当前位置：文档之家 › 第6讲 短期聚合风险模型

第6讲 短期聚合风险模型

  • 格式：ppt
  • 大小：551.00 KB
  • 文档页数：74

下载文档原格式

  / 74

合集下载

中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)(短期聚合风险模型)【圣才出品】

中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)(短期聚合风险模型)【圣才出品】

圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

第 6 章 短期聚合风险模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有 1 项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．损失服从均值为 2 的泊松分布，已知 E(Id ) 0.7 1.9e2 ，求 d=（ ）。[2014
年春季真题]
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 E．1.7
【答案】A
d
【解析】由递推公式 E(Id ) E(S) [1 Fs (x)]dx ， 而 E(S) 2 ， 0
d
则 [1 Fs (x)]dx E(S) E(Id ) 2 （0.7 1.9 e2 ) 1.3 1.9e2 ，当 1<d<2 时， 0
C． 3 4
D． 5 6
E． 6 7
【答案】A
【解析】由已知，有
P(N n)
ne 0 n!
e d

2 n1
0
e n11 2 (n 1)
2 (n1)
பைடு நூலகம்
d
2 (n1)
故
P(N k) 1 P(N k 1) 2
6～7 题的条件如下：
4 / 161
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

（2）
M
x
2
f
( x)dx
；
（3） [ M x2 f (x)dx M 2P( X M )] 。 0
A．（1） B．（2） C．（1）（2） D．（3） E．（2）（3）
【答案】D
k 1
E(Xk
E( X k ))3
秋季中国精算师资格考试——考试指南3

秋季中国精算师资格考试——考试指南3

XX年度秋季中国精算师资格考试——考试指南3
xx年度秋季中国精算师资格考试——考试指南-3 05风险理论考试时间：2小时
考试形式：客观判断题考试内容和要求：
考生应深入理解与掌握保险中根本的风险模型：短期个别风险模型、短期聚合风险模型、长期聚合风险模型，以及这些模型的相关性质；掌握效用函数与期望效用原理，并将期望效用原理运用于保险定价；掌握随机模拟的根本方法。

a．保险风险模型：（分数比例约为70%左右） 1．短期个别风险模型：
单个保单的理赔分布，独立和分布的计算，矩母函数，中心极限定理的应用。

2．短期聚合风险模型：
理赔次数和理赔额的分布，理赔总量模型，复合泊松分布及其性质，聚合理赔量的近似模型。

3．长期聚合风险模型：
连续时间与离散时间的盈余模型，理赔过程，破产概率，调节系数，再保险和团体保险中的风险模型及其性质。

b．效用理论及其在保险中的应用：（分数比例约为20%左右）1．效用与期望效用原理，效用函数与风险态度。

2．效用原理与保险定价。

3．效用原理的应用。

c．随机模拟的根本方法：（分数比例约为10%左右）均匀分布随机数与伪随机数，随机数的产生方法，离散随机变量与连续随机变量的模拟，随机模拟的应用。

参考书目：
《风险理论与非寿险精算》（中国精算师资格考试用书）谢志刚、韩天雄编著，南开大学出版社，2000年9月第一版，第四章、第五章、第六章、第七章、第八章（不包括8.7节和8.8节） 06生命表根底
考试时间：3小时考试形式：客观判断题。

现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型

现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型


E[etX ] exp( et 1)
P(N

k)

r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]

1
p (1
p)et
r
E[ X
]

r (1 p
p)
,Var[ X
]

r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
3.1 引 言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要 计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在 要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设


4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1

4
1 4
1, 2

4 1 2

2, 3

故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松 分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，
第3章 短期聚合风险模型

