由上述格林定理可知,向量场 在区域 内是一个管量场的充要条 …

格林公式是高等数学中一个重要的定理，它提供了沿闭曲线的积分与向量场在闭曲线所围区域的积分之间的联系。

以下是一个格林公式的例题解析，供您参考：问题描述：给定一个二维区域D，以及一条从点A到点B的曲线L。

求向量场φ在D内，且垂直于L时的通量。

一、知识点1. 格林公式2. 散度定理3. 向量场的通量二、问题分析为了求解向量场的通量，我们需要找到一个合适的向量场φ，使得它在D内垂直于L。

然后，根据格林公式，我们可以将曲线L上的积分转化为向量场φ在D内积分的差值。

三、解法步骤1：选取向量场φ选取一个垂直于L的向量场φ，它应该满足在D内满足散度定理的条件。

通常选择单位外法线向量，即在D的边界上垂直于L的向量。

步骤2：计算格林公式将曲线L分成若干个小段，对每个小段应用格林公式，得到曲线L上的积分与向量场φ在D 内积分的差值。

由于φ满足散度定理，这个差值应该等于向量场φ在D内与L所围区域的面积分。

步骤3：求解通量根据面积分的结果，我们可以得到向量场φ在D内垂直于L时的通量。

四、代码实现（伪代码）假设区域D的方程为x(x, y) = 0，曲线L的起点为(x(a), y(a))，终点为(x(b), y(b))。

以下是一个可能的代码实现：```pseudofunction calculate_flux(L, φ):// 将曲线L分成若干个小段for each segment of L:// 计算小段的起点和终点坐标start = (x1, y1) = segment.start_pointend = (x2, y2) = segment.end_point// 计算格林公式并存储结果int_diff = ∫φ·n ds (where n is the outward unit normal) -∫φds// 将结果保存以供后续使用results[segment_index] = int_diff// 求解通量flux = 0for i = 0 to n-1: // n is the number of segments of L:flux += results[i] * (end - start) // multiply the result by the length of the segment to get the fluxreturn flux```五、总结通过以上解析和代码实现，我们可以看到格林公式在求解向量场通量问题中的应用。

矢量场存在矢势的充要条件董宇欣【摘要】指出某区域矢量场的散度处处为零不是该矢量场存在矢势的充要条件,从矢量场存在矢势与第二型面积分的关系,讨论矢量场存在矢势的充要条件,并给出几种矢量场存在矢势的充要条件.%First,it is pointed out that the divergence of the vector field in a certain region is not a sufficient and necessary condition for the vector field to exist in the vector field.Then,the necessary and sufficient conditions for the existence of the vector field in the vector field were discussed from the relationship between the vector potential and the second type integral.The necessary and sufficient conditions for the existence of several vector fields were gives.【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(036)001【总页数】4页(P43-46)【关键词】矢量场;矢势;充要条件【作者】董宇欣【作者单位】延安大学物理与电子信息学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O441.4众所周知，当矢量场在某区域存在标势时，则矢量场在此区域的旋度处处为零，反之如果矢量场在某区域的旋度处处为零，则此矢量场并不一定有标势存在，标势存在的充要条件是在该区域这个矢量场对任意闭合曲线l有[1]如果矢量场在某区域存在矢势时，则矢量场在这个区域的散度处处为零，反之如果在一个区域内矢量场的散度处处为零，这个矢量场在该区域是否一定有矢势存在？有些文献对此作了肯定的回答[2,3]，然而这种回答是否正确，这里以位于原点的点电荷之静电场在区域为(r≥r0,0≤φ≤2π,0≤θ≤π)的场予以说明。

第七章 电场填空题 （简单）1、两无限大平行平面的电荷面密度分别为σ+和σ+，则两无限大带电平面外的电场强度大小为σε ，方向为 垂直于两带电平面并背离它们 。

2、在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径的线积分为 0 ，这叫做静电场的 环路定理 。

3、静电场的环路定理的数学表达式为 0l E dl =⎰ ，该式可表述为 在静电场中，电场强度的环流恒等于零 。

4、只要有运动电荷，其周围就有 磁场 产生；5、一平行板电容器，若增大两极板的带电量，则其电容值会 不变 ；若在两极板间充入均匀电介质，会使其两极板间的电势差 减少 。

（填“增大”，“减小”或“不变”）6、在静电场中，若将电量为q=2×108库仑的点电荷从电势V A =10伏的A 点移到电势V B = -2伏特的B 点，电场力对电荷所作的功A ab = 92.410⨯焦耳。

(一般)7、当导体处于静电平衡时，导体内部任一点的场强 为零 。

8、电荷在磁场中 不一定 （填一定或不一定）受磁场力的作用。

9、如图所示，在电场强度为E 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，E 与半球面轴线的夹角为α。

则通过该半球面的电通量为2cos B R πα-⋅ 。

10、真空中两带等量同号电荷的无限大平行平面的电荷面密度分别为σ+和σ+，则两无限大带电平面之间的电场强度大小为 0 ，两无限大带电平面外的电场强度大小为σε 。

