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2.2离散系统的时域分析离散系统分析和连续系统分析在于多方面是相互平行的，有许多类似之处。
连续系统可用微分方程描述，离散系统可用差分方程描述。
差分方程和微分方程的许多求解方法在许多方面是相互对应的。
在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在离散系统中，卷积和也具有同等重要的地位。
连续系统分析和离散系统分析的相似性为读者学习本章节提供了有力条件，不过，读者应该十分注意他们之间存在着的重要差异。
在离散系统分析中，激励（输入）用()f n 表示，响应（输出）用()y n 表示，其中n 为整数；初始状态用{}0()x n 表示，其中0n 为正常数，通常取00n =。
下面，从离散系统的差分方程（或系统框图）及其求解开始，研究LTI 离散系统的时域分析。
2.2.1 L TI 离散系统的响应 差分和差分方程和连续时间信号的微分和积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。
设有序列()f n ，则称(2)f n +，(1)f n +，(1)f n -，(2)f n -等为()f n 的位移序列。
序列的差分可分为前向差分和后向差分。
一阶前向差分定义为()(1)()deff n f n f n ∆+-（2.2-1）一阶后向差分定义为()()(1)deff n f n f n ∇-- （2.2-2） 式中∆和∇称为差分算子。
由式（2.2-1）和（2.2-2）可见，前向差分和后向差分的关系为()(1)f n f n ∇=∆-（2.2-3）二者仅位移不同，没有原则的差别，因而它们的性质也相同。
本书主要采用后向差分，并简称其为差分。
由差分的定义，若有序列1()f n 、2()f n 和常数1a 、2a ，则112211221122[()()][()()][(1)(2)]a f n a f n a f n a f n a f n a f n ∇+=+--+- 111222[()(1)][()(1)]a f n f n a f n f n =--+-- 1122()()a f n a f n =∇+∇（2.1-4）这表明差分运算具有线性性质。
第二章 系统的时域分析第二章将研究线性时不变（LTI ）连续系统和离散系统的时域分析方法，即对于给定的激励，根据描述系统响应与激励之间关系的微分方程或差分方程求得其响应的方法。
由于分析是在时间域内进行的，称为时域分析。
本章将在用经典法求解微分方程或差分方程的基础上，讨论零输入相应，特别是零状态响应的求解。
在引入系统的冲激响应后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分或卷积和。
冲激响应和卷积积分或卷积和概念的引入，使LTI 系统分析更加简捷，明晰，它们在系统理论中有重要作用。
2.1 LTI 连续系统的响应2.1.1微分方程的经典解一般而言，如果单输入-单输出系统的激励为f(t)，响应为y(t)，则描述LTI 连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n 阶常系数线性微分方程，它可写为y (n )(t )+a n−1y (n−1)(t )+⋯+a 1y (1)(t )+a 0y(t)=b m f (m )(t )+b m−1f (m−1)(t )+⋯+b 1f (1)(t )+b 0f(t) (2.1-1a)或缩写为∑a i y (i )(t )=n i=0∑b j m j=0f (j )(t )(2.1-1b) 式中a i （i=0，1，…，n ）和b j （j=0，1，…，m ）均为常数，a n =1。
该微分方程的全解由齐次解y h (t)和特解y p (t)组成，即y (t )=y h (t )+y p (t) (2.1-2)齐次解齐次解是齐次微分方程y (n )(t )+a n−1y (n−1)(t )+⋯+a 1y (1)(t )+a 0y (t )=0 (2.1-3)的解，它是形式为Ce λt 的一些函数的线性组合。
将Ce λt 代入式 (2.1-3)，得Cλn e λt +Ca n−1λ(n−1)e λt +⋯+Ca 1λe λt +Ca 0e λt =0由于C ≠0，且对任意t 上式均成立，上式可简化为λn +a n−1λn−1+⋯+a 1λ+a 0=0 (2.1-4)上式称为微分方程式(2.1-1)、(2.1-3)的特征方程，其n 个根λi （i=1，2，…，n ）称为微分方程的特征根。
齐次解y h (t)的函数形式由特征根确定，表2-1列出了特征根取不同值时所对应的齐次解，其中C i 、D i 、A i 和θi 等为待定系数。
