【三维设计】高考数学一轮复习 课时跟踪检测(二十九)数系的扩充与复数的引入 理 新人教A版

课时跟踪检测(二十九) 数系的扩充与复数的引入1．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－22．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)3．(2012·揭阳调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 24．(2013·深圳调研)复数 1＋2i 2＋i1－i 2等于( ) A.52 B ．－52C.52iD ．－52i5．(2012·中山调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z＝( ) A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i6．(2012·广东名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( )A ．1B ．2 C. 2D ．47．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ， 1＋i 2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA ―→和OB ―→，其中O 为坐标原点，则|AB ―→|＝________.10．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________.11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 12. －1＋i 2＋i i3＝________. 13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a 的虚部为________．1．(2012·广州一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ， 1－i x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．22．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2012·佛山质量检测)设i 为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．4．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.5．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，求证：u 为纯虚数．答 案 课时跟踪检测(二十八)A 级1．选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z2的虚部为0.2．选 A 由10i 3＋i ＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝10 1＋3i10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．选B 1＋2i 2＋i 1－i 2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 5．选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i 1－2i 1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z∩M ＝{－1,2}，即集合Z∩M 中有2个元素．8．选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB |＝ －1－1 2＋ 3－1 2＝2 2.答案：2 210．解析：z 2－2z z －1＝ z －1 2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i11．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)12．解析： －1＋i 2＋i i 3＝－3＋i－i ＝－1－3i. 答案：－1－3i13．解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R. 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i1＋2i 1－2i＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：－25B 级1．选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．解析：因为(1＋i)2＝2i ，所以(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝[(1＋i)2]2(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i ，故(1＋i)5的虚部为－4.答案：－44．解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16. 解之得m ＝1.答案：15．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8 a －2 >0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．。

第2讲数系的扩充与复数的引入[考纲解读] 1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)2．了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3．能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2021年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型．对应学生用书P1971.内容意义备注复数的概念形如□01a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为□02a，虚部为□03b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔□04a＝c且b＝d实部与实部、虚部与虚部对应相等共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔□05a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)实数的共轭复数是它本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，□06x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋bi 一一对应复平面内的点□01Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝□06z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝□07z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝□08z 1z 2＋z 1z 3. (4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是□09OZ 1→＋OZ 2→所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是□10OZ 1→－OZ 2→即Z 2Z 1→所对应的复数． 4.模的运算性质：①|z |2＝|z －|2＝□01z ·z －；②|z 1·z 2|＝□02|z 1||z 2|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝□03|z 1||z 2|.1.概念辨析(1)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)一定有两个根．( ) (2)若复数a ＋bi 中a ＝0，则此复数必是纯虚数．( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.小题热身(1)已知i 为虚数单位，z ＝41＋i，则复数z 的虚部为( ) A.－2i B ．2i C ．2 D ．－2答案 D 解析 z ＝41＋i ＝4(1－i )(1＋i )(1－i )＝4(1－i )2＝2－2i ，故虚部为－2.故选D. (2)(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. (3)在复平面内，复数z ＝cos3＋i sin3(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.4 B ．3 C ．2 D ．1答案 D解析 |z |＝cos 23＋s i n 23＝1.(4)设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i (i 为虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 答案 4解析 因为z 1z 2＝(2－i )(a ＋2i ) ＝2a ＋2＋(4－a )i ，且z 1z 2是实数，所以4－a ＝0即a ＝4.对应学生用书P198题型 一 复数代数形式的四则运算1.(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i )＝2i ，则z ＝( ) A.－1－i B ．－1＋i C.1－i D ．1＋i答案 D解析 由z (1＋i )＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i (1－i )＝1＋i .故选D.2.已知i 是虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2020＝________. 答案 0解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21010＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1010＝i 8＋i 1010＝1＋i 4×252＋2＝0.1.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．2.记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i )2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)a ＋bii ＝b －ai ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i (n ∈N )．1.(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A.2 B ．－2 C.13 D ．－13答案 A解析 (2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i＝－4i ＋21－2i ＝2(1－2i )1－2i＝2. 2.(2019·武汉模拟)设复数z 满足1＋2z1－z＝i ，则z ＝( ) A.15＋35i B.15－35i C.－15＋35i D ．－15－35i 答案 C 解析 解法一：由1＋2z 1－z ＝i 得1＋2z ＝i －iz ，所以z ＝－1＋i 2＋i ＝(－1＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－15＋35i .故选C.解法二：设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则1＋2z1－z＝i 可化为1＋2a ＋2bi ＝i －ai ＋b ，则1＋2a ＋2bi ＝b ＋(1－a )i ，所以⎩⎨⎧1＋2a ＝b ，2b ＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝35，所以z ＝－15＋35i .故选C.题型 二 复数的有关概念1.(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i (2＋i )，则z －＝( ) A.1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i (2＋i )＝－1＋2i ，∴z －＝－1－2i .故选D.2.(2019·青岛二模)“a ＝2”是“复数z ＝(a ＋2i )(－1＋i )i (a ∈R )为纯虚数”的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当a ＝2时，(a ＋2i )(－1＋i )i ＝2(1＋i )(－1＋i )i ＝－4i ＝4i ，为纯虚数；若(a ＋2i )(－1＋i )i ＝－a －2＋(a －2)ii ＝a －2＋(a ＋2)i 是纯虚数，则a －2＝0，a＋2≠0，所以a ＝2.所以“a ＝2”是“复数z ＝(a ＋2i )(－1＋i )i (a ∈R )为纯虚数”的充要条件．故选C.3.(2019·全国卷Ⅰ)设z ＝3－i1＋2i ，则|z |＝( )A.2B. 3C. 2 D ．1答案 C 解析 ∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.故选C. 4.(2019·东北育才学校模拟)若复数z ＝a ＋i1－i ，且zi 3>0，则实数a 的值等于( )A.1 B ．－1 C.12 D ．－12答案 A解析 ∵z ＝a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(a ＋1)i2，∴zi 3＝(a －1)i 3＋(a ＋1)i 42＝－(a －1)i ＋(a ＋1)2.∵zi 3>0，∴zi 3为实数，∴－a －12＝0，∴a ＝1.当a ＝1时，zi 3＝1>0，符合题意．故选A.处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部和虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．1.(2019·山西大学附中模拟)复数i (－6＋i )|3－4i |的实部与虚部之差为( )A.－1 B ．1 C ．－75 D.75答案 B解析 因为i (－6＋i )|3－4i |＝－15－65i ，所以实部为－15，虚部为－65，所以实部与虚部之差为－15－－65＝1.故选B.2.(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋bi )2＝3＋4i (i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 答案 5 2解析 因为(a ＋bi )2＝a 2－b 2＋2abi .