11、在静电场中，电场力所做的功与 路径 无关，只与 起点 和 终点位置 有关。

12、由高斯定理可以证明，处于静电平衡态的导体其内部各处无 净电荷 ，电荷只能分布于导体 外表面 。

因此，如果把任一物体放入空心导体的空腔内，该物体就不受任何外电场的影响，这就是 静电屏蔽 的原理。

(一般)13、静电场的高斯定理表明静电场是 有源 场， (一般)14、带均匀正电荷的无限长直导线，电荷线密度为λ。

它在空间任意一点（距离直导线的垂直距 离为x 处）的电场强度大小为 02x λπε ，方向为 垂直于带电直导线并背离它 。

一、选择题1．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，112C G GD =，若α平面ABCD m =，α平面EFG n =，则直线m 与直线n 所成角的正切值为（ ） A ．227B ．32C ．427D ．6272．在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0B ．2-C ．2D ．3-3．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 30B 6C 3D 64．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点5．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A ．a b +，a ，a b - B ．a b +，b ，a b - C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b -6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是DD 1的中点，则（ ）A ．直线B 1E //平面A 1BD B ．11B E BD ⊥C ．三棱锥C 1-B 1CE 的体积为313aD ．直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角正切值为2557．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++ B ．114555a b c ++C．1315105a b c--D．121336a b c--9．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中8AB=，23AD=，ADE与BCF△都是等边三角形，且二面角E AD B--与F BC A--相等，则EF长度的取值范围为（）A．（2,14）B．（2,8）C．（0,12）D．（2,12）10．下列结论中①若空间向量()123,,a a a a=，()123,,b b b b=，则312123aa ab b b==是//a b的充要条件；②若2x<是x a<的必要不充分条件，则实数a的取值范围为2a<；③已知α，β为两个不同平面，a，b为两条直线，mαβ=，aα⊂，bβ⊂，a m⊥，则“αβ⊥”是“a b⊥”的充要条件；④已知向量n为平面α的法向量，a为直线l的方向向量，则//a n是lα⊥的充要条件.其中正确命题的序号有（）A．②③B．②④C．②③④D．①②③④11．点P是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-的底面ABCD上一点，则1PA PC⋅的取值范围是（）A．1[1,]4--B．11[,]24--C．[1,0]-D．1[,0]2-12．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B，线段,AC BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若2AB=，1AC=，2BD=，则CD的长为（）.A．2 B．3 C．23D．413．设向量(),,0u a b=，(),,1c dυ=，其中22221a b c d+=+=，则下列判断错误的是（ ）A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）B ．u υ⋅的最大值为2C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l二、填空题14．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______16．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则1AC 与平面11BB C C 所成角的余弦值为_________.17．平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，且1AB =，2AD =，13AA =，则1AC 等于______.18．若(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,2,2)c =，则()a b c ⋅+=_____ 19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =___________．20．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．21．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),AB AD =--=(1,2,1)AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________．22．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，则点M 的轨迹所形成的长度是________．23．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，点E 、F 分别为1AA 、11A C 的中点，则直线BE 和CF 所成角的余弦值为___________.24．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则VFVA=_____________.25．已知直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//l α，则实数t =______.26．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可. 【详解】不妨设AB =2, 以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,02,0,02,0,22,0,10,2,00,2,20,2,1D A A E C C F ，，，，，，，()()()12,2,22,2,0,2,0,2,B EF C B =-=-，112420,,00,,133C G GD G GF ⎛⎫⎛⎫=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面EFG 的一个法向量()1,,n x y z =，则11·2204·03n EF x y n GF y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令x =1，则141,1,3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 易知平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，设直线m ，n 的方向向量分别为()0000,,m x y z =，()0222,,n x y z = 因为α平面ABCD m =，1BC α⊥，所以0100020·220·0m C B x z m n z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩不妨令0y =1，则()00,1,0m =同理可求071,,13n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设直线m 与直线n 所成角为θ，则0000007||||cos |cos ,|||||1m n m n m n θ-====⨯所以sin 67θ=== sin tan cos θθθ===故选：B 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．B解析：B 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用AB AC 、与CA CD 、表示出向量AE 与CF ，利用数量积的运算法则求解即可求． 【详解】如图所示，棱长为2的正四面体ABCD 中， 因为,E F 分别是,BC AD 的中点， 所以()()1122AE CF AB AC CA CD ⋅=+⋅+ ()14AB CA AB CD AC CA AC CD =⋅+⋅+⋅+⋅ ()122cos12022cos9022cos18022cos1204=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2=-，故选B ． 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 3．D解析：D 【分析】根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值. 【详解】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AB AA ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AC AA ⋅=⨯⨯︒=. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-221111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅11111112222=+-++-= 而()222111123AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=，()2111BC AA AC AB =+-==，所以111111cos 62AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⋅， 故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案． 【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆． 故选：B ． 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．5． C解析：C 【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面 【详解】 解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ；()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ； 若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.6．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,A a a ，()1,,Ba a a ，0,0,2a E ⎛⎫⎪⎝⎭，(),,0B a a ，()0,0,0D ，()10,0,D a ，则1,,2a B E a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(),,0DB a a =，()1,0,DA a a =，()1,,BD a a a =--，设面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以00ax az ax ay +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1y z ==-，所以()1,1,1n =--，所以()()()()11111122a aB E n a =⨯-+-⨯-+-⨯=-，当2a ≠时10B E n ≠，故1B E 不一定平行面1A BD ，故A 错误；因为()()()()2115022a B E BD a a a a a a =-⨯-+-⨯-+⨯=≠，所以1B E 与1BD 不垂直，故B 错误； 111113111136C B CE B C EC C ECV V SB C a --===，故C 错误；面11CDD C 的法向量为()1,0,0m =，设直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角为θ，则112sin31m B Em B Eθ===⨯，所以cos 3θ==所以2 sin253tancos55θθθ===，故D正确；故选：D【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7．A解析：A【分析】建立空间坐标系，计算1AA坐标，计算平面11AB C的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可．【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以1BB为z轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,0,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ． 【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．8．D解析：D 【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案. 【详解】 连接1C M113AN AC =可得:1123C N C A =()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =--∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭121336a b c --= ∴121336a b N c M =--故选: D. 【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.9．A解析：A 【分析】求得EF 长度的两个临界位置的长度，由此求得EF 的取值范围. 【详解】由于ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，且边长为23，故高为3.当E AD B --和F BC A --趋向于0时，8332EF →--=，如下图所示.当E AD B --和F BC A --趋向于π时，83314EF →++=，如下图所示.所以EF 的取值范围是()2,14.故选：A 【点睛】本小题主要考查空间线段长度范围的判断，考查空间想象能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】①由112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈可判断①不正确; ②由2x <是x a <的必要不充分条件,可得{|2}x x < {|}x x a <,从而得到2a <正确; ③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断; ④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断. 