第五章 不定积分练习题(2)

经济数学——微积分 4不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题经济数学——积分二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间/内原函数・(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是cos 兀的原函数.(inx) =— (X >0)XIn X 是1在区间((),+oo)内的原函数.X第一节五、定理原函数存在定理：如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =f(x).简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？1 f例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx(C为任意常数)经济数学一微积分关于原函数的说明:(1)(2)证说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或经济数学一微积分经济数学——微积分不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ・经济数学——微积分6=X% /. fx^dx =——十 C. J」6例2求f --------- dr.J 1 + X-/ J解•/ (arctanx)=,,I‘1 + 疋 心& =皿2被积函数『积分号积分变量寒积表达式F(x)例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成本函数C(jc).解C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀2 + c IK™其中c为任意常数经济数学一微积分二、不定积分的几何意义函数八兀）的原函数的图形称为y（x）的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族，在同一经济数学一微积分经济数学——微积分经济数学微积分基本积分表p*l=x“ zz> k"dx= — + C ・J “+1(“H -l)既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.经济数学一微积分(1) f kdx = kx + C 仏是常数)； (2) (\“dx = J + C (〃H —1); J “+1(3)[竺"=In X +C;J jrr dx说明；X >0, => 一 = lnx + C,J Xx<0, [ln(-x )r= 1 (—*)' =丄，—X X n f — =ln(-x) + C,.订咚=In I X I +C, X J X实例“+1启示 能否根据求导公式得出积分公式?结论 基本积分表(4)(6)(7) f ------ -dx =arctanx4-C;J 1 + x"f t -------- dx = arcsin jc + C;JJ cos xdx =sinx + C;Jsin xdx =-cosx +C;r dr r r---- 2— = sec~ xdx =tanx +C; J cos X Jf = fcsc^ xdx =—cotx + C; J sin" X J经济数学一微积分(10)(11)(12)(13) J sec X tan xdx =secx + C;J CSC X cot xdx =—cscx +C; J/dx =gx +C;X= a +C;J Ina经济数学一議积分经济数学一微积分例4求积分5解 ^x^yfxAx — J x^dr飞+12经济数学一議积分四、不定积分的性质(1) Jl/(x)±g(x)jdx = J/(x)dx ± Jg(x)dx; r 证•・・J/(x)dx ± Jg(x)dxtt=J/(x)dx ± Jg(x)dx =/(x)±g(x).・・・等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）+ C=-x^+C.7经济数学一議积分J kf{x}Ax =町/（x ）dx.（A:是常数，A: H0）求积分=3arctanx —2arcsinx + C经济数学一微积分r 1 + X + 工2•」X （1 + X*）「1+…L =厂（1+% J 兀（1 +工2） J 兀（1 +云）= arctanx + lnA +C.例6求积分WF—^dx +经济数学一微积分解KrS 訂甯斗 」Ar(l + jr) J 兀・(1 +兀・)J 刖 JE"----- arctanx + C< X经济数学一微积分例8求积分1 ------------- —dx.J 1 + cos 2x 解J 1 + ；心4 = j 1 + 2丄—严£土吨g + G说明：以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.I 化积分为代做和的积分\ 例9 已知一曲线y = f(x)在点(x,/(x))处的 切线斜率为sec^x+sinx,且此曲线与 轴的交 点为(0,5),求此曲线的方程.例7求积分r 1+2兀2J 兀2（］ + 尤2）1 + 2*2解•/— = sec2 X十sin x,dr二y = J^sec' X + sinx)dx=tanx —cosx H-C,j(0) = 5, /. C = 6、所求曲线方程为y = tan x — cosx + 6.经济数学一微积分五、小结原函数的概念：F\x) = f(x)不定积分的概念:J/U)dx = F(x) + C 基本积分表(1)〜(13) 求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质经济数学一微积分经济数学——积分思考题1, X > 0 符号函数 /(x) = sgnx = 0, X =0—1, X < 0在（-co,+ 00）内是否存在原函数？为什么？经济数学——积分X + C, X >0X =0[―x+C,x <0 但F （兀）在工=0处不可微， 故假设错误所以/（X ）在（-00, + 8）内不存在原函数.思考题解答不存在.假设有原函数F （x ） F （x ） = -ic,经济数学一微积分练习题、 填空题；1. 一个已知的连续函数，有个原函数，其中 任意两个的差是一个 2. 3・ /(•V )的______ 称为/(X)的不定积分！ 把/(“)的一个原函数F(x)的图形叫做函数/(X )的 ______ ,它的方程是y = F(x),这样不定积 ,它的方程是 4.5. J f(x)dx 在几何上就表示 j = F(x) + C ； 由F (x) = /(x)可知，在积分曲线族j=F(x) + C (C 是任意常数)上横坐标相同的点处作切线，这 些切线彼此 的；若/(X )在某区间上 ____ ,则在该区间上/(X )的 原函数一定存在：经济数学一微积分 6. J xsfxdx = ___________ 7 f - .J 皿- -------------- 8. J (宀 3工 + 2)dx= _ 9. J(>/7 + l)(7P'-l)dv = 10. J-—dx =求下列不定积分:3x经济数学一微积分3. f cos* —drJ 25. J （1-占）厶石血a fF+SlirX.6.----- ； ---- sec* xQxJ x" + l, f cos 2x ■ 』J cos-X sin-s 一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程•经济数学一微积分 练习题答案一、1.无穷多，常数：2.全体原函数； 积分曲线,积分曲线族；4.平行；5.连续 2 色 2 ---x'+C ； 7, -------- x '+C ；53 3 -- +2x + C ； 3 22 - 2 -- + -x2--x2-x + C ； 3 5 3 —4 - 2 - 2\・x —一—3 53. 6. 9.10.3.5.X—arctanx + C；X + sin X _2 24(*+7)717 +6三s , = lnx+C・经济数学一微积分2. 2’” + C；In 2-In 34e-(cotx +tanx) + C ；6. tan* —arccatx + C.o。

