【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第9章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第8章第4节空间中的平行关系北师大版一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] a∩α＝A时，a⃘α，故①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任一条直线都无公共点，④正确；长方体中的相交直线A1C1与B1D1都与面ABCD平行，所以⑤正确．2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] B[解析] ①由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.④由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，所以AB∥平面MNP.3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，mα，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⃘α，则m∥α[答案] D[解析] 如图(1)，β∥α，mβ，nβ，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A 错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，mα，m∥l，故C错．D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵nα，m⃘α，∴m∥α.4．(文)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C[解析] 若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，A错误；若m∥α，m∥β，则α与β可能平行也可能相交，B错误；若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的性质定理可得n ⊥α，C正确；若m∥α，α⊥β，则m可能在β内可能平行，也可能垂直，D错误．(理)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若b⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[解析] 本题考查了空间线面关系．若α∩β＝m ，l ∥m ，l ⃘α，l ⃘β，则A 错．垂直于同一直线的两平面平行，B 正确．当l ⊥α，l ∥β时α⊥β，C 错，若α⊥β，l ∥α，则l 与β关系不确定，D 错．5．(2015·聊城模拟)设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B ．⎭⎪⎬⎪⎫b β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C ． ⎭⎪⎬⎪⎫b αc ⃘αb ∥c ⇒c ∥α D ． ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α [答案] D[解析] 由a ∥α，b ⊥α可得b 与α的位置关系有：b ∥α，b α，b 与α相交，所以D 不正确．6．(文)设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A 、C 、D 推不出α∥β，只有B 可推出α∥β，且α∥β不一定推出B ， ∴B 项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B ．(理)如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为( )B ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°[答案] C[解析] ∵截面PQMN 为正方形，∴PQ ∥MN ，PQ ∥平面DAC ．又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，PQ 平面ABC ，∴PQ ∥AC ，同理可证QM ∥BD ．故选项A 、B 、D 正确，C 错误．二、填空题7．(文)棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C 、M 、D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．[答案] 92[解析] 由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92. (理)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[答案] 2[解析] 本题考查线面平行．由EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，知EF ∥AC ．所以由E 是中点知EF ＝12AC ＝ 2. 8．(文)在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．[答案] 平面ABC 与平面ABD[解析] 连BN 延长交CD 于点E ，连AM 并延长也与CD 交于E 点(因为E 为CD 中点)，又EMAM＝EN BN ＝12，故MN ∥AB ．所以MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD ． (理)过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．[答案] 6[解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．9．已知平面α∩β＝m ，直线n ∥α，n ∥β，则直线m 、n 的位置关系是________．[答案] m ∥n[解析] 在α内取点A ∉m ，则点A 与n 确定一平面θ，且θ∩α＝A ．同理可作平面γ且γ∩β＝B ．∵n ∥α，n ∥β，∴n ∥a ，n ∥B ．∴a ∥B ．∵a ⃘β，b β，∴a ∥β.∵a α，α∩β＝m ，∴a ∥m ，∴n ∥m .三、解答题10．(2014·某某高考)如图，四棱锥P －ABCD 的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明： GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．[解析] ∵BC ∥平面GEFH ，BC 平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，∴GH ∥BC ．同理可证EF ∥BC ，∴GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于一点O ，BC 交EF 于K ，连接OP 、GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可证PO ⊥BD ，又∵BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，P O ⃘平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH .又∵平面GEFH ∩平面PBD ＝GK ，∴PO ∥GK ，且GK ⊥平面ABCD ，∴GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．∵AB ＝8，EB ＝2，∴EB AB ＝KB DB ＝14，∴KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点， 又∵PO ∥GK ，∴GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4. 又由已知得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6.∴GK ＝3.∴四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.一、选择题1．(文)设m ，l 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ⊥m ，m α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B[解析] 两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B ．(理)已知两条互不重合的直线m 、n ，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β；④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [分析] 本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案] B[解析] 命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．