【详解】解:①空间向量()123,,a a a a =,()123,,b b b b =,则112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈,所以312123a a a b b b ==是//a b的充要条件错误,故①不正确;②若2x <是x a <的必要不充分条件,则{|2}x x < {|}x x a <, 所以2a <,故②正确;③若αβ⊥,则由条件可得a β⊥,又b β⊂,所以a b ⊥; 若a b ⊥,则根据条件得不到αβ⊥,故③不正确;④若//a n ,则a α⊥,因为a 为直线l 的方向向量,所以l α⊥; 若l α⊥,则a α⊥,因为n 为平面α的法向量,所以//a n ,故④正确. 综上,正确命题的序号为②④. 故选:B . 【点睛】本题考查了空间向量平行的充要条件,利用必要不充分条件求参数范围,平面与平面垂直的判定和利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系,属中档题.11．D解析：D 【分析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(,,)x y z ，其中01,01,1x y z ≤≤≤≤=，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围． 【详解】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得 01,01,1x y z ≤≤≤≤=，1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0， 则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值．12．B解析：B 【分析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．∴2124219CD =+++⨯=，||3CD ∴=，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．B解析：B 【分析】在A 中，取z 轴的正方向向量(0,0,t)t =，求出n 与t 的夹角即可判断命题正确；在B 中，计算u v ac bd ⋅=+，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C 中，利用数量积求出u 与v 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D 中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确． 【详解】解：由向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，其中22221a b c d +=+=，知： 在A 中，设z 轴正方向的方向向量(0,0,),0z t t =>， 向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值：2cos 452||||z v a z v t c α︒⋅===∴=⋅⋅，∴向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°（与c ，d 之值无关），故A 正确；在B 中，222222221222a cb d a bcd u v ac bd +++++⋅=+≤+==，且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u v ⋅的最大值为1，故B 错误； 在C 中，由B 可得：||1,11u v u v ⋅≤∴-≤⋅≤，2cos ,||||u v u v u v a ⋅∴<>==≥=⋅+， ∴u 与v 的夹角的最大值为34π，故C 正确； 在D 中，222222221222a dbc a b cd ad bc +++++-≤+==，∴ad −bc 的最大值为1．故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题14．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线解析：269【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E、1B F的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E与直线1B F所成角的余弦值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC 、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D xyz-，则点()12,0,4A、()12,2,4B、()0,2,2E、()1,1,0F，()12,2,2A E=--，()11,1,4B F=---，11111126cos,2332A EB FA EB FA EB F⋅<>===⨯⋅，因此，直线1A E与直线1B F26.故答案为：269.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内解析：3 【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案. 【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()2221224548B P x y y y =-+-+=-+，则01y ≤≤又二次函数2548t y y =-+的对称轴为25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.16．【分析】取BC的中点E连接AE证明面可得就是与平面所成的角解直角三角形即可【详解】如上图取BC的中点E连接AE则∵正三棱柱中面面面面∴面∴就是与平面所成的角不妨设正三棱柱的所有棱长都为2则在中故答案解析：104【分析】取BC的中点E，连接1C E，AE，证明AE⊥面11BB C C，可得1EAC∠就是1AC与平面11BB C C 所成的角，解直角三角形1AC E即可．【详解】如上图，取BC的中点E，连接1C E，AE，则AE BC⊥，∵正三棱柱111ABC A B C-中，面ABC⊥面11BB C C，面ABC面11BB C C BC=，∴AE⊥面11BB C C，∴1EAC∠就是1AC与平面11BB C C所成的角，不妨设正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为2，则15C E=122AC=在1Rt AC E∆中，111510cos422C EAC EAC∠===.故答案为：104.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.17．5【分析】将已知条件转化为向量则有利用向量的平方以及数量积化简求解由此能求出线段的长度【详解】平行六面体中即向量两两的夹角均为则因此故答案为:5【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用考查解析：5【分析】将已知条件转化为向量则有11AC AB BC CC→→→→=++,利用向量的平方以及数量积化简求解,由此能求出线段1AC的长度．【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -中, 1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒,即向量1,,AB AD AA→→→两两的夹角均为1601,2,3AB AD AA →→→︒===，,则11AC AB BC CC →→→→=++ 22221111222149212cos60213cos60223cos6025AC AB BC CC AB BC BC CC CC AB →→→→→→→→→→︒︒︒=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=因此15AC →=. 故答案为:5. 【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用,考查学生转化与划归的能力,难度一般.18．3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果【详解】【点睛】本题考查空间向量加法与数量积考查基本求解能力属于基础题解析：3 【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果. 【详解】()()() 2,3,12,2,5465 3.a b c ⋅+=-⋅=-+=，【点睛】本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题.19．【解析】【分析】首先画出图形然后结合=两边平方同时结合数量积的运算法则进行计算即可【详解】平行六面体如图所示：∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上∴平面ACC【解析】 【分析】首先，画出图形，然后，结合11AC AC CC =+=1AB AD AA ++，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可． 【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上，∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，∵AB=1，AD=2，AA 1=3，∵11AC AC CC =+=1AB AD AA ++∴|1AC |2=（1AB AD AA ++）2 =|AB |2+|AD |2+|1AA |2+2AB AD ⋅+21AB AA ⋅+21AD AA ⋅ =1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|1AC 23∴AC 123 23【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．20．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥，所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.21．①②③【解析】由在①中所以所以所以是正确的；在②中所以所以所以是正确的；在③中由于且可知是平面的法向量所以是正确的；在④中假设存在实数使得则此时无解所以是不正确的所以正确命题的序号为①②③点睛：本题解析：①②③【解析】由(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,在①中，2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的； 在②中，4400AP AD ⋅=-++=，所以⊥AP AD ，所以AP AD ⊥，所以是正确的； 在③中，由于AP AB ⊥，AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的；在④中，(2,3,4)BD AD AB =-=,假设存在实数λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此时无解，所以是不正确的，所以正确命题的序号为①②③.点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.22．【分析】首先确定点的轨迹再求长度【详解】在平面上取的中点则点的轨迹是正六边形轨迹长度是正六边形的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上并能作出平面与正方体的交线解析：【分析】首先确定点M 的轨迹，再求长度.【详解】(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，M ∴在平面EFG 上，取11A D ，AB ，1CC 的中点,,N H P ，则点M 的轨迹是正六边形EHFPGN ，轨迹长度是正六边形的周长，632l EN ==.故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定M 在平面EFG 上，并能作出平面EFG 与正方体的交线. 23．【分析】作出图形设然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线和所成角的余弦值【详解】设由于平面以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则因此直线解析：25【分析】作出图形，设12AB AC AA ===，然后以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BE 和CF 所成角的余弦值.【详解】设12AB AC AA ===，由于1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()2,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1E 、()0,1,2F ，()2,0,1BE =-，()0,1,2CF =-， 2cos ,555BE CFBE CF BE CF ⋅<>===⨯⋅. 因此，直线BE 和CF 所成角的余弦值为25. 故答案为：25. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.24．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别 解析：11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出VF VA的值. 【详解】 取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒则()()()()0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()()1,1,3,1,1,3,0,1,3VA VB VE =--=-=-.设(1)VF VA λλ=≠，则()1,1,33BF VF VB λλλ=-=----+ 从而22||cos ,cos 60||||24(1)(1)BF VE BF VE BF VE λλ⋅===︒-++ 整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=-故11VF VA=. 故答案为：11【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.25．-1【解析】【分析】由直线的一个方向向量为平面的一个法向量为得到由此能求出的值【详解】∵直线的一个方向向量为平面的一个法向量为∴解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查直线的方向向量平面的法向 解析：-1【解析】【分析】由直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，//l α，得到 0m n ⋅=，由此能求出t 的值．【详解】∵直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，//l α，∴2420m n t ⋅=--+=，解得1t =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．26．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题 解析：12- 【分析】 构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】 将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22 分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442A C G E (0,02222,),(20,,)2GE AC ==-- 122)(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.。

