2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明 11-3a Word版含解析

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2016＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a 2016＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .故选D.4．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D. 5．(2017·阳山一模)下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案 C解析 对于A ，“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B ，“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C ，将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c ”是正确的；对于D ，“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”是错误的，如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(2017·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2017＝( )A ．502B ．503C ．504D ．505答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.所以a 2017＝x 1009＝505.故选D.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 复数z 满足z i ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝(－1＋i )ii·i ＝1＋i.故复数z 的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.2．(·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 答案 B解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.3．(·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.2－iB.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A解析 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A.4．(·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i.故选C. 5．(·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A.2－12B.2－1 C ．1 D.2＋12 答案 A解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A.6．(·安徽十校联考)若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故|z |＝1.故选B.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55＝1.故选B. 7．(·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3z 2＋z －2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z－2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．故选A.8．(·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C.9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析 由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.10．已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D (z )＝||z ||＝|a |＋|b |，D (z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D (z )>0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D (z )＝D (z )恒成立； (3)若D (z 1)＝D (z 2)(z 1，z 2∈C )，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D (z 1，z 3)≤D (z 1，z 2)＋D (z 2，z 3)恒成立．其中真命题为( )A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(4)C ．(2)(4)D ．(2)(3) 答案 C解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D (z )＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D (z )＝D (z )恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C.二、填空题11．(·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10. 解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.12．(·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以ab ＝2.13．(·北京高考)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则z ＝________.答案 －1－2i 或－2－i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎨⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.三、解答题15．(·徐汇区校级模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应点在第一象限．(1)求z 的值；(2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0，解得y ＝－2. ∴z2－i ＝x －2i 2－i ＝(x －2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2x ＋2)＋(x －4)i 5， ∵z 2－i 为实数，∴x －45＝0，解得x ＝4. ∴z ＝4－2i.(2)∵复数(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝16－(a －2)2＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2)＋(8a －16)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －16>0，解得2<a <6， 即实数a 的取值范围是(2,6)．16．(·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z |的最小值．解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1. (2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0，2m ＋1>0，∴－12<m <1， 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.而|z |＝(m －1)2＋(2m ＋1)2＝5m 2＋2m ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋152＋95， 当m ＝－15∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1时，|z |min ＝95＝355.。

