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广东高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若直线过圆的圆心,则a的值为A．1B．1C．3D．32.双曲线的实轴长是A．2B．C．4D．43.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数4.“”是“一元二次方程”有实数解的A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分必要条件5.如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=A．14B．21C．28D．356.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为A．1B．2C．3D．47.若△的三个内角满足，则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.8.设，则函数单调递增区间为A．B．和C．D．9.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于两点．若C1恰好将线段三等分，则A．a2 =B．a2="13"C．b2=D．b2=2 10.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为A．1B．C．D．二、填空题1.曲线在点（1,0）处的切线方程为 * *2.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 * * ．3.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 * * .4.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 * * .三、解答题1.设的导函数为,若函数的图象关于直线对称，且. (Ⅰ)求实数，的值; (Ⅱ)求函数的极值。
2.已知函数在时取得最大值4．(1) 求的最小正周期；(2) 求的解析式；(3) 若(α +)=,求sinα．3.编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：15352128253618341726253322123138（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；（Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．4.已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（Ⅰ）求通项及；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.5.已知直线l：y=x+m，m∈R。
第1页（共18页）2024-2025学年广东省广州市高二上第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线30x y --=的倾斜角为()A ．3πB ．6πC ．4πD ．23π2．（5分）平面内，动点P 的坐标(,)x yP 的轨迹方程为()A ．2212421x y +=B ．22163x y +=C ．22169x y +=D ．22196x y +=3．（5分）以点(1,5)C --为圆心，且过原点的圆的方程是()A ．22(1)(5)25x y -+-=B ．22(1)(5)1x y +++=C ．22(1)(5)9x y -+-=D ．22(1)(5)26x y +++=4．（5分）已知圆221:4C x y +=，圆222:4440C x y x y +--+=，两圆的公共弦所在直线方程是()A ．20x y ++=B ．20x y +-=C ．10x y ++=D ．10x y +-=5．（5分）直线l 过点(1,2)，且与圆22:(2)(4)10C x y -+-=相交所形成的长度为()A ．3B ．2C ．1D ．06．（5分）若点(2,1)A 关于直线:(,)l y kx b k b R =+∈的对称点为(4,3)A '-，则(b =)A ．3-B ．1-C ．3D ．57．（5分）已知椭圆22:1106x y E +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为3直线交E 于P ，Q 两点，则△1PQF 的内切圆半径为()A ．3108B ．3104C ．354D ．3588．（5分）点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，与y 轴相交于P ，Q 两点，若△PQM 是直角三角形，则该椭圆的离心率为()A．2-B．12-C．2D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．（6分）以下四个命题中正确的是()A ．过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线的方程为2100x y +-=B ．向量(4,3)a =是直线3430x y --=的一个方向向量C ．直线10x y +-=与直线2210x y ++=。
广东高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为 ( )A．b-a=c-b B．b2=acC．a=b=c D．a=b=c≠02.数列满足，，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．3.在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．4.函数的最小值是（）A． 4B． 5C． 6D．75.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于( )A. B. C. D.6.若函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴没有交点，则点(a，b)在aOb平面上的区域(不含边界)为()7.右边给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则＝（）A．B．C．D．18.数列的首项为3，为等差数列，且，若，，则（）A．0B．3C．8D．11二、填空题1.不等式的解集为 .2.设数列的前项和为，则 .3.在等比数列中,,则公比 .4.求函数y ＝x ＋的值域 .5.设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为 . 6.已知等比数列满足，且，则当时，.三、解答题1.（本小题12分）已知锐角三角形的内角的对边分别为，且（1）求的大小； （2）若 三角形ABC 的面积为 1 ，求的值.2.（本小题12分）设等差数列{}的前项和为，已知＝，．(1) 求数列{}的通项公式； （2）当n 为何值时，最大，并求的最大值．3.（本小题14分）二次函数满足，且对称轴（1）求； （2）求不等式的解集.4.（本小题14分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：5.（本小题14分）在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．6.（本小题14分）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少?（3）设求数列的前项和广东高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为 ( )A．b-a=c-b B．b2=acC．a=b=c D．a=b=c≠0【答案】D【解析】由于此数列即是等差数列，又是等比数列，所以此数列是一定是非零常数列，所以a=b=c≠0.2.数列满足，，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是等比数列，所以.3.在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以.4.函数的最小值是（）A． 4B． 5C． 6D．7【答案】B【解析】,当且仅当x=3时，函数取得最小值，最小值为5.5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为.6.若函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴没有交点，则点(a，b)在aOb平面上的区域(不含边界)为()【答案】D【解析】因为函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴没有交点,所以,所以,根据特殊点定域的原则可知点(a，b)在aOb平面上的区域应选D.7.右边给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则＝（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】,,.8.数列的首项为3，为等差数列，且，若，，则（）A．0B．3C．8D．11【答案】B【解析】因为,.二、填空题1.不等式的解集为 .【答案】【解析】,所以不等式的解集为.2.设数列的前项和为，则 .【答案】1007【解析】.3.在等比数列中,,则公比 .【答案】【解析】因为,解之得.4.求函数y＝x＋的值域 .【答案】【解析】当x>0时，;当x<0时,所以函数y＝x＋的值域是.5.设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为 .【答案】13【解析】作出不等式表示的可行域，当直线z=2x+4y经过两直线x-y=-1和x+y=4的交点时，目标函数＝2+4取得最大值，最大值为.6.已知等比数列满足，且，则当时， .【答案】【解析】因为三、解答题1.（本小题12分）已知锐角三角形的内角的对边分别为，且（1）求的大小；（2）若三角形ABC的面积为1 ，求的值.【答案】（1）（2）。
