山东省新泰市鸿一电子科技有限公司届高三2月份数学(理)二轮复习练习：数学热点九算法初步复数推理与证明

2024学年山东省新泰市第二中学高三下学期第二次模拟考试数学试题理试卷 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ） A ．54 B ．55 C ．102 D ．1052．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．22B ．25C ．10D ．203．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23B ．33C ．323D ．2335．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A ．16B ．17C ．18D ．196．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．–1D ．17．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ）A ．110B ．15C ．140D ．9408．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i =+，则z z ⋅=（ ） A ．110 B ．110i C ．1100 D ．1100i 9．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x xB ．20,(1)(1)∀+>-x x x xC ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x10．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 11．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ）A ．35B ．45-C ．45D ．3512．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•若i 1 i -2，则复数z 的虚部是 A. 1B . -1C. 3D. -32•设集合 A —X x 2 -2x -3 空 0?,B 」..x y =ln 2 -x 二则A 一 B 二 A. [ — 3,2) B .(2 ,3]C. [ — l , 2)D. ( — l , 2)3.已知向量a = 3,2 ,b = 1, -1 ,若a • ■ b - b ，则实数■=11A. 1B .C. -1D.2 24.某学校从编号依次为 01, 02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取 一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为 14, 23,则该样本中来自第四组的学生的编号为 A. 32B . 33C. 41D. 42A. 24 9 二B. 12 9 二C. 12 5 二D. 24 4 ■:、一3 -tan20； sin 20 A. 1 B . 2 C. 3D. 45.将函数f x 二sin 2x •::的图象向左平移 jr'个单位长度后，得到函数6g x 的图象，则a 巧H“二舌”是“ g x 为偶函数”的A.充分不必要条件 C.充分必要条件6.执行如图所示的程序框图，若输入 B .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件n =10，则输出的S 的值是A.9 10 B.10 11 11 12 D.9 227.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为售正磋云16.将数列3, 6, 9, 按照如下规律排列,在第一象限内的交点为M 若MR =3MF 2 .则该双曲线的离心率为A. 2 B . 3C. .. 2D.3二、填空题：本大题共第n 卷（非选择题共90分） 4小题，每小题5分，共20分.13 .曲线f x 二xe T 2在点0, f 0处的切线方程为▲14•若变量x - y 2—0,x, y 满足则目标函数 x ，y 「2_0,则目标函数z = x ，4y 的最大值为 _▲3x ~■ y ~6 - 0,15.若圆C :（x —1 2十（y —2 ）2 =4上恰好有 3个点到直线 y=2x+b 的距离等于1,则b =9•已知直三棱柱 ABC -A i B i C i 的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1和「3，此三棱柱的高为2、、3，则该三棱柱的外接球的体积为A.316 二 B .3C.32 二D.64 二10 .已知正项等比数列 :a n 匚满足：a 2a8=16 a 5, a3 'a^ 20,若存在两项a m ,a n 使得1 4a m a n =32，贝U 的最小值为 mB .n910C. D.11 .已知函数0n x ,0 vx ce e 一，x Ke L.X，若函数g （x ）=f （x ）—m 有三个不同的零点 x 1,x 2, x 3, 且 X —：： X 2 ::: x 3, 则沦 X 3的取值范围为A. (0 , 1]B . (0 , 1)C. (1 , +8)D. [1 , +8)12.已知双曲线2X ~2 a -1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 -，圆x 2 y^b 2与双曲线 b 43(1)求频率分布直方图中 m 的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间;21记第m 行的第n 个数为a m,n ,如a 3,2,如a 3,2=15,若a m 』=2019，贝V m + n= ▲ 三、解答题： 17. (本小题满分12分)如图，在四边形 ABCD 中，.B =2二 AB =、、3,S A BC3亠3.4(1)求/ ACB 的大小；[[.JI⑵右BC _ CD ,. ADC ，求AD 的长.418. (本小题满分12分)如图，菱形 ABCD 和直角梯形CDEF 所在平面互相垂直， AB = DE = 4,CF = 2,. BAD 二60[DE //CF,CD _ DE .(1)求证：BD _ AF ; (2)求四棱锥 A-CDEF 的体积. 19. (本小题满分12分)某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年 级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、 奥赛讲座等)•现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学 习时间(单位：h)的数据，按照[0 , 2) , [2 , 4) , [4 , 6) , [6 ,8), [8 , 10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图.15 IS迪正确云30E⑵从［4 , 6) , ［6 , 8)两组中按分层抽样的方法抽取 6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在［6 , 8)组中的概率. 20. (本小题满分12分)2 2已知椭圆C:冷•爲=1 a ■ b ■ 0的离心率为a b(1)求椭圆C 的标准方程;的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数 f x =ln x - 2ax, a R . (1)求函数f x 的单调区间；⑵ 若不等式f x : x- ax 2在x 1时恒成立，求a 的取值范围.(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第 题计分. 22. (本小题满分10分)选修4 — 4:坐标系与参数方程为参数)；以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(1)求直线I 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;1 1⑵直线l 和曲线C 交于A, B 两点，求22的值.MA MB23. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数 f (x )=x —a +|x +b |(a 》0,b A 0 ). (1)当a =b =1时，解不等式fx x 2 ；⑵若f X 的值域为［2 , +8），求证：1 .a+1 b+13，且椭圆3(2)过椭圆C 的右焦点的直线I 与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆:+ y 2 = 2 过点，求 AB ■ EF在平面直角坐标系 xoy 中，已知点M 的直角坐标为(1 , 0)，直线I 的参数方程为 (t奇三文科数学试题参考答案第1页（共4页）2018-2019学年度济宁市高考模拟考试数学（文史类）试题参考答案一.选择题：12X 5分=60分.题号 12 3 4 5 678 9 10 11 12 答案BCDAABBDCACD二. 填空题：4x5分=20分.13・—y + 2=014.2815. ±J516.44三、 解答题：共70分. 二. 填空题：4x5分=20分.13・—y + 2=014.2815. ±J516.44三、 解答题:共70分.17•解:⑴在 AABC 中，S“肮=*x/!B ・BCsin 厶ABC ............................................................... 2 分疗・BC=$ ................................................................................ 4 分・・・AB = BC.又••• 〃=¥・••• 手； ............................................... 6 分（2）・・・BC 丄CD..-. "CD 二寺， ........................................ 8分由余弦定理得 4C ，=.4B 2 + BC 2- 2AB • BC • cosy=（疗）2+（再）2.2疗•石'・（・*）=9/. 4C = 3 .......................................................................................................................... 10 分在中由正弦定理得 —^Cinr = —^7^sinZ./lDC sinZ..4CD3 sinITsin —418. 解：（l ）v DE//CF 、CD 丄 D£\・・・ CF 丄 CD又.・面ABCD 丄面CDEF,且面ABCDC 面CDEF 二CD.4C • sinZ_/!CDsin 乙 ADC 12分・•・CF丄面4BCD. ........................................................................................................ 2分・・・BDU面ABCD.