11.5数学归纳法E课后作业孕谀[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.(2016 •安庆高三月考)用数学归纳法证明2W(/?>5,胆NJ,第一步应验证()A.n=4B. /7=5C.刀=6D. n=7答案B解析根据数学归纳法的步骤，首先要验证刀取第一个值时命题成立，又刀N5,故第一步验证77=5.故选B.2.用数学归纳法证明12+22+-+(/7- 1) 2+/72+(/7-1)2 + - + 22+12 = /? 2/?3+1时，由n=k的假设到证明n=k+\时，等式左边应添加的式子是()A.(A+1)2+2A2B.(&+1F+护C.(Zr+1)2D.|a+1) [2a+l)2+l]答案B解析由n=k 80 n= k+1时，左边增加(&+1)' + #.故选B.3.(2018 •沈阳调研)用数学归纳法证明“/『+(卄1)'+(卄2)江用2)能被9整除”, 利用归纳法假设证明n=k+1时，只需展开()A. (&+3)‘B. (&+2)‘C. (A+l)3D. U+l)3+(A+2)3答案A解析假设n=k时，原式护+(外1尸+(斤+2)'能被9整除，当n=k+1时，(斤+1)‘ + (A+2)3+(A+3)3为了能用上面的归纳假设，只须将U+3)3展开，让其出现#即可.故选A.4.己知代刀)=(2刀+7)・3"+9,存在自然数加使得对任意用N*,都能使刃整除A/?), 则最大的/〃的值为()A. 30B. 26C. 36D. 6答案C解析・.・f(l)=36, /(2) =108 = 3X36, f(3) =360=10X36, :f(2), f(3)都能被36整除，猜想fS)能被36整除证明如下：当/7=1,2时，由以上得证.假设当n= kgb 时,f(/d = (2A+7)・3"+9 能被36 整除,则当n=k+1 时,/U+1)—/W = (2&+9) • 3小一(2斤+7)・3“=(6£+27)・ 3*-(2£+7)・ 3"= (4W+20)・ 3"=36(斤+5)・ 3"_2(^2), :. f(k + 1)能被36整除・・・・f(l)不能被大于36的数整除，.••所求最大的/〃的值为36.5.(2017 •泉州模拟)用数学归纳法证明n+ (/?+!) + (/?+2) +•••+ (3/?-2) = (2/7-1)2(/?GN*)时,若记/'(刀)=刀+ (刀+1) + (卄2) ------- (3刀一2),则 f{k+Y) —/*(A)等于()A. 3A-1B. 3A+1C. 8kD. 9k答案C解析因为 f(&)=&+4+1)+ 4+2)+・・・+(3&—2), AA+1) = a+1) + a+2) +••• + (3&—2) + (3斤一 1)+ (3&) + (3£+1),则 f(k+1) 一/W =3—1 +3k+3k+1 一k=8k.故选C.6. （2018 •太原质检）平面内有刃条直线，最多可将平面分成代刃）个区域，则代刀）的表 达式为（）A. n+1 r 孑乜+2答案C解析1条直线将平面分成1 + 1个区域;2条直线最多可将平面分成1 + （1+2）= 4个区 域；3条直线最多可将平面分成1 +（1+2 + 3） =7个区域；……；〃条直线最多可将平面分成 1 + （1+2 + 3 +・・・+ 〃）=1 + " 罗 =刃+；汁2个区域.故选c.7.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第〃 个三角形数为刀 罗1 =*+切.记第〃个斤边形数为AO,力（Q3），以下列出了部分斤 边形数中第〃个数的表达式:三角形数Nln, 3） =£/『+£〃；正方形数Nln, 4) =n :六边形数N 〈n, 6) = 2n —n.可以推测川刀，力的表达式，由此计算M10, 24) = ()A. 500B. 1000C. 1500D. 2000答案B11Q — 94 — 34 — 24 — 4解析 由已知得，Nln, 3) =~rf +㊁刀厂/?, N(n, 4) =/=—厂/+—厂刀，N(n, 5)31^ — 9 4—斤 fi —9 4 — 6_：门=匕一川+ J m Nlm 6) = 2n — n= o n + °根据归纳推理可得，Nlm &)k —2 2 4 — k 广 i i、 24 — 2 2 4 — 24丄匚亦，八亠=二一/?「+飞一刀.所以 M10, 24） X 10"+^—X 10= 1100-100 = 1000,故答案为1000.选 B.8.若数列｛弘｝满足％+5如1 = 36/?+18,刀丘『 且6/1 = 4,猜想其通项公式为（）A. 3/7+1B. 4/7C. 5/7— 1D. 6/7—2B. 2/7 D ・ n +〃+13五边形数N5, 5）=夺 1答案D解析由0=4求得臼2=10,臼3=16,经检验臼”=6/7—2.故选D.二、填空题9. 设$=l+*+g+# -------------- 寺，则$+1 —$= _______2“+1 +2/,+ 2+2//+3+，，＜+9+1 — ^=2'+1+2/，+2 +2/，+3_1 卜2"+2"10.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 下图为一组蜂巢的截面图•其屮第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，以代/7）表示笫/7个图的蜂巢总数，则用/7表示的A/；） =•解析 由于 f(2)—f(l)=7—l=6, A3)-A2) =19-7=2X6, 推测当心2 时,有 f(/7)— f(/7—1) =6(/7—1),所以 f ｛n) = [f(n) — f\n — 1) ] + [f(〃一 1) —/'(〃一2) ] + [Az?-2) —f(n —3)] 卜[f(2)-f(l)]+f(l)=6[(/?-l) + (/?-2)+・・・ + 2 + l]+l=3/-3/?+l.又 f(l) =l=3xr-3Xl + l, ・・・f(/7)=3//-3〃+l.11. 