第3章 短期聚合风险模型


年真题） 【例题3.2】（2005年真题）总损失额S服从复合分布，S的概率函数可表示为： 例题 】 年真题
n + 2 3 *( n fS ( x ) = ∑ f X n) ( x ) 1 2 L 0.2 × 0.8 ，x = 0 ， ， ， n n =0
∞
* 其中，个体损失额X的概率函数为：fX(1)=0.20，fX(2)=0.50，fX(3)=0.30。f X ( n ) 表示fX的n重卷
(3.2) (3.3)
M S (t ) = E (etS ) = M N ln M Ci (t ) (3.4) 只要已知理赔次数N的矩母函数MN(t)和理赔额Ci的矩母函数，便可由上式进行复合运算得
到S的矩母函数。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
e − λ λ n *n FS ( x) = ∑ P ( x) n! n =0
∞
e − λ λ n *n f S ( x) = ∑ p ( x) n! n =0 E ( S ) = λ p1
∞
Var ( S ) = λ p2 M S (t ) = e
（2）特殊性质 ①求和的封闭性： 已知S1，S2，…，Sm是相互独立的随机变量，Si为参数λi的复合泊松分布，理赔额变量的 分布函数为Pi(x)=1，2，…，m。则S=S1+S2+…+Sm服从参数为 λ = 分布函数为：
λ [ M C ( t )−1]
∑ λ 的复合泊松分布，且S的
i =1 i
m
P( x) = ∑
λi P ( x) λ i i =1
m
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
②可分解性： 假设随机变量S服从复合泊松分布，参数λ＞0，理赔额变量为离散型，概率函数为 πi=P(C=xi)，i=1，2，…，m，其中xi 表示理赔额变量的取值。若记Ni 为S中取值为xi 的次数， i=1，2，…，m，则有： N=N1+N2+…+Nm，N＞0，
风险理论第六章

风险理论第六章


6.4.3
6.6.3
第六章 长期聚合风险模型与破 产理论
1.盈余过程与破产概率
• 假设保费收入按照固定的比例c线性增长， 在现实中一般c为年保费收入，传统的古典 盈余过程模型为：
ห้องสมุดไป่ตู้ 例
例
破产概率 （ 1） 破产概率可以作为综合保费和索赔过程的 ） 保险公司稳健性的一个指标， 保险公司稳健性的一个指标，是风险管理的一 个有用工具． 个有用工具．破产概率高意味着保险公司不稳 定：这时保险人必须采取诸如进行再保或者提 高保费等措施， 高保费等措施，或者还可以设法吸收一些额外 的资本金． 的资本金．
（ 2） 不可以对破产概率理解绝对化 ， 因为实际 ） 不可以对破产概率理解绝对化， 上它并非真正表示保险公司将在近期倒闭的概 但可以用破产概率作为不同的保单组合进 率 .但可以用破产概率作为不同的保单组合进 但可以用 行比较风险大小的比较。 行比较风险大小的比较。
（ 3） 破产概率的计算是精算学的一个经典的问 ） 题．但精确的破产概率仅仅对指数分布或取有 限值的离散分布两种类型的才能计算出来． 限值的离散分布两种类型的才能计算出来．但 可以给出没有破产的概率（未破产概率）的矩 可以给出没有破产的概率（未破产概率） 母函数。 母函数。
基于二项分布的短期聚合风险模型

基于二项分布的短期聚合风险模型

基于二项分布的短期聚合风险模型作者：李睿来源：《理科爱好者·教育教学版》2012年第02期摘要：本文重点讨论了索赔次数服从于二项分布的情况下单个险种和多个险种的聚合风险模型，得出了在此情况下求其分布函数的若干方法，并给出聚合理赔量的两种近似模型，正态近似和平移伽马近似。

关键词：二项分布；联合分布；聚合风险；理赔额分布；近似模型【中图分类号】 O122.4 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0001-02一、引言聚合风险模型是将保单组合视为一个整体，以发生理赔的保单为基本研究对象，理赔总量是按每次理赔发生的时间顺序将所有理赔量累加起来。

用N表示谋类保单在单位时间（比如一个会计年度）内发生理赔的次数，用Ci表示该类在此期间第i次理赔的金额，则该类保单在此期间的理赔总量S可表示为：S=C+C+…+C=Ci， N>0 0 N=0 （1.1）其中：（1）N取值为非负整数，而且P{N=0}=0，N是与保单组合的理赔发生频率有关的随机变量，一般称之为理赔次数变量。

（2）Ci是取值于正数（连续或离散），测量每次独立理赔量额度大小的随机变量，而且P{Ci=0}=0，一般称之为理赔额变量。

为了使模型（1.1）在理论上具有可操作性，通常对其有以下的假设：假设1：随机变量N，C1，C2，…CN相互独立。

假设2：C1，C2，…具有相同的分布，即Ci都是同质风险，记他们的共同概率分布函数为P（X），概率密度（或概率函数）为p（x），用C表示服从该共同分布的随机变量。