天河中学2020学年上学期高二数学第二次月考试题考试时间120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.抛物线的准线方程是y=12，则其标准方程是()A. y2=2xB. x2=−yC. y2=−xD. x2=−2y2.平行六面体(每个面都是平行四边形）中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是A. B.C. D.2.已知等比数列{a n}满足a1a13=4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且a7=b7，则S13=()A. 52B. 26C. 78D. 1044.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(−√5,0)和(√5,0)，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A. x22−y23=1 B. x23−y22=1 C. x24−y2=1 D. x2−y24=15.已知P是椭圆x24+y2=1上的动点，则P点到直线l:x+y−2√5=0的距离的最小值为()．A. √102B. √52C. √105D. √256.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y−4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A. 2√5−1B. 2√5−2C. √17−1D. √17−2 7.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，其中焦点F 2与抛物线y 2=2px 的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点F 2，则椭圆的离心率为( )A. √22B. √2−1C. 3−2√2D. √3−18.已知双曲线E 的中心为原点，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为，则E 的方程为A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共4小题，共20分；少选3分，多选错选0分）9.下列说法正确的是( )A. “若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B. “00>∃x ，012020>--x x ”的否定为“,0≤∀x 0122≤--x x ”C. “若x >1，则x 2>1”的逆否命题为真命题D. “x =−1”是“x 2−5x −6=0”的充分不必要条件10.已知A ，B 两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( )A. 当m =−1时，点P 的轨迹为圆B. 当−1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C. 当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D. 当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)11.设数列{a n }满足a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n =2n ，*N n ∈，记数列{a n 2n+1}的前n 项和为S n ，则( )A. a 1=2 B. a n =22n−1 C. S n =n 2n+1 D. S n =na n+112.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是( )A. 椭圆的离心率B. 双曲线的离心率e =2C. 椭圆上不存在点A 使得D. 双曲线上存在不同的四个点B i (i=1,2,3,4),使得B i F 1垂直B i F 2 参考数据（74.13,414.12≈≈）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.与双曲线x 22−y 2=1有相同的渐近线，并且过点(−2,−3)的双曲线方程是 ． 14.已知实数x ，y 满足不等式组{x ≥0y ≥0x +2y ≤83x +y ≤9，则z =x +3y 的最大值是______． 15.函数)1(12)(>-+=x x x x f 的最小值是 ;取到最小值时，x = 。
2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 (II)第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1. 如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( )A. 3,9b ac ==B. 3,9b ac =-=C. 3,9b ac ==-D. 3,9b ac =-=-2. 数列{}n a 中,若()111,231,n n a a a n +==+≥则该数列的通项n a = ( )A. 123n +-B. 23n -C. 23n +D. 123n -- 3.已知命题p:对任意x ∈R,总有2X >0,命题q :""是""的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.()()q p ⌝∧⌝C.()q p ∧⌝D.p ()q ⌝∧ 4. 如图,从山顶A 望地面上,C D 两点,测得它们的俯角分别为45和30,已知100CD =米,点C 位于BD 上,则山高AB 等于( )A. 100米B. 503米C. 502米D. ()5031+米5. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2,,64b B C ππ===,则ABC ∆的面积为( )A. 232+B. 31+C. 232-D. 31-6. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定7. 不等式116722+--+x x x x 的解集为( )A. ∅B. {|3x x <-或1}2x >C. 1|17x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D. 1{|7x x <-或1}x > 8. 若关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为( )A. ()1,2-B. ()(),12,-∞-⋃+∞C. ()1,2D. ()(),21,-∞-⋃+∞ 9. 若4x >,则函数y=x+41-x ( ) A.有最大值-6 B.有最小值6 C.有最大值2 D.没有最小值 10.（10分） 有下列四个命题:①“若0x y +=,则,x y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若1q ≤,则220x x q ++=有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为( )A.①②B.②③C.①③D.③④ 11. 命题“对任意的x ∈R,都有x 2-2x+4≤0”的否定为( )A 、存在x ∈R,使x 2-2x+4≥0 B 、对任意的x ∈R,都有x 2-2x+4>0 C 、存在x ∈R,使x 2-2x+4>0 D 、对任意x ∈R,都有x 2-2x+4≥012.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，a 3＋a 4＝26，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋1，a n＋1)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是( )A ．(－12，－2)B ．(－1，－2)C ．(－12，－4)D ．(2，14)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =__________时, {}n a 的前n 项和最大.14. 已知数列{}n a 满足()*111,21,n n a a a n n N +==+-∈则n a =__________15. 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为____________.16.下列命题正确的是__________(填序号). ①若,x k k Z π≠∈则24sin x +≥24sin x; ②若0a <,则44a a+≥-; ③若0,0a b >>,则lga+lgb=2⋅lga lgb ; ④若a<0,b<0,则2b aa b+≥. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）（10分） 已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >. （1）.求,a b 的值; （2）.解不等0x cax b->- (c 为常数).18.（12分） 在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且bsinA=3acosB （1）求角的大小；（2）若b=3,sinC=2sinA ，求a,c 的值．19.（12分）设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q:函数g (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[0，a ]的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．20.