・・・ CFJ.BD.................................................................................. 3分・・・ABCD是菱形；AC1BD.............................................................................................. 4分又・・• 4CC 面ACF.CFU面ACF.ACnCF = C9・・・丄面4CF,................................................................................................................ 5分又・・・4FU面ACF.・・・BD丄AF.................................................................................................................. 6分(2)过点.4向CD做垂线，垂足为仏即AHlCD t・・・面ABCD丄面CDEF■且面ABCDC\面CDEF = CD.・・,4〃丄而CDEF、............... 8分在肓角三角形ADH中:AD = 4, LADH=60°,・—2万. ............................................................... 10分•・・四棱锥的体积匕护二• A// = *x*x（4+2） x4x2再=8疗・•・............................................................................................................................... 12分19.解：（1）由直方图可得：0.06x2+0. 08 x2+0.2x2+2m+0.06x2=1・\ m = 0・1 ；.......................................................... 2分学生的平均学习时间」x0. 12+3x0. 16+5x0.4+7x0.2+9x0. 12=5. 08；.......................... 4 分（2）由直方图可得:［4,6）中有20人,［6.8）中有10人， .................... 6分根据分层抽样•需要从［4,6）中抽取4人分别记为A.人人,.4,,从［6,8）中抽取2人分别记为d.y, ............................................................................... 8分再从这6人中抽取2人，所有的抽取方法有，仏，仏,A^i^^2,A2A3t A2A4t A2B. ,A2B2,*内人耳•每人人禺,禺场,共15种. ........................................ 10分其中恰有一人在［6”）组中的抽取方法有:右必,£禺丿2弘”2场，4出禺，九尽.九禺・共8种. .............................................. II分所以•从这6人中抽取2人，恰有1人在［6,8）组中的概率为卷. ............... 12分20........................................................................................................................................... 解：（1）曲已知可得-=^.所以斗沪........................................................... I分a 3 2所以椎圆的方程为y^ + p- = l.将点（寺；f）代入方程得:八2,所以J=3.2奇三文科数学试题参考答案第2页（共4页）所以槿圆C的标准方程为号+ £ = 1; ............................................................................ 3分（2）椭圆的右焦点为（1,0）,若直线/的斜率不存在丿方程为x = l.则A（ 1，攀），B（ 1.-^）,E（1,1）.F（1.・I）所以・I.MI =昭・1防|2=4.1個・I加=葺5, ................................................................... 5分若直线I的斜率存在，设I方程为y=*（x-l）,设4（心切）"E，旳），［11 3十2 一•得（2・32）*2-6以兀+ 3於-6=0・ ..................................................... 6分y =A（x - I）,奇三文科数学试题参考答案第3页（共4页）则Xl+Xi=2&^X23k2 -6所以I•⑹=J(1 +U)(引一衍)2 = jd +X)[(J^)2 -4x|^]4 •疗(U + 1 )2+3F圆心(().0)到直线l的距离d = /F +1所以J^I2=4：2--5^-J =4^-\2^.................................................................................................... 9 分k + I k + 1所以，I朋I . |防|2 _4 疗仏2+1)4仏2+2) _ 16疗(X+2) _ 16疗卩+22 ± 3A2k2± 1 2 牛3k23 • 2 , _2_* + T4_i^A(1+_j_)e(ilA 16^-^ ................................. [[分=V+T综上.I.4BI - l£FI2e [^.16 A]- ................................................................................................. 12 分21 •解：(l)/7x)=丄............................................................. 1 分x x若aWOJ J) >0,/./(x)在(0,2)上单调递增；....................................... 2分若«>0,当0<%<舟时厂(切>0,当x〉+时f (%) <0,•••(O.J-)是西数/(X)的单调增区间，(£・+ 8)是函数/(%)的单调减区间.............. 3分la2a综上所述，当“WO时JU)的单调递增区间为(0・+ 8 );当u >0时J(x)的单调递增区间为(0,痔)，单调递滅区间为(舟，+ 00 ). .......................... 4分(2)不等式可化为ln.r+ax2-(2a + l)x<0在x>l时恒成立.令gd) = liu: +ar2 - (2a + 1 )x,x > 11仃 1 “—. 1 x 2ax2 - (2a + l)x +1 (2ax-l)(x ・1) § 斗x x x若awO,g，a)<0,/. g(%)在(1, +8 )上单调递减,g(x) <g( 1) = -a - 1,•••不等式恒成立等价于--1,・•・-1 W Q WO；................................................................................................................. 7 分若0 <av\则舟>1,当1《痔时,“ )<0,当x>^时恥)>O,：.g(x)在(1,痔)上单阔递减,g( % )在G，+ 8 )上单凋递增.高三文科数学试题参考答案第3页(共4页)髙三文科数学试题参考答案第4页（共4页）若当力>1时・gJ ） >0.・・・gd ）在（1. +x ）上单调递增.・•・£（"） W （g （ 1）.十8 ）,・・・不符合题意； ........................ 11分综上所述.-1WQW0. ....................................................................................................... 12分由 psin 20 = 2cos0 得 p sin 2 0 = 2°cos0•由 | P CO6可得:J =2%ly =psin0所以直线I 的普通方程为—y - 1 =0■曲线C 的直角坐标方程为/ =2x设4上两点对应的参数分别为“,切则h =2 心百=-423. (1)解：当 a =6 = 1 时 = lx -11 + lx + 1 I >x +2i ） 当-1时•不等式可化为:-2x>x+2,即第 < -扌，所以兀< -I ......................................... 1分 ii ） 当-W 时•不等式可化为：2>x+2,即尤<0,所以-1<«<0 ............................................... 2分 iii ） 当工>1时•不等式可化为：2*>工+2,即x>2.所以％ >2 ........................................... 3分综上所述:不等式的解集为\x\x>2或％<0} ..................................................................... 4分（2）证明 /（x ） =lx-al + lx+6l^la+6l t ............................................................................... 5 分 •••/（X ）的值域为：2, + 8 ） a +6 =2, ............................................................................... 6 ................................................................................................................................................ 分・・ a + 1 +6 + 1 =4 .......................................................................................................... 7 分111 Z UT1 -rc/Ti u T 1 TUT-1X ■ z・・・R+kp(_Tn-+__)=y<2+m*rrr)・解:（1）将中的参数打肖去可得:x-y-1 =0(2)将"1 +戸■代入于=2篦得汀2_2②_4=0所以侖\MIi\10分冲1_ _h 和2当且仅当%二岀，即a" = l时取J”........................................... 9分a + Ib + 110分髙三文科数学试题参考答案第5页（共4页）。