在风险理论中一般称模型（1.1）为短期聚合风险模型。

对于模型（1.1）我们最为关心的就是聚合理赔量S的分布，也就是研究如何用N的分布和Ci分布来表示S的分布。

所以首先要分析N和C分布。

对于N，本文中我们选择了二项分布，对于C呢，通常考虑指数分布，对数正态分布和伽马分布等取之于正半实轴的连续分布，这时的S成为复合二项分布。

聚合风险模型

聚合风险模型


可以证明，方法（1）下得到索赔的方差大约
等于方法（2）的方差的80 % ．
如果我们没有用正确的方法，而是用上述前一
种方法来计算停止损失保费，那么对于那些比期望
理赔大的自留额来说，其停止损失保费就会大约少 20 %。
2 下面将对 N , 分布来检验经验法则 3 . 10 . 1 ，记： 2 2 （1） d ; , 为服从 N , 分布的随机变量的停止损失保费，
自留损失的矩 的计算：注意到下面的等式
由此可得：
由此可以计算停止损失赔付下自留损失S S d 的矩
如何算啊？
例3 . 9 . 4 （停止损失保费的NP 近似）对于某些随机 变量， X>y 的概率用NP 法来近似的效果会相当．那 么可否对X 的停止损失保费也给出一个近似呢？
效果会非常好．
对 u 1 和
y 1，定义如下一个辅助函数
则有： （ 1） （ 2）
q u u
和
q w y y
.
q .
和
w .
都是单调增的，并且
q u y w y u.
设 Z 是一个具有均值 0 ，标准差 1 和偏度 0 的随机变量．
例 3. 9 . 5 ( CLT 和 NP 停止损失近似的比较)求满足到
E[ X ] 0, Var[ X ] 2 1 ,
1 1
以 及 偏 度 分 别 为
0, , ,1, 2, 4 的随机变量 X 的停止损失保费的近似值， 自留 4 2
额分别取为 d = 0 ，1，… ，4 .






（2） . .; 0,1 ， （3）记到 . 为 N ( O , l ）的分布函数， . . 为相应的概率 密度函数．
第1章-短期风险模型

第1章-短期风险模型

3
第1章
最后得到每份保单的损失变量的分布和均值：
0.85 0.12 104 1 x / 20000 0 x 20000 FX i ( x) 1 x 20000
E[ X i ] (2.8 / 3) 0.15 104 1400
1.1.2 总损失变量 S 的分布的计算
下面我们考虑一般情况下计算 S 的分布的方法。 1） 直接进行卷积计算 由概率论的基本结论，对于个体风险模型
S X1 X 2
有 S 的分布计算如下：
Xn
FX n ( x)
FS ( x) FX1 ( x) FX 2 ( x)
其中，当连续随机变量情形，有：
x
FX i ( x) FX j ( x)
f 2 ( x)
0.5 0.2 0.1 0.1 0.1
f 3 ( x)
0.6 0.1 0.1 0.1 0.1
表 1-2 例 1-3 的卷积计算
x
0 1 2 3 4 5 6 7
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
f1 ( x)
0.4 0.3 0.2 0.1
f 2 ( x)
0.5 0.2 0.1 0.1 0.1
,n
M X i (t )
n
t
，0 t
M S (t ) M X i (t ) (
1
t
)n ， 0 t
这表明 S 为 Gamma 分布：
S
Gamma 分布： X i
Gamma(n, )
0.0005 0.2 0.0025
P rB ( i 5 )
《风险理论》教学大纲

《风险理论》教学大纲

《风险理论》教学大纲英文名称：Risk Theory课程编号：91134059学分/总学时：3/54（其中课堂：36学时；课内实验：18学时）先修课程：高等数学、线性代数、概率统计等授课对象：应用统计学专业学生一、教学性质与目的：本课程是统计学专业（保险与精算方向）的专业课，是数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系，在金融保险领域发挥着越来越重要的作用。

通过本课程的学习，使学生掌握风险理论的基本概念、经典风险度量模型模，掌握构建模型常用的经验法和参数估计法，能够利用模拟技术方法来模拟模型，从而使学生初步掌握处理随机风险的基本思想方法，培养学生运用基本理论分析和解决问题的能力。

