答案】 【答案】A ）。
B. 1−
p
β −t
β
C. 1−
p q( β − t )
D.
β
pβ 1 − q( β − t )
【解析】由已知，有 解析】
M X (t ) = β ，M N (t ) = p t β −t 1− qe
故
M s (t ) = M N [ln M X (t )] p = 1− qM X (t ) p = 1− q β β −t