山东省泰安市新泰二中2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间B ．3阶区间C ．4阶区间D ．5阶区间2．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为实数m 的取值为 A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =4．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立5．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20177．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．168． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．410．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 11．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π12．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三第二轮复习质量检测数学试题（理科）2017．4一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)?????52?z?iiz等于，则1．复数满足?2?2i?2?2i i i2+2．2－2D A．CB ．．???????CABB?xx?p?，若1A??xx应该，则，集合，集合2．设全集U=Rp U满足的条件是1p≤D．1 C．p<l A．p>l B．p≥21??m y?0x?m0x?y?互相垂直”3．已知命题p：“与直线“直线，则命”，命题q：题p是命题q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件D ．既不充分也不必要C．充要条件??、是两个不同的平面，下列命题中的真命题是l是直线，4．已知?????????,则,//l,则///若/?/若l/l,l．B．A?????????,//则若l//,l若//l,///,则l/． D. C《数书九章》秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的5．中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值法．vnx的值为，的一个实例，若输入4，，则输出的值分别为36 ．A25 ．B100 ．C400 ．D???51??????2x??，则cos2xcos?x??sin．已知6的值为??????3333??????5151?? D．．C ．A ． B 3399．7．下列选项中，说法正确的是bloga?logb >0，则．若a>A1122 ??????R1?mm,2?am1,m?,b?共线的充要条件是．向量m=0B?????nnn?1?1?n2?2?n?N?n?N,3?2n?,3 2? n””的否定是“C．命题“???????0afbx?ff，则上的图象是连续不断的，则命题“若在区间[D．已知函数a，b]??xfb)内至少有一个零点”的逆命题为假命题，在区间(a x?21???xcosxf．函数8的图象大致是x2?1??0x??3y?x?20y?yx, ，则的取值范围是9．已知实数满足?1?x?yx?1??43?32????,11,11D．[1 ，11] ，C．[3．A11] ．B ????23????22xy??????00,c?Fc00,a?b??:?1?是双曲线下支，的上焦点为已知双曲线10．M22ba2ac222F3DMF??yx?0?y?与圆上的一点，，线段MF，且则双曲线相切于点D93?的渐进线方程为4x?yy?0?0x20?x0?x2y?4y?? D C．A．B．．共5(二、填空题：本大题个小题，每写小题5填案答把分，25分，共请) 在答题卡相应位置11．观察下列式子：根据以上规律，第n个不等式是▲．c?bsinA，c、b、?ABCa??B 且，12. 则角中，三内角A,B,C的对边分别为sinB?sinC2c?a▲.13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为▲.三点的抛物，D的中点，则过C，M．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB14 P 恰好取自阴影部分的概率为则点CD围成阴影部分，在正方形ABCD中任取一点P，线与．▲??????x0x?1ffxxx?e?，给出下列命上的奇函数，当．已知函数15时，是定义在R 题：????????x?xf1xf时，x?0fxx??e－∞，(①当；②函数有两个零点；③<0的解集为????R??x,x??fxx?f把(，都有▲1)(0，；④。

数学热点五 三角函数【考点精要】考点一. 任意角的三角函数. 常见的几个三角关系式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤.(3) |sin ||cos |1x x +≥.考点二. 三角函数的诱导公式. 考查三角函数的诱导公式的灵活变形. 正弦、余弦的诱导公式. 诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了.212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩ 212(1)s ,cos()2(1)sin ,n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩考点三. 正余弦定理的变形与应用. 考查公式的灵活变形与应用.正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.考点四. 考查三角函数的图像与性质. 图像主要考查平移与伸缩，三角函数的性质主要指定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性. 如：将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为( )A ．(,0)12π- B ．(,0)6π- C ．(,0)12πD ．(,0)6π考点五. 三角公式与恒等变换. 三角公式与变换.在三角变换中“1”的变换非常巧妙. 如：4t ancos si n 122π=+=x x =4sin π ==0cos . 考查角的巧妙变换，如:,22,)(βαβααββαα-++=-+= )2()2(αβαβα--+=等，这些是利用和、差角公式求解问题中经常用到的变形.考点六. 三角形中的边角关系,根据条件解三角形. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若n m ⊥，且a cos B + b cos A =c sin C ，则角β＝ . （ 6π） 巧点妙拨 (n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)。