二、教学内容与要求：第一章风险理论基础（2学时）【基本内容】第一节风险与风险理论概述第二节随机变量1.2.1随机变量的概率分布1.2.2随机变量的数字特征第三节条件期望1.3.1条件分布与条件期望1.3.2条件期望的性质1.3.3条件方差第四节矩母函数1.4.1矩母函数的概念1.4.2矩母函数的性质1.4.3多元矩母函数及其性质【基本要求】1.了解风险和风险理论的含义，2. 熟悉随机变量的概率分布、随机变量的数字特征；条件分布与条件期望、条件期望的性质和条件方差；熟悉矩母函数的概念、矩母函数的性质、多元矩母函数及其性质。

【重点及难点】重点：条件期望和方差、常见分布的矩母函数难点：矩母函数【教学活动与教学方式】要求学生回顾概率论中关于条件分布的性质和常见的分布函数；本章主要以讲授和自学为主。

第二章个体保单的理赔额与理赔次数模型（6学时）【基本内容】第一节理赔额的分布2.1.1 保单限额2.1.2 免赔额2.1.3 保单限额+免赔额2.1.4 相对免赔额2.1.5 比例分担免赔第二节理赔次数的分布2.2.1（a，b，0）分布族2.2.2（a，b，1）分布族2.2.3 理赔次数分布的混合模型2.2.4 免赔额对理赔次数的影响【基本要求】1.理解损失与理赔额、免赔额、保单限额的概念；2.掌握常见的损失额分布以及不同赔偿方式下理赔额的分布；3.掌握单个保单理赔次数的分布以及(a，b，0)分布类和(a，b，1)分布类。

山东工商学院课程简介

山东工商学院课程简介

目录统计学 (1)描述统计学 (1)数理统计学 (1)市场调查方法及应用 (1)抽样调查技术及应用 (2)经济预测 (2)企业经济统计学 (2)国民经济核算 (3)证券投资统计分析 (3)市场统计学 (3)经济预测与决策 (4)风险管理 (4)统计专业英语 (4)经济与社会统计学 (4)社会统计学 (5)决策概论 (5)试验设计与质量控制 (5)企业决策支持学 (6)经济与金融统计 (6)应用随机过程 (6)应用回归分析 (7)应用时间序列分析 (7)应用多元统计分析 (7)非参数统计学 (7)SPSS软件及其应用 (8)SAS软件及其应用 (8)风险理论 (8)生命表的构造理论 (9)寿险精算实务 (9)数值分析 (9)利息理论与应用 (9)人口数学 (10)保险精算学 (10)寿险精算数学 (10)非寿险精算数学 (11)▲课程名称：统计学课程编号：043101学分：3 学时：48先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计课程内容简介：统计学是经济管理各专业的基础课程，主要内容包括：统计调查和整理、综合指标、抽样调查与推断、统计指数、相关与回归分析、时间序列分析等内容，使学生掌握并能运用统计基本方法和技术进行分析问题。

▲课程名称：描述统计学课程编号：043102学分：2.5 学时：40先修课程：高等数学、线性代数、概率论、数理统计学课程内容简介：描述统计学是统计专业的基础课程，主要内容包括：统计设计、统计调查、统计整理和统计分析，以提高科学研究和实际工作能力。