设数列｛/｝的前刀项和为S”且对任意的自然数刀都有($—1)2=/$,通过计算S,$, 猜想 Sn= __________ .n答案币解析由（$ —1）2=£,得 $=*； 2由(1)2= (5 —$)$,得 $=§；答案 解析S T +1 = 1 b 2 + 3+44 答案1'+2'+3'+4‘=(1+2+3+4)2,由此可猜想第刀个等式为 1'+2‘+3'+4‘+・・・ + /= (1+2+3、9 n n+1+・・+沪=———三. 解答题13. (2017 •河南期末)设等差数列&｝的公差小0,且 沙0,记T lt =——3\32 日2&3 3n3trV\(1) 用句，〃分别表示蛊，兀，并猜想兀； (2) 用数学归纳法证明你的猜想.解 (1) T\= = TTJ~；由此可猜想T tl = ------ .a\ a\-r nd(2)证明：①当〃=1吋，7\= ------ ,结论成立,a\ a\ + d②假设当n=k 时(圧N")时结论成立， 即 Tk= I ,,—,a\ a\~\~kd则当 n=k+1 时，Tk+i = T k + ---- -禺+偸+2=—士—+ __________________ 1 ___________ a\ a\ + kd a\ + kd [&+ k+l d]•: 3f t = 2 3n+1 — 1 91 . 112 —十 日日花】 日2丿“ T1 1 1 1 1 ¥ I' /3 —十 十 臼<31 电丄丄' | 2 2® di) 日 1 日 3 a\ a\ + 2d(1) COS'3X2^=COS2兀 3X2^= 2(COS ^^7・・・盼产土寸岁，又“+122,日”+i〉0,(2)当刀=1 时,0=_*,方】=1一2 = — 1, /. ai>Z?i,当n=2时，&2=刁血=1—㊁=空，:.氐=b“当n— 3时，臼3=^"",厶=1 —§=§，猜想：当/?23时，必人，下面用数学归纳法证明：①当77=3时，由上知，曰3＜厶，结论成立.②假设n=k, 5,时，幼5成立，1 4即证明I~T^T＜ 1 - k+\•A+1 ! +「2 ]•・_ £+1 ~~-~~k+\~~"J 'I 4 「 2 T即证明&+i •&+i ! +[ &+1 •&+1 ! %，k_\ 2「 2 n即讪明k k+1—•—~k+l — +|_ —•—k+l —显然成立・:.n=k+1吋，结论也成立.综合①②可知：当心3时，成立.综上可得，当门=1时，0＞方1；当n=2时，6?2=&；当〃23, /7EN*时,冰bn、15.(2018 •上饶模拟)已知等差数列｛/｝的公差〃大于0,且昂是方程/-12^+27 =0的两根,数列｛爲的前刀项和为％且7；=1—尹.(1)求数列｛廟，｛加的通项公式；(2)设数列⑷的前/?项和为$,试比较*与恥的大小,并说明理由.解(1)设弘的首项为V^2,念是方程x — 12x+27 = 0的两根，• •禺=2/7 — 1.1 2T 〃= 1 时，A=7i = l —前,:.bi =-心2时，％=1-如"①，％一】=1-挤一1②,(2)5=1+ 7_1 刀=//,汕=(卄1严， 以下比较+与Sm 的大小：On1 3 1当n =1时，〒=云,$=4,〒〈$,力：2 bi 1 9 1当刀=2 时，—$=9, —<S, b> z th1271当刀=3 时，—=~, $=16, 了〈$,‘ 1 1 81 1 日刀=4 吋，厂二£=25, 丁>&,b\ 2 b\猜想：刀24时，｝>9+i.bn 下面用数学归纳法证明： ① 当77=4时，已证.② 假设当n=k(kwN, ^4)吋，*Sz3X 即y>(A+l)2,那么,n=k+1 时, ] 3*+i 3*"_=~=3 •石>3(*+1)2=3#+6A+3—(F + 4&+4) +2 护+2A —1> [ (&+1) + 1]'=S(A +I )+I .综合①②，当刀$4时，+>SrH ・16. (2018 •合肥模拟)函数A%)=/-2x-3.定义数列｛必｝如下：匿=2, 是过两点户(4, 5), @(疋，f(^))的直线/U 与X 轴交点的横坐标.⑴证明：2W 血5+K3；解得曰1 = 1,d=2、①一②得仏=飢7数列是等比数列.2（2）求数列｛/｝的通项公式.解（1）证明：用数学归纳法证明卄K3. ① 当刀=1时，孟=2,直线PQ 的方程为 厂5丿二「5匕—4）,令尸0,解得上=¥，所以2£眉＜卫〈3. ② 假设当n=k 时，结论成立，即2W 池5+K3. 直线PQz 的方程为y-^=r：）（A-4）,血+i —4所以2W*H 5+2＜3,即当n=k+1时,结论也成立. 由①②知对任意的正整数门,2W 疋＜^+K3・3 +4 x ⑵由⑴及题意得设 bn=X r — Z,'1 11 3 1 1 Q所以数列云+才是首项为一孑公比为5的等比数列，因此云+2=—]・門，即b 严一3 • 5z?_,+r3 由($ —1)2=($ — *S )得 $=孑猜想5?=刀+ ].12. (2018 •云南名校联考)观察下列等式：13 4= I 2,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+ 4：i=10\…，根据上述规律，第刀个等式为 __________ ・3 3 3 3 「77〃+ 1 I.,答案 1'+2'+3'+・・・+ /= ---------- ------ 〜解析 由第一个等式 13=12,得 13=(1+0)2；第二个等式 13+23=32,得 1'+2'= (1+2)2； 第三个等式13+23+33=62,得 13+23+33=(1+2+3)2；第四个等式 13+23+33+43=102,得故数列｛小的通项公式为如=32 + 池+1由归纳假设知心+2=驻g_ k\_a\+&+1 d\-\~ a\a\ a\ + kd[<3i+ k+\ d]& + kd&+1 k~\~ 1 a\ a\ + kd[0+k+1 d]0 [臼1+ k+1 d\'即n=k+1时，结论成立.由①②可知，几=----- 对于一切用2恒成立.a\ a\十nd14.(2017 •扬州模拟)在数列 &｝中，日“=cos3x 2(〃WN*).(1)试将N沖表示为②的函数关系式；2(2)若数列｛加满足5=\———(/?eN*),猜想/与人的大小关系，并证明你的结论.n • n\。