数学热点八 空间几何【考点精要】考点一. 棱锥、棱台中的高、斜高。

在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形（高、斜高以及底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等）进行相关的计算。

（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.考点二. 斜二测画法的相关计算。

重点考查直观图的顶点与其他关键点，计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。

考点三. 三视图及相关面积、体积的计算。

注意掌握三视图之间的规律：正俯长相同、正侧高平齐，俯侧宽相同。

考点四. 柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算，简单组合体的体积及面积的计算。

注意运用割补法、等体积转化法求解相关体积。

考点五. 空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质。

近几年来加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、线线垂直、线面角的考查。

考点六. 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标。

巧点妙拨1. 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：（1）平行转化：线线平行⇔线面平行⇔面面平行（2）垂直转化：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.2. 求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.【典题对应】例1. (2014·山东文13) 一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。

命题意图：几何体的侧面积。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学热点二 函数【考点精要】考点一. 函数定义域. 考查函数的定义域实际上就是解不等式，要做到以下两点：1、函数值定义域常见要求；2、熟练掌握常见不等式的解法. 注意研究函数问题需要首先考虑其定义域，即定义域优先原则. 高考时常结合函数的概念、单调性等进行考查. 如求函数)4(log 25.0x x y -=的定义域.考点二. 函数的解析式. 通过两种形式考查函数的解析式：一种是客观题中通过分段函数考查函数性质，另一种是主观题中通过解析式的设问，考查函数的性质. 如：定义运算b a *为：⎩⎨⎧>≤=)(,)(,*b a b b a a b a ，如12*1=，则函数x x x f -=2*2)(的值域为（ ）A.RB.（0，)∞+C.（0，1]D.[1,+)∞考点三. 函数的定义与函数的奇偶性. 利用函数的定义与函数的奇偶性考查函数的相关性质. 如设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且函数的图像关于直线21=x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f .考点四. 导数及函数的综合性质. 以函数的单调性为重点，考查导数及函数的综合性质. 如：已知函数bx ax x f +-=26)(的图像在点))1(,1(--f M 处的切线方程为052=++y x ，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.考点五. 函数的奇偶性、对称性. 以函数的周期性为依托，综合考查函数的奇偶性、对称性等性质，以及对思维能力、推理能力、运算能力的考查. （广东）设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f . （Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.考点六. 函数与导数的综合应用. 以指数式、对数式的运算和指数函数与对数函数的性质等基础知识为考点，考查分析运用条件、探索运算方向、选择运算公式、确定运算程序的思维能力和运算能力. （全国卷）若55ln ,32ln ,22ln ===c b a，则（ ）A.c b a <<B.c b c <<C.b a c <<D.c a b <<考点七. 导数、函数的单调性. 以函数的值域、极值与最值为考点，考查导数、函数的单调性等性质. 如：已知函数]1,0[,274)(2∈--=x xx x f ，（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；设1≥a ，函数]1,0(,23)(23∈--=x a x a x x g 若对任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.考点八. 函数或导数的模式构建. 以函数知识为平台，以向量知识为工具，借助其他知识，考查学生思维能力、逻辑推理能力、模式构建能力与运算能力. 如：在直角坐标平面中，已知点)2,(,),2,3(),2,2(),2,1(33221n n n p p p p ，其中n 是正整数，对平面上任意一点0A ，记1A 为0A 关于1p 点的对称点，2A 为1A 关于2P 点的对称点，…，n A 为1-n A 关于点n p 的对称点. 对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标.巧点妙拨1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a ＝0和a ≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a 时，需按a ＞1和0＜a ＜1分两种情况讨论2．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若()f x 在（a ，b ）内有极值，那么()f x 在（a ，b ）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数()f x 在［a ，b ］上连续且有有限个极值点时，函数()f x 在［a ，b ］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即/()f x ＝0的解x 0；②用极值的方法确定极值；③将（a ，b ）内的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当()f x 在（a ，b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处()f x 有极大（小）值，则可以确定()f x 在该点处了取到最大（小）值3．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①'()f x ＞0是()f x 递增的充分条件而非必要条件（'()f x ＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据'()f x ＞0（或'()f x ＜0）解出在定义域内相应的x 的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.【典题对应】例1. （2014·山东理3）函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为 （ ）A.)210(，B.)2(∞+，C.1(0)(2,)2+∞U ，D.1(0][2)2+∞U ，，命题意图：本题主要考查函数的定义域、对数函数的性质以及不等式的解集. 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>. 答案选C.名师坐堂：此类问题要注意分层考虑，逐层深入，注意挖掘隐含条件. 例2. （2014·山东理8）已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A.），（21B.），（121C.），（21D. ），（∞+2命题意图：本题主要考查方程与函数的关系，数形结合的应用. 解析：画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()gx 的斜率与()1f x x =-的斜率一致. 答案：B名师坐堂：学生应能较为熟练的画出基本初等函数的图象，并能进行简单的变通. 利用图象的最低点与斜率将问题进行化解.例3. （2014·山东理15）已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()24g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()hx g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 .命题意图：本题主要考查数形结合思想，考查初等函数图象的对称性. 解析：根据图像分析得，当b x x f +=3)(与24)(x x g -=在第二象限相切时，102=b ，由)()(x g x h >恒成立得102>b .答案：102>b例4. （2014·山东理20） 设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =L是自然对数的底数）（I ）当0k≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.命题意图：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数与极值的关系求参数，借机考查分类讨论思想.解析：2223/42422122()()x x x x e x xe e x xe kx kx f x k x x x x --+-=--+=3(2)()(0)x e kx x x--=> 当0k ≤时，0,0x kx e kx ≤∴->令()0f x =，则2x =.当(0,2)x ∈时，()f x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时，()f x 单调递增.（2）令()x g x e kx =-，则/()x gx e k =-，//222,ln (0)10,(0)10(2)0(2)202x e k x kg k g g e k g e k e k ∴==∴=-<=>=->=->∴<ln (ln )ln 0ln 1k g k e k k k k e=-<∴>∴>综上：e 的取值范围为2(,)2e e . 名师坐堂：利用导函数求函数的单调性、极值、最值等是高考必考内容，解决的关键是正确求导，正确求出方程的解，注意在解方程时若含有参数应注意对参数进行讨论. 有时需要利用图象对方程的解得个数进行判断.例5.（2013·山东理21）设函数2()( 2.71828xxf x c e e =+=L 是自然对数的底数，)c R ∈.