通过本课程的教学，使学生明确统计的特点和作用，理解并记忆统计学的有关基本概念和范畴，掌握并能运用统计基本方法和技术。

▲课程名称：数理统计学课程编号：043103学分：3 学时：48先修课程：高等数学、概率论课程内容简介：数理统计是在概率论的基础上建立的一门学科。

其主要研究对象是利用一定的数学模式来描述不确定性现象的统计规律，主要包括统计分布、参数估计、假设检验及线性回归分析等内容。

短期聚合风险模型

短期聚合风险模型


模型的局限性和改进方向
局限性
短期聚合风险模型可能无法完全捕捉市场的 动态变化和异常波动，对于极端事件和市场 非线性行为的预测能力有限。
改进方向
进一步优化模型算法，提高预测精度和稳定 性；结合其他金融理论和模型，如行为金融 学、市场微观结构理论等，以更全面地反映 市场风险；加强模型的可解释性，提高其在 复杂金融环境下的应用价值。
数据处理
对收集到的数据进行清洗、整 理和标准化，以消除异常值和 缺失值，并统一数据格式。
模型验证
使用历史数据对模型进行回测 和验证，评估模型的预测能力 和准确性。
数据收集
收集与短期聚合风险相关的历 史数据，包括市场价格、交易 量、波动性等。
模型构建
基于处理后的数据，利用统计 方法、机器学习等技术构建短 期聚合风险模型。
对未来研究的展望
进一步探讨短期聚合风险模型 的优化和改进，以提高其预测
精度和稳定性。
研究该模型在不同国家和地区 市场的应用效果，以评估其普
适性和适用性。
结合其他金融理论和模型，研 究短期聚合风险模型与其他风 险评估方法的相互关系和影响 。
深入研究短期聚合风险模型在 风险管理、投资组合优化和资 产定价等方面的应用，以提高 金融市场的效率和稳定性。
相关性是指不同资产价格 之间的关联程度，对于评 估投资组合的风险具有重 要意义。
ABCD
历史波动率是指过去一段 时间内市场价格的波动程 度，是评估未来波动的重 要参考。
杠杆率是指投资者通过借 贷等手段放大投资规模的 比例，高杠杆率可能增加 投资风险。
04 短期聚合风险模型的实现 和应用
模型的实现步骤
短期聚合风险模型主要关注金融市场在短期内可能出现的极 端风险事件，如市场崩盘、流动性枯竭等，这些事件对投资 者和金融机构的资产和收益产生重大影响。

短期个别风险模型


练习4解
The amount collected from all the individual is G=E(S)+1000 c Pr(S<G)=95% We also know that ((G-)/))=95% G=E(S)+1.645(Var(S))1/2 So 1000c=1.645(Var(S))1/2
练习6解
G=(1+2)E(XS)+(1+)E(XN) G=E(XS)+E(XN)+1.645(Var(XS)+Var(XN))1/2
E(XS)=(0.6)(1)(100)=60 E(XN)=(0.4)(1)(200)=80 Var(XS)=(0.6)(0.4)(1)2(100)=24 Var(XN)=(0.4)(0.6)(1)2(200)=48
举例
例题：一年期寿险 原因 保险金 概率 意外 5万元 0.0005 非意外 2.5万元 0.0020 试计算保险公司预期赔付金额的期望值 和方差。
举例
解：由于 Pr（I=1且B=5）=0.0005 Pr(I=1且B=2.5)=0.0020 则 Pr(I=1)=0.0005+0.0020=0.0025 Pr(I=0)=1-0.0025=0.9975 于是 Pr(B=2.5|I=1)=0.0020/0.0025=0.8 Pr(B=5|I=1)=0.0005/0.0025=0.2
该保险人按照“理赔量超出保费的概率仅为5%”的原则来定价，
求：保险人应该收取的保费。
人数
练习1解
发生理 赔概率
理赔量 期望值
E[S]=(400)(0.03)(1/5)+(300)(0.07)(1/3)+(200)(0.10)(1/2) =19.4 Var[s]=(400)[(1/5)2(0.03)(0.97)+(1/5)2(0.03)] +(300)[(1/3)2(0.07)(0.93)+(1/3)2(0.07)] +(200)[(1/2)2(0.1)(0.9)+(1/2)2(0.1)] =14.95 G=E[S]+1.645(Var(S))1/2=25.76

保险精算风险理论课件第3章 聚合风险模型

3 略大于具有同样期望和方差的伽玛分布的偏度．
指数分布的混合／组合（Coxian 分布 ） 混合指数分布的密度函数
对每一个 q，0 q 1 ，函数 p . 是一个概率密度函数．
不过当 q < O 或者 q > 1 时，( 3 . 60)中的 p . 有时仍然是一个概率密度函数
现在再假设 , ，
其中 p / 1 ，从而 N 服从参数为 和 / 1的负二项分 布（记为 NB, / 1 ）.
例 3 .3 .2（负二项分布也是复合泊松分布） 在某个交叉路口 一年之中发生 N 次重大交通事故．第 i 次事故中伤亡人数是
Li ，所以总伤亡人数为 S L1 L2 LN ．设 N Poisson ,
Li 服从参数为 c 的对数分布，即
其中 hc log1 c 。现问 S 的分布是什么？
注意到 Li 的矩母函数是
于是S 的矩母函数为
这是一个参数为 / hc / log1c 和 1 c
bi 的次数Ii ．
在个体模型中，考虑理赔总额
（2）考虑下面的近似随机变量：
（3）如果取 i qi ，则在两个模型中保单 i 的期望赔付次 数相同．为了安全起见我们也可以取i log 1 qi qi ．
•在聚合模型和个体模型下保单i发生0理赔的概率相等． •比原先模型下有更大的理赔总额，因此，隐含了差额。
以直接应用中心极限定理．注意到在上面取 为整数
值的做法是不失一般性的，这是因为当很大时对应
的分数部分的影响是可以忽略不计的.
为使用近似方法，我们需要S 的半不变 量． 记 k 为理赔额分布的k阶矩，对于复合泊松分布， 我们有
我们知上式 t k 的系数即为所需要的半不变量 k!