调和函数及其在物理学中的一些应用设)(z f 是个解析函数，iy x z +=，令)(Im ),(),(Re ),(z f y x v z f y x u ==，则称),(y x u 和),(y x v 是互为共轭函数.由于u 和v 的偏导数满足柯西—黎曼方程y v x u ∂∂=∂∂， xv y u ∂∂-=∂∂， 若u 和v 的二阶导数都存在，且关于x 和y 的二阶混合偏导数是可交换的，对柯西—黎曼方程求导数，即得22222y u x u y x v ∂∂-=∂∂=∂∂∂， 22222yv x v y x u ∂∂-=∂∂-=∂∂∂ 因此，u 和v 都满足二维的拉普拉斯(Laplace)方程.022222≡∂∂+∂∂≡∇y x ϕϕϕ. 我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数. 以后，我们会知道，解析函数)(z f 的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是调和函数. 这里我们自然要问：给定调和函数),(y x u 或 ),(y x v ，我们能否找到一个解析函数)(z f ，使得所给的),(y x u 或 ),(y x v 恰是)(z f 的实部或虚部？答案是可能的. 若给定的函数),(y x u 或 ),(y x v 是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合，则这样的解析函数)(z f 实存在的. 这时用下述米尔—汤姆松(Milne-Tomson)方法找是非常方便的.由于)(21z z x +=，)(21z z iy -=，)2,2()2,2()(iz z z z iv i z z z z u z f -++-+=， 我们可将这等式看成是两个独立变量z 和z 的形式恒等式，置z z =，有)(z f =)0,()0,(z iv z u +.根据柯西—黎曼方程，y x x x iu u iv u z f -=+=)('，因此，若将x u 和y u 分别记为()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ，则我们有=)('z f ()y x ,1ϕ+()y x ,2ϕ)0,()0,(21z i z ϕϕ-=.将上式积分之，我们有c dz z i z z f +-=⎰)}0,()0,({)(21ϕϕ， （1—36）其中c 是个任意常数.类似地，若),(y x u 是给定的，令y v y x =),(1ψ，x v y x =),(2ψ，我们能证明：c dz z i z z f ++=⎰)}0,()0,({)(21ψψ, （1—37）其中c 是个任意常数.例如，设)sin cos (),(y y y x e y x u x -=,则)cos sin cos (1y y y x x e xu x +-=∂∂=ϕ，()y y y y x e y u x cos sin sin 2---=∂∂=ϕ. 因此=)('z f ()1)0,()0,(21+=-z e z i z z ϕϕ，故c ze c dz z e z f z z ++++=⎰)1()(.下面我们将讨论可用调和函数描述的一些物理现象.一、定状态的热传导方程问题我们知道，热通过物体的传导是能量被转移. 在物体内每一点处热能流动的时间比率能用向量来表示. 在一般情况下，这个向量的长度和方向不随点的位置而变化，而且还随时间而改变. 我们仅限于讨论稳定状态问题，即着热流响亮与时间无关. 这样，在物体内的热传导强度就由时间坐标的向量函数给出. 这样的函数通称为向量场.在现在情况下，这个向量场成为热流密度场，记为Q.由于它与复变理论有紧密地联系，我们这里只讨论二维热流问题，这就是说，这向量场中的向量都平行于某一个平面∏，并且在垂直于∏的任何一条直线上所有的点处，这个场中的向量（就大小与方向来说）都是相等的. 显然，在所有的平行于∏的平面内，这个向量场的情形都完全相同，因此，这个向量场可以由位于平面∏内的向量所构成的一个平面向量场来完全表示出来. 说到平面内的一条曲线，是意味着一个柱面，而一个区域是意味着一个柱体. 我们把平面∏看成复平面.现在我们来讨论二维未定热流问题，其边界去面如图1.5所示. 这平板的上下界面被假定是完全绝缘的，没有热量被这绝缘表面所吸收或散发，这平板侧面界面的某部分曲面余热原湘莲（它发出热能），区域的曲面是绝缘的. 热能不可能流进人和绝缘的曲面. 这样，热能密度向量奖杯假定是与任何绝缘边界向切的. 由于假定热源和热沟的性质与坐标轴ξ是无关的，ξ垂直于xy平面，所以，平板内的向量场Q仅依赖于变量x和y. 平板上、下街面的绝缘性保证Q只有沿x轴和y 轴的分量，就是说，Q 有分量),(y x Q x 和),(y x Q y . 于是Q 便可表示成下述复热流密度形式：==),(y x q q ),(y x Q x i +),(y x Q y . （1—38）其中，),(y x Q x 和),(y x Q y 也都是复数iy x z += 的函数. 由此可见，二维热能稳定热传导问题只与复数iy x z +=有关.由于通过任何曲线的热能量f 是单位时间内通过该曲线的热能的流量，则通过微分弧长ds 的微分热流量df 为ds Q df n =， （1—39）其中，n Q 是Q 在ds 的外法线方向上的分量；积分ds Q f C n ⎰= （1—40）表示向量场Q 经过曲线C 的热流量，其中ds 是曲线C 的弧长的微分. 如果用dx 和dy 表示沿曲线C 的微分，则idy dx ds S dz +==0，其中0S 表示切于曲线C 的单位向量. 若用0n 表示垂直于曲线C 的单位向量，则idx dy ds iS ds n -=-=00，于是，dx y x Q dy y x Q ds Q y x n ),(),(-=，所以，（1—40）是可以写成dx y x Q dy y x Q f y Cx ),(),(-=⎰. （1—41） 热流量的面密度，记经过曲线C 的热流量对这闭曲线所围面积A 的比值，当区域A 收缩成点z 时所取的极限值，称为向量场在点z 的散度：ds Q AdivQ C n z C ⎰→=1lim . （1—42） 但是，根据格林(Green)定理，有dxdy yQ x Q ds Q y A x C n )(∂∂+∂∂=⎰⎰⎰. （1—43） 显然yQ x Q divQ y x ∂∂+∂∂=. （1—44） 若在点z 处，0≠divQ ，则称点z 为流源（有时只有在0>divQ 的情形才称为流源，而使0<divQ 的点称为流沟）. 如果在一个区域D 内的每一个点处都有yQ x Q divQ y x ∂∂+∂∂==0. （1—45） 那么便说，向量场Q 在这个区域内是一个管向量. 由上述格林定理可知，向量场Q 在区域D 内是一个管量场的充要条件是，对区域D 内任何若当区域的边界曲线C ,其流量都等于零，即0=⎰ds Q C n. （1—46） 方程（1-45）当且仅当二维稳定热密度向量Q 在既没有热源有没有热沟的地方被满足.我们熟知，热能在一介质中的传导率与在这介质中出现的温差有关，也与产生着温差间的距离有关，也就是说，与温度关于距离的改变率有关. 我们继续假定二维热流的热流向量),(y x Q 有分量x Q 和y Q ，设),(y x ϕ是在可导热介质中的温度，则能说明向量Q 的分量与),(y x ϕ之间成立着下列关系式：x Q ),(y x x k∂∂-=ϕ; （1—47a ） y Q ),(y x yk ∂∂-=ϕ. （1—47b ） 这里k 是一常数，称为热传导系数，它的值与所考虑的介质有关. 方程（1-47a,b ）等价于“Q 是负k 乘以温度),(y x ϕ的梯度”. 温度),(y x ϕ是作为“势函数”，利用方程（1-47a,b ），由它可计算x Q 和y Q . 借助这些关系式，方程（1-45）可写成02222=∂∂-∂∂-y k x k ϕϕ，或者02222=∂∂+∂∂yx ϕϕ. （1—48） 因而，在稳定状态条件下，在没有源和沟的地方，导体内的温度),(y x ϕ是一个调和函数.由于温度),(y x ϕ是一个调和函数，于是，在对应于导体内部的xy 平面的区域内，它被看成某一解析函数的实部. 这解析函数记为)(z Φ,它就是通常所说的复温度. 我们有)(z Φ=),(y x ϕ+i ),(y x ψ. （1—49）这样，复温度)(z Φ的实部就是实际的温度),(y x ϕ. 这复温度的虚部，即),(y x ψ，我们称它为流函数，因为它与在流体中描述质点流动的流线的函数相类似. 称),(y x ϕ=常数的曲线为等势线，称),(y x ψ=常数的曲线为流线，容易证明这两族曲线是互相正交的.借助（1-47a,b ），复热流密度可通过温度改写成：k q -=（x∂∂ϕ+i y ∂∂ϕ）. （1—50） 由于)(z Φ是一个解析函数，则=Φdz d x ∂∂ϕ+i y ∂∂ψ，-=∂∂x ψy ∂∂ϕ. 于是，我们有=Φ)(dz d x∂∂ϕ+i y ∂∂ϕ， （1—51） k q -=)(dz d Φ. （1—52）二、流体流动问题由于应用于热传导的许多概念可直接搬到流体力学中来，因此，关于这个问题我们能描述得较简略一些.假设我们讨论的是“理想流体”，就是说它是不可压缩的（它的质量密度是不改变的）和没有粘性的（没有内部摩擦的损耗）. 并且，我们假定流动是处于稳定状态的，即流体内任何一点的流动速度与时间是无关的. 像热的流动一样，流体流动从流源开始，到流沟终止.若一不可渗漏的坚固的障碍物置于运动的物体中，这是流体将沿物体的切线方向运动，很像热沿平行于绝缘边界的流动. 上一段中，我们仅限于讨论二维热流，热的传导是平行于Oxy 平面，且只与变量x 和y 有关. 此地，我们仅限于讨论平行于Oxy 平面的二位热流. 流动速度V 是向量场，一般依赖于坐标x 和y ，它类似于热流密度Q . V 沿x 轴和y 轴的分量是x V 和y V . 速度V 是下述定义的复速度联系在一起的向量：),(),(y x iV y x V v y x +=. （1—53） 这式子与复热流密度=q ),(y x Q x i +),(y x Q y 相似.设C 是一条位于流体流动区域的曲线，积分dy V dx V ds V y C x C t +==Γ⎰⎰ （1—54）叫做向量V 沿曲线的线积分，其中，t V 是V 在曲线C 的切线方向的投影. 称沿着一条闭曲线C 的积分为环量. 环量的面密度，即沿闭曲线C 的环量对这曲线所谓面积A 的比值,当A 趋于一点时所取得极限值，叫做这向量场在点z 处的旋度或涡量：ds V A rotV C t zC ⎰→=1lim ； （1—55） 显然 yV x V rotV x y∂∂-∂∂=. （1—56） 向量场中使0≠rotV 的点，叫做这向量场的涡旋点，或者简称为涡点. 如果在区域D 内每一点处都有0=∂∂-∂∂=yV x V rotV x y（1-57） 的话，那么便说，向量场在这一区域内事无旋场，或者是位场. 由格林定理⎰⎰⎰=D C t rotVdxdy ds V （1-58）可知，区域D 是位场的充要条件是对D 内任何若当区域的边界曲线C 的环量都等于零.是向量场是一个位场的条件（1-57）说明了表达式dy V dx V y x +是某一个函数),(y x ϕ的微分，这个函数叫做向量场的势函数，或者叫位能. 从关系式dy V dx V y x +ϕd =中可以得出x V x ∂∂=ϕ， （1-59a ） yV y ∂∂=ϕ， （1-59b ） 或者，完全同样，可以说，速度是速度势的梯度，即ϕgrad V =.如果向量场V 在某一个区域D 内是一个管向量，则在区域D 内的每一点处都有0=∂∂+∂∂=yV x V divV x y, （1-60） 即在区域D 内二维稳定速度向量V 既没有流源也没有流沟.借助关系式（1-59a,b ），方程(1-60)可写成02222=∂∂+∂∂yx ϕϕ, （1-61） 这说明，对二维稳定速度场V ，再没有源流和没有涡点的地方，速度势),(y x ϕ是一个调和函数.现在我们确定一个解析函数，其实部为),(y x ϕ，其虚部),(y x ψ，称为流函数. 这样)(z Φ=),(y x ϕ+i ),(y x ψ （1-62）称为复势.复势与流动速度之间有简单的关系. 从方程（1-62）、（1-59a,b ）和（1-53），我们有=+=y x iV V v )(dzd Φ. （1-63）三、静电场问题在静电学中，电荷是稳定的，正电荷为电流的源，负电荷为电流动的沟. 换句话说，电的流动从正电荷出发，而被负电荷所吸收.我们讨论Oxy 平面的静电场. 设D 是电流密度向量，E 是电场向量，它们在x 轴和y 轴的分量分别是x D 和y D ，x E 和 y E ，它们分别对应于下述复变函数：()()(),,,y x iD y x D z d y x += （1-64a ）()()(),,,y x iE y x E z e y x += （1-64b ）函数()z d ，()z e 分别称为复电流密度和复电场，且E D ε=. 这里ε是正常数，称为介电常数. 线积分⎰=Γds E c c 表示静电场的力沿着路线 所作的功，其中 表示向量 在曲线 的切线方向的投影. 向量 E 的沿着任何一条闭路线的环量都等于零，因为静电场的维持并不需要耗费能量. 事实上，假如沿着某一条闭曲线 的环量不等于零，那么，朝一定的方向绕行这路线无限多次，我们便会得到一个无限的能源（永动机）了. 由此可知，在静电场内的任何一点处都有0=∂∂-∂∂=yE x E rotE x y. （1-65） 因此，静电场总是一个位场，这就是说，存在一个单值函数()y x ,φ，使得xE x ∂∂-=ϕ， y E y ∂∂-=ϕ； （1-66a ） x D x ∂∂-=ϕε， y D y ∂∂-=ϕε， （1-66b ） 其中称()y x ,φ为静电场的电位.如果在区域 D 内没有电荷，那么在 D 内处处有0=∂∂+∂∂=yE x E divE y x . （1-67） 借助关系式（1-66），方程（1-67）可写成02222=∂∂+∂∂y x ϕϕ. （1-68） 这说明，对二维稳定静电场，在没有电荷的区域内，电位()y x ,ϕ是一个调和函数. 在这区域内，存在一个解析函数()Z Φ，其实部为()y x ,ϕ；。