（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*22,n n S a n N =-∈数列{}n b 中, 11b =,点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上. （1）.求数列{}{},n n a b 的通项公式 （2）.记1122n n n T a b a b a b =++⋯+,求n T21.(12分)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-147,sin∠CBA=621,求BC的长.22.（12分）已知各项均不相等的等差数列｛an ｝的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列｛an ｝的通项公式;(2)设Tn为数列｛11+nnaa｝的前项和,若Tn≤λa1n+对一切∈λN*恒成立,求实数λ的最小值.参考答案一、选择题B A D D BC C B B C C A二、填空题13.8 14.：222n n -+ 15.-7 16.④三、解答题17.（1）.由题意知, 1,b 为方程2320ax x -+=的两根,即2,{31.b ab a=+=∴1,{ 2.a b ==（2）.不等式等价于()()20x c x -->. 当2c >时,解集为{|x x c >或2}x <; 当2c <时,解集为{|2x x >或}x c <; 当2c =时,解集为{}|2,x x x R ≠∈.18.（1）因为由正弦定理得：因为所以（2）因为由正弦定理知①由余弦定理得②由①②得19.命题p 真⇔0<a －32<1⇔32<a <52，命题q 真⇔2≤a ≤4，“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则p ，q 一真一假， 若p 真q 假，得32<a <2，若p 假q 真，得52≤a ≤4.综上所述，a 的取值范围为{a |32<a <2或52≤a ≤4}．20.（1）. 由得()11222,n n S a n --=-≥, 两式相减得122n n n a a a -=-,即()122nn a n a -=≥ 又11122a S a ==-,∴12a =,∴{}n a 是以2为首项, 2为公比的等比数列.∴2nn a =.∵点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上, ∴120n n b b +-+=,即12n n b b +-=, ∴{}n b 是等差数列. 又11b =,∴21n b n =-.（2）. ∵()()21123223221?2n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+-+-,①∴()()23121232232212nn n T n n +=⨯+⨯+⋯+-+-.②①-②,得()()23112222221?2n n Tn n +-=⨯+⨯++⋯+-- ()2122?21222?212n n n +=+----11(24?2821)(·)23226n n n n n ++=+---=--.∴()12326n n T n +=-⋅+.21.(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos ∠CAD===.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD. 因为cos ∠CAD=,cos ∠BAD=-,所以sin ∠CAD===,sin∠BAD===.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×-×=.在△ABC中,由正弦定理,得=,故BC===3.22.(1)设公差为,由已知得解得或(舍去),,故.(2),, ,即恒成立.,即的最小值为.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
广东高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 （ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形2.若a ＞b ，则下列正确的是（ ）1．a 2＞ b 2 2．ac ＞ bc 3．ac 2＞ bc 2 4．a －c ＞ b －c A ．4 B ．2 3 C ．1 4 D ．1 2 3 43.在△ABC 中，已知a ＝，b ＝，A ＝30°，则c 等于 （ ）A ．B ．或C ．D ．以上都不对4.已知等差数列{a n }的公差为d （d≠0），且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8， 则m 为（ ） A ．12 B ．8 C ．6 D ．45.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 （ ） A ．B ．C ．D ．7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则，，…，中最大的项为（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知数列{an}满足若a 1＝，则a 2 016＝（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知点满足若的最小值为3，则的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.对于实数x ，规定[x]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x 的取值范围是（ ） A ．B ．[2，8]C ．[2，8）D ．[2，7]11.数列｛｝的通项公式=，其前n 项和为，则等于 （ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．012.若正数x ，y 满足x ＋3y-5xy=0，则3x ＋4y 的最小值是（ ） A ．B ．C ．6D ．5二、填空题1.已知，，，则的最小值为 。
广东高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合，，则（）A．B．C．D．2.已知复数，则等于（）A．B．C．D．3.“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．B．C．D．5.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，若将其[随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（）A．B．C．D．6.已知随机变量服从正态分布，则（）A．B．C．D．7.等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．8.若椭圆的面积为，则（）A．B．C．D．9.设、为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（）A．B．C．D．二、解答题1.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由得，．附表：参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”2.已知，（1）写出图像的对称中心的坐标和单调递增区间；（2）三个内角、、所对的边为、、，若，．求的最小值．3.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这16人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望．4.如图，菱形与矩形所在平面互相垂直，．（1）求证：平面；（2）若，当二面角为直二面角时，求的值；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成的角的正弦值．5.已知数列满足：．（1）求证：数列是等比数列；（2）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围．6.如图，过点作抛物线的切线，切点在第二象限．（1）求切点的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线，，的斜率分别为，，，若，求椭圆方程．7.已知函数，其中．若函数在上有极大值0，求的值；（提示：当且仅当时，）（2）讨论并求出函数在区间上的最大值；（3）在（1）的条件下设，对任意，证明：不等式恒成立．三、填空题1.若，则．2.在矩形中，，，则实数．3.已知等差数列中，有成立．类似地，在等比数列中，有_____________________成立．4.函数是定义在上的偶函数，且满足．当时，．若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为．广东高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，故选B．【考点】集合的运算2.已知复数，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，那么【考点】1．复数的代数运算；2．复数的模3.“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，函数过原点，如果函数过原点，那么，解得，所以是充分不必要条件．【考点】三角函数的性质4.已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先取出三个数的方法是，构成不同的坐标的方法，则再乘以,所以共有种方法．【考点】1．排列；2．空间坐标．5.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，若将其[随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】公有种方法，同一科目的书都相邻的方法有种方法，所以概率是【考点】1．