风险理论第五章 短期个别风险模型


S X1 X 2
X n = X i
i 1
n
1. 引言
一般情况下，要获得总理赔额S的分布是非常 困难的，个体风险模型采用如下假设： （1）每张保单是否发生理赔以及理赔额的 大小是相互独立的，即 X 1 , X 2 ,..., X n 是独立的 随机变量序列。 （2）每张保单在此时间段内至多发生一次理赔。 （3）保单总数 n 是事先确定的正整数，因此 也称为封闭模型。
例5.3
• 设有某种汽车车辆险保单，赔付规则设定 免赔额为250元，最高赔付额为2000元， 还假定在保险期限内至多有一次索赔， 且 P I 1 0.15 。由于损失超过2250元后最 多赔付2000，因此对索赔额B假定：
P B 2000 I 1 0.1 ，而在2000元以下部分
2 f X ( x) (100 x ),0 x 100 2 100 记 S X 1 X 2 ，计算 f s 120 。
例 5.5 设 X 1 , X 2 相互独立，且均服从下列分布，
f X ( x)
记 S X 1 X 2 ，计算 f s 120 。 【解】由卷积公式可得
的概率分布函数为
• 试讨论理赔额X的概率分布。
0, x0 2 x P B x I 1 0.9 1 1 , 0 x 2000 2000 1, x 2000
3. 总理赔额的分布——卷积法 • 两项的卷积 • 多项卷积
0
所以，S 的分布密度为 f S ( s) 0 f X ( x ) fY ( s x )dx 利用求和的可交换性，S 的分布密度也可以写为：
f S ( s ) f X ( s y ) fY ( y )dy

短期个别风险模型.ppt


D.145
E.284
解
理赔总额可用个别风险模型来描述：
n
S Xi i 1
E(s) nE( X )
Var(S) nVar( X )
E( X ) E(IB) E(E(B, I )) E(I ) • E(B)
1
0.1
x(1.5 0
x)d
(x)
0.0416
Var( X ) E2 (B)Var(I ) E(I ) •Var(B)
下面分别用例题逐一解释。
例1 设X1 ，X2与X3是相互独立的三份保单的个别理赔额随机变 量，它们分别具有如下的概率分布列：
X
p1（X） p2（X） p3（X）
0
0.9 0.5
0.25
1
0.1 0.3
0.25
2
0.2
0.25
3
0.25
3
设 S Xi ，求P（S≤ 5）。 i 1
A.0.975
t
)=e
χt 0
(1-t/
β)-α
4、两个概率论公式
E（X）=E（I B）=E（E（B，I））
Var ( X )= Var ( E ( B , I) )+E (Var ( B , I) )
也就是说，如果X的数学期望或方差直接计算比较困难且可拆 成两个随机变量的乘积时，可用条件期望或条件方差计算得出。 这两个公式在个别风险模型的计算中作用很大。
依题意有： P（S<P）=0.95
所以
(其中P是保费总额）
P( S E(S) P P E(S)) ( P E(S)) 0.95
Var (S )
Var (S )
Var (S )
由正态分布表可知：

第6讲 短期聚合风险模型

n 0
P
n 0
*n
x
n e
n!
f S x p* n x
n 0

n e
n!
E S E X E N E X p1
Var S E 2 X Var N E N Var X E X 2 p2
∴选D。
6.4复合泊松分布
一、定义：
随机变量S为参数为 复合泊松分布重新定义如下：