（1）求()f x 的单调区间，最大值；（2）讨论关于x 的方程|ln |()x f x =根的个数.命题意图：本题主要考查利用导数判断函数的单调性，求函数的最值以及求方程的根. 考查分类讨论思想.解析：（1）'212()x x f x e -=，令'()0f x =得，12x =,当'1(,),()0,2x f x ∈-∞>函数单调递增；'1(),()0,2x f x ∈+∞<，函数单调递减；所以当12x =时，函数取得最的最值 max 1()2f x c e=+ （2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到12c e+，然后递减到c ，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大. 故令f(1)=0得，21ce =-，所以当21c e >-时，方程有两个根；当21c e =-时，方程有一两个根；当21ce <-时，方程有无两个根.名师坐堂：此类问题首先要正确求好函数的导数，正确运用导数的正负与函数的增减的关系. 例6.（2012·山东理22）已知函数f(x) =xe kx +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）设g(x)=(x 2+x)'()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，21)(-+<e x g .命题意图：本题主要考查导数的意义、求解及应用，函数的单调性的意义及应用，考查分类讨论思想以及转化思想.解析：由f(x) =xe kx +ln 可得=')(x f xe xk x ln 1--，而0)1(='f ，即01=-e k，解得1=k ； （Ⅱ）=')(x f xex x ln 11--，令0)(='x f 可得1=x ， 当10<<x 时，0ln 11)(>--='x x x f ；当1>x 时，0ln 11)(<--='x xx f . 于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数；在),1(+∞内为减函数.简证（Ⅲ）xx ex x x x e xx x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=，当1≥x 时， 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-x e x x x x ，210)(-+<≤e x g .当10<<x 时，要证22221ln )(1ln 11)()(-+<+--=--+=e ex x x x e xx x x x g xx . 只需证2221()ln (1)x xx x x e e ---+<+，然后构造函数即可证明.名师坐堂：此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合，旨在考查考生在数学方面阅读、理解、综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.【命题趋向】1. 近几年高考试题中，给出一个函数然后提供图像供选择已成定式，解决时应首先弄清楚函数的相关性质，尤其利用导数研究函数的性质简便易行. 此类题主要以选择题形式出现.2. 不等式))(()(m x f m x f <>恒成立问题在高考也常涉及，解决的方法是常转化为函数的最值问题，通过求函数的最值得出的取值范围. 一般地，证明不等式)()(x g x f >通常转化为证明0)()()(>-=x g x f x F 从而将问题转化为0)(min >x F 问题.3. 考查指数、对数、幂函数的图象与性质时，往往以这些函数为载体考查分段函数、复合函数的图象与性质以及函数的零点等问题，以选择题、填空题为主，一般为中高档题.4. 对于求函数闭区间上的最值应注意方法，在求得函数值的基础上，将其与端点处的函数值加以比较，最大者即为所求最大值，最小者即为所求最小值. 在生产建设和科学技术中，“用料最省”、“体积最大”等实际问题，常常可以用求函数的最大值与最小值的方法解决. 解决问题的关键是分析实际问题得出函数解析式，利用导数工具加以解决，进而得出符合实际问题的解.【直击高考】1. 若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间（ ）A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内2. 函数()2ln xf x x =的大致图象为( )3. 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ） A ．21y x =- B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+4. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 5．设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）A ．[-1，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）6. 已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.7. 已知函数21()ln 12a f x a x x +=++．（Ⅰ）当21-=a 时，求)(x f 在区间],1[e e上的最值；（Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅲ）当10a -<<时，有()1ln()2af x a >+-恒成立，求a 的取值范围．8. 已知函数32()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=，且对任意的[)0,x ∈+∞，()ln(1)f x k x '≤+恒成立.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求实数k 的最小值； （Ⅲ）求证：1111+ln(1)223n n+++<++L （*N n ∈） 9. 已知函数()11811axf x ax x a=+++++，()0x ,∈+∞． (1)当8a =时，求()f x 的单调区间；(2)对任意正数a ，证明：()12f x <<．10. 已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc =-．（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．11. 已知函数()ln(1)(x f x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x xλ=+在区间[]1,1-上是减函数．（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值． 12. 设函数x xe x f =)(.(1) 求)(x f 的单调区间与极值；(2)是否存在实数a，使得对任意的),(21+∞∈a x x 、，当21x x <时恒有ax a f x f a x a f x f -->--1122)()()()(成立.若存在，求a 的范围，若不存在，请说明理由.13. 在实数集R 上定义运算：)()()(,2)(,)(,)((2x g x f x F x e x g e x f a R a y a x y x x x ⊗=+==∈-=⊗-为常数），若（Ⅰ）求F(x )的解析式；（Ⅱ）若F(x )在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a =－3，在F(x )的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不 存在，说明理由.数学热点二 函数【直击高考】1. 解析：A 由于a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0. 因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断． 因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． 2. 解析:D 函数有意义,其定义域为{}0|≠x x ,又因为函数为偶函数,故选D.3. 解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44fx f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A4. 解析：令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04(7－3t ＋251＋t )d t＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 答案 C5．解析：当x ≤1时，122x -≤，0≤x ≤1；当x ＞1时，21log 2x -≤，x ＞1.综上 x ≥0，故选D. 6. 解析：解析：令0y =,得1()1()2f x f x ==或,在同一坐标系系下，作出函数()f x 的图象，作出11.2y y ==的图象，可以得出有5个交点，所以答案为：5. 7. 解析：（Ⅰ）当21-=a 时，14ln 21)(2++-=x x x f ， ∴xx x x x f 21221)(2-=+-='．∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由0)(='x f 得1=x ．∴)(x f 在区间],1[e e 上的最值只可能在)(),1(),1(e f ef f 取到，而421)(,4123)1(,45)1(22e e f e e f f +=+==，∴45)1()(,421)()(min 2max==+==f x f e e f x f ．（Ⅱ）2(1)()(0,)a x af x x x++'=∈+∞，． ①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减；②当0≥a时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增；③当01<<-a 时，由0)(>'x f 得1,12+->∴+->a a x a ax 或1+--<a ax （舍去）∴)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a上单调递减； 综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当01<<-a 时，)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a上单调递减； 当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当01<<-a 时，min ()()1af x f a -=+ 即原不等式等价于()1ln()12a af a a ->+-+ 即1ln11ln()1212a a a a a a a a -+-+⋅+>+-++ 整理得ln(1)1a +>-∴11ae>-， 又∵01<<-a ，所以a 的取值范围为11,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.8. 