由(a ＋bi )2＝3＋4i ，得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 题型 三 复数的几何意义1.(2020·福州质检)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A.1＋iB.35＋45iC.1＋45i D ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B.2.(2019·长沙一模)在复平面内表示复数m ＋im －i的点位于第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B ．(－∞，0) C.(0，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 D解析 由题意，得m ＋i m －i ＝(m ＋i )2(m －i )(m ＋i )＝m 2－1＋2mi m 2＋1＝m 2－1m 2＋1＋2m m 2＋1i ，所以复数m ＋i m －i 对应的点的坐标为m 2－1m 2＋1，2mm 2＋1.又此点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1m 2＋1>0，2m m 2＋1>0，解得m >1，即实数m 的取值范围是(1，＋∞)．故选D.3.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i |＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋yi .∵|z －i |＝1， ∴|x ＋yi －i |＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．1.(2019·长春二模)已知复数z ＝i ＋i 2，则在复平面内z 对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵i ＋i 2＝－1＋i ，∴i ＋i 2在复平面内对应的点为(－1,1)，在第二象限．故选B.2.在复平面内，若O (0,0)，A (2，－1)，B (0,3)，则在▱OACB 中，点C 所对应的复数为( )A.2＋2i B ．2－2i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析 在▱OACB 中，OC →＝OA →＋OB →＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C 所对应的复数为2＋2i .3.如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z 对应的复数z 满足(z 1－i )·z ＝1，则复数z 1＝( )A ．－25＋45i B.25＋45i C.25－45i D.－25－45i 答案 B解析 由图可知z ＝2＋i ，因为(z 1－i )·z ＝1， 所以z 1＝1z ＋i ＝12＋i＋i ＝2－i 5＋i ＝25＋45i .对应学生用书P289组 基础关1.(2019·潍坊模拟)设z ＝i 3＋2－i1＋2i ，则z 的虚部是( )A.－1 B ．－45i C ．－2i D ．－2答案 D解析 z ＝i 3＋2－i 1＋2i ＝－i ＋(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－i ＋2－5i ＋2i25＝－i －i ＝－2i ，∴z 的虚部为－2.故选D.2.(2020·大连摸底)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i 2＋3i＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z －＝－1＋2i 对应的点(－1,2)在第二象限.3.(2019·南宁二模)若复数z 满足(1＋z )(1＋i )＝1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝( ) A.22 B.32 C. 2 D. 3答案 A解析 解法一：由(1＋z )(1＋i )＝1＋2i ，得z ＝1＋2i 1＋i－1＝12＋12i ，所以|z |＝122＋122＝22.故选A.解法二：设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．由(1＋z )(1＋i )＝1＋2i ，得(1＋a ＋bi )(1＋i )＝1＋2i ，所以(1＋a －b )＋(1＋a ＋b )i ＝1＋2i ，所以⎩⎨⎧1＋a －b ＝1，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，所以z ＝12＋12i ，则|z |＝122＋122＝22.故选A.4.(2019·广东湛江测试)若z ＝(a －2)＋ai 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋ai ＝( ) A.i B ．1 C ．－i D ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋ai ＝2－i1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i .故选C.5.已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i >0，则m ＋2i2－2i＝( )A.i B ．1 C ．－i D ．－1答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i >0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i . 6.(2019·江西省重点中学协作体第一次联考)已知i 为虚数单位，(1＋i )x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则|x ＋yi |＝( ) A.2 2 B. 2 C ．2 D ．4答案 A解析 ∵(1＋i )x ＝2＋yi ，x ＋ix ＝2＋yi .∴x ＝2，y ＝2，∴|x ＋yi |＝2 2.故选A. 7.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z－2；p4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为()A.p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z－2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z－＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.8.(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．答案－2解析∵a∈R，a－i2＋i＝(a－i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝2a－1－(a＋2)i5＝2a－15－a＋25i为实数，∴－a＋25＝0，∴a＝－2.9.设i是虚数单位，若z＝i2020i2021－1，则复数z的虚部是________．答案－1 2解析因为z＝i2020i2021－1＝i505×4i505×4＋1－1＝1i－1＝－12－12i，所以复数z的虚部是－12.10.已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝________. 答案 43＋i解析 设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．因为z ＋|z |＝3＋i ，所以a ＋a 2＋b 2＋bi ＝3＋i ， 即⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，所以z ＝43＋i .组 能力关1.(2019·哈尔滨模拟)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，i 为虚数单位，z －为z 的共轭复数，则以下结论正确的是( ) A.z 2＝|z |2B.若a ＝0则z 为纯虚数C.(z －z －)(z ＋z －)＝0D.若a ＝b ，则z 对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上 答案 D解析 z 2＝(a ＋bi )2＝a 2－b 2＋2abi ，|z |2＝(a 2＋b 2)2＝a 2＋b 2，故A 错误；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数，故B 错误；因为z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，所以z －＝a －bi ，(z －z －)(z ＋z －)＝2bi ·2a ＝4abi ≠0，故C 错误；z ＝a ＋bi ，对应复平面上的点坐标为(a ，b )，若a ＝b ，则此点在复平面一、三象限角平分线上，故D 正确.2.(2019·湖北四地七校联考)欧拉公式e iθ＝cos θ＋i sin θ(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有e i π＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e －i 2020π3表示的复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析 由题意，e －i 2020π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2020π3＋i sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2020π3＝－cos π3＋i sin π3＝－12＋32i ，则e －i 2020π3表示的复数在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，位于第二象限．选B. 3.(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i )x ＋4＋ai ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋bi ，则复数z 等于( ) A.2－2i B ．2＋2i C.－2＋2i D ．－2－2i答案 A解析 由题意得b 2＋(4＋i )b ＋4＋ai ＝0，整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ (b ＋2)2＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i . 4.已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z －＋|z |在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 A解析 令z ＝a ＋bi (a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z －＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－bi ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限. 5.已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i (a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai |的取值范围是________． 答案 [1，5)解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋ai |＝1＋a 2∈[1，5).6.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3s i n θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫s i n θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．平行四边形法则3．共线向量定理向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA＋y OB (x ，y ∈R)，则x －y ＝________. 解析：法一：(直接法)根据图形有⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ＋AC ， AC ＝2AB ， AB ＝OB －OA ，所以OC ＝OA ＋2(OB －OA )，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.法二：(间接法)由B 为AC 的中点得OC ＋OA ＝2OB ， 所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.答案：－32．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t)·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R)⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． [练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________.解析：∵CD ＝BD －BC ＝12BA －BC ，则x ＝12，y ＝－1∴x ＋y ＝－12.答案：－122．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k[－(b －3a)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13对应学生用书P60向量的有关概念1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC .③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.答案：②③.2．设a0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a0；②若a 与a0平行，则a ＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a ＝a0.上述命题中，假命题的个数是________． 解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a 与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案：3[备课札记] [类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a|是与a 同向的单位向量，－a|a|是与a 反向的单位向量． 