1.2空间向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（）A ．()12c a b --B ．()12b ac --C ．()12a cb --D ．()12c a b ++【答案】A【分析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】()11122212MN ON OM OC OA O b B c a ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎭-⎝.故选：A2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c-+B ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122-++a b c【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D3．（2022·全国·高二）已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（）A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面故选：D4．（2022·江苏·高二课时练习）设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,p a b q a b =+=-构成空间的另一个基底的向量是()A ．aB ．bC ．cD ．a 或b【答案】C【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【详解】解：由题意和空间向量的共面定理，结合()()2p q a b a b a +=++-=，得a 与p 、q 是共面向量，同理b 与p 、q 是共面向量，所以a 与b 不能与p 、q 构成空间的一个基底；又c 与a 和b 不共面，所以c 与p 、q 构成空间的一个基底．故选：C ．5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（）A ．11122AM AB AD AA =++B ．11122AQ AB AD AA =++C ．1113444AQ AB AD AA =++D ．1114555AQ AB AD AA =++【答案】D【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为1CM MD =，所以11112111()222CD DD AB CM A CD A =+=-+=，所以AM AB BC CM =++11122AB AD AB AA =+-+11122AB AD AA =++，所以A 错误因为14CQ QA =，所以1114444()554555CB BA AA AB AD A C A Q CA =++=-=-+，所以AQ AB BC CQ =++1444555AB AD AB AD AA =+--+1114555AB AD AA =++,故选：D6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可【详解】111111244244OE a b OA OB OC =++=++uu u r r r ruu r uu ur uuu r ，其中E 为中点，有1122OE OA OD =+，故可知1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r ，则知D 为BC 的中点，故点D 满足12BD BC =，12λ=．故选：A7．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c-+D ．1162a b c--+【答案】D【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD =，12DN DP =，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量．【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP =++=-+=-+-=--+即1162MN a b =--+故选：D ．二、多选题8．（2022·全国·高二）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c +r r，b ，b c-r r B ．a ，a b +，a b -C ．a b +，a b -，c D ．a b +，a b c ++，c【答案】ABD【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.【详解】对于A ，因为()()12b c b b c ⎡⎤=+⎣⎦+-，故b c+，b ，b c -共面；对于B ，因为()()12a b a a b ⎡⎤=+⎣⎦+-，故a ，a b +，a b -共面；对于D ，因为()c a b c a b =++-+，故a b +，a b c ++，c 共面；对于C ，若a b +，a b -，c 共面，则存在实数,λμ，使得：，()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，故,,a b c 共面，这与{},,a b c 构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD9．（2022·江苏南通·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面C ．对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++D ．若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底【答案】AD【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.【解答】解：a ，b ，c 是空间的三个单位向量，由//a b ，//b c ，则//a c ，故A 正确；a ，b ，c 两两共面，但是a ，b ，c 不一定共面，a ，b ，c 可能两两垂直，故B 错误；由空间向量基本定理，可知只有当a ，b ，c 不共面，才能作为基底，才能得到p xa yb zc =++，故C 错误；若{}a b c ，，是空间的一组基底，则a ，b ，c 不共面，可知{}a b b c c a +++，，也不共面，所以{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底，故D 正确．故选：AD.10．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角【答案】ABC【分析】对于A ，根据共线向量的概念理解判断；对于B ：根据OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r且1x y z ++=⇔P ，A ，B ，C 四点共面，分析判断；对于C ：基底向量的定义{},,a b c 是空间的一个基底,,a b c ⇔不共面，分析判断；对于D ：根据数量积的定义可得cos ,0a b <，结合向量夹角的范围分析判断．【详解】对于A ，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++因为1111632++=，根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；对于C ，由于{},,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b c 不共面∵m a c =+，则,,a c m 共面∴可得向量,,a b m 不共面，所以{},,a b m 也是空间的一个基底，所以C 正确；对于D ，若cos ,0⋅=<a b a b a b ，即cos ,0a b <，又[],0,π∈a b ，所以π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以D 不正确．故选：ABC ．11．（2022·江苏·高二阶段练习）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c ，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅【答案】ABC【分析】A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空间基底的定义判断；D.根据()a b c ⋅⋅与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线判断.【详解】A.空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则,90=a b ，所以0a b ⋅=，故正确；B.若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C四点共面，故正确；C.因为{},,a b c 是空间的一组基底,所以,,a b c 不共面，则,,a b a c +r r r r也不共面，又m a c =+，所以,,a b m 不共面，则{,,}a b m 也是空间的一组基底，故正确；D.因为()a b c ⋅⋅与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，又a ，b ，c 是任意向量，所以()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等，故错误；故选：ABC 三、填空题12．（2022·全国·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AE xAB y AD z AA =++，则x y z ++=___________.【答案】2【分析】根据向量线性运算，利用1,,AB AD AA 表示出A E ，由此可得,,x y z 的值.【详解】()()11111111111111222AE AA A E AA A C AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++11122AB AD AA =++，12x ∴=，12y =，1z =，2x y z ∴++=.故答案为：2.13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）【答案】1122a b c-++【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA A C AB AA AB BC =++=-++=-+++11122AB BC AA =-++=1122a b c -++.故答案为：1122a b c -++.14．（2022·全国·高二）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r ，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r___________.【答案】1231122e e e +-ur u r u r 【分析】先求出()12AE AB AC =+，再由DE DA AE =+求解即可.【详解】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=，所以1231122DE DA AE e e e uuu r uu u r uu u r u r u r u r=+=+-.故答案为：1231122e e e +-ur u r u r .四、解答题15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a =，AC b =，AD c =uuu r r，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．【答案】()122DM a b c =+-【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【详解】∵M 为BC 的中点，∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+-.16．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记a AB =，b AD =，1c AA =．试用a ，b ，c 表示1D P ．【答案】123D P a c=--【分析】利用空间向量的线性运算，即可用a ，b ，c 表示1D P .【详解】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，所以111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭.17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．【答案】(1)1AC uuu r；(2)12α=，14b =，34γ=.【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得1113244AB A MN AA D =++，进而即得.(1)∵1111ABCD A B C D -是平行六面体，∴1111111AA BC AB AA B C A B AC ++=++=(2)∵MN =MB BN +11324DB BC =+()()11324AB AD AA AD =-++1113244AB AD AA =++，又1MN AB AD AA αβγ=++，∴12α=，14b =，34γ=.【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（）A ．1122-+a b cB ．1122a b c+-C ．1122a b c-++D ．1122--+a b c【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量1MB ，即得答案.【详解】111111()22MB MB BB DB AA AB AD AA =+=+=-+1122a b c =-+,故选;A2．（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，真命题的是（）．A ．a b a b -=+是a 、b 共线的充要条件B ．若a b ∥，则存在唯一的实数λ，使a bλ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若a 、b 、c 是不共面的向量，则a b +、b c +、c a +的线性组合可以表示空间中的所有向量【答案】D【分析】根据模的性质、向量共线定理、空间向量共面定理、空间向量基本定理判断各选项．【详解】A ．若a 、b 不共线，则向量加法的三角形法则有a b a b -<+，但当a 、b 同向时，也有a b a b -<+，因此a b a b -=+是a 、b 共线的充分不充要条件，A 错；B ．若a b ∥，当0b =时，不存在唯一的实数λ，使a b λ=，B 错；C ．因为A 、B 、C 三点不共线，则,CA CB 不共线，若,,,P A B C 四点共面，则存在唯一的一组实数,x y 使得CP xCA yCB =+，即()()OP OC x OA OC y OB OC -=-+-，变形得(1)OP xOA yOB x y OC =++--，而当由22OP OA OB OC =--时，22111--=-≠，所以,,,P A B C 不共面，C 错；D ．