2．(文)已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ [答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．(理)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β[答案] D [解析] ∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ，从而B 一定正确．∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α.∴A B ⃘β，l β.∴AB ∥β.故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立，故D 不一定正确．二、填空题3．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑥ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. 其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．[答案] ①④⑤⑥[解析] ②中a ，b 的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．4．(文)在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .[答案] Q 为CC 1的中点[解析] 当Q 为CC 1的中点时，QB ∥PA ．又D 1B ⃘平面PAO ，Q B ⃘平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO .QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .(理)如图所示，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE EB ＝________.[答案] m n[解析] 如图所示，设AE ＝a ，EB ＝b ，由EF ∥AC 可得EF ＝bm a ＋b . 同理EH ＝an a ＋b .∵EF ＝EH ， ∴bm a ＋b ＝an a ＋b ，于是a b ＝m n. 三、解答题5．(文)如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE[解析] 取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，则FM ∥CD 且FM ＝12CD ．又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM 綊AE ，即四边形AFME 是平行四边形．∴AF ∥ME ，又∵A F ⃘平面PCE ，EM 平面PCE ，∴AF ∥平面PCE .(理)如图，已知α∥β，异面直线AB ，CD 和平面α，β分别交于A ，B ，C ，D 四点，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：(1)E ，F ，G ，H 共面；(2)平面EFGH ∥平面α.[解析] (1)∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 綊12BD ．同理，FG 綊12BD ，∴FG 綊EH . ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴E ，F ，G ，H 共面．(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′.∵α∥β，∴AD ′∥BD ．又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，同理，EF ∥平面α，又EH ∩EF ＝E ，EH 平面EFGH ，EF 平面EFGH ，∴平面EFGH ∥平面α.6．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．[解析] (1)由题设知，BB 1綊DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又B D ⃘平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C ．又A 1B ⃘平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2， ∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1， ∴V 三棱柱ABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.。

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第1章 第1节 集合 新人教A 版一、选择题1．(文)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y|y ＝cosx ，x ∈A}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}[答案] B[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}，∴A ∩B ＝{1}．(理)(2013·某某某某一模)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y|y ＝ex ，x ∈A}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}[答案] B[解析] ∵x ∈A ，∴B ＝{1e ，1，e}，∴A ∩B ＝{1}．故选B ．2．(文)已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U(A ∪B)＝( )A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8}[答案] A[解析] ∵A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， ∴∁U(A ∪B)＝{6,8}．(理)(2014·乌鲁木齐地区三诊)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,3,4}，集合B ＝{2,4}，则(∁UA)∪B 为( )A ．{2,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,4,5}[答案] A[解析] ∁UA ＝{2,5}，∴(∁UA)∪B ＝{2,4,5}．3．设集合A ＝{x|y ＝3x －x2}，B ＝{y|y ＝2x ，x>1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞)D ．[1,3][答案] B[解析] 由3x －x2≥0得，0≤x≤3，∴A ＝[0,3]，∵x>1，∴y ＝2x>2，∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∩B ＝(2,3]．4．已知集合P ＝{3，log2a}，Q ＝{a ，b}，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q 等于( )A ．{3,0}B ．{3,0,1}C ．{3,0,2}D ．{3,0,1,2}[答案] B[解析] 根据题意P ∩Q ＝{0}，所以log2a ＝0，解得a ＝1从而b ＝0，可得P ∪Q ＝{3,0,1}，故选B ．5．(2014·某某大学附中月考)设A ＝{1,4,2x}，若B ＝{1，x2}，若B ⊆A ，则x 的值为( )A ．0B ．－2C ．0或－2D ．0或±2[答案] C[解析] 当x2＝4时，x ＝±2，若x ＝2，则不满足集合中的元素的互异性，∴x≠2；若x ＝－2，则A ＝{1,4，－4}，B ＝{1,4}，满足题意，当x2＝2x 时，x ＝0或2(舍去)，x ＝0满足题意，∴x ＝0或－2.6．(文)(2013·某某潍坊一模)已知R 为全集，A ＝{x|(1－x)·(x ＋2)≤0}，则∁RA ＝( )A ．{x|x<－2，或x>1}B ．{x|x≤－2，或x≥1}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|－2≤x≤1}[答案] C[解析] ∵(1－x)(x ＋2)≤0，即(x －1)(x ＋2)≥0，∴x≤－2或x≥1.∴A ＝{x|x≤－2，或x≥1}．∴∁RA ＝{x|－2<x<1}，故选C ．(理)(2013·某某某某一模)已知集合A ＝{x|x2－2x≤0}，B ＝{x|x≥a}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)[答案] B[解析] 易知A ＝{x|0≤x≤2}．∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，∴a ∈(－∞，0]，故选B ．二、填空题7．(文)已知集合A ＝{(x ，y)|x 、y 为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x 、y 为实数，且y ＝－x ＋1}，则A ∩B 的元素个数为________．