[学生用书P286(单独成册)]一、选择题1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123．法二：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123．2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55．3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7，5)B ．(5，7)C ．(2，10)D ．(10，2)解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n ，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC ．S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD ．S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n解析：选C ．在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n 类比到关于△OEF的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n，故选C ．5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析：选B ．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．6．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A ．3724B ．76C ．1115D ．715解析：选A ．通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，以此类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以 a 99＝78，a 100＝69．故a 99＋a 100＝3724．二、填空题7．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A ．答案：A8．(2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．解析：若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．答案：甲9．设A 和B 是抛物线上的两个动点，且在A 和B 处的抛物线的切线相互垂直，已知由A 、B 及抛物线的顶点所组成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为L 1，对L 1重复以上过程，又得一抛物线L 2，依此类推．设如此得到抛物线的序列为L 1，L 2，L 3，L 4，…，L n ，若抛物线的方程为y 2＝6x ，经专家计算得，L 1：y 2＝2(x －1)，L 2：y 2＝23(x －1－13)＝23(x －43)，L 3：y 2＝29(x －1－13－19)＝29(x －139)，L 4：y 2＝227(x －1－13－19－127)＝227(x －4027)，…，L n ：y 2＝2S n (x －T nS n)，则2T n －3S n ＝________．解析：由题意知T 1＝1，T 2＝4，T 3＝13，T 4＝40，…，分析得1，4，13，40，…组成一个数列，数列的前后两项之差是一个等比数列，即T n －T n －1＝3n －1， …T 3－T 2＝32， T 2－T 1＝3，把上述式子相加得到T n －1＝3＋32＋…＋3n －1， 所以T n ＝3n －12，由题意知S 1＝1，S 2＝3，S 3＝9，S 4＝27，…，分析得1，3，9，27，…组成的数列{S n }的通项是S n ＝3n －1，所以2T n －3S n ＝2×3n －12－3×3n －1＝－1．答案：－110．如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．解析：观察题图可知， 第一个拐弯处2＝1＋1， 第二个拐弯处4＝1＋1＋2， 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3， 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211．答案：211 三、解答题11．已知函数f (x )＝－a a x ＋a (a ＞0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )． 由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，所以－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称． (2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1．所以f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1．故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α· (cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α3＝4．。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( )A ．n ＝4B ．n ＝5C ．n ＝6D ．n ＝7 答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n 取第一个值时命题成立，又n ≥5，故第一步验证n ＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B. 3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故选A.4．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6 答案 C解析 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)都能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明如下：当n ＝1,2时，由以上得证．假设当n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)，∴f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k 答案 C解析 因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋(3k )＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .故选C.6．(2018·太原质检)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为 ( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C. 7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ； 正方形数N (n,4)＝n 2； 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ； 六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( ) A ．500 B ．1000 C ．1500 D ．2000 答案 B解析 由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( )A ．3n ＋1B ．4nC ．5n －1D ．6n －2 答案 D解析 由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D. 二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______. 答案 12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n .10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.答案 3n 2－3n ＋1解析 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， 推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n－1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.答案n n ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23； 由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n (n ＋1)22. 三、解答题13．(2017·河南期末)设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1.(1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )；T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )；T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 4＝1d⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )； 由此可猜想T n ＝na 1(a 1＋nd ).(2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立，②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立， 即T k ＝ka 1(a 1＋kd )，则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2＝ka 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ].即n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立．14．(2017·扬州模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)． (1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n ·n ！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论．解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12.(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1， 当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2， 当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3. 猜想：当n ≥3时，a n <b n ， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立． ②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立，即a k <1－2k ·k ！，则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12<2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！， 要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0， 即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立． ∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2； 当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．(2018·上饶模拟)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n 且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，∴⎩⎨⎧a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23.n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②， ①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列． ∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . (2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2， 以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1. 综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.16．(2018·合肥模拟)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为 y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3. ②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，11 令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1. 由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2. 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.(2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1. 故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。