向量的线性运算[典例] (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] 由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.[答案] 12[备课札记]解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.答案：23[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． [针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．解析：①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立． 答案：2共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b)， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b)，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB . ∴AB ，BD 共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)， 即ka ＋b ＝λa ＋λkb. ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b.∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k2－1＝0.∴k ＝±1.[备课札记] [类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t(a ＋b)，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋tb ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ， 整理得(t －3＋3k)a ＝(2k －t)b.因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．对应学生用书P61[课堂练通考点] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的有________个．解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：32.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________.解析：∵CB ＝AB －AC ＝a －b ， 又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14(a －b)，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b)＝14a ＋34b.答案：14a ＋34b3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为________． 解析：因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ， 所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ， 即5PA ＋4PC ＝0，所以△PAB 与△PBC 的面积的比为PA ∶PC ＝4∶5. 答案：454.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 35．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b)，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b. 答案：－14a ＋14b6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2.答案：2[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．设a 、b 是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号) ①若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b ②若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|③若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ a ④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|解析：对于①，可得cos a ，b ＝－1，因此a ⊥b 不成立；对于②，满足a ⊥b 时|a ＋b|＝|a|－|b|不成立；对于③，可得cos a ，b ＝－1，因此成立，而④显然不一定成立． 答案：③2．(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2. 答案：1∶23．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为________．解析：如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN ，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13.答案：134．(2013·南通期中)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD＋15BC ，则S △APD S △ABC＝________. 解析：设E 为边BC 的中点．由AD ＝14(AB ＋AC )可知，点D 在△ABC 的中线AE 上，且AD ＝12AE ，由AP ＝AD ＋15BC ，得DP ＝15BC ，利用平面几何知识知S △APD S △ABC ＝12×15＝110.答案：1105．(2014·南通期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：在△ABC 中有BC ＋CA ＋AB ＝0， 又3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，消去AB 得 (3a －5c) BC ＋(4b －5c) CA ＝0， 从而3a －5c ＝0,4b －5c ＝0，故a ∶b ∶c ＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶126．(2014·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心， 连接AM 并延长交BC 于D ，则AM ＝23AD ，因为AD 为中线，则AB ＋AC ＝2AD ＝3AM ， 所以m ＝3. 答案：37．(2014·苏北四市质检)已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a|＋b|b|，则|p|＝________.解析：a |a|和b|b|分别表示与a ，b 同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p|＝ 1＋1＋2×1×1×cos π3＝ 3.答案： 38．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②错；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b)＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④.答案：39.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N.(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN .设AM ＝λAN (λ∈R)，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )， 所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )．因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n.(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m)AB ＋12(1－n) AC ，又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m) AB ＋12m AC ， 所以|MN |2＝14(1－m)22AB ＋14m22AC ＋12(1－m)m·AB ·AC ＝14(1－m)2＋14m2＋14(1－m)m＝14⎝⎛⎭⎪⎫m －122＋316， 故当m ＝12时，|MN |min ＝34.10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b.(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ， 连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b)， AE ＝23AD ＝13(a ＋b)，AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a)． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为 BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．第Ⅱ组：重点选做题1．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，用a 、b 表示PR ，则PR ＝________.解析：PR ＝OR －OP ＝(OR ＋OQ )－(OP ＋OQ )＝2OB －2OA ＝2(b －a)．答案：2(b －a)2．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．解析：由OA ＋OC ＝OB ＋OD 得 OA －OB ＝OD －OC ，∴BA ＝CD .所以四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形 第二节平面向量的基本定理及坐标表示对应学生用书P611．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB ＝(x2－x1，y2－y1)，|AB |＝x2－x12＋y2－y1 2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b ⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.[试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 解析：由a ∥b 得2×(－6)＝3x ，解得x ＝－4.答案：－42．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________． 解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12. 答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用．[练一练]设e1、e2是平面内一组基向量，且a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e1＋e2＝________a ＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma ＋nb.因为a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m －n)e1＋(2m ＋n)e2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13对应学生用书P61平面向量的坐标运算1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．解析：BC ＝AC －AB ＝(1,4)．答案：(1,4)2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j)＋μ(6i ＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4. 答案：43．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n.解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.[备课札记][类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b. [备课札记][类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________． 解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k(AN －AB )＝AB＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC －AB ＝(1－k)AB ＋k 4AC ， 且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311平面向量共线的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k ＝－1613. [备课札记]解：设d ＝(x ，y)，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，①a ∥b ⇒a ＝λb(b≠0)；②a ∥b ⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a ，b)．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AB ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AB .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．对应学生用书P63[课堂练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.解析：设b ＝(x ，y)，则a ＋b ＝(2＋x ，y －1)，由条件知2＋x ＝0，|y －1|＝1，解得x ＝－2，y ＝0或x ＝－2，y ＝2，故b ＝(－2,0)或(－2,2)．答案：(－2,2)或(－2,0)2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(ma ＋nb)∥(a －2b)，则m n等于________． 