古典概型；2．排列；3．排列数6.已知随机变量服从正态分布，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正态曲线的对称轴是，,若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．997 4．，所以，所以,故选C．【考点】服从正态分布的概率计算7.等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据等比数列的性质知道，，依据对数运算法则，原式等价于，故选B．【考点】1．等比数列的性质；2．对数运算法则．8.若椭圆的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，整理为，此定积分所表示的面积是椭圆在第一象限与坐标轴布偶围成的面积，，根据椭圆的对称性，为椭圆面积的，所以最后定积分是．【考点】1．定积分表示的面积；2．椭圆的对称性．9.设、为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，根据已知直线恰与圆相切知：,所以三边满足勾股定理，，整理得，两边同时除以，得到：，所以【考点】椭圆的几何性质10.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（）A．B．C．D．【答案】【解析】因为当时，是单调函数，所以等价于，等价于，，或是，等价于，所以，所以所有的和是【考点】1．函数的奇偶性；2．根与系数的关系．二、解答题1.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由得，．附表：参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选C．【考点】独立性检验2.已知，（1）写出图像的对称中心的坐标和单调递增区间；（2）三个内角、、所对的边为、、，若，．求的最小值．【答案】（1）；；（2）【解析】（1）首先通过二倍角降幂公式将降幂成，然后通过化一成，最后求对称中心，将函数值等于0，求，将落在函数的递增区间，求；（2）首先三角形内根据条件，先求出角,然后通过余弦定理，结合基本不等式，求出的最小值．试题解析：解：（1）化简得：，对称中心为：，单调递增区间为：（2）由（1）知：，，，，，，根据余弦定理：，当且仅当时，取最小值1．【考点】1．二倍角公式；2．三角函数的性质；3．余弦定理；4．基本不等式．3.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这16人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望．【答案】(1)详见解析；（2）．【解析】(1)首先写出极幸福的人数可能取得的数值、、、，然后判断符合超几何概型，写出概率，最后列表，求期望；至多有一人是极幸福包含或两个互斥事件的和事件，所以将其概率相加;(2)随机抽取一人是极幸福的概率是，随机变量满足二项分布，所以数学期望是，或是列表，然后求期望．试题解析：．解：（1）的可能取值为、、、，，，，，的分布列为1数学期望，至多有1人是“极幸福”记为事件，则．（2）解法一：的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为∴；；∴的分布列为数学期望．解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为，故随机变量满足二项分布，故数学期望．【考点】1．超几何分布；2．二项分布；3离散型随机变量的分布列和数学期望．4.如图，菱形与矩形所在平面互相垂直，．（1）求证：平面；（2）若，当二面角为直二面角时，求的值；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)详见解析；（2）；（3）【解析】（1）通过证明面面平行即平面∥平面，得到线面平行；（2）首先取中点,构造为二面角的平面角，然后通过直角三角形边的计算得出的值；（3）法一：几何法是根据（2）知道平面，所有求直线与平面所成的角的正弦值，就是求与所成角的余弦值；法二：以为原点，为轴、为轴，建立如图的直角坐标系，可以先求平面的法向量，求直线与平面法向量夹角的余弦值．试题解析：（1）证明：，，，平面∥平面，故平面（2）解：取的中点．由于所以，就是二面角的平面角．当二面角为直二面角时，，即（3）几何方法：由（2）平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角．连结，设则在中，，，（3）向量方法：以为原点，为轴、为轴，建立如图的直角坐标系，设则，，平面的法向量，．【考点】1．线面平行的判定定理；2．二面角；3．线面角的求法．5.已知数列满足：．（1）求证：数列是等比数列；（2）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)详见解析；（2）【解析】（1）第一步，令，构造一个式子，与原式相减，得到关于数列的递推，然后证明常数；（2）原式恒成立，等价于恒成立，即，所以要求数列的最大值，第一步，先求得通项公式，第二步，判定数列的单调性，求出最大值，最后代入不等式，求出范围．试题解析：解：（1）由题可知：①②②—①可得．即：，又．所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．（2）由（1）可得，．由，可得．而由可得．所以，故有最大值．所以，对任意，有．如果对任意，都有，即成立，则，故有：．解得或．所以，实数的取值范围是．【考点】1．递推公式；2．等比数列；3．数列的函数特征．6.如图，过点作抛物线的切线，切点在第二象限．（1）求切点的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线，，的斜率分别为，，，若，求椭圆方程．【答案】(1)；（2）【解析】（1）此类问题都可以先设切点，然后根据导数的几何意义，写出切线方程，最后代入,得出纵坐标；（2）此问是直线与椭圆相交的综合问题，第一步，根据点的坐标先求出直线的斜率，直线方程与化简后的椭圆方程联立，得到根与系数的关系，将点的坐标得到，代入，最后写成关于的方程，求解．试题解析：解：（1）设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，，即点的纵坐标．……4分（2）由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过，．由．，将，代入得：，所以．椭圆方程为．【考点】1．导数的几何意义；2．切线；3．直线与椭圆相交的综合应用．7.已知函数，其中．若函数在上有极大值0，求的值；（提示：当且仅当时，）（2）讨论并求出函数在区间上的最大值；（3）在（1）的条件下设，对任意，证明：不等式恒成立．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】(1)第一步，先求函数的导数，第二步，在定义域内求极值，并判断单调性，确定极大值，建立方程，求解；（2）因为函数当时，函数取得极大值，所以需要讨论极大值点是否在区间内分三种情况进行讨论，求得函数的最大值；（3）此题为导数与不等式证明的综合性问题，首先通过分析法将不等式将不等式转化，将不等式进行整理，这是设，转化为函数问题，证明函数的最大值小于0．试题解析：分析：（1）明显，当时，，当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在上有极大值∴，解得（2）∵①若，即，则当时，有，函数在上单调递增，则．②若，即，则函数f (x)在上单调递增，在上单调递减，∴．③若，即，则当时，有，函数f (x)在上单调递减，则．综上得，当时，；当时，；当时，．（3）要证明，只需证明只需证明即证明，不妨设，令，则，则需证明令，则，故不等式得证【考点】1．导数的综合应用；2．利用导数求函数的极值，函数的最值，以及证明不等式．三、填空题1.若，则．【答案】【解析】【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数2.在矩形中，，，则实数．【答案】【解析】因为是矩形，所以,两向量的数量积等于0，所以，所以【考点】向量垂直的充要条件3.已知等差数列中，有成立．类似地，在等比数列中，有_____________________成立．【答案】【解析】类比等差数列，根据等比数列的性质，，，所以【考点】1．类比推理；2．等比数列的性质；3．等差数列的性质．4.函数是定义在上的偶函数，且满足．当时，．若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为．【答案】【解析】函数的周期是,将方程转化为，如图，转化为函数的交点问题，为过的直线，此直线在与函数由4个不同的交点，如图：只需满足当时对应的两点的不等式，，所以解得【考点】1．函数的性质；2．函数的图像的应用．。