解析：（Ⅰ）将3x =代入直线方程得92y =-，∴92792a b +=-①2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-，∴2766a b +=-②①②联立，解得11,32a b =-=∴3211()32f x x x =-+ .（Ⅱ）2()=f x x x '-+，∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立； 即2ln(1)0xx k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立；设2()ln(1)g x x x k x =-++，(0)0g =，∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设2()21h x x x k =++-，1）当=18(1)0k ∆--≤，即98k ≥时，()0h x ≥，∴()0g x '≥()g x 在[)0,+∞单调递增，∴()(0)g x g ≥ .2）当=18(1)0k ∆-->，即98k <时，设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由1212x x +=-，可知10x <，分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥； ∴10,1k k -≥≥，∴918k ≤< 综上分析，实数k 的最小值为1.（Ⅲ）令1k=，有2ln(1),x x x -+≤+即2ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立-令1x n =，得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++-∴22211111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )2323n n n n++++≤+++++-+-+++-222111111=1ln(1)1ln(1)231223(1)n n n n n++++++<++++++⨯⨯-12ln(1)2ln(1)n n n=-++<++，∴原不等式得证.9. 解析：（1）当8a =时，()1131x f x x +=++，求得 ()()3121x f x x x -'=+，于是当(0,1]x ∈时，()0f x '≥；而当 [1,)x ∈+∞时，()0f x '≤．即()f x 在(0,1]中单调递增，而在[1,)+∞中单调递减．（2）对任意给定的0a >，0x >，由111() 1181f x x aax=+++++ ， 若令8b ax=，则 8abx = … ① ，而 ()111111f x x a b=+++++ … ②（一）先证()1f x >；因为1111x x >++，1111aa >++，1111b b >++，又由42222428a b x a bx abx +++≥+≥= ，得 6a b x ++≥．所以()111111111111f x x a b x a b=++>++++++++32()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++=+++ 9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥+++1()()1(1)(1)(1)a b x ab ax bx abx x a b +++++++==+++．（二）再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤（ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为111b<+， 11211115x a +≤<+++，此时()1112111f x x a b=++<+++． （ⅱ）、当7a b +< …③，由①得 ,8xab =，181abab x=++， 因为22211[1]114(1)2(1)b b b b b b b <-+=-++++ 所以 112(1)1bb b<-++ … ④ 同理得112(1)1a a a<-++ … ⑤ ，于是 ()1222118a b ab f x a b ab ⎛⎫<-+- ⎪ ⎪+++⎝⎭ … ⑥今证明2118a b ab a b ab +>+++ … ⑦, 因为 211(1)(1)a b ab a b a b +≥++++ ，只要证 (1)(1)8a b a ba b a b >+++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为显然．因此⑦得证．故由⑥得()2f x <．综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．10. 解析：（Ⅰ）222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=，即得220c k c ck --=，（*）0c ≠，0k ∴≠．由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k=-）． （Ⅱ）由（*）式得21kc =-，即21c k=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-． （i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数．1(1)012k kM f c +∴===>+， 221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得2k ≥． （ii ）当2k<-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数． 2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02km f ==<22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．11．解析：（Ⅰ）()ln(1)x f x e a =++是实数集R 上奇函数， (0)0f ∴=，即0ln(1)0211e a a a ++=⇒+=⇒=-将1a =-带入()ln x f x e x ==，显然为奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()sin sin g x f x x x x λλ=+=+，[]'()cos ,1,1g x x x λ∴=+∈-∴要使()g x 是区间[]1,1-上的减函数，则有'()0g x ≤在[]1,1x ∈-恒成立，m i n(c o s )x λ∴≤-，所以1λ≤-． 要使()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，只需max()(1)sin11g x g t λλ=-=--≤-在1λ≤-时恒成立即可．(1)sin110t λ∴++-≥(其中1λ≤-)恒成立即可．令()(1)sin11(1)h t λλλ=++-≤-，则10,(1)0,t h +≤⎧⎨-≥⎩即10,2sin10,t t +≤⎧⎨--+≥⎩ sin12t ∴≤-，所以实数t 的最大值为sin12-.（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程2ln 2()x x ex m f x =-+，即2ln 2xx ex m x=-+， 令212ln (),()2xf x f x x ex m x==-+ 121ln '()xf x x -= 当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数；当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数；当x e =时，1max 1()f x e=． 而2222()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数，∴当xe =时，22min ()f x m e =-．只有当21m ee -=，即21m e e=+时，方程有且只有一个实数根． 12．解析：(1)x e x x f )1()(+='.令0)(='x f ，得1-=x ； 列表如下x )1,(--∞1-),1(+∞-)(x f ' －0 ＋)(x f极小值)(x f ∴的单调递减区间是)1,(--∞，单调递增区间是),1(+∞-.)(x f 极小值=e f 1)1(-=- . (2) 设ax a f x f x g --=)()()(，由题意，对任意的),(21+∞∈a x x 、，当21x x <时恒有)()(12x g x g >，即)(x g y =在),(+∞a 上是单调增函数. 222222()()[()()](1)()()()()()()()x x axxaxxxaf x x a f x f a x e x a xe aeg x x a x a x x ax a e xe ae x e axe ae aex a x a '---+--+'==--+---+--+==--),(+∞∈∀a x ,0)(≥'x g令0)(2≥+--=a x x x ae ae axe e x x h2()2(1)(2)(2)x x x x x x h x xe x e a x e ae x x e a x e '=+-+-=+-+ (2)()x x x a e =+-若2-≥a ，当a x>时，0)(>'x h ，)(x h 为),[+∞a 上的单调递增函数，0)()(=>∴a h x h ,不等式成立.若2-<a ，当)2,(-∈a x 时，0)(<'x h ，)(x h 为]2,[-a 上的单调递减函数，)2,(0-∈∃∴a x ，0)()(0=<a h x h ，与),(+∞∈∀a x ,0)(≥x h 矛盾所以，a 的取值范围为)[-2,+∞. 13. 解析：（I ）由题意，F(x )=f (x )⊗(a －g (x ))…=e x (a －e －x －2x 2) =a e x －1－2x 2e x .…（II ）∵F ′(x )=a e x －2x 2e x －4x e x =－e x (2x 2+4x －a )， 当x ∈R 时，F (x )在减函数，∴F ′(x )≤0对于x ∈R 恒成立，即－e x (2x 2+4x －a )≤0恒成立， ∵e x >0，∴2x 2+4x －a ≥0恒成立， ∴△=16－8(－a ) ≤0， ∴a ≤－2.（III ）当a =－3时，F(x )= －3e x －1－2x 2e x ，设P(x 1，y 1)，Q （x 2，y 2）是F(x )曲线上的任意两点，∵F′(x )= －e x (2x 2+4x +3)=－e x [2(x +1)2+1]<0， ∴ F′(x 1)·F′(x 2)>0， ∴F′(x 1)·F′(x 2)= －1 不成立∴F(x )的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.。