解析：由题意得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)a －2b ＝(4，－1)，由于(ma ＋nb)∥(a －2b)，可得－(2m －n)－4(3m ＋2n)＝0，可得m n ＝－12. 答案：－123．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.解析：由题意，得－4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－34，所以tan 2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 答案：－2474．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确结论的个数是________．解析：∵由题意得kOC ＝1－2＝－12，kBA ＝2－10－2＝－12， ∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误；∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．答案：35．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R)，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x(x<0)上，设点C 的坐标为(a ，－a)，a<0，则有(a ，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12. 答案：126．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．解析：∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)．∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC . ∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12. 答案：12[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·辽宁高考改编)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．解析：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________．解析：∵CD ＝2DB ，∴CD ＝23CB ＝23(AB －AC )， ∴CD ＝23AB －23AC ， 又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23， ∴r ＋s ＝0.答案：03．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为________． 解析：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b)∥(2a ＋b)，显然2a ＋b≠0，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－2x ＝λ16＋x ，12x －2＝λx ＋1⇒x ＝4(x>0)． 答案：4 4.创新题若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案：(0,2)5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号) ①AC ＝AB ＋AD ②BD ＝AD －AB③AO ＝12AB ＋12AD ④AE ＝53AB ＋AD 解析：由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB ，排除②；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD ，排除①、③. 答案：④6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)． PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：(－6,21)7．P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m)，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n)．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n. 得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}－13，－238．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC 不共线．∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠19．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b|；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为ka －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时ka －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(ka －b)，即此时向量a ＋3b 与ka －b 方向相反．10．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM ＝t1OA ＋t2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A ，B ，M 三点都共线． 解：(1) OM ＝t1OA ＋t2AB ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t2<0，2t1＋4t2≠0，故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0. (2)证明：当t1＝1时， 由(1)知OM ＝(4t2,4t2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB ，∴A ，B ，M 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题1.(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP ＝αAB ＋βAF (α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．解析：法一：分别延长DC ，AB 交于点G ，则 CG ∥AF ，且CG ＝AF ，从而AC ＝AG ＋GC ＝2AB ＋AF ， 同理可得AE ＝AB ＋2AF ，AD ＝2AB ＋2AF ，因为点P 在△CDE 内部(包括边界)，所以α＋β∈[3,4]．法二：建立如图所示的直角坐标系， 不妨设正六边形ABCDEF 的边长为2，则点A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，D(2,23)，E(0,23)，F(－1，3)，从而点P 位于区域⎩⎨⎧x ＋3y≥6，3x ＋y≤43，y≤23，中．又AP ＝αAB ＋βAF ＝(2α－β，3β)， 代入可行域得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β≥3，α≤2，β≤2，于是α＋β∈[3,4]．答案：[3,4]2.(2014·苏锡常镇一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋ μAP ，则λ＋μ的最小值为________．解析：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α，故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f(α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f′(α)＝2＋2sin α－cos α2cos α＋sin α2.因为f′(α)＞0恒成立，故f(α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调增．所以当α＝0时，f(α)min ＝f(0)＝12，所以(λ＋μ)min ＝12.答案：12第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例对应学生用书P631．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0. 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a ＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2) |x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y221．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a·b)·c 与a·(b·c)不一定相等． [试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，若向量a ＝e1＋2e2，b ＝4e1，则a·b＝________.解析：a·b＝(e1＋2e2)·4e1＝4e21＋8e1·e2＝4＋8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.答案：02．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.解析：如图，依题意向量BC ，BA 所成角为2π3，|BC |＝|BA |＝23，AC＝BC －BA ，EF―→＝13BC ＋BA ，EF ·AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13BC ＋BA ·(BC －BA )＝13|BC |2＋23BC ·BA －|BA |2＝－12.答案：－121．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：(a －2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b －2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cos a ，b＝0，可得cosa ，b＝12，又因为0≤a ，b≤π，所以a ，b＝π3. 答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，那么(a ＋b)2的值为________．解析：(a ＋b)2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7 对应学生用书P64平面向量的数量积的运算1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a·b＝________.解析：法一：由a·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝5，得a2－12a·b＝5， 即5－12a·b＝5，所以a·b＝0.法二：由a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，得b ＝(－4,2)，所以a·b＝0 答案：02．已知平面向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则x1＋y1x2＋y2的值为________．解析：由已知得，向量a ＝(x1，y1)与b ＝(x2，y2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－23x2，y1＝－23y2，故x1＋y1x2＋y2＝－23.答案：－233.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB ＝(2，0)，AE ＝(2，1)，AD ＝(0,2)．设AF ＝(x,2)，x ＞0，则AB ·AF ＝2x ＝2，解得x ＝1.所以F(1,2)，BF ＝(1－2，2)，于是AE ·BF ＝ 2. 答案： 24．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC―→|的最小值是________． 解析：∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC |min ＝ 6.答案： 6[备课札记] [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b＝|a||b|cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2..平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2014·南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________． 解析：设AD ＝a ，AB ＝b ，如图所示，|BD |2＝1＋4－2×1×2cos π3＝3，所以BD ＝ 3. 答案： 3角度二 平面向量的夹角2．(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e)，则向量a 与e 的夹角大小为________．解析：由条件得e·(a－e)＝0，从而e·a＝1. 所以cos 〈a ，e 〉＝12，故〈a ，e 〉＝π3.答案：π3(2)(2014·苏北四市一调)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．解析：a ，b ，c 是单位向量，模都为1，由a ＝b ＋c 得a －b ＝c ，所以(a －b)2＝c2，即a2＋b2－2a·b＝c2，得a·b＝12，所以|a||b|·cos θ＝12，即cos θ＝12，故θ＝π3.答案：π3角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·盐城二模)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．解析：由条件知|a|＝13，|b|＝1，a·b＝3，又λa ＋b 与a －2b 垂直，所以(λa ＋b)·(a －2b)＝0， 即λa2－2b2＋(1－2λ)a·b＝0，于是13λ－2＋(1－2λ)×3＝0，解得λ＝－17.答案：－17(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k)，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k －3)， ∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k(k －3)＝0， 即k2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.