[答案] 2[解析] 集合A 表示圆x2＋y2＝1上的所有的点，集合B 表示直线y ＝－x ＋1上的所有的点，故A ∩B 表示圆与直线的交点．由于直线与圆相交，故这样的点有两个．(理)已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A ∩B ＝________.[答案] {(0,1)，(－1,2)}[解析] A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由集合A 中落在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，将A 中点的坐标代入直线方程检验知，A ∩B ＝{(0,1)，(－1,2)}．8．(2014·某某市调研)设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则集合B 中有________个元素．[答案] 6[解析] ∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，所以x ＝2,3,4,5,6,8，∴B 中有6个元素．9．(文)若A ＝{x|22x －1≤14}，B ＝{x|log 116x≥12}，实数集R 为全集，则(∁RA)∩B ＝________.[答案] {x|0<x≤14}[解析] 由22x －1≤14得，x≤－12，由log 116x≥12得，0<x≤14，∴(∁RA)∩B ＝{x|x>－12}∩{x|0<x≤14}＝{x |0<x≤14}．(理)已知全集U ＝R ，函数y ＝1x2－4的定义域为M ，N ＝{x|log2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是________．[答案] (－∞，－2)∪[3，＋∞)[分析] 将阴影部分用已知集合表示是关键．[解析] ∵M ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，N ＝(1,3)．阴影部分为(∁UN)∩M.∴∁UN ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．(∁UN)∩M ＝(－∞，－2)∪[3，＋∞)．三、解答题10．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值X 围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值X 围．[解析] 集合A 是方程ax2－3x ＋2＝0在实数X 围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧ a≠0，Δ＝－32－8a<0，∴a>98，即实数a 的取值X 围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素23；当a≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43，∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a≥98，即a 的取值X 围是{a|a ＝0或a≥98}．一、选择题11．(文)已知A 、B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁UB)∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}[答案] D[解析] 由题意知，A 中有3和9，若A 中有7或5，则∁UB 中无7和5，即B 中有7或5，则与A ∩B ＝{3}矛盾，故选D ．(理)已知M ＝{y|y ＝x2}，N ＝{y|x2＋y2＝2}，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)，(－1,1)}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0，2][答案] D [解析] ∵M ＝[0，＋∞)，N ＝[－2，2]，∴M ∩N ＝[0，2]，故选D ．[点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集．12．(文)设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 与B 的运算：A*B ＝{x|x ∈A 或x ∈B ，且x ∉(A ∩B)}，则(A*B)*A 等于( )A ．AB ．BC ．(∁UA)∩BD ．A ∩(∁UB)[答案] B[分析] 本题考查对集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B 所表示的部分，再画出(A*B)*A 表示的部分．[解析] 画一个一般情况的Venn 图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A 表示集合B ． (理)(2013·某某一模)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A×B ＝{x|x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B}，已知A ＝{x|y ＝2x －x2}，B ＝{y|y ＝2x ，x>0}，则A×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪(2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2][答案] A[解析] 由2x －x2≥0解得0≤x≤2，则A ＝[0,2]．又B ＝{y|y ＝2x ，x>0}＝(1，＋∞)，∴A×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)，故选A ．13．(2014·某某质检)设集合A ＝{x|x24＋3y24＝1}，B ＝{y|y ＝x2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)}[答案] B[解析] A ＝{x|－2≤x≤2}，B ＝{y|y≥0}，∴A ∩B ＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．14．(文)(2014·某某八校第二次联考)设集合A ＝{x|x2－(a ＋3)x ＋3a ＝0}，B ＝{x|x2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为( )A ．{0}B ．{0,3}C ．{1,3,4}D ．{0,1,3,4}[答案] D[解析] 由题意，若a≠3，则A ＝{3，a}，B ＝{1,4}．∵1＋3＋4＝8，∴a ＝0,1或4.若a ＝3，则A ＝{3}满足题意，故a 的取值集合为{0,1,3,4}．(理)(2014·顺义第一次统考)设数集M 同时满足条件：①M 中不含元素－1,0,1；②若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M. 则下列结论正确的是( )A ．集合M 中至多有2个元素B ．集合M 中至多有3个元素C ．集合M 中有且仅有4个元素D ．集合M 中有无穷多个元素[答案] C[解析] 由条件②可知，若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M ，则1＋1＋a 1－a 1－1＋a 1－a＝－1a ∈M ，1－1a 1＋1a ＝a －1a ＋1∈M ， 则1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝2a 2＝a ∈M ； 由条件①可知a 、1＋a 1－a 、－1a 、1－a 1＋a 互不相等，故集合M ＝{a ，1＋a 1－a ，－1a ，1－a 1＋a}，有且仅有4个元素．二、填空题15．(文)(2013·某某模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.[答案] 1[解析] ∵3∈B ，又a2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.(理)已知集合A ＝{0,2，a2}，B ＝{1，a}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．[答案] 2[解析] ∵A ∪B ＝{0,1,2,4}，∴a ＝4或a2＝4，若a ＝4，则a2＝16，但16∉A ∪B ， ∴a2＝4，∴a ＝±2，又－2∉A ∪B ，∴a ＝2.16．(文)已知集合A ＝{x|x≤a}，B ＝{x|1≤x≤2}，且A ∪(∁RB)＝R ，则实数a 的取值X 围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] ∵∁RB ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A ∪(∁RB)＝R ，∴{x|1≤x≤2}⊆A ，∴a≥2.(理)(2014·某某模拟)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x|mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为________．