(1)理赔次数N服从参数为 泊松分布
P ( N n)
n e
n!
, n 0,1,2,
M N (t ) e
( e t 1)
(2)X i 表示第i次发生理赔时的理赔额随机变量，
p 记P (x) 为独立同分布 X i 的共同分布函数，( x )为密度函数
求理赔总量S的概率分布
2. S的均值，方差或高阶矩 记 Pk E ( X k )为k阶原点矩，记 M X (t ) E (etX )为 X i的 矩母函数， M N (t ) E (etN ) 为理陪次数 N 的矩母函 数， S (t ) E (etS ) 为 S 的矩母函数. M
∴②正确。
对于选项③： 2 2 E S Var S E S
X Var N E N Var X 2 2 E X E N E 2 X E N 2 E N Var X
E
2
∴③错误。
例6 对复合负二项分布，参数 r=1,P=1/3， 个别索赔服从参数为λ的指数分布，已知 MS（1.0 ）=3,求λ。 A．4.9 B．5.0 C．3.5 D．4.0 E．4.5
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

负二项分布 泊松分布 (0.13174) 估计值 (0.951,2.555)的估 计值
0 1 2 3 4 5
369246 48644 3204 141 5 --
370460 46411 4045 301 21 1
2.理赔额的分布
各种离散型分布、连续型分布、混合型分布来描 述理赔额的分布，要根据具体的风险和相应的险种应 用统计学的技术来估计损失分布。
基本假设： （1）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相 互独立，即（N与X1， X2，… Xn相互独立） 这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了，例如 恶劣的天气条件会导致大量的小理赔.不过，在实际中 这些现象的影响是很小的。 （2）聚合风险模型中，个体风险可以出现多次，各个 风险是独立同分布的，即 （X1， X2，… Xn）独立同 分布。
∴②正确。
对于选项③： 2 2 E S Var S E S
X Var N E N Var X 2 2 E X E N E 2 X E N 2 E N Var X
E
2
∴③错误。
例6 对复合负二项分布，参数 r=1,P=1/3， 个别索赔服从参数为λ的指数分布，已知 MS（1.0 ）=3,求λ。 A．4.9 B．5.0 C．3.5 D．4.0 E．4.5
n 0
n P X 1 X 2 X n x PN n 0
0 n
n n P * * N N n
n 0
f x p *n x PN n

r
S为复合负二项分布，并且：
rq E (S ) p1 p
rq rq 2 2 Var( S ) p2 2 p1 p p
r
p M S (t ) 1 qM X (t )
例3 假设某个保单理赔次数N服从负二项分布，参数 p=1/3,Var(N)=24,并且理赔额分布为：
S的期望、方差和矩母函数可用上述基本分布的 X i 相应数量来表示。 同时，S的分布函数也可用的N分布和X i的共同分布通 过卷积得到。
6.2理赔次数和理赔额的分布
• 1.理赔次数N的分布
（1）二项分布 （2）泊松分布 （3）负二项分布 （4）泊松分布的一种推广的分布，即假设泊松 分布中的参数λ为随机的，现实的情况是不同 的保单类型或同一保单类型在不同的情况下 发生理赔的次数是不确定的，为一个随机变 量，记作∧，且有密度函数f（x），由全概率 公式有：
n 0
n P n 0 0
n 0
x P N n
例2 假设某个保单组合在单位时间内至多发生3次理 赔，理赔次数和理赔额分布分别为：
1 2 3 0 N , 0.1 0.3 0.4 0.2 X 3 0.5 0.4 0.1 1 2
6.3 理赔总量模型
1.用卷积公式可求S的分布函数。
记 P (x)为独立同分布 X i的共同分布函数假设S的 分布函数和密度函数分别为F(x)和f(x)，则：
F x PS PS x N n P N n x F x PS S nP0x N x N nN N n S n P P F x P x xx PS PS x N n PnN n F x PS
N
解 X ~ e1 E X 1 Var X
Var S E X Var N E N Var X
2
Var N E N E N