广东省2021年高二上学期数学10月月考试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·元氏期中) 不等式的解集是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·泉港月考) 已知命题p：∃c>0，方程x2－x＋c＝0有解，则¬p为（）A . ∃c>0，方程x2－x＋c＝0无解B . ∀c≤0，方程x2－x＋c＝0无解C . ∀c>0，方程x2－x＋c＝0无解D . ∃c≤0，方程x2－x＋c＝0有解3. （2分）若，则下列不等式成立的是（）A .B . a2>b2C .D . a|c|>b|c|4. （2分） (2017高一下·邯郸期末) 如图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A . 84，4.84B . 84，1.6C . 85，1.6D . 85，45. （2分）(2020·温岭模拟) 已知是公比不为1的等比数列，且依次构成等差数列，则公比为（）A .B . 2C .D .6. （2分） (2016高二上·友谊期中) 设F1 ， F2分别为椭圆C1： =1（a＞b＞0）与双曲线C2：=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e= ，则双曲线C2的离心率e1为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·江津期末) 一船以每小时 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（）A . 60kmB . kmC . kmD . 30km8. （2分）(2014·辽宁理) 已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲， x乙，则下列正确的是（）A . x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定B . x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C . x甲＜x乙；乙比甲成绩稳定D . x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定10. （2分）椭圆（m＞1）与双曲线（n＞0）有公共焦点F1 ， F2 ． P是两曲线的交点，则=（）A . 4B . 2C . 1D .11. （2分） (2018高二下·滦南期末) 已知，若是与的等比中项，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·天津期中) 在中，角所对的边分别为，已知，则边为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二上·常德期末) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程，现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________.零件数x(个)1020304050加工时间Y(min)6275818914. （1分） (2018高二上·南阳月考) 在直角坐标系中，已知直线与椭圆：相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则△ 的面积为________．15. （1分） (2016高一下·卢龙期中) 已知 =（1，2）， =（﹣3，2），若k +2 与2 ﹣4 的夹角为钝角，则实数k的取值范围________．16. （1分） (2017高一上·上饶期末) 若[x]表示不超过x的最大整数，则[lg2]+[lg3]+…+lg[2017]+[lg ]+[lg ]+…+[lg ]=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2020高二上·沧县月考) 已知命，；，.（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p为假且命题q为真，求实数a的取值范围.18. （10分）(2020·河南模拟) 如图，在梯形中，∥ ，．（1）若，且，求的面积S；（2）若，，求的长．19. （15分） (2016高二上·赣州期中) 某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了学生“七不准”，“一日三省十问”等新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查，调查卷共有10个问题，每个问题10分，调查结束后，按分数分成5组：[50，60），60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[50，60）内的概率．5 6 7 8 93 41 2 3 4 5 6 7 820. （10分）设椭圆E： + =1（a＞b＞0）过A（0，﹣1），焦点为F1 ， F2 ，椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个．（1）求椭圆E的方程及离心率e；（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为常数．21. （5分）(2016·浦城模拟) 已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1= 且13a2=3S3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=nan ，求数列{bn}的前项n和Tn ．22. （10分） (2019高二上·浠水月考) 如图已知椭圆的焦点在轴上，其离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的弦，的中点分别为，，若平行于，直线与椭圆相切，且斜率为1，则，斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：第21 页共21 页。
广东高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.已知集合，则（）A．B．C．D．3.等差数列中的是函数的极值点，则等于（）A．3B．5C．8D．24.在区间上的余弦曲线y=" cos" x与坐标轴围成的面积为（）A．4B．5C．9D．35.双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．C．4D．6.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则7.已知函数f（x）＝（x－a）e x，若f（x）在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知复数，则（）A．B．C．D．9.是两个向量，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．10.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．111.若数列{a n }的通项公式是，则{a n }的前n 项和S n =（ ）A ．B ．－C ．－D ．－＋12.已知满足约束条件若目标函数的最大值为7，则的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D 7二、填空题1.已知函数（,为自然对数的底数），若函数在点处的切线平行于轴，则．2.已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是 ．3.计算 ．4.己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为三、解答题1.在中，角所对的边分别是，已知．（1）若的面积等于，求； （2）若，求的面积．2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为，满足S 3＝15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6． （1）求数列{a n }，{b n }的通项a n ，b n ； （2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ．3.如图，在四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为，求k 的值．4.函数f （x ）＝ax 3－6ax 2＋3bx ＋b ，其图象在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数y ＝f （x ）的图象与y ＝f′（x ）＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围；5.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）已知动直线与椭圆相交于、两点，点，求证：为定值．6.设函数．（Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，设函数，若在上存在使成立，求实数的取值范围．广东高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由,解得：，则；而反之可推出。
上学期高二数学12月月考试题02时间：120分钟 分数：150分第Ⅰ卷一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{3,4},()U U A B C A B ===⋃=则（ ） A. {5} B. {3} C.{1，2，4，5} D.{1，2，3，4}2.“m .n<0”是“方程122=+ny mx 表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是（ ） A.0x ∀∈R ，021x ≠ B.0x ∀∉R ，021x ≠ C.0x ∃∈R ，021x ≠D.0x ∃∉R ，021x ≠4. 已知直线1l :32+=x y ，直线21//l l ，则2l 的斜率为（ ） A ．21 B.21- C. 2 D. -2 5.正数m 是2和8的等比中项，则椭圆221y x m+=的离心率为（ ）B.6.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且20......8654=++++a a a a ，则11S 的值为 ( ) A.22B.44C.2203D.887.椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，则M 到另一个焦点2F 的距离为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．以上都不对8.已知直线m 、n 、l 不重合，平面α、β不重合，下列命题正确的是( ) A.若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα// B.