[答案] 0或2或3[解析] 当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m≠0时，由B ＝{6m }⊆{2,3}可得6m ＝2或6m ＝3，解得m ＝3或m ＝2，综上可得实数m ＝0或2或3.三、解答题17．(文)(2014·某某模拟)已知集合A ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋a2－1＝0}，B ＝{x|x2＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，某某数a 的取值X 围．[分析] 由A ∪B ＝B ，可以得出A ⊆B ，而A ⊆B 中含有特例A ＝∅，应注意．[解析] 由x2＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ，(1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a2－1)＜0，得a ＜－1.(2)若A≠∅，则0∈A 或－4∈A ，当0∈A 时，得a ＝±1；当－4∈A ，得a ＝1或a ＝7；但当a ＝7时A ＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a 的取值X 围是：a≤－1或a ＝1.(理)(2014·某某模拟)已知集合A ＝{x|x2－6x ＋8<0}，B ＝{x|(x －a)·(x －3a)<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x|3<x<4}，求a 的取值X 围．[解析] ∵A ＝{x|x2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x|2<x<4}．(1)当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a≤23a≥4⇒43≤a≤2，当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}．要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 3a≤2a≥4不等式组无解，即不存在符合条件的a ， ∴综上可知，当A ⊆B 时，a 的取值X 围是43≤a≤2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，若A ∩B ＝∅，则a≥4或3a≤2，∴0<a≤23或a≥4；当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}，若A ∩B ＝∅，则a≤2或a≥43，∴a<0；验证知当a ＝0时也成立．综上所述，a≤23或a≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x|3<x<4}，显然a>0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x|3<x<9}，而A ∩B ＝{x|3<x<4}，故所求a 的值为3.18．(文)(2013·某某模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x|(x ＋3)2≤0}，N ＝{x|x2＋x －6＝0}．(1)求(∁IM)∩N ；(2)记集合A ＝(∁IM)∩N ，已知集合B ＝{x|a －1≤x≤5－a ，a ∈R}，若B ∪A ＝A ，某某数a 的取值X 围．[解析] (1)∵M ＝{x|(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x|x2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁IM ＝{x|x ∈R 且x≠－3}，∴(∁IM)∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁IM)∩N ＝{2}，∵B ∪A ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a>3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3. 综上所述，所求a 的取值X 围是{a|a≥3}．(理)设集合A ＝{(x ，y)|y ＝2x －1，x ∈N*}，B ＝{(x ，y)|y ＝ax2－ax ＋a ，x ∈N*}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A ∩B≠∅，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax2－ax ＋a ，有正整数解，消去y 得， ax2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0.(*)由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a(a ＋1)≥0， 解得－233≤a≤233.因a 为非零整数，∴a ＝±1，当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1，而x ∈N*.故a≠－1.当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意．故存在a ＝1，使得A ∩B≠∅，此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}．。

第十章 第六节一、选择题1．(2013·哈尔滨模拟)如图所示，在A ，B 间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A ，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )A ．9种B ．11种C ．13种D ．15种[答案] C[解析] 有一个点脱落时有2种，有两个点脱落时有C 24＝6种，有三个点脱落时有C 34＝4种，四个点都脱落时有1种，共有2＋6＋4＋1＝13种．2．一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续投掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次成等比数列的概率为( )A ．1108B ．1216C ．136D ．127[答案] D[解析] 连续抛掷三次骰子可得结果为63＝216种，其中依次构成等比数列的情况有 (1)公比为1，共6种．(2)公比为2，只有1种，即1,2,4，. (3)公比为12，只有1种，即4,2,1.∴共有8种，∴P ＝8216＝127.3．(2014·广东理)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130[答案] D[解析] 易知|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C 15C 12＝10种情况；其二：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝2，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C 25＋C 25C 12＝40种情况；其三：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝3，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C 35＋C 35C 13＋C 35C 23＝80种情况．由于10＋40＋80＝130，故答案为D ．4．(2014·安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对[答案] C[解析] 解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，C 1D ，CD 1，A 1D ，AD 1，A 1B ，AB 1共8条，同理与BD 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC 成60°角时，有AD 1，计算与AD 1成60°角时有AC ，故AD 1与AC 这一对被计算了2次)，因此共有12×96＝48对．解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C 212种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C 212－6－12＝48对．5．(2014·云南统一检测)在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的5篇论文和非示范学校的3篇论文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同一类学校的概率是( )A ．1528B ．1328C ．1556D ．1356[答案] A[解析] 最先和最后交流的论文为示范学校论文的情况有A 25A 66种，最先和最后交流的论文为非示范学校论文的情况有A 23A 66种，故所求概率P ＝1－A 25A 66＋A 23A 66A 88＝1528. 