若a 、b 、c 是不共面的向量，则a b +、b c +、c a +也是不共面的向量，否则若a b +、b c +、c a +，则存在实数,x y ，使得a b +()(x b c y =++)c a +，即(1)(1)()y a x b x y c -=-++，1,1,x y x y --+中至少有一个不等于0，若10y -≠，则111x x ya b c y y-+=+--，因此a 、b 、c 共面，与已知矛盾，10x -≠或0x y +≠同样得出矛盾，所以a b +、b c +、c a +也是不共面，由空间向量基本定理，可能用它们表示出空间任意向量．D 正确．故选：D ．3．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.【详解】若DE //平面ABC ，则,DE AB AC ,共面，故存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+.若存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+，则DE ，AB ，AC 共面则DE //平面ABC 或DE ⊂平面ABC.所以“DE //平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的充分而不必要条件.故选：A.4．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥A BCD -中，P 为BCD △内一点，若1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，则AP =（）A ．111362AB AC AD++B ．111263AB AC AD ++C ．111326AB AC AD++D ．111632AB AC AD ++【答案】C【分析】延长PB 到1B ，使得12PB PB =，延长PC 到1C ，使得13PC PC =，连接1DB ，1B C ，1C D ，根据1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，得到P 是11B C D 的重心求解.【详解】延长PB 到1B ，使得12PB PB =，延长PC 到1C ，使得13PC PC =，连接1DB ，1B C ，1C D ，如图所示：因为1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，所以1111PB C PC D PB D S S S ==△△△，所以P 是11B C D 的重心，所以110++=PD PB PC ，即230++=PD PB PC ，所以2()3()0-+-+-=AD AP AB AP AC AP ，整理得111326AP AB AC AD =++．故选：C5．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（）A ．123122a b c-+B ．122132a b c-++C ．122121a b c+-D ．211322a b c--【答案】D【分析】由空间四边形各棱的位置关系，结合空间向量加减、数乘的几何意义，用,,OA OB OC 表示NM 即可得结果.【详解】由题图，1()2NM AM AB AC =-+，而AB OB OA =-，AC OC OA =-，13MA OA =，所以1211211()232332122NM OB OA OC OA OA OB OC O a b c A =---+-=--=--.故选：D 二、多选题6．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r【答案】ABC【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A ；由向量四点共面的条件可判断B ；由空间向量基底的定义可判断C ；a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，可判断D.【详解】空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥r r，则0a b ⋅=，故A 正确；对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，m a c =+，则,,+a b a c 也不共面，即{},,a b m 也是空间的一组基底，故C 正确；任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r，由于a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，则说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D 错误.故选：ABC.7．（2022·浙江宁波·高二期末）若OA ，OB ，OC 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（）A ．θ的取值范围是()0,πB ．{},,OA AB BC 能构成空间的一个基底C ．“2OP OA OB OC =-+”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件D ．()0OA OB OC BC ++⋅=【答案】BD【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】因OA ，OB ，OC 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则三棱锥O ABC -是侧棱长为1的正三棱锥，如图，作OO '⊥平面ABC 于点O '，连接,,O A O B O C '''，则(0,1)O A O B O C r '''===∈，23AO B BO C CO A π'''∠=∠=∠=，BC ，BOC 中，由余弦定理得22221131cos 1(,1)21122BC r θ+-==-∈-⨯⨯，于是得2(0,)3πθ∈，A 不正确；因OA ，OB ，OC 是不共面的，由空间向量基底的意义知，B 正确；假定P ，A ，B ，C 四点共面，依题意，存在唯一实数对(,)x y 使得BP xBA yBC =+，即(1)OP xOA x y OB yOC =+--+，而2OP OA OB OC =-+，由空间向量基本定理知2111x x y y =⎧⎪--=-⎨⎪=⎩，此方程组无解，则有P ，A ，B ，C 四点不共面，“2OP OA OB OC =-+”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的不充分不必要条件，C 不正确；22()()()OA OB OC BC OA OB OC OC OB OA OC OA OB OC OB ++⋅=++⋅-=⋅-⋅+-cos cos 110θθ=-+-=，D 正确.故选：BD8．（2021·全国·高二期中）在四面体P ABC -中，以下说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD =B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN =u u u u rD ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=【答案】ABD【分析】A ：令BD BC λ=，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求,,AD AB AC 之间含λ的线性关系，结合已知即可求λ；B ：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求,,,PQ PA PB PC 的线性关系；C ：由正四面体性质求MN 的长度即可；D ：由题设有0PA BC PC AB ⋅+⋅=，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论.【详解】A ：由1233AD AC AB =+，则D 在线段BC 上，又A AB BD D =+，若BD BC λ=，则AD AB BC λ=+，又BC AC AB =-，故(1)AD AB AC λλ=-+，所以13λ=，即3BC BD =，正确；B ：若D 为AB 的中点，2PA PB PD +=，又PD PQ QD -=，而6CA CB QD +=，所以112()66PA PB PQ CA CB +=++，又,CA PA PC CB PB PC =-=-，则112()()33PA PB PQ PA PC PB PC +=+-+-，整理得111333PQ PA PB PC =++，正确；C ：由题设知：PN AN ==，即MN PA ⊥，且1PM AM ==，故MN =D ：若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则()()0PA BC PC AB PC CA BA AC PC AB ⋅+⋅=+⋅++⋅=，又PC PB BC =+，所以()()()0PB BC CA BA AC PB BC AB ++⋅+++⋅=，整理得PB BA PB AC BC BA ⋅+⋅+⋅()BC BA AC CA AC +-⋅+⋅0PB AB BC AB +⋅+⋅=，故0PB AC ⋅=，正确.故选：ABD 三、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）已知123,,e e e 是空间单位向量，12233113e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若空间向量a 满足()120,0a xe ye x y =+>>，4a =，则3a e ⋅的最大值是_______.【分析】由4a =列方程，利用已知条件化简3a e ⋅，结合基本不等式求得3a e ⋅的最大值.【详解】依题意123,,e e e 是空间单位向量，且()120,0a xe ye x y =+>>，12xe ye a +=4==，222163x xy y ++=，()()3123132313a e xe ye e xe e ye e x y ⋅=+⋅=⋅+⋅=+，()()()22222224421633323x y x y xy x y xy x y x y +⎛⎫=++=+-≥+-⨯=+ ⎪⎝⎭，当且仅当x y ==所以()224,x y x y +≤+≤，所以()311333a e x y ⋅=+≤⨯=.故答案为：310．（2021·全国·高二课时练习）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =______【答案】215326a b c-++【分析】()()111123AG AO OG AB AD OD OC =+=+++()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦，由此能求出结果.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，∴AG AO OG =+()()111123AB AD OD OC =+++()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦()()()11111=26363b c b c a b c a ++-+-++-215326a b c =++-.故答案为：215326a b c -++.【点睛】本题考查向量的求法，空间向量加法法则等基础知识的考查，属于中档题.四、解答题11．（2022·全国·高二课时练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点．(1)设AB a =，AD b =，1AA c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ；(2)设1AB a =，1AD b =，AC c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ．【答案】(1)112b E c A a =+-；(2)1315444a b cA E =--+【分析】（1）根据向量加法运算求解即可；（2）由题知1111AA AD AD b AD AB AC cAA AB AB a⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩，进而得1111222a b c AA =+-，111222B a c b A +-=，111222AD b c a =+-，再根据1112A E AA AD AB =-++求解即可.(1)解：如图，根据向量加法法则得：1111212A E A A AD DE AA D AB b a A c =++=-++=+-.(2)解：由（1）得1112A E AA AD AB =-++，因为1111AA AD AD bAD AB AC c AA AB AB a ⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩，所以1111222a b c AA =+-，111222B a c b A +-=，111222AD b c a =+-,所以，111111111111222222222122A E AA AD A a b c b c a a c b B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=-++=⎭⎝⎭⎝-⎭111315444444c a a c b a b c=-++-=--+12．（2022·全国·高二课时练习）A 是BCD △所在平面外一点，G 是BCD △的重心，M 、E 分别是BD 、AG 的中点，点F 在线段AM 上，25AF AM =，判断三点C 、E 、F 是否共线．【答案】C 、E 、F 三点共线【分析】利用空间向量的基本定理和共线向量定理求解.【详解】解：设AD a =，AC b =，AB c =，()11212232CE CG b CM b =-=⋅-，()()1111132322AM b b a c b b ⎡⎤=--=+--⎢⎥⎣⎦，151666a b c =-+，()21115555CF AF b AM b a c b a b c =-=-=+-=-+，因为56CE CF =，所以CE CF ∥，又因为CE 、CF 有公共点C ，所以C 、E 、F 三点共线．13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．【分析】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量AF AE ，，根据向量间的倍数关系可证明结论；（2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量DF DG ，，根据向量间的倍数关系可证明结论；(1)由题意，12C C EC =，13AC FC =，故11111122()33AF AA A F AA A C AA AB AD AA =+=+=++-1122121()33332AB AD AA AB AD AA =++=++,111122AE AC CE AB AD CC AB AD AA =+=++=++,故23AF AE =，由于,AF AE 有公共点A ，故A 、F 、E 三点共线；(2)由题意，点G 是平行四边形11B BCC 的中心，故1111()33DF DC CF AB A C AB AB AD AA =+=-=-+-11211211333322AB AD AA AB AD AA =-+==-+（），1111()22DG DC CG AB CB AB AA AD =+=+=+-故23DF DG =,因为DF DG ，有公共点D ，故D 、F 、G 三点共线．。

