2014年秋季学期新版新人教版九年级数学上册21.1、一元二次方程学案1

21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．(1）2x－1 （2）mx＋n＝0 (3）错误!＋1＝0 (4)x2＝13．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念．A．0 B．1 C．2 D．3活动2探究新知根据题意列方程．1．教材第2页问题1.提出问题：（1）正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？（2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？（3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?请说出整理之后的方程．2．教材第2页问题2。

提出问题:(1)本题中有哪些量?由这些量可以得到什么？(2）比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？（3）如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题:本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少?活动3归纳概念提出问题：（1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2）类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字?（3）归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程:只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程,叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项．提出问题：（1）一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么?（2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？（3）2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根)．活动4例题与练习例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________．（1）4x2＝81;（2)2x2－1＝3y;(3）错误!＋错误!＝2;（4)2x2－2x（x＋7)＝0。

21.1一元二次方程【学习目标】1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力.2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.【重点难点】重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：由实际问题列出一元二次方程，准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项.【自主先学】请观察一下,下列哪些是方程？⑴⑵2x+y=16⑶3x+y－1⑷3x－4=2x+6一元一次方程的概念：一元一次方程的一般形式：【课堂活动】一、请根据题目意思列出方程,并化简：1．要设计一座高2m的人体雕像，使它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？2．有一块矩形铁皮，长100cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？二、这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的有什么共同点呢？不同点呢？对照一元一次方程,写出一元二次方程的概念:一元二次方程的一般式：练一练：1、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项（1） 4x (x +2) =25 （2）(3 x -2)(x +1)=x -3 (3)x (x -4)=02、（小组合作）已知关于x 的方程（a 2 — 4)x 2 — ax ＋ 2x ＋ a —2=0⑴ 若此方程是一元一次方程，则a 的取值范围 是什么？⑵若此方程是一元二次方程，则a 的取值范围 是什么？三、下面哪些数能使方程 x 2 – x – 6 = 0 成立?-3 , -2 ,-1 ,0 , 1, 2, 3一元二次方程的解 ： 叫作一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：若x ＝2是方程 的一个根，你能求出a 的值吗？2450ax x +-=四、课堂小结：一元二次方程的概念,一元二次方程的一般式,一元二次方程的解.。

人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析《一元二次方程（1）》是人教版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。

通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，培养其解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有一定的了解。

但在解一元二次方程方面，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。

2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、教学辅助材料等。

2.学生准备：课本、练习本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，呈现一元二次方程的解法，引导学生理解并掌握解法。

3.操练（10分钟）学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。

4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解，解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，让学生尝试解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一元二次方程的定义和解法。

7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。

新人教九年级上册第21章一元二次方程21.1 一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.【教学重点】一元二次方程的概念及其一般表现形式.【教学难点】从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.一、情境导入,初步认识(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望.二、思考探究，获取新知由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.探究2见教材2~3页问题2.【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到12·x·（x-1）=28,化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：（1）方程各项都是整式；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【归纳结论】1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.想一想1.二次项的系数a为什么不能为0?2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.三、典例精析，掌握新知例1 已知关于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程.分析:观察方程特征，依定义建立关于m的方程，再考虑其二次项系数不能为0，可得到结论.解：由题意有220mm=+≠⎧⎪⎨⎪⎩,∴m=2.因此原一元二次方程为4x2+3x+2=0.例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.四、运用新知，深化理解1.下列各式中，是一元二次方程的是（）A.3x2+1x=0B.ax2+bx+c=0C.(x-3)(x-2)=x2D.(3x-1)(3x+1)=32.关于x的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程，则k= .3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为.4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.【答案】1.D 2.-1 3.-37/24.(1)4x2-25=0,其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；(2)x2-2x-100=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-2,-100;(3)x2-3x+1=0，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-3，1.五、师生互动，课堂小结教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？【教学说明】师生共同回顾，注重学生的交流发言.1.布置作业：从教材“习题21.1”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.。

22．1 一元二次方程一、学习目标1、正确理解一元二次方程的意义,并能判断一个方程是否是一元二次方程；2、知道一元二次方程的一般形式是20(ax bx c a b c ++=、、是常数,0a ≠） ,能说出二次项及其系数,一次项及其系数和常数项；3、理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件；4、通过问题情境,进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性,体会数学知识来源于生活,又能为生活服务,从而激发学习热情,提高学习兴趣。

重难点关键1．•重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．二、知识准备1、只含有_____个未知数,且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程2、方程2（x+1）=3的解是____________3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数,含有未知数项的最高次数是_____,它____ （填“是”或“不是”）一元一次方程。

三、学习过程1、 根据题意列方程:⑴正方形桌面的面积是2㎡,求它的边长。

设正方形桌面的边长是x m,根据题意,得方程_______________,这个方程含有_____个未知 数,未知数的最高次数是_____。

⑵如图4-1,矩形花园一面靠墙,另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花园的面积是24㎡, 求花园的长和宽。

设花园的宽是x m,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意,得:x (19－2x )=24,去括号, 得:______________这个方程含有____________个未知数,含有未知数项的最高次数是 ________。

⑶如图,长5m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3m 。

若梯子底端向右滑动的距离与 梯子顶端向下滑动的距离相等,求梯子滑动的距离。

设梯子滑动的距离是x m,根据勾股定理,滑动之前梯子的顶端离地面4m,则滑动后梯子的 顶端离地面（4－x ）m,梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。

一元二次方程 课题： 21.1 一元二次方程 （1） 序号：学习目标：1、知识和技能：理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

2、过程和方法：经历自主学习的过程，会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

3、情感、态度、价值观：进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

学习重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

学习难点：由实际问题列出一元二次方程。

导学方法：课 时：导学过程一、课前预习：阅读课本P25-27的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。

二、课堂导学：1、导入在前面的学习中，我们已经认识了一些方程，并体会到利用方程可以分析和解决一些实际问题。

这节课我们带着具体的问题再来认识一种新的方程。

2、出示任务 自主学习阅读课本的有关内容，回答下列问题：1）尝试用方程分析解答课本中的问题1、2，并思考题中的等量关系是什么？2）观察化简后的方程有什么共同的特点？3）什么叫一元二次方程？4）一元二次方程的一般形式是什么？有什么规定？为什么这样规定？对b 、c 有要求吗？5）方程a x 2+bx +c=0(a ≠0)是一元二次方程吗？为什么？什么条件下它是一元二次方程？什么条件下它是一元一次方程？由此反思一个方程是否是一元二次方程应注意什么？6)认真阅读课本例题的解题过程，尝试完成课后练习1，并反思将方程转化为一般形式的方法。

3、合作探究1）要使02)1()1(1=+-+++x k x k k 是一元二次方程，则k=_______.2）已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。

问当k 为何值时，方程为一元二次方程？当k 为何值时，方程为一元一次方程？三、展示与反馈：检查预习情况，解决学生疑惑。

四、学习小结：1、一元二次方程的定义只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

21．1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念,能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具,增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手,共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型?二、合作探究探究点一:一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)（x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程;选项B中的方程含有2个未知数,所以它不是一元二次方程;当a＝0时,选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件:一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2。

上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程（k＋1）x|k－1｜＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得{｜k－1｜＝2，，k＋1≠0，∴错误!∴k＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2,构造方程,解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．（1）3x2－2＝5x；（2）9x2＝16；（3）2x(3x＋1）＝17;(4）（3x－5)（x＋1)＝7x－2。

解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：（1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3,一次项系数是－5，常数项是－2。