6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为( )A ．16B ．18C ．24D ．32[答案] C[解析] 若将7个车位从左向右按1～7进行编号，则该3辆车有4种不同的停放方法：(1)停放在1～3号车位；(2)停放在5～7号车位；(3)停放在1、2、7号车位；(4)停放在1、6、7号车位．每一种停放方法均有A 33＝6种，故共有24种不同的停放方法．二、填空题7．由1、2、3、4、5、6组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是________．(以具体数字作答)[答案] 72[解析] 首位数字是奇数时有A 33·A 33种排法，首位数字是偶数时也有A 33·A 33种排法，所以一共可以组成2A 33·A 33＝72个奇偶数字相间且无重复数字的六位数．8.某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分(如图)．现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种1种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种．[答案] 72[解析] 依题意，按花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数进行分类计数：第一类，花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数是3时，满足题意的方法数共有A 34＝24种；第二类，花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数是4时，满足题意的方法数共有A 44×2＝48种．因此，满足题意的方法数共有24＋48＝72种．9．某农科院在3行3列9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为________．[答案]114[解析] 如图，由于每行每列都有一块试验田种植水稻，∴当1处种植水稻时，只能是(1,5,9)或(1,6,8)，依此可列出所有可能种植方法为：(1,5,9)，(1,6,8)，(2,6,7)，(2,4,9)，(3,5,7)，(3,4,8)，共6种，又从9块试验田中选3块的选法为C 39，∴所求概率为P ＝6C 39＝114.10．(2014·浙江嘉兴月考)已知a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，u ＝log a b ，则u 的不同取值个数为________．[答案] 54[解析] 解法1：枚举法．要保证u 的取值不同，则有a ＝2时，b 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种情况；a ＝3时，b 可取2,4,5,6,7,8共6种情况；a ＝4时，b 可取2,3,5,6,7,8共6种情况；a ＝5时，b 可取2,3,4,6,7,8,9共7种情况；a ＝6时，b 可取2,3,4,5,7,8,9共7种情况；a ＝7时，b 可取2,3,4,5,6,8,9共7种情况；a ＝8时，b 可取2,3,4,5,6,7,9共7种情况．a ＝9时，b 可取2,5,6,7,8共5种情况．所以u 的不同取值个数为9＋6＋6＋7＋7＋7＋7＋5＝54.解法2：a 可取2～9的数字，有8种取法，b 可取1～9的数字，有9种取法，∴共有8×9＝72种不同取法．其中b ＝1时，log a b ＝0，这样的取法有8种a ＝b 时，log a b ＝1，这样的取法有8种，又log 24＝log 39＝2，log 42＝log 93＝12，log 23＝log 49，log 32＝log 94，∴log a b 的不同取值共有72－7－7－4＝54种．一、选择题11．(2013·杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A ．60B ．48C ．36D ．24[答案] B[解析] 长方体中，含有四个顶点的平面有两类．第一类侧面、底面，对其中每一个面(如底面ABCD )，与其平行的直线有6条，共有6×6＝36个“平行线面组”；第二类对角面，对其中每一个面与其平行的直线有2条，共有6×2＝12个“平行线面组”．∴共有36＋12＝48个，选B ．12．(2014·黑龙江大庆专项训练)设集合A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x 2－mx －n ＝0(m ，n ∈A )至少有一个根x 0∈A ，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为( )A ．13B ．15C．17D．19[答案] C[解析]当m＝0时，取n＝0,1,4，方程为合格方程；当m＝1时，取n＝0,2,6，方程为合格方程；当m＝2时，取n＝0,3，方程为合格方程；当m＝3时，取n＝0,4，方程为合格方程；当m＝4时，取n＝0,5，方程为合格方程；当m＝5时，n＝0,6，方程为合格方程；当m＝6时，取n＝0,7，方程为合格方程；当m＝7时，取n＝0，方程为合格方程．综上可得，合格方程的个数为17，故选C．13．(2014·四川德阳中学诊断)设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3满足a1<a2<a3且a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为() A．76B．78C．83D．84[答案] C[解析]在集合S中任取三个数共有C39＝84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满足a3－a2≤6的只有{1,2,9}，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C39－1＝83，故选C．14．(2014·四川成都石室中学一诊)设三位数n＝100a＋10b＋c，若以a，b，c∈{1,2,3,4}为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有() A．12个B．24个C．28个D．36个[答案] C[解析]若为等边三角形，则有4种．若为等腰非等边三角形，以底边为准分类：若底边为1，则有3个等腰三角形；若底边为2，则有2个等腰三角形；若底边为3，则有2个等腰三角形；若底边为4，则有1个等腰三角形．一个等腰非等边三角形对应有3个三位数，所以共有4＋(3＋2＋2＋1)×3＝28个．15．(2014·洛阳统考)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有()A．30种B．60种C．90种D．150种[答案] D[解析]5名教师分成三组有：2,2,1；3,1,1两种分法，所以不同的分配方案有C13C25C23＋C35A33＝150种．二、填空题16．在空间直角坐标系O－xyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(－1，1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每个点的横、纵、竖坐标都是1或－1)，以其中4个点为顶点的三棱锥一共有________个(用数字作答)．[答案]58[解析]这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个．从正方体的8个顶点中任取4个，有不同取法C48种，其中这四点共面的(6个对角面、6个表面)共12个，∴这样的三棱锥有C48－12＝58个．17．(2014·合肥质量检测)某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．○○○○○○[答案]144[解析]当甲、乙在第三排且相邻时有4A44＝96种排法，当甲、乙在第二排且相邻时有A22A44＝48种排法，所以不同的安排方法总数为144.18．(2013·潍坊五校联考)数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行这个数为N1，N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．[答案]240[解析]由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是C13×A25×C12×A22＝240.[点评]排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．①有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有______种．[答案]192[分析]甲站正中间，左边、右边各3人，乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”，按这个整体元素的站位考虑有4种情况，其他位置可任意排列．[解析]依题意得，满足题意的不同站法共有4·A22·A44＝192种．(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．