河北武邑中学0018—2019学年上学期高二第一次月考物理试题一、选择题1.两个不规则的带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则( )A. 场强大小关系有B. 电势大小关系有C. 将一负电荷放在d点时其电势能为负值D. 将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做负功【答案】B【解析】【分析】根据电场线的疏密程度判断电场强度的大小；根据沿着电场线，电势逐渐降低来判断电势的高低；正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，根据电势能的变化判断电场力做功情况.【详解】A、由电场线越密的地方，电场强度越大，由图可得c点的电场线密，所以有，故A错误；B、沿着电场线，电势逐渐降低，b点所处的电场线位于右侧导体的前面，即b点的电势比右侧的导体高，而d点紧靠右侧导体的表面，电势与导体的电势几乎相等，故b点电势高于d点的电势，故B正确；C、电势能的正负与0势能点的选择有关，该题以无穷远为零电势点，所以说负电荷放在d 点时其电势能为正值，故C错误；D、从图中可以看出，a点的电势高于b点的电势，而b点的电势又高于d点的电势，所以a 点的电势高于d点的电势；正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，故正检验电荷从a点移到d点的过程中，电势能减小，则电场力做正功，故D错误；故选B。

2.两个相同的金属小球(可看作点电荷),带有同种电荷,且电荷量之比为1:7,在真空中相距为r,两者相互接触后再放回原来的位置上,则它们之间的库仑力是原来的( )A. 7B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：接触前，根据库仑定律可得，接触后，根据平均分配原则，两小球带电量为，所以接触后库仑力为，选项D正确。