2
∴①错误。
当Var（N）=E（N）时；
S E 2 X Var N E N Var X Var E N Var X E 2 X E N P2
上两式表明，总理赔量的期望值为个别理赔期望值 与理赔次数期望值之积。总理赔量的方差由两部分 构成：个别理赔量的变化和理赔次数的变化。
S的矩母函数：
M S t E e
E E e N E M t M ln M t E e
tS tS N X N ln M X t N X
记Pk E ( X k )
（3）在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额 之间相互独立，即（N与X1， X2，… Xn相互独立）
2. 复合泊松分布的性质 基本性质：
FS x P S x P S x N n P N n
n 0
P X1 X 2 X n x P N n
（ 即 t log q ）时，有
由 X Exp 1 知 mX t 1 t
1
直接代入计算
由分布函数与矩母函数之间的一一对应关系得到S
的分布函数也具有同样的形式：这是一个混合分布。
这是一个在0点有跳度p 而在其它处为指数型的 分布函数．
例5 设复合分布 S X i ，其中Xi相互 i 1 独立且N与Xi独立，问下面选项哪一项 是正确的？ ①如果个别索赔额f（x）=e-x，x>0，那么 Var（S）=E（N2）； ② 假 设 Var（N）=E（N）， 那 么 Var（S） =P2· E（N）； 2）=E（N）E（X2）+ P 2 E ( N 2 ) ③E（S 1


P X 1 X 2 X n x PN n X X X 2 n x P N P01P X 1 2 XX n x PN n n

n 0
n 0

n 0
∴选D。
6.4复合泊松分布
一、定义：
随机变量S为参数为 复合泊松分布重新定义如下：

(1)理赔次数N服从参数为 泊松分布
P ( N n)
n e
n!
, n 0,1,2,
M N (t ) e
( e t 1)
(2)X i 表示第i次发生理赔时的理赔额随机变量，
p 记P (x) 为独立同分布 X i 的共同分布函数，( x )为密度函数





M N t E e
tN
E E e


tN


e E
et 1
M et 1
负二项分布与泊松分布的关系有如下定理:
若已知：当取定某个值后，N服从参数为的 泊松分布，并且 Gamma( , )，则N的无条件 分布为负二项分布，其参数分别为：
E S E E S N E NE X E X E N
Var S Var E S N E Var S N
2
Var NE X E NVar X E X Var N E N Var X
3 4 2 X 0.1 0.4 0.5
求理赔总量S的方差和均值之和。
例4 设N 服从参数为p 的几何分布，0 < p < 1 , 理赔额 X 服从参数为1 的指数分布，那么S 的矩母函数和分 布函数是什么？
记 q 1 p ．我们首先来计算S 的矩母函数，然后
尝试通过得到的矩母函数来确定该复合分布．当 qet 1
第6章 短期聚合风险模型
6.1引言
短期聚合风险模型：理赔总量S表示为
N , N 0 X 1 X 2 ... X N X i S i 1 0 , N 0
(1) N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次数随机变量
(2)X i 表示第i次发生理赔时的理赔额随机变量
求理赔总量S的概率分布
2. S的均值，方差或高阶矩 记 Pk E ( X k )为k阶原点矩，记 M X (t ) E (etX )为 X i的 矩母函数， M N (t ) E (etN ) 为理陪次数 N 的矩母函 数， S (t ) E (etS ) 为 S 的矩母函数. M
模型研究两个步骤：
模型研究的第一步是N和X i的分布选择。
X N通常选为泊松或负二项分布， i 通常选为正态、伽 玛等分布。当N服从泊松分布时，S的分布称为复合 泊松分布；当N服从负二项分布时，S的分布称为复 合负二项分布。这两大类分布构成总理赔量 S分布 的主要形式。
模型研究的第二步是用 N的分布和X i所服从的共同分 布来表示 S的分布。
由矩母函数可以求出S的分布函数。
若N服从负二项分布
r n 1 r n p q , P ( N n) n n 0,1,2, r 0,0 p 1, p q 1
rq E(N ) p
rq Var( N ) 2 p
p M N (t ) 1 qet
解 由聚合风险模型有： E（S）=E（N）E（X）=λ·B ∴A正确。 VarS E 2 X VarN E N Var X B 2
∴B正确。 由于每次理赔额均为常数B，所以在保险 期内索赔总额仅取B的倍数，所以C正确。 依题意有：P（X=B）=1 ∴E（X）=B，Var（X）=0 ∴D错误。
P 解 M S t M N ln M X t 1 qM X t
1 2 1 M X t 3 2 M X t 3 1 t 3t 32 t 1 3
M S 1.0 3
1 3 3 4
n 0
P
n 0
*n
x
n e
n!
f S x p* n x
n 0

n e
n!
E S E X E N E X p1