②(2013·郑州第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种[答案] C[解析]将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A22·A22种方法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A22·A23＝24种方法．(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题．③6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有________种．[答案]120[解析]解法1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只需从6个位置中选取3个排上其余3人，有A36种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共有A36＝120种．解法2：先选取3个位置排甲、乙、丙三人有C36种方法，剩下3个位置站其余3人，有A33种方法，∴共有C36·A33＝120种．(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．④(2012·太原部分重点中学联考)6位同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为()A．12B．9C．6D．5[答案] B[解析]当乙、丙中有一人在A社区时有C12C13C22＝6种安排方法；当乙、丙两人都在B社区时有C13C22＝3种安排方法，所以共有9种不同的安排方法．(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况．⑤从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种B．30种C．42种D．60种[答案] A[解析]解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有C12·C26种选法，含2名女生有C22·C16种选法，∴共有C12C26＋C22C16＝36种选法．解法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有C36种选法，∴至少有一名女生的选法数为C38－C36＝36种．(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)．⑥四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．[答案]144[解析]先从四个小球中取两个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不同的放法，据分步计数原理，共有C24·A34＝144种不同的放法．(7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求．⑦过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对B．24对C．30对D．36对[答案] D[解析]三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为0.⑧用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．328C．360D．648[答案] B[解析]利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共A29＝72个偶数；(2)0不作个位，共A14·A18·A18＝256个偶数，共计72＋256＝328个偶数，故选B．2．建模思想⑨一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.[答案]C m m＋n[解析]从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝C m m＋n.[点评](1)例如f(3,4)＝C37，其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．(2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题．⑩方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．[答案]45[解析]把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11＋＋111111表示x ＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C210＝45个．⑪一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种．[解析]记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C47＝35种．[点评]实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解．⑫如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250B．240C．252D．300[答案] C[解析]要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．3．枚举法⑬如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案]24[解析]六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察P A与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(P A，BC)，(P A，CD)，(P A，DE)，(P A，EF)共四对．同理与其它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．。

第八章 第六节一、选择题1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y[答案] C[解析] 由题意知点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此点P 到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2＝8y .选C ．(理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|[答案] C[解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p,2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C ．2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C ．115D ．3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A ．[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型． (1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．①已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A ．172B ．3C ．5D ．92[答案] A[解析] 抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知，点P 到焦点F的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于(12)2＋22＝172，选A ． ②(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________．[答案]5－1[解析] 如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|P A |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋12＝ 5.所以(|P A |＋|PM |)min＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．③(2013·河南洛阳、安阳统考)点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为________．[答案] (－1，14)[解析] 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，14)即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小．④已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．[分析] 抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为|P A |＋d 的问题，运用三点共线可使问题得到解决．