考点：考查了库仑定律的应用3.如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A 的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（）A. 重力做功2mgRB. 机械能减少mgRC. 合外力做功mgRD. 克服摩擦力做功mgR【答案】D【解析】【详解】A：小球从P到B的运动过程，小球下降的距离是R，此过程中重力做功。

2019年度上学期高二12月段考物理试题一、选择题1. 静电在我们生活中应用很广泛，下列不属于静电应用的是（）A. 利用静电把空气电离，除去烟气中的粉尘B. 利用静电吸附，将涂料微粒均匀地喷涂在接地金属物体上C. 利用放电产生的臭氧，进行杀菌D. 利用运油车尾部的铁链将油与油罐摩擦产生的静电导走【答案】C【解析】试题分析：静电在我们生活中应用很广泛，如静电除尘、静电喷涂、静电杀菌等；运油车尾部的铁链将油与油筒摩擦产生的静电导走是对静电的危害的有效防止；故选ABC考点：静电的防止与应用点评：容易题。

牢记生活中静电的防止和应用，避免它给人们造成的伤害，利用它为人类造福。

2. 在如图所示的四种电场中,分别标记有a、b 两点. 其中a、b 两点电场强度大小相等、方向相同且电势相等的是（）A. 甲图中与点电荷等距的a、b 两点B. 乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b 两点C. 丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b 两点D. 丁图中非匀强电场中的a、b 两点【答案】B【解析】甲图中a、b两点的电场强度大小相同，但方向不在同一条直线上，A错误；乙图中a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，B错误；丙图中a、b两点的电场强度大小相等，方向相反，C正确；丁图中由于电场线疏密程度不同，所以电场方向相同，但大小不同，D错误．3. 下列说法中正确的是（）A. 匀强电场中两点间的电势差等于场强与这两点间的距离的乘积B. 电源电动势反映了电源把其他形式的能量转化为电能的本领C. 通过导体横截面的电荷量越多，导体中的电流越大D. 空间中任一点的电场强度总是指向该点电势降落的方向【答案】B【解析】A、根据公式U=Ed可知，两点间的电势差等于场强和这两点间在电场线方向上距离的乘积，故A错误；B、电源的电动势反映了电源将其它形式的能转化为电能的本领的大小，故B正确；C、电流的定义为电量与时间的比值，即为单位时间内通过的电量，是由电量与时间共同决定的，电量多电流不一定大，故C错误；D、电势降低最快的方向才是电场强度方向．故D错误故选B。

高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量基本定理同步 练习一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）.①若三个非零向量 a⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 不能构成空间的一个基底，则 a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 共面；②若两个非零向量 a⃗ ， b ⃗ 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a ⃗ ， b ⃗ 共线；③若 a ⃗ ， b ⃗ 是两个不共线的向量，而 c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ （ λ,μ∈R 且 λμ≠0 ），则 {a ,b ⃗ ,c } 构成空间的一个基底.A ．0B ．1C ．2D ．32．（2分）若向量 MA⇀ 、 MB ⇀ 、 MC ⇀ 的起点与终点 M 、 A 、 B 、 C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ O 是空间任一点），则能使向量 MA ⇀ 、 MB ⇀ 、 MC ⇀ 成为空间一组基底的关系是（ ） A ．OM⇀=13OA ⇀+13OB ⇀+13OC ⇀ B ．MA⇀≠MB ⇀+MC ⇀ C ．OM⇀=OA ⇀+OB ⇀+OC ⇀ D ．MA⇀=2MB ⇀−MC ⇀ 3．（2分）设 x ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ,y ⃗ =b ⃗ +c ⃗ ,z ⃗ =c ⃗ +a ⃗ ，且 {a ,b ⃗ ,c } 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ,b ⃗ ,x } ；②{x ,y ,z } ；③{b ⃗ ,c ,z } ；④{x ,y ,a +b ⃗ +c } ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2分）如图，已知 |OA⇀|=|OB ⇀|=1 ， |OC ⇀|=√2 ， tan∠AOB =−43 ， ∠BOC =45° ， OC ⇀=mOA ⇀+nOB ⇀ ，则 m n等于（ ）A ．57B ．75C ．37D ．735．（2分）在棱长为1的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， E,F,G 分别在棱 BB 1,BC,BA 上，且满足 BE ⇀=34BB 1⇀ ， BF ⇀=12BC ⇀ ， BG ⇀=12BA ⇀ ， O 是平面 B 1GF ，平面 ACE 与平面 B 1BDD 1 的一个公共点，设 BO⇀=xBG ⇀+yBF ⇀+zBE ⇀ ，则 x +y +z = （ ） A ． B ． C ．D ．6．（2分）在三棱锥 O −ABC 中，若 D 为 BC 的中点，则 AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7．（2分）如图:在平行六面体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1,B 1D 1 的交点.若 AB ⇀=a ⇀ ， AD ⇀=b ⇀ ， AA 1⇀=c ⇀ ，则向量 BM⇀= （ ）A ．−12a ⇀+12b ⇀+c ⇀B ．12a ⇀+12b ⇀+c ⇀C ．−12a ⇀−12b ⇀+c ⇀ D ．12a ⇀−12b ⇀+c ⇀ 8．（2分）若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，A ，B ，C 四点（ ） A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线二、多选题(共1题；共3分)9．（3分）给出下列命题，其中错误的有（ ）A ．若空间向量 m ⃗⃗⃗ 、 n ⃗ 、 p ⃗ ，满足 m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ， n ⃗ //p ⃗ ，则 m⃗⃗⃗ //n ⃗ B ．若空间向量 m ⃗⃗⃗ 、 n ⃗ 、 p ⃗ ，满足 m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， n ⃗ =p ⃗ ，则 m ⃗⃗⃗ =p ⃗ C ．在空间中，一个基底就是一个基向量D ．任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底三、填空题(共5题；共5分)10．（1分）已知 O 是空间任一点， A,B,C,D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 OA ⇀=2x ⋅BO ⇀+3y ⋅CO⇀+4z ⋅DO ⇀ ，则 2x +3y +4z = . 11．（1分）如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，用 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 作为基向量，则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= .12．（1分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和BC 1相交于点O ，若 DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xDA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zDD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 xy =13．（1分）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →=14OA →+23OB →+λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ=14．（1分）已知A 、B 、C 三点不共线，若点M 与A 、B 、C 四点共面，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：OM →=x OA →+y OB →+13OC →，其中x ，y 是实数，则x+y=四、解答题(共5题；共25分)15．（5分）已知平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′．求证：AC →+AB →+AD →=2AC →． 16．（5分）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′，化简AC′→+D′B →﹣DC →．17．（5分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=3，AA 1=4，∠DAB=90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，E 是CC 1的中点，设AB →=a →,AD →=b →,AA 1→=c →． （1）用a →,b →,c →表示AE →； （2）求AE 的长？18．（5分）如图，设O 是▱ABCD 所在平面外的任一点，已知OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →你能用a →,b →,c →表示OD →吗？若能，用a →,b →,c →表示出OD →；若不能，请说明理由．19．（5分）如图，在空间平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若以AC →，AB 1→，AD 1→为空间的一个基底，用这个基底表示AC 1→．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；②正确；③错误，因为 a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 共面，所以 {a ,b ⃗ ,c } 不能构成基底.故只有①②正确. 故答案为：C.【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。