[备课札记][类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． 2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a2a±b 2＝(3)若a ＝y)，则|a|＝考点三平面向量与三角函数的综合[典例] (2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b|＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b|2＝2， 即(a －b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a ⊥b.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[备课札记][类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． [针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.对应学生用书P65[课堂练通考点]1．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e1－2e2，b ＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k 的值为________．解析：由题得|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|cos2π3＝－12，所以a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝k|e1|2＋(1－2k)·e1e2－2|e2|2＝k ＋2k －12－2＝0，解得k ＝54.答案：542．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．解析：由题意得AB ·AC ＋AB ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＝|AB |2＝4，所以AB ＝2. 答案：23．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k)．若|a ＋b|不超过5，则实数k 的取值范围是________． 解析：因为a ＝(－2,2)，b ＝(5，k)，所以a ＋b ＝(3，k ＋2)，所以|a ＋b|＝32＋k ＋22＝13＋4k ＋k2≤5，解得－6≤k≤2 答案：[－6,2]4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ·BC―→的值为________．解析：BD ·BC ＝BD ·(BA ＋AC )＝BD ·BA ＋BD ·AC ＝BD ·BA ＝|BD |·|BA |·cos∠ABD ＝|BD |2.在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝7，又S △ABC ＝12AB·BC·sin∠ABC ＝12×2×3×sin 60°＝332，所以12AC·BD＝332，所以BD ＝3217， 所以BD ·BC ＝|BD |2＝277.答案：2775．若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：由|a|＝|a ＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a ＋2b)2 ＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2. 又|a|＝3|b|，所以cos a ，b＝a·b |a||b|＝－|b|23|b|2＝－13. 答案：－136．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 解析：取BC 边的中点D ，连接AD ，则AO ·BC ＝(AD ＋DO )·BC ＝AD ·BC ＋DO ·BC ＝AD ·BC ＝12(AB ＋AC )·(AC －AB )＝12(AC 2－AB 2)＝12(62－102)＝－32. 答案：－32 [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·盐城二模)若e1，e2是两个单位向量，a ＝e1－2e2，b ＝5e1＋4e2，且a ⊥b ，则e1，e2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a·b＝0，从而5－6e1·e2－8＝0，所以e1·e2＝－12，故〈e1·e2〉＝2π3. 答案：2π32．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC|BC |＝________.解析：由条件得|AB ＋AC |＝|AC －AB |，故AC ·AB ＝0，即AC ⊥AB ，故|BC |＝2，∠ABC ＝60°，从而原式＝1×2×cos 60°2＝12.答案：123．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________． 解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0)4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.解析：如图，CD ＝CB ＋BD .又∵BD ＝2DA ，∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB )，即CD ＝23CA ＋13CB ，∵∠C ＝π2，∴CA ·CB ＝0，∴CD ·CA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 CA ＋13 CB ·CA ＝23CA 2＋13CB ·CA ＝6. 答案：6 5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC―→·EM―→的取值范围是________．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，C(1,1)，所以EM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x)2＋12.因为0≤x≤1，所以12≤(1－x)2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，326．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝________. 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝22|b|， ∴|2a －b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10.∴|b|＝3 2. 答案：3 27．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y)，若a ∥b ，(a ＋b)⊥(b －c)，M(x ，y)，N(y ，x)，则向量MN 的模为________．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)， b －c ＝(1，－2－y)．∵(a ＋b)⊥(b －c)，∴(a ＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2. 答案：8 28．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________． 解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λ2AB ＋2AC ＋(λ－1) AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：7129．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值； (2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b.解：(1)因为|a|＝cos2λθ＋cos2[10－λθ]， |b|＝sin2[10－λθ]＋sin2λθ， 所以|a|2＋|b|2＝2. (2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0， 所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b.10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos2A ，sin A)，n ＝(1，－sin A)，且m ⊥n. (1)求A 的大小；(2)当AB ＝pm ，AC ＝qn(p>0，q>0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos2A －sin2A ＝0. ∴3cos2A －1＋cos2A ＝0， ∴cos2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q. ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A＝2132pq.又∵p ＋q ＝6，且p>0，q>0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3.∴p·q≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24. 法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，A(0,33)，从而M(－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24. 答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b)，BG ＝13(b －2a)．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b)(b －2a)＝0，即2b2－5b·a＋2a2＝0，所以cos C ＝2b2＋2a25|b|·|a|≥45，故当|b|＝|a|时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：353.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C.(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．。

1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.第1课时 复数的有关概念1．复数：形如 ),(R b a ∈的数叫做复数，其中a , b 分别叫它的 和 ．2．分类：设复数 (,)z a bi a b R =+∈：(1) 当 ＝0时，z 为实数；(2) 当≠0时，z 为虚数；考纲导读(3) 当 ＝0, 且≠0时，z 为纯虚数.3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．5．若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 ， 叫虚轴．7．复数z ＝a ＋bi(a, b ∈R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.例1. m 取何实数值时，复数z ＝362+--m m m ＋im m )152(2--是实数？是纯虚数？解：① z 是实数503015122=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒m m m m ② z 为纯虚数2303060151222-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或变式训练1：当m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2＋3m ＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．例2. 已知x 、y 为共轭复数，且ixyi y x 643)(2-=-+，求x ．解：设),(,R b a bi a y bi a x ∈-=+=则代入由复数相等的概念可得1,1±=±=b a 变式训练2：已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值．由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a ii+++=（a ＋2)－(a ＋b)i从而21()1a ab +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．例3. 若方程0)2()2(2=++++mi x i m x 至少有一个实根，试求实数m 的值.解：设实根为o x ，代入利用复数相等的概念可得o x ＝222±=⇒±m 变式训练3：若关于x 的方程x 2＋(t 2＋3t ＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根．解：t=－3,x 1=0,x 2=3i ．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组．例4. 复数 (,)z x yi x y R =+∈满足|22|||i z z --=，试求y x 33+的最小值.设),(R y x yi x z ∈+=，则2=+y x ，于是692332=≥+-xx变式训练4：已知复平面内的点A 、B 对应的复数分别是iz +=θ21sin 、θθ2cos cos 22i z +-=，其中)2,0(πθ∈，设AB 对应的复数为z .(1) 求复数z ；(2) 若复数z 对应的点P 在直线xy 21=上，求θ的值.解：(1) θ212sin 21i z z z --=-= (2) 将)sin 2,1(2θ--P 代入xy 21=可得21sin ±=θ611,67,65,6ππππθ=⇒.1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.2．设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第2课时 复数的代数形式及其运算1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则(1) 21z z ±＝ ；(2) 21z z ⋅＝ ；(3)21z z ＝ (≠2z ).2．几个重要的结论：⑴ )|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++⑵zz ⋅＝ ＝ .⑶ 若z 为虚数，则2||z ＝ ()2 z =≠填或3．