[解析] 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6，∵6>2， ∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义，知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ， 当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， 即点P 的坐标为(2,2)．(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．⑤已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A ．3B ． 5C ．2D ．5－1[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．⑥(2014·陕西质检)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A ．72B ．3C ．52D ．2[答案] C[解析] 如图，|MQ ′|－|Q ′F |＝|MQ ′|－|Q ′A ′|＝|MA ′|＝|NA |＝|NQ |－|AQ |≤|MQ |－|AQ |＝|MQ |－|QF |.(其中l 是抛物线的准线，QA ⊥l ，垂足为A ，Q ′M ⊥l 垂足为A ′，MN ⊥QN )，∵抛物线的准线方程为x ＝－12，∴|QM |－|QF |≥|x Q ＋3|－|x Q ＋12|＝3－12＝52，选C ．(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．⑦(2014·忻州联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．[答案]17－1[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.(6)与平面向量交汇命题．⑧已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)． 3．(文)(2013·安徽省级示范高中联考)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为( )A ．32B ．2C ．3D ．1[答案] C[解析] 由题意知，F (1,0)，过A 作AD ⊥x 轴于D ．令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，由抛物线的定义知|AF |＝p ＋|FD |＝2＋m ＝2m ，即m ＝2，所以|AD |＝23，S △OAF ＝12|OF |·|AD |＝12×1×23＝ 3.(理)(2014·湖北武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．23D ．4[答案] C[解析] 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C ．4．(文)(2014·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C ．32D ．52[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋1 ＝4，∴x 1＋x 2＝3，∴x 1＋x 22＝32，即AB 中点C 的横坐标是32.(理)(2014·武昌模拟)直线y ＝k (x －2)交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则弦AB 的长为( )A ．6B ．10C ．215D ．16 [答案] B[解析] 将y ＝k (x －2)代入y 2＝8x 中消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2＝6，∴k ＝±2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·36－4×4＝10.5．(文)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0① 又F (1,0)，∴OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)， ∵OA →·AF →＝－4，∴x 0－x 20－y 20＝－4，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－2.[点评] 向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．(理)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程y ＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r >4.又因为点M (x 0，y 0)为抛物线x 2＝8y 上一点，所以有x 20＝8y 0.又点M (x 0，y 0)在圆x 2＋(y －2)2＝r 2上．所以x 20＋(y 0－2)2＝r 2>16，所以8y 0＋(y 0－2)2>16，即有y 20＋4y 0－12>0，解得y 0>2或y 0<－6(舍)，∴y 0>2.故选C ．6．(2013·北京东城区统一检测)已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32[答案] D[解析] 由题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)．作AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知|AA ′|＝|AF |，所以在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，此时不妨认为直线AK 的倾斜角为45°，则直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 中，得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，点A 的坐标为(4,8)，故△AFK 的面积为S △AFK ＝12|FK |·|y A |＝12×8×8＝32.二、填空题7．(2013·辽宁大连一模)已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．[答案]254[解析] 由y 2＝8x 知2p ＝8，∴p ＝4，则点F 的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)，点A ，B 的坐标分别为(8,8)，(x B ，y B )．又点A (8,8)在直线l 上，∴8＝k (8－2)， 解得k ＝43.∴直线l 的方程为y ＝43(x －2)．①将①代入y 2＝8x ，整理得2x 2－17x ＋8＝0， 则8＋x B ＝172，∴x B ＝12.∴线段AB 的中点到准线的距离是 x A ＋x B 2＋p 2＝174＋2＝254. [解法探究] 求得x B ＝12后，进一步可得y B ＝－2，∴|AB |＝252. ∴AB 的中点到准线距离d ＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝254.8．(2014·山东广饶一中期末)抛物线y 2＝8x 的顶点为O ，A (1,0)，过焦点且倾斜角为π4的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，则△AMN 的面积是________．[答案] 4 2[解析] 焦点F (2,0)，直线l ：x ＝y ＋2，代入抛物线y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8y －16＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－16.∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝8 2.故△AMN 的面积S ＝12×1×|y 1－y 2|＝4 2.9．(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m 时，测量水面宽为8m ，当水面上升12m 后，水面的宽度是________m.[答案] 4 3[解析] 建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A ，由题意可知A (4，－2)，故可求得抛物线的方程为y ＝－18x 2，设水面上升后交点为B ，则点B 的纵坐标为－32，代入抛物线方程y ＝－18x 2可求出B 点的横坐标为23，所以水面宽为43m.(理)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水位下降1m 后，水面宽________m.[答案] 2 6[解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．如图建立坐标系设方程x 2＝－2py (p >0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1， 则方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6， 所以水面宽26m.