练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。

习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。

2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。

3．掌握不定积分的积分方法。

4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。

内容与方法精讲：一． 原函数与不定积分的概念1． 原函数定义：在区间I 上，若)()(x f x F ='（即dx x f x dF )()(=），称函数)(x F 是函数)(x f 在区间I 上的一个原函数。

2． 原函数存在的条件：若函数)(x f 在区间I 上连续。

则)(x f 在区间I 上有原函数。

3． 不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作⎰+=C x F dx x f )()(.4． 不定积分与导数的关系：（1） 先积分再求导（或微分）⎰=')(])([x f dx x f ，或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([； （2） 先求导（或微分）再积分C x F dx x F +='⎰)()(，或 ⎰+=C x F x dF )()(. 5． 不定积分的线性性：（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(；（2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.二．基本积分公式（略） 三．不定积分的方法1． 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。

（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。

2． 凑微分法：C x F x d x f dx x x f +=='⎰⎰)]([)()]([)()]([ϕϕϕϕϕ.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。

不定积分一、分段函数的积分1．求2min(,6)d x x x +⎰． 二、有理函数的积分2. 求241d 1x x x ++⎰ 3．若积分222d (1)(1)x ax b x x x ++++⎰的结果 （1）不含反正切函数，则常数a ＝（2）不含对数函数，则常数b ＝（1）是个有理函数，则常数a ＝ ；b ＝三、倒代换4. 求821d (1)x x x +⎰5.求x6. 求21ln d (ln )x x x x -+⎰ 注：求223d (1)x x x +⎰时，倒代换不行，应作变换tan x t = 四、分部积分（被积函数是两类不同函数的乘积）7.求x x 8. 求22(tan 1)d x e x x +⎰9. 求221()d 1x x e x x -+⎰10. 设ln(1)(ln )x f x x +=，求()d f x x ⎰五、含抽象函数的积分11. 设()f x 的一个原函数是sin x x，求3()d x f x x '⎰ 12. 求23()()()d ()()f x f x f x x f x f x ''⎡⎤-⎢⎥''⎣⎦⎰六、其他13. 求()()d ,(,,,,0ax b px q x a b p q a αα++≠⎰是常数，） 14．求sin222sin d x x e x x e ⎰． 15．求2d ,()3x x y x y x y =--⎰其中．课外练习题计算下列积分1. ,(02)x x π<<2. |ln |d x x ⎰3. 2421d 31x x x x -++⎰ 4.x 5.21d x x x x e +⎰ 6. 1ln d (ln )ln x x x x x --⎰ 7. 1sin d 1cos x x e x x++⎰ 8. 222d ,()x y x y x y-=⎰其中自习内容一、形如sin cos d (m n x x x m n ⎰，是正负整数）的积分（1） 若m 、n 中至少有一个是奇数：化为(sin )d(sin )(cos )d(cos )R x x R x x ⎰⎰或；（2） 若m 、n 均为正偶数：降次； （3） 若m 、n 均为负偶数（或均为负奇数）：化为(tan )d(tan )(cot )d(cot )R x x R x x ⎰⎰或。

第五章不定积分班级专业：姓名：学号：第一节不定积分的概念第二节不定积分的性质第三节基本积分公式一、判断1.一个已知函数的原函数有无穷多个.（）2.如果()F x ，()G x 都是()f x 的原函数，则()()F x G x C -=.（）3.()()d f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（）4.()()d f x dx f x dx =⎰（）5.()()F x dx F x C '=+⎰（）6.()()d F x F x C =+⎰（）二、选择1.若()22x f x dx x e C =+⎰，则()f x =()22xA xe ()24xB xe ()222xC x e ()22(1)x D xe x +2.已知2y x '=，且1x =时2y =，则y =()2A x ()2B xC +()21C x +()22D x +3.sin darc =⎰()arcsin A ()arcsin B C ()C ()D C+4.若2ln cos 23x 是()tan f x k x =的一个原函数，则k =()23A ()23B -()43C ()43D -5.设()f x 的导数为sin x ，则下列选项中是()f x 的原函数的是()1sin A x +()1sin B x -()1cos C x+()1cos D x-6.下列函数中有一个不是()1f x x=的原函数，它是()()ln ||A F x x =()()ln ||B F x Cx =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||C F x C x =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||D F x x C=+(C 是不为零的常数)7.设()f x '存在，则()df x '=⎡⎤⎣⎦()()A f x ()()B f x '()()C f x C +()()D f x C'+三、求不定积分1.421x dx x +⎰2.221x dxx +⎰3.211t t e dte --⎰第四节换元积分法（第一换元积分法）1.21x dx x +⎰ 2.2(ln )x dx x⎰3.12xe dx x⎰4.⎰5.⎰6.2⎰7.2213x dx x x --+⎰8.ln dt t t⎰9.1xxe dx e +⎰10.211x dxx -+⎰11.sin3xdx⎰12.2cos 3xdx⎰13.2sin 3xdx⎰14.sin cos xe xdx⎰15.cos x xe e dx ⎰16.3sin xdx⎰17.dx⎰18.2ln x x dxx+⎰19.22(arctan )1x dx x+⎰20.xdx⎰第二换元积分法1.⎰2.⎰3.4.dx⎰5.⎰第五节分部积分法1.x xe dx ⎰ 2.sin x xdx⎰3.arctan xdx⎰ 4.2ln(1)x dx +⎰5.cos x xdx⎰ 6.arctan x xdx⎰第六节综合杂例22156x dxx x --+⎰。