若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥l C.若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥； D. 若n m m //,α⊥，则α⊥n9.从221x y m n-=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的椭圆或双曲线双曲线方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为（ ）A ．47B ．12C ．23D ．3410.若不论k 为何值，直线b x k y +-=)1(与圆422=+y x 总有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.(2,2)-B.[]2,2-C.(D.⎡⎣11．已知双曲线C ：116922=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则ΔPF 1F 2的面积等于( ) A ．96 B ．48 C ．24 D ．1212.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222by x =+相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．3B C D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在答题纸上) 13．过点A(1,2)且与OA （O 为坐标原点）垂直的直线方程是 14．直线1+=x y 被圆221x y +=所截的弦长为_________ 15. 一个西瓜切三刀，最多得到 块西瓜皮16.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分） 已知命题222:8200,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x. (Ⅰ)求()4f π的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x 的值。
2020-2021学年广东省广州市天河中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程为（ ） A ．22y x = B ．22x y =- C ．2y x =-D ．2x y =-【答案】B【分析】根据准线方程,可知抛物线的焦点在y 轴的负半轴,再设抛物线的标准方程为22x py =-,根据准线方程求出p 的值,代入即可求解.【详解】由题意可知,抛物线的焦点在y 轴的负半轴, 所以可设抛物线的标准方程为：()220x py p =->,因为抛物线的准线方程是12y =, 所以122p =,即1p =, 所以所求抛物线的标准方程为22x y =-. 故选:B【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求其标准方程;熟练掌握四种不同形式的抛物线的标准方程是求解本题的关键;属于基础题.2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1D M 相等的是（ ）A ．1122--a b c B ．1122a b c -+C ．1122-++a b c D ．1122a b c --+ 【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算性质以及图示即可表示1D M .【详解】∵平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，AB a =，AD b =，1AA c =，∴()()111111AM A AB AD AD AA 222D M D a b c =-=+-+=-- 故选A ．【点睛】主要考查了空间向量的线性运算及其几何意义，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 满足11374a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77a b =，则13(S = )A ．52B ．26C ．78D ．104【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出74a =，从而774b a ==，再由等差数列的求和公式及等比数列中项的性质可得13713S b =，能求出结果．【详解】解：等比数列{}n a 满足11374a a a =，可得2774a a =，解得74a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且774a b ==， 则1311371()1313134522S b b b =+⨯==⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，以及等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F 的面积为1，则双曲线的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=【答案】C【解析】试题分析：由已知c =．因为点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F 的面积为1，所以122PF PF ⋅=，又22221212||||420PF PF F F c +===，所以222121212()||216PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，即2416a =，24a =，2221b a c =-=，故选C ．【解析】1．双曲线的定义、标准方程；2．双曲线的几何性质．5．已知P 是椭圆2214x y +=上的动点，则P点到直线:0l x y +-=的距离的最小值为（ ） A．2BC．5D．5【答案】A【解析】试题分析：设()2cos ,sin P θθ，由点到直线距离公式有d ===. 【解析】直线与圆锥曲线位置关系．6．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A．1 B．2 C1 D 2【答案】C【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当,,P Q F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，圆()2241x y +-=的圆心为()0,4C，半径1r =，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断当,,P Q F 三点共线时，P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为171FC r -=，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于中档题. 与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B 21C ．322-D 31【答案】B【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得222222321a p b p ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解.【详解】易知2p c =，且2222222222222444a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==-故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题8．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【分析】先根据a ，b ，c 的关系得出229a b +=，设出A ，B 两点的坐标，代入双曲线方程，两式相减利用中点坐标公式，求出AB k ，再根据直线过点M ，F 求出AB k ，即可得出222a b =，进而求出2a ，2b 得出双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线E 的标准方程为：22221x y a b-=，由题意知：3c =， 即229a b +=①设()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式作差得：22221212220x x y y a b---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又0235M F AB M F y y kx x -===----，即2255a -=-， 解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=. 故选：B.【点睛】方法点睛：解决双曲线有关弦以及弦中点的问题，常利用根与系数的关系以及“点差法”，但前提必须保证直线与双曲线有两个不同的交点.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．“00x ∃>，200210x x -->”的否定为“0,x ∀≤2210x x --≤”C ．“若1x >，则21x >”的逆否命题为真命题D ．“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件 【答案】CD【分析】对A ，写出该命题的否命题，即可判断；对B ，写出该命题的否定命题，即可判断；对C ，由原命题与逆否命题同真假可知，只需判断原命题的真假即可；对D ，由充分必要条件的定义即可判断.