[点评] 抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．三、解答题10．(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M (2，－12)，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线F A 、FM 、FB 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1、k 2、k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N (1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)． (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)>0，∴k <2－62或k >2＋62. ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2. 假设k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2. 而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝(x 1x 24－1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝(8k ＋24－1)·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.一、选择题11．(文)若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M (4,4)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF |＝|CM |，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF |，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆． (理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和抛物线y 2＝－8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y )∈D ，则x ＋y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3[答案] B[解析] 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，抛物线的准线方程为x ＝2，设z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x 过点O (0,0)时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最小，故z min ＝0.12．(2014·山东淄博一模)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，A 在第一象限，B 在第四象限，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A ．22B ． 2C ．322D ．2 2 [答案] C[解析] 设A (x 0，y 0)，由|AF |＝1＋x 0＝3，得x 0＝2，∴A (2,22)，直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得B (12，－2)．∴S △AOB ＝12×1×|22－(－2)|＝322.13．(2014·课标全国Ⅱ理)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94[答案] D[解析] 由已知得F (34，0)，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·(x －34)，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34， ①y 2＝3x ， ②将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.14．(2014·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A ．72B ．52C ．3D ．2[答案] C[解析] 抛物线的焦点是F (2,0)，过点Q 作抛物线的准线的垂线，垂足是A ，则|QA |＝|QF |，抛物线的准线与x 轴的交点为G ，因为FP →＝4FQ →，∴|PQ →||PF →|＝34，由于△QAP ∽△FGP ，所以可得|QA ||FG |＝|PQ →||PF →|＝34，所以|QA |＝3，所以|QF |＝3. 二、填空题 15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是________．[答案] 19[解析] 根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入y 2＝16x 得m ＝4，即M (1,4)． 在双曲线x 2a－y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a＝1a .解得a ＝19.16．(文)(2013·辽宁五校联考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.(理)(2014·湖南理)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C 、F 两点，则ba＝________.[答案]2＋1[解析] 由题可得C (a 2，－a )，F (a2＋b ，b )，∵C 、F 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )， ∴b 2－2ab －a 2＝0， ∴ba＝2＋1，故填2＋1. 三、解答题17．(2014·开封摸底考试)已知圆(x －a )2＋(y ＋1－r )2＝r 2(r >0)过点F (0,1)，圆心M 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线P A ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． [解析] (1)依题意，由圆过定点F 可知C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0， 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0x 2＝4y，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2， 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2(y 0＋12)2＋92， 所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.18．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝ca＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1、l 2的斜率分别为12x 1、12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y .得x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.(理)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连接CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9， 化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 21＋y 21＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴4x 2＝x 21＋2x 1x 2＋x 22，4y 2＝y 21＋2y 1y 2＋y 22，故4x 2＋4y 2＝(x 21＋y 21)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)，①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0，∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1， 代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)， 化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4.得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。