板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 解法一：由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i＝1＋i ， ∴|z |＝ 2.故选C. 解法二：∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C. 2．[2018·湖南模拟]已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.3．[2018·江西模拟]已知复数z 1＝cos23°＋isin23°和复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )A.12＋32iB.32＋12i C.12－32i D.32－12i答案 A解析 z 1·z 2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝12＋32i.故选A.4．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45i D ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.故选B.5．[2018·天津模拟]已知复数z 满足(i －1)(z －i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．i －1B ．1＋2iC ．1－iD ．1－2i 答案 B解析 依题意可得z ＝2i i －1＋i 3＝－2i (1＋i )(1－i )(1＋i )－i ＝－(i －1)－i ＝1－2i ，其共轭复数为1＋2i ，故选B.6．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i20161＋i＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i 答案 D解析 z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则有a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 20161＋i ＝1＋11＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，选D.7．[2018·郴州模拟]设z ＝1－i(i 是虚数单位)，若复数2z ＋z 2在复平面内对应的向量为OZ→，则向量OZ →的模是( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 z ＝1－i(i 是虚数单位)，复数2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1－i.向量OZ→的模：12＋(－1)2＝ 2.故选B. 8．[2018·温州模拟]满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 12－i 2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.9．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.10．[2017·浙江高考]已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.[B 级 知能提升]1．[2018·成都模拟]已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为 z ，则|z |＝( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．217 答案 A解析 复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1，2)对应的复数为z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝ 5.故选A.2．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.3．[2018·厦门模拟]已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 4．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)． 5．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎨⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文的全部内容。

第一节数系的扩充与复数的引入A组基础题组1。

(2017北京东城期末）在复平面内,复数z=i(1+i)（i为虚数单位),那么|z｜= （）A。

1 B。

C。

D。

22。

(2017北京海淀期末）复数i（2—i)（i为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为( ) A。

(-2，1）B。

（2，-1）C。

（1，2) D.（-1，2)3.已知复数z满足z(1+i)=1（其中i为虚数单位）,则z的共轭复数是( ）A. B. C。

D.4.已知i是虚数单位，则复数=（)A。

1—i B。

-1+i C。

1+i D.—1—i5。

已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则z=( ）A.1+B.-2-2iC.-1—iD.1—i6。

（2016北京朝阳二模）复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（)C.第三象限D。

第四象限7.若复数z=+a（i为虚数单位)在复平面上对应的点在第二象限,则实数a可以是（) A。

-4 B。

—3C.1D.28。

若（1+i）+(2—3i)=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a,b的值分别为( ）A。