运算律⑴ n m z z ⋅＝ .⑵ nm z )(＝ .⑶ nz z )(21⋅＝),(R n m ∈.例1．计算：ii ii i 2121)1()1(20054040++-++--+解：提示：利用iii i =±=±20052,2)1(原式＝0变式训练1：23i=-（A ）13i -+ （B ）1322+（C ）1322-+（D ）13i -22(3)223132223(3)(3)i i ii i i +-+===-+--+ 故选C ；例2. 若012=++z z ，求2006200520032002zz zz +++解：提示：利用zzz ==43,1原式＝2)1(432002-=+++z z z z变式训练2：已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ． 解：2例3. 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由 解：提示：设),(R y x yi x z ∈+=利用复数相等的概念有⎩⎨⎧==++ax y y x 232220034222>∆⇒=-++⇒ay y ia a z a 216224||2-±-+=⇒≤⇒变式训练3：若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 解：3例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．证明：原方程化简为2||(1)(1)13.z i z i z i +--+=-设yix z +=(x、y ∈R ，代入上述方程得222213.x y xi yi i +--=-221(1)223(2)x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 将（2）代入（1），整理得281250.x x -+=160,()f x ∆=-<∴ 方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围. 解：由题意得 z 1＝151i i-++＝2＋3i,于是12z z -=42a i-+2(4)4a -+1z =13.2(4)4a -+13，得a 2－8a ＋7<0，1<a<7.1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如 ,i的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.复数章节测试题一、选择题 1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ）A 、-6B 、13 C.32D.132．定义运算bc ad dc b a -=,,，则符合条件01121=+-+ii i z ，，的复数_z 对应的点在（ ）A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ） A.－4； B.4； C.－1； D.1； 4．复数ii ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或 7．已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝（ ）(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i 8．若复数12,1z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a 为 ( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．09．如果复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于（ ） （A ）1- （B ）31 （C ）21 （D ）110．若z 是复数，且i z 432+-=，则z 的一个值为 （ ） A ．1-2i B ．1+2i C ．2-i D ．2+i 11．若复数15z a i =-+为纯虚数，其中,a R i ∈为虚数单位，则51a iai+-=（ ）A ． iB ． i -C ． 1D ． 1- 12．复数1i i+在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ）A ．12B ．22 C ．1 D ． 2二、填空题13．设z a bi =+，a ，b ∈R ，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a ，第二次得到的点数为b ，则使复数z 2为纯虚数的概率为 ．14．设i 为虚数单位，则41i i +⎛⎫= ⎪⎝⎭．15．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z= ．16．．已知实数x ，y 满足条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，i z x y =+（i 为虚数单位），则|12i |z -+的最小值是 ．17．复数z=12i+,则|z|= ．18．虚数（x －2）+ y i 其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1时，xy 的取值范围是（ ）A ．[－33，33] B ．033[-∪（]330C ．[－3，3]D ．[－3，0∪（0，3]19．已知ii a z --=1 (a>0)，且复数)(i z z +=ω的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω的模.20．．复平面内，点1Z 、2Z 分别对应复数1z 、2z ，且ia a z )10(5321-++=，22(25)1z a ia=+--，)(R a ∈其中，若21z z +可以与任意实数比较大小，求21OZ OZ ⋅的值（O 为坐标原点）.复数章节测试题答案一、选择题1． A 2．答案：A 3．答案：B 4．答案：B 6．答案：A7．A 8．B 9．B 10．B 11．D 12．B 二、填空题 13．6114．2i 15．1i + 16．答案：22175518． 答案：B ∵⎩⎨⎧≠=+-0y 1y )2x (22, 设k =x y,则k 为过圆（x －2）2 + y 2= 1上点及原点 的直线斜率，作图如下, k≤3331=,又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性 选B ．【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点.【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬. 19．解：i a a a i z z 221)(2+++=+=ωi a 3232+=⇒=⇒ω523||=⇒ω20．解：依题意21z z +为实数，可得。

高考数学一轮复习 数系的扩充与复数的引入课时跟踪检测 理 湘教版第Ⅰ组：全员必做题1．已知a 是实数，a ＋i1－i是纯虚数，则a 等于( )A ．－1B ．1 C. 2D ．－ 22．(2013·郑州质量预测)若复数z ＝2－i ，则z －＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i3．(2014·萍乡模拟)复数1＋2i 2＋i1－i 2等于( ) A.52B ．－52C.52iD ．－52i4．(2014·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，1＋i 2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．(2013·陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 226．(2013·重庆高考)已知复数z ＝5i 1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.7．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.9．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i 2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.10．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 答 案第Ⅰ组：全员必做题 1．选B a ＋i1－i ＝a ＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝a －1＋a ＋1i 2，当a ＋i 1－i 为纯虚数时，a －12＝0，即a ＝1.2．选D ∵z ＝2－i ，∴z －＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋102＋i 2－i 2＋i ＝6＋3i.3．选B1＋2i 2＋i 1－i 2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52.4．选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．5．选D 对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒1z ＝2z ，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋ 3 i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．6．解析：5i 1＋2i ＝5i 1－2i1＋2i 1－2i ＝2＋i ，所以|z |＝ 5.答案： 57．解析：由3＋b i1－i＝3＋b i 1＋i1－i1＋i＝3－b ＋3＋b i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案：38．解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i 9．解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i －i＝－1－3i.(2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i2＋1＋i1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝3＋i－i3＋i 2＝－i 3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.10．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． 第Ⅱ组：重点选做题1．选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.2．解析：∵|z －2|＝x －22＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 3。

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，=1+2i z i ，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 2．若，则复数z 在平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D3．复数(2m – 3m) + mi ()m ∈R 是纯虚数，则实数m 的值是( )A ．3B ．0C ．0或3D ．0或1或3【答案】A4．如果复数21a i i --是实数，（i 为虚数单位，R a ∈），则实数a 的值是( ) A ．-4B ．2C ．-2D ．4【答案】D 5．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ∙=，则z z 等于( ) A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±【答案】D 6．设i 是虚数单位，则复数(1－i)2－i i 2124-+等于( ) A ．0B ．2C ．4iD ．4i -【答案】D 7．已知i 是虚数单位，则复数32i i -+的虚部为( ) A ．iB ．i -C ．1-D ． 1 【答案】C 8．已知i 为虚数单位，则i 1i +所对应的点位于复平面内点( ) A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案】A9．2(1)i i -=( ) A ．2B ．-2C ．2iD ．-2i【答案】A10．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为( ) 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ． 23,p pB ． 12,p pC ． ,p p 24D ． ,p p 34 【答案】C11．若sin 211)i θθ-++是纯虚数（其中i 是虚数单位），且[0,2)θπ∈，则θ的值是( )A ．4πB ．34πC ．54πD ．4π或54π 【答案】A12．i 是虚数单位，若()(1)12,,,a bi i i a b R a b ++=+∈+则的值是( )A ．12-B ．-2C ．2D ．12【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若复数z=2812(43)(1)(1)i i --+-，则z =____________ 【答案】10014．设a 、b ∈R ，“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的____________【答案】必要不充分条件15．定义运算a c ad bc b d =-，复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模为____________16．已知复数z 满足2230,z z --=则复数z 对应点的轨迹是 ；【答案】1个圆三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知z 为虚数，92z z +-为实数． (1）若2z -为纯虚数，求虚数z ；(2）求|4|z -的取值范围． 【答案】（1）设i(,,0)z x y x y y =+∈≠R ，则22i z x y -=-+，由2z -为纯虚数得2x =，∴2i z y =+，则 9992i 2()i 2i z y y z y y+=++=+-∈-R ,得90y y-=，3y =±， 所以23i z =+或23i z =-.(2）∵2222999(2)9i []i 2i 2(2)(2)x y z x y x y z x y x y x y -+=++=++-∈-+--+-+R , ∴2290(2)y y x y-=-+，0y ≠,∴22(2)9x y -+=， 由2(2)9x -<得(1,5)x ∈-,∴|4||i 4|z x y -=+-==(1,5).18．已知ai +2，i b +（其中R b a ∈,）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根.(1）求a ，b ，p ，q 的值；(2）计算：qip bi a ++. 【答案】（1）2=b ，1-=a ；4-=p ，5=q .(2）413142516)54)(21(5421i i i i i -=+--+-=+-+-. 19．已知复数i z 21-=（i 为虚数单位）(Ⅰ）把复数z 的共轭复数记作z ，若i z z 341+=⋅，求复数1z ；(Ⅱ）已知z 是关于x 的方程022=++q px x 的一个根，求实数p ，q 的值。