如方程式(2.1-1)的n 个特征根λi 均为实单根，则其齐次解y h (t )=∑C i e λi t n i=1 (2.1-5)式中常数C i 将在求得全解后，由初始条件确定。
特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。
表2.1-2列出了几种激励及其所对应的特解。
选定特解后，将它带入到原微分方程，求出各待定系数P i ，就得出方程的特解。
表2-2 不同激励所对应的特解式(2.1-1)的常系数线性微分方程的完全解是齐次解和特解之和。
如果微分方程的特征根均为实单根λi ，则其全解为y (t )=y h (t )+y p (t )=∑C i eλi t n i=1+y p (t ) (2.1-6) 设激励信号f(t)是在t=0时接入的，微分方程的全解y (t )也适合于区间[0，∞)。
对于n 阶常系数线性微分方程，利用已知的n 个初始条件y (0)、y (1)(0)、y (2)(0)、…、y (n−1)(0)就可求得全部待定系数C i 。
例 2.1-1 描述某TLI 系统的微分方程为y ′′(t )+5y ′(t )+6y (t )=f(t) (2.1-7)求：(1)当f(t)=2e −t ，t ≥0；y (0)=2，y ′(0)=−1时的全解；(2)当f (t )=e −2t ，t ≥0；y (0)=1，y ′(0)=0时的全解。
解：(1) 式(2.1-7)的特征根方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ1=−2，λ2=−3。
微分方程的齐次解y h (t )=C 1e −2t +C 2e −3t (2.1-8)由表2-2可知，当输入f (t )=2e −t 时，其特解可设为y p (t )=Pe −t将y ′′p (t )、y ′p (t )、y p (t )和f (t )代入到式(2.1-7)，得Pe −t +5(−Pe −t )+6Pe −t =2e −t由上式可解得P =1。
于是得微分方程的特解y p (t )=e −t微分方程的全解y (t )=y h (t )+y p (t )=C 1e −2t +C 2e −3t +e −t其一阶导数y ′(t )=−2C 1e −2t −3C 2e −3t −e −t令t=0，并将初始值代入，得y (0)=C 1+C 2+1=2y ′(0)=−2C 1−3C 2−1=−1由上式可解得C 1=3，C 2=−2，最后得微分方程的全解y(t)=3e−2t−2e−3t+e−t，t≥0(2.1-9) 由以上可见，LTI系统的数学模型——常系数线性微分方程的全解由齐次解和特解组成。
齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。
但应注意，齐次解得系数C i是与激励有关的。
特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。
(2)由于微分方程与(1)相同，故特征根也相同，齐次解仍如式(2.1-8)，即y h(t)=C1e−2t+C2e−3t当激励f(t)=e−2t时，其指数(-2)与特征根之一相重。
由表2-2知，其特解应为y p(t)=P1te−2t+P0e−2t将y′′p、y′p、y p和f(t)代入到式(2.1-7)并稍加整理，得(4P1−10P1+6P1)te−2t+(−4P1+4P0+5P1−10P0+6P0)e−2t=e−2t由上式可解得P1=1，但P0未能求得(这是因为激励的指数与特征根相重)，于是微分方程的特解y p(t)=te−2t+P0e−2t微分方程的全解为y(t)=C1e−2t+C2e−3t+te−2t+P0e−2t=(C1+P0)e−2t+C2e−3t+te−2t其一阶导数y′(t)=−2(C1+P0)e−2t−3C2e−3t+e−2t−2te−2t令t=0，将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1y′(0)=−2(C1+P0)−3C2+1=0由上式解得C1+P0=2，C2=−1，最后得微分方程的全解y(t)=2e−2t−e−3t+te−2t，t≥0(2.1-10)上式第一项的系数C1+P0=2中，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。
关于0−与0+的初始值在用经典法解微分方程时，若输入f(t)是在t=0(或t=t0)时接入的，那么方程的解也适用于t≥0(或t≥t0)。
为确定解得待定系数所需的一组初始条件是指t=0+(或t=t0+)时刻的值，即y(j)(0+)或y(j)(t0+)(j=0，1，⋯，n−1)。