数学热点四数列【考点精要】考点一.等差、等比数列的定义.等差数列的前n 项和在公差不为0时是关于n 的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列{}n a 的前n 项和),,(2R c b a c bn an S n ∈++=.则数列{}n a 为等差数列的充要条件是0=c；在等差数列中,)(,,*232N m S S S S S m m m m m ∈--也是等差数列.在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注.如{}n a 是等比数列，则)(,,*232N m S S S S S m m m m m ∈--就不一定是等比数列.考点二.数列的递推关系.解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行转换.把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理.转化的常用方法有：(1)待定系数法.如)1,0(1≠+=-p p qa a n n可以通过待定系数λ将其转化为形如)(1λλ+=++n n a q a 的等比数列.(2)取倒数法，如对121+=+n n n a a a 的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为)11(21111-=-+nn a a .(3)观察变换法，如n n a na 21)11(2+=+，可以变换为2212)1(n a n a nn =++，转化为等比数列，还有取对数法等．解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、注意的n 取值，不能出错．考点三.分段数列.通过考查分段函数进而明晰数列n 在不同的范围内赋予不同的意义.如：数列{}n a 中，n a =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤10012,100011222n nn n n n 求100S . 考点四.数列的通项公式以及前n 项和.数列的通项公式以及前n 项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性.高考中诸多题目均能涉及.数列求和的常用方法：（1）公式法：（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++Λ＝_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制211111(20051L （）个）转换成十进制数是_______（答：200521-） （2）分组求和法：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--L （答：(1)n n -⋅）（3）倒序相加法：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______（答：72）（4）错位相减法：（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++L ，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；②122n n T n +=--）.（5）裂项相消法：（1）求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+L （答：31n n +）；（2）在数列{}n a 中，11++=n n a n，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）（6）通项转换法：求和：111112123123n ++++=+++++++L L （答：21n n +） 如：设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则=+20072006a a __________.考点五．等差数列前n 项和最值的求法：⑴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或；⑵利用二次函数的图象与性质.考点六.考查数列n n n q pa a +=+1（其中均为常数，(()(1)0)pq p i q --≠.一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，进行化简求解.巧点妙拨1．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；掌握数列通项n a 与前n 项和n S 之间的关系.2．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和，（4）利用数列的周期性求和，（5）利用正整数的方幂和公式求和等.3．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.4.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项.5.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式.6.数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向.【典题对应】例1.(2014·山东理19)已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T .命题意图：本题主要考查数列的通项公式，前n 项和公式，分情况讨论求和，考查学生的衍生数列的应对策略以及分类讨论思想.解析：（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d+=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比Θ解得12,11-=∴=n a a n（II ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n111111111(1)()()()()3355723212121n n T n n n n =+-+++-++-+---+L L 当为偶数时，1221211+=+-=∴n nn T n 111111111(1)()()()()3355723212121n n T n n n n =+-+++--+++---+L L 当为奇数时，12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122 名师坐堂：数列求和的方法较多，运用何种方法关键是分析好通项公式，当通项公式中含有n-1（）时要进行讨论.例2．(2012·山东理20)在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，将数列{a n }中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm ，求数列{b m }的前m 项和S m .命题意图：主要考查等差数列中等差中项的性质及数列求和的方法. 解析：（Ⅰ）由a 3+a 4+a 5=84，a 5=73可得,28,84344==a a 而a 9=73，则9,45549==-=d a a d ，12728341=-=-=d a a ，于是899)1(1-=⨯-+=n n a n ，即89-=n a n .（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，m mn 29899<-<，则899892+<<+m m n ，即989989121+<<+--m m n ，而*N n ∈，由题意可知11299---=m m m b ， 于是)999(999110123121--+++-+++=+++=m m m mb b b S ΛΛΛ8980198019109819809991919199121212212mm m m m m m m -+=+⋅-=---=-----=++++，即89801912mm m S -+=+.名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力.例3．（2013·山东理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .命题意图：主要考查等差数列的前n 项和以及等差数列的通项公式，考查学生运用错位相减法求和的能力.解析:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩, 解得,11a =,2d =因此21na n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122nn n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===-*()n N ∈分所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯,则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n n n R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n n n R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯11()144(1)()1414n n n -=--- 整理得1131(4)94n n n R -+=-.