课时作业28数系的扩充与复数的引入[授课提示：对应学生用书第223页]一、选择题1.(2017-新课标全国卷1 )下列各式的运算结果为纯虚数的是()A. i(l+i)2 B・ i2(l-i)C・(1+i)2 D・ i(l+i)解析：A 项,i(l+i)2=i(l+2i+i2)=iX2i=-2,不是纯虚数.B 项，i2(l- i)= —(1 —i)= — 1+i,不是纯虚数.C 项，(l+i)2=l+2i + i? = 2i,是纯虚数.D 项，i(l+i) = i + i?= —1+i,不是纯虚数.故选C.答案：C2.(2018-安徽江南十校联考)若复数z满足z(l-i) = |l-i| + i,则z的实部为答案：A3.(2015-新课标全国卷I)已知复数z满足(z—l)i=l+i,则z等于()A. —2—iB. -2+iC・ 2-i D・ 2 + i解析：由(z—l)i=l+i,两边同乘以一i,则有z—1 = 1—i,所以z=2—i. 答案：C4.(2018-云南省高三11校跨区调研考试)已知复数z满足(1—i)z=2i,则z 的模为()A・ 1 B.^2C萌D. 2解析：依题意得z = ] _)=(] _"j)(] ] j) = i( 1 + D = — 1 + i，|z| = I —1 + i| = (—1)2+卩=迈,选B・答案：B5.(2018-吉林二调)设复数z=lg(加—1)+勺1—加,则z在复平面内对应的一定不在第一、二彖限一定不在第二、三象限一定不在第三、四象限A.B.C.D. 一定不在第二、三、四象限m2—1>0, c ,--- 厂C.m<~ 1,此时lg(m^— 1)可正、可负，A/1 —1_加三0,解析：・・・故选C・答案：c6. （2018-开封一模）已知i为虚数单位，aWR,若*为纯虚数，则a=（）A.A/2B. 1C.*D. 22 — i解析：由题意得，a + j = (i‘ (HO，:亠—i = —z + /ai, —7=2，—,解得t=—2,1 故选C.答案：C7. (2018•广东肇庆模拟)若复数z满足(l+2i)z=(l—i),贝ij|z| = () A 2 ,3A-5 B5 r^0J 5解析:D.Vio1-i -l-3i . VlO z_l+2i_ —5― |z|_ 5 ・C答案：8. （2018-湖北优质高中联考）已知复数z=l+i（i是虚数单位），贝归一z?的共轨复数是（）■A・—1+引B・1+引C・ 1—3i D・—1—3i解析:f_z2=y^y_（l +i）2 =（】, ] _2i= 1—i —2i=l —3i,其共觇复数是l+3i,故选B.答案：B9. （2018-r东省五校高三第一次考试）已知a为实数，若复数z=（/—1）+（Q tz + i2016+ l）i为纯虚数，则叶.=（）A. 1 B・ 0C・ 1+i D. 1-i解析：z=(/—1)+(Q+l)i 为纯虚数，则有a1— 1 =0, a+lHO, 得Q=l, 1+)2016 1 + 1 2(1—i)刈有1+i = l+i=(I+i)(l—i)= 选D・答案：D10. （2018-深圳调研）已知复数z满足（l+i）z=|羽+ i|, i为虚数单位，则z等于()A. 1-i B ・ 1+i= l-i,故选 A.答案：A二、填空题11.复数|]+迈i|+ 1 2= • 解析：原式=严而十1^需匚萌+二2^単=萌+¥+普答案：i12. 设Z2=Z1 —izi （其中Z1表示Z]的共辘复数），已知Z2的实部是一1,则 Z2的虚部为 _______ ・解析：设 zi=a + bi(a, bWR), 所以 Z] =a — bi, Z2=Z[ — i z\ =a + bi — i (Q —bi) = a + bi —ai —b —a — b + (b —a ）i,因为Z2的实部是一1,所以a — b= — 1,所以z?的虚部为b —a=\. 答案：1 _13. （2018-南京二模）若复数z 满足z （l-i ）=2i （i 是虚数单位），7是z 的共轨复数，则2- Z = ________2i ——解析：本题考查复数的运算.复数z= [ _j = i(l +i) = - 1 + i,则z = — 1 —i, 所以 z =( — 1 +i)(—1 — i) = 2.答案：214. 己知复数zi = — l+2i, Z2=l — i, Z3 = 3—4i,它们在复平面上对应的点―► ―► ―►分别为力，B, C,若O C=XOA+fiOB, (2, “UR),则久+〃的值是 ________________ ・解析:由条件得OC=(3, -4), 04 = (—1,2),05=(1, -1),根据 O C=XOA+ftOB 得(3, —4)=2(—1,2)+“(1, 一1) = (—2+〃，22. —//),.•・久+“=1・答案：1解析：本题考查复数的四则运算与相关概念.由题可得D •出i—久+〃 =3,2久_〃=_4,［能力挑战］15.(2018-郑州第二次质量预测)己知复数心)=i"(用N*),则集合［z\z=J(n)｝中元素的个数是()A. 4 B・ 3C. 2D.无数解析：本题考查复数的运算.集合｛i, -1, —i,l｝中有4个元素，故选A. 答案：A16.(2018-安徽黄山二模)复数Z=(Q+1)+(/—3)i(i为虚数单位)，若zvO, 则实数G的值是()A.羽B. 1C・—1 D. —［a+1<0,解析：由题意得仁解得a=—书.故选D.⑷一3 = 0,答案：D17.(2017-北京卷)若复数(1—i)(a + i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数。

课时跟踪检测(二十九) 数系的扩充与复数的引入第Ⅰ组：全员必做题1．已知a 是实数，a ＋i 1－i是纯虚数，则a 等于( ) A ．－1B ．1 C. 2 D ．－ 22．(2018·郑州质量预测)若复数z ＝2－i ，则z －＋10z＝( ) A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i 3．(2018·萍乡模拟)复数＋＋－2等于( ) A.52B ．－52 C.52i D ．－52i 4．(2018·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．(2018·陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 226．(2018·重庆高考)已知复数z ＝5i 1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________. 7．若3＋bi 1－i＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________. 9．计算：(1)－1＋＋i 3； (2)＋2＋－2＋i ； (3)1－i ＋2＋1＋i －2；(4)1－3i 3＋2.10．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋bi 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i 2．已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题 1．选B a ＋i 1－i ＝＋＋－＋＝a －1＋＋2，当a ＋i 1－i 为纯虚数时，a －12＝0，即a ＝1. 2．选D ∵z ＝2－i ，∴z －＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋＋－＋＝6＋3i. 3．选B ＋＋－2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 4．选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M 中有2个元素．5．选D 对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒1z ＝2z ，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋ 3 i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假 6．解析：5i1＋2i＝－＋－＝2＋i ，所以|z|＝ 5. 答案： 5 7．解析：由3＋bi 1－i ＝3＋＋－＋＝3－b ＋＋2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2， 解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：38．解析：z 2－2z z －1＝－2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i. 答案：－2i9．解：(1)－1＋i 2＋i i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i3＋2＝3＋－3＋2 ＝－i 3＋i ＝－3－4＝－14－34i. 10．解：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，－，解得2<a<6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．第Ⅱ组：重点选做题1．选B 设(x ＋yi)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2.2．解析：∵|z －2|＝－2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 3。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算对应学生用书P62基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1．了解向量的实际背景；2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3．理解向量的几何表示．(二)小题查验1．判断正误(1)向量AB与向量BA是相等向量( )(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小( )(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.(人教A版教材例题改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量．解：OA＝CB＝DO；OB＝DC＝EO；OC＝AB＝ED＝FO.基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义；3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量( )(2)BA＝OA－OB ( )(3)向量a－b与b－a是相反向量( )(4)两个向量相加就是两个向量的模相加( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材习题改编)化简：(1)(AB ＋MB )＋BO ＋OM ＝________. (2)NQ ＋QP ＋MN －MP ＝________. 答案：(1)AB (2)0 基础盘查三 共线向量定理 (一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ( )(3)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－13对应学生用书P62考点一 向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[题组练透]1．给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是( )A．②③B．①②C．③④ D．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a ∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a 与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度．(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等．(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．考点二向量的线性运算(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．向量的加法定义：求两个向量和的运算．运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b.求两个向量差的运算叫做向量的减法．运算法则(几何意义)：如图3．向量的数乘定义：实数λ与向量a的积运算，即λa.运算法则(几何意义)：如图，λa的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ|·|a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.运算律：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.[提醒] (1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2)λ＝0或a＝0⇔λa＝0.[典题例析]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB ＋FC＝( )A ．AD B.12AD C ．BCD.12BC 解析：选A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 2．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[类题通法]1．向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2．两个结论(1)P 为线段AB 的中点⇔OP ＝12(OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔GA ＋GB ＋GC ＝0.[演练冲关]1．(2015·聊城二模)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c解析：选A 如图，可知AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23(AC －AB )＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .故选A.2．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2DB ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.