在系统分析中，t=0+(或t0+)时，激励已经接入，因而y(j)(0+)或y(j)(t0+)包含输入信号的作用，它不便于描述系统的历史信息。
)时，激励尚未接入，因而响应及其各阶导数在该时刻在系统分析中，t=0−(或t=t0−)反映了系统的历史情况而与激励无关，它们为求得t≥0(或t≥t0)的值y(j)(0−)或y(j)(t0−的响应y(t)提供了以往历史的全部信息，称这些值为初始状态。
通常，对于具体的系统，初始状态常容易求得。
这样，为求解描述LTI系统的微分方程时，就需要从已知的初始状态y(j)(0−)或y(j)(t0)设法求得y(j)(0+)或y(j)(t0+)，作为确定微分方程解得待定系数。
下面以−二阶系统为例具体说明。
例2.1-2描述某LTI系统的微分方程为y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2f‘(t)+6f(t)（2.1-11）已知y(0−)=2，y′(0−)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y′(0+)。
解：将输入f(t)代入到以上微分方程，得y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)(2.1-12) 如果式(2.1-12)对t=0−也成立，那么在0−<t<0+区间等号两端δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为2δ(t)，故y′′(t)应包含冲激函数，从而y′(t)在t=0处将跃变，即y′(0+)≠y′(0−)。
但y′(t)不含冲激函数，否则y′′(t)将含有δ’(t)项。
由于y′(t)含有阶跃函数，故y(t)在t =0处是连续的。
对式(2.1-12)等号两端从0−到0+进行积分，有∫y ′′(t)0+0−dt +3∫y ′(t)0+0−dt +2∫y(t)0+0−dt =2∫δ(t )0+0−dt +6∫ε(t) 0+0−dt （2.1-13） 由于积分是在无穷小区间[0−，0+]进行的，而且y(t)是连续的，故∫y(t)0+0−dt =0，∫ε(t) 0+0−dt =0，于是上式得 [y ′(0+)−y ′(0−)]+3[y (0+)−y (0−)]=2 （2.1.14） 考虑到y(t)在t =0是连续的，将y (0−)，y ′(0−)代入上式得y (0+)− y (0−)=0， 即y (0+)= y (0−)=2y ′(0+)−y ′(0−)=2， 即y ′(0+)=y ′(0−)+2=2由上可见，当微分方程式等号右端含有冲激函数(及其各阶导数)时，响应y(t)及其各阶导数中，有些将发生跃变。
这可利用微分方程两端各奇异函数项的系数项的系数相平衡的方法来判断，并从0−到0+积分，求得0+时刻的初始值。
2.1.2零输入响应和零状态响应LTI 系统的完全响应y(t)也可分为零输入响应和零状态响应。
零输入响应是激励为零时 仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应，用y X (t)表示；零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号f (t )所引起的响应，用y f (t )表示。
这样，LTI 系统的全响应应将是零输入响应和零状态响应之和，即y (t )=y X (t )+y f (t ) (2.1-15)在零输入条件下，微分方程式(2.1-1)等号右端为零，化为齐次方程。
若其特征根均为单根，则其零输入响应y X (t )=∑C xi e λi t n i=1 (2.1-16)式中C xi 为待定系数。
若系统的初始状态为零，这时方程式(2.1-1)仍是非齐次方程。
若其特征根均为单根，则其零状态响应y f (t )=∑C fi eλi t n i=1+y p (t) (2.1-17) 式中C fi 为待定系数。
系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系式y (t )=∑C i e λi t n i=1⏟ 自由响应+y p (t )⏟ 强迫响应=∑C xi e λi t n i=1⏟ 零输入响应+ ∑C fi e λi t n i=1+y p (t )⏟零状态响应(2.1-18) 式中∑C i e λi t n i=1=∑C xi e λi t n i=1+∑C fi e λi t n i=1 (2.1-19)在用经典法求零输入响应和零状态响应时，也需要响应及其各阶导数的初始值，以确定待定系数C xi 和C fi 。