【详解】解：对A ，“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对B ，“00x ∃>，200210x x -->”的否定为“0,x 2210x x --≤”，故B 错误；对C ，“若1x >，则21x >”为真命题，由原命题与逆否命题同真假知，其逆否命题也为真命题，故C 正确； 对D ，1x =-时，2560x x --=成立，∴充分性成立；当2560x x --=时，解得：1x =-，或6x =，∴必要性不成立；故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.10．已知A ，B 两点的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1m =-时，点P 的轨迹为圆B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m >时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 【答案】ABD【分析】设出P 点的坐标，根据直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为m ，可得出含有参数m 的点P 轨迹方程，然后对m 进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项.【详解】设点P 的坐标为(,)x y ，直线AP ，BP 的斜率为()11AP yk x x =≠-+，()11BP yk x x =≠- 由已知得，()111y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得点P 的轨迹方程为()2211,0y x x m m+=≠±≠-，分析A ，当1m =-时，方程为221(1)x y x +=≠±，故A 正确；分析B ，当10m -<<，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；分析C ，当01m <<，方程为()2211y x x m+=≠±-，不表示抛物线，故C 错误；分析D ，1m ，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示焦点在x 轴上的双曲线，故D 正确；故选：ABD.【点睛】曲线的轨迹方程解题步骤为： ①设动点坐标(,)x y②根据题意建立x 与y 的关系式③化简整理x 与y 的关系式，得出轨迹方程. 11．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a = B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=【答案】ABD【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项.【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S .12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线2222 1.x y N m n -=：若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）1.74≈≈）A ．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在不同的四个点B i (i =1,2,3,4),使得12i i B F B F ⊥ 【答案】ABD【分析】不妨设1c =，由已知条件可求得椭圆M 和双曲线N 的参数，进而求得离心率，判定AB ；根据,b c 的大小关系，可知当A 为椭圆M 的上顶点时21F AF ∠为钝角，从而判定C 错误；以12F F 为直径作圆与双曲线N 有四个不同的交点，即符合D 中的要求. 【详解】如图，不妨设1c =，双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 在第一象限的交点坐标为1,22P ⎛ ⎝⎭，由正六边形的性质，可得12PF PF ⊥，2160PF F ∠=︒,211,||PF PF ∴==，椭圆M 的长轴长a =,∴2221b a c =-=<,b c ∴<, ∴当A 为椭圆的上顶点时21F AF ∠为钝角，120AF AF ⋅<,故C 错误；∴椭圆M 离心率11e ==，故A 正确；双曲线N 的渐近线方程为y =,∴=nm，又∵2224m n c +==,1,m n ∴==∴双曲线N 的离心率为22ce m==,故B 正确；以12F F 为直径作圆，显然与双曲线N 有四个不同的交点，这四个点关于12F F 所张的角为直角，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题.取1c =可以给后面的计算带来方便，利用椭圆的定义求椭圆中的参数a 是常用的方法，可以减少运算量.三、填空题13．与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，并且过点()2,3--的双曲线方程是______.【答案】221714y x -=【分析】设双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为222x y -=λ，(0)λ≠，把点()23--，代入，求出λ的值，由此能求出双曲线方程． 【详解】设双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为222x y -=λ，(0)λ≠，把点()23--，代入，得：492-7=-，7λ∴=-， ∴所求双曲线方程为221714y x -=．故答案为：221714y x -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．一般的，与221Ax By +=的渐近线相同的双曲线的方程都可以表示为22(0,0)Ax By k AB k +=<≠.14．已知实数,x y 满足不等式组0,0,28,39,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩则3z x y =+的最大值是__________．【答案】12 【解析】分析：画出不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的可行域，平移3z x y =+，结合所画可行域，可求得3z x y =+的最大值.详解：作出不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线3z x y =+，由图可得直线经过点()A 0,4时，z 取得最大值，且max 03412z =+⨯=，故答案为12. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()23,0A ，当点M在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为__________. 【答案】10【分析】先设椭圆的下焦点为F '，由椭圆的定义知：6MF MF '=-，利用MA MF AF -'≤'，即可得到MA MF +的最大值．【详解】解：如图所示：设椭圆的下焦点为F '，22195y x +=， 3a ∴=，26a =，又||26MF MF a '+==，即6MF MF '=-，6MA MF MA MF '∴+=-+， 又MA MF AF ''-≤，当且仅当A ，F '，M 共线且F '在线段AM 上时等号成立，2952c a =--=， ()0,2F '∴- ()222324AF '∴=+=，||4MA MF '∴-≤，MA MF ∴+的最大值为4610+=. 故答案为：10.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆的定义即可得到最值.四、双空题 16．函数()21f x x x =+-（x ＞1）的最小值是______；取到最小值时，x =______．【答案】1 12【分析】由题知10x ->，又由()2111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()121111f x x x ≥==-++-，当且仅当211x x -=-即1x =1．故答案为：1；1+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，考查学生的运算求解能力．五、解答题17．命题:p 对()0,x ∀∈+∞，()1f x x a x=+>成立，命题:q 关于x 的不等式240x x a -+<的解集为空集.（1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围； （2）若“p 或q ”为真，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(),2-∞；（2）()[),24,-∞+∞.【分析】（1）利用基本不等式求出函数()f x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求出当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围；（2）求出当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围，由“p 或q ”为真可知p 真或q 真，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）若命题p 为真命题，对()0,x ∀∈+∞，()1f x x a x=+>，则()min a f x <，当0x >时，由基本不等式可得()12f x x x =+≥=， 当且仅当1x =时，等号成立，所以，函数()f x 在()0,∞+上的最小值为2，2a ∴<； （2）若命题q 为真命题，则关于x 的不等式240x x a -+<的解集为空集， 所以，1640a ∆=-≤，解得4a ≥.因为“p 或q ”为真，则p 真或q 真，所以，实数a 的取值范围是()[),24,-∞+∞.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n ∈N ． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2n a n =；113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在4k =满足题意．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，在等差数列{}n a 中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由112a b =求得1b ，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知，1()(1)2k k k a a S k k +==+，由6k S k <解得k 范围，再由131132239k k T -=->⨯，解得k 范围，即可判断出结论． 【详解】解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d = 从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以1111133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知：()1(1)2k k k a a S k k +==+所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k <<又因为1111313*********13k k kk T -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭- 所以131132239k k T -=->⨯，即11139k -<，解得3k > 所以4k =【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，短轴一个端点到右焦点的(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)22132x y +=；(2)5【分析】(1)先由离心率得到a =到223b c +=，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程；(2)写出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式即可求出AB .【详解】解：(1)由题意知：c e a ==，即a = ①，即2223b c +== ② 又222a b c =+ ③由①②③解得：23a =，22b =，∴椭圆C 的方程为：22132x y +=；(2)由(1)知：椭圆的左焦点()110F -，， ∴直线l 的方程为：1y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立：221132y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 整理得：25630x x +-=，∴1265x x +=-，1235x x =-，5AB ∴==． 【点睛】思路点睛：求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*240.n n S a n N -+=∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a +=；（2）n T 22n n +=⋅．【分析】（1）利用已知条件，利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步求出1(1)2n n b n ++⋅=，再利用乘公比错位相减法求出数列的和．【详解】（1）令1n =，则14a =且()*240n n S a n N -+=∈①，当2n ≥时，11240n n S a ---+=②， ①-②得：122n n n a a a -=-，所以：12nn a a -=(常数)， 则数列{}n a 是以14a =为首项，2为公比的等比数列.则11422n n n a -+=⋅=，当1n =时，14a =(符合通项)，故12n n a +=.（2）由（1）得：2log n n n b a a =⋅1(1)2n n +=+⋅， 则：2312232(1)2n n T n +=⋅+⋅++⋅①，所以：34222232(1)2n n T n +=⋅+⋅++⋅②， ①-②得：312822(1)2n n n T n ++-=+++-+⋅，()128218(1)221n n n -+-=+-+⋅-，解得：231(1)222n n n T n +-=+⋅-⋅22n n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查数列求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．21．已知F 是顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线的焦点，()1,1A 在抛物线上. （1）B 、C 是该抛物线上的两点，3BF CF +=，求线段BC 的中点到y 轴的距离；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值. 【答案】（1）54；（2）证明见解析． 【分析】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，代入A 的坐标，可得p ，运用抛物线的定义，以及中点坐标公式可得所求距离；（2）设直线l 的方程为3x my m =++，代入抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【详解】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由21p =，可得12p =， 抛物线的方程为2y x =，F 是抛物线2y x =的焦点，1(4F ，0)，准线方程14x =-，设1(C x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据抛物线的定义可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得114CF x =+，21||4BF x =+， 则2111|344BF CF x x +=+++=，可得1252x x +=，则线段BC 的中点横坐标为54， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为54； （2）证明：设过点(3,1)P -的直线l 的方程为3(1)x m y -=+，即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则12y y m +=，123y y m =--， 所以121212121212221212121211()1()1··11(2)(2)(2)()(2)y y y y y y y y y y k k x x my m my m m y y m m y y m ---++-++===--+++++++++22231221(3)(2)(2)442m m m m m m m m m ---+--===---+++++，即12k k 为定值12-． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的应用，考查直线与曲线中的定值问题，解决本题的关键点是利用两点的斜率公式表示出12k k ，并利用韦达定理代入计算，并消去公因式得到定值，考查了学生计算能力，属于中档题．22．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，直线1y =与C.(1)求椭圆C 的方程；(2)分别过1F 、2F 作1l 、2l 满足12l l //，设1l 、2l 与C 的上半部分分别交于A 、B 两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=；(2)3【分析】(1)利用焦距为2以及直线1y =与C 的两个交点间的距离，求出a ， b 即可求椭圆C 的方程；(2)直线与椭圆方程联立，先求出2ADF S ，再找到四边形面积与三角形面积的关系，即可求出四边形21ABF F 面积的最大值. 【详解】解：(1)由题意知：1y =与C 的两个交点间的距离为463，∴椭圆过点26，即2222226318113a b a b ⎛ ⎝⎭+=+= ① 又22c =，即1c =，又222a b c =+，即221a b =+②由①②解得：24a =，23b =，∴椭圆的方程为22143x y +=；(2)如图所示：设直线1:1l x my =-，它与C 的另一个交点为D ，联立：221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得：22(34)690m y my +--=，2144(1)0m ∆=+>，设交点()11,A x y ，()22,D x y ， 则122634m y y m +=+，122934y y m =-+， 22222121||14694433m AD m m m m ⎛⎫- ⎪+++⎛⎫∴=+-⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭又2F 到1l 的距离为21d m =+，22221121122341ADF m Smm +∴==++， 令211t m =+≥，则221m t =-，21231ADF St ∴=+， 即当1t =时，最大值为3， 设四边形21ABF F 的面积为S ， 由椭圆的对称性知：21BF DF =，21211111(||||)(||||)||222ADF S AF BF d AF DF d AD d S ∴=+⋅=+⋅=⋅=，∴四边形21ABF F 面积的最大值为3.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到四边形21ABF F 面积与2ADF △面积的关系.第 21 页共 21 页。