所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-.名师坐堂：将一个数列通过某种运算得到另一个数列并求其和，此类问题往往转化成列项求和、分组求和、错位相减等，此类问题的关键是能看透新生数列的特性.例4.（2011·全国大纲理20）设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1, 1.nnn k n k b b S ===<∑记S 证明：命题意图：主要考查等差数列与不等式的结合应用.解析：（I ）由题设1111,11n na a +-=--即1{}1na -是公差为1的等差数列. 又1111,.11nn a a ==--故所以11.na n=-（II ）由（I ）得n b ===，111 1.nnn k k k S b =====-<∑∑名师坐堂：把复杂的问题转化成清晰简单的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用ba ab a b 11-=-将相邻的两项相消，求出数列之和，由n 的范围证出不等式. 【命题趋向】1.数列中n S 与n a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意n S 与n a 的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”.但实际上，从近两年各地高考试题来看，主要加大了对“递推公式”的考查.2.探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题.4.求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点.今后在这方面还会体现的更突出.7.在题型设计方面、选择题和填空题主要考查数列的概念．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.等差与等比数列的基础知识与基本技能，突出“小、巧、活”的特点；解答题常把数列、函数、不等式等知识结合．在知识交汇处命题．综合考查应用意识、推理能力和数学思想方法.【直击高考】 1.如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且1111++---=-n n n n n n n n a a a a a a a a (n ≥2)，则第10项等于() A.1021B.921 C.101D.51 2.已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，若31=a ，14442=a a ，则5S 的值为() A ．692B ．69C ．93D ．1893.在数列}{n a 中，已知)(,5,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，则2008a 等于()A.4-B.5-C.4D.1-4.已知等差数列{}n a 的前n项和是nS ,若,,M N P三点共线,O为坐标原点，且156ON a OM a OP =+uuu r uuu r uu u r(直线MP 不过点O )，则20S 等于()A.15B.10C.40D.205.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈.若则32b =-，1012b =，则8a =()A ．0B ．3C ．8D ．116.函数)(x f 满足)1(+n f =2)(2n n f +（n ∈N *）且2)1(=f ，则)20(f 为()A ．95B ．97C ．105D ．1927.知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足)2,2(ππ-∈n a ，且公差0≠d .若1227()()()0f a f a f a ++=L ，则当=k 时，0)(=k a f .8.有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为________．9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若n k n a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（3）设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项R Q c n ⋂∈，其中1c 是R Q ⋂中的最小数，11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在3230x y +-=直线上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列3nn S n λλ⎧⎫+⋅+⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由.11.已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＋a n n ＋1＝8a n ＋1－a n (n ∈N *)，设b n ＝1a n，S n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <14.12.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有n n n a S a -=22,，其中n S 为数列{}n a 的前n项和.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设an n b n n 2..)1(31λ--+=(λ为非零整数，*N n ∈)，试确定λ的值，使得对任意*N n ∈，都有成立1nb n b >+.数学热点四数列【直击高考】1.解析：由1111++---=-n n n n n n n n a a a a a a a a 得：nn n n a a a a 111111-=-+-，所以｛na 1｝为等差数列，故应选D.2.解析：因为14442=a a ，所以123=a ，2=q ，所以9321)21(355=--⨯=S ，故选C. 3.解析：n n n n a a a a -=-=+++123Θ，n n n a a a =-=∴++36，200845a a ==.4．解析：B.5.解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法既得.选B 。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学热点五 三角函数与平面向量【考点精要】考点一. 常见的几个三角关系式。

（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤.(3)|sin ||cos |1x x +≥.考点二. 三角函数的诱导公式的灵活变形。

212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩考点三. 正余弦定理的变形与应用。

正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===.余弦定理2222cos a b c bc A =+-.如ABC ∆中，角A 、B 、C 成等差数列，对边a 、b 、c 满足,232ac b =求C. 考点四. 三角函数的图像与性质。

如：将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）A.(,0)12π-B. (,0)6π-C. (,0)12πD. (,0)6π考点五. 三角公式与变换。

在三角变换中“1”的变换非常巧妙。

如：(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)4tancos sin 122π=+=x x =sin2πcos0==K。

考查角的巧妙变换，如：,22,)(βαβααββαα-++=-+=)2()2(αβαβα--+=等，这些是利用和、差角公式求解问题中经常用到的变形。

考点六. 三角形中的边角关系,根据条件解三角形。

已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若n m ⊥，且a cos B + b cos A =c sin C ，则角B ＝ （6π）. 考点七. 平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。