答案：23考点三 共线向量定理的应用(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b ＝λa . [提醒] 限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．[一题多变][典型母题]设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[解] ∵AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2， ∴AC ＝AB ＋BC ＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线，∴AC ∥AF ，从而存在实数λ，使得AC ＝λAF . ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.[题点发散1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线． 解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即k e 1＋e 2＝λe 1＋λk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.[题点发散2] 在本例条件下，如果AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线．证明：∵AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，∴AC ＝AB ＋BC ＝4e 1＋e 2，又CD ＝－8e 1－2e 2， ∴CD ＝－2AC ，∴AC 与CD 共线．又∵AC 与CD 有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A ，B ，C 三点共线．对应A本课时跟踪检测二十五一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )A．a B．bC．c D．0解析：选D 依题意，设a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有(a＋b)－(b＋c)＝m c－n a，即a－c ＝m c－n a.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.3．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则( )A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B 因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ， CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．5．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ＝m AB ＋n AD (m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EF ＝m a ＋n b ，BE ＝AE －AB ＝12b －a ，由向量EF 与BE 共线可知存在实数λ，使得EF ＝λBE ，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.6．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ＝12(OA ＋OB )，又OA ＋OB ＋2OC ＝0，∴OD ＝－OC ，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 二、填空题7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2.答案：28．(2015·江门模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA ＋BP ＋CP ＝0，AP ＝λPD ，则实数λ的值为________．解析：如图所示，由AP ＝λPD 且PA ＋BP ＋CP ＝0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP ＝－2PD ，则λ＝－2.答案：－29．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ，∴OA －OB ＝OD －OC ， ∴BA ＝CD ，BA 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形10．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④. 答案：3 三、解答题11．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )，AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为BE ，BF 有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．第二节平面向量的基本定理及坐标表示对应学生用书P64基础盘查一 平面向量基本定理 (一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( ) (2)在△ABC 中，向量AB ，BC 的夹角为∠ABC ( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的( )(4)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材复习题改编)设M 是▱ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝________OM .答案：4基础盘查二 平面向量的坐标运算 (一)循纲忆知1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． (二)小题查验 1．判断正误(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (3)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则AB ＝(－3,2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)基础盘查三 平面向量共线的坐标表示 (一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件． (二)小题查验 1．判断正误(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2( ) (2)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4( ) 答案：(1)× (2)√2．O 是坐标原点，OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k ＝________时，A ，B ，C 三点共线？答案：－2或11对应学生用书P65考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[题组练透]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1解析：选D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点二 平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2); (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； (3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )；|a |＝x 2＋y 2.[题组练透]1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)． 2．(2015·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC ＝3c ， ∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ＝(9，－18)．[类题通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求mn的值． 解：m a ＋n b ＝(3m －n,2m ＋2n )，a －2b ＝(5，－2)， 由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0.∴m n ＝－12. [题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能否共线．解：AB ＝(－4,0)，AC ＝(1，－1)， ∵－4×(－1)－0×1≠0，∴AB ，AC 不共线． ∴A ，B ，C 三点不共线．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．对应B 本课时跟踪检测二十六一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD＝b ，则BE ＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)． ∴OC ＝12AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选D. 3．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为( )A ．(0，－2)B ．(－4,2)C ．(16,14)D ．(0,2)解析：选A 设D (x ，y )，由题意知BD ＝BA ＋BC ， 即(x －6，y －8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝－6，y －8＝－10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2.故选A.4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析：选C 若点A ，B ，C 不能构成三角形， 则向量AB ，AC 共线，∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.6．(2015·山西四校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 二、填空题7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －138．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：129．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：(－6,21)10．(2015·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}－13，－三、解答题11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴A ，B ，M 三点共线．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例对应学生用书P66基础盘查一 平面向量的数量积 (一)循纲忆知1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．(人教A 版教材例题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝________答案：－10基础盘查二 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (一)循纲忆知1．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0( )(2)两向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0( )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A版教材复习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为30°，则|a－b|＝________.答案：13．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于________．答案：9基础盘查三平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．(二)小题查验1．判断正误(1)(a·b)·c＝a·(b·c)( )(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c( )答案：(1)×(2)×2．(人教A版教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b ＝2e2－3e1的夹角为______．答案：150°对应学生用书P67考点一平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．[提醒] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．[题组练透]1．(2015·云南统一检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 2.(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，由定义知AB 在CD 方向上的投影为AB ·CD|CD |＝1552＝322.3．(2014·重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a |＝－2＋－2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．(2015·东北三校联考)已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC ＋DB )，则BE ·DF ＝________.解析：如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，D (2,2)．由DF ＝12(DC ＋DB )知F 为BC 的中点，故BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，DF ＝(－1，－2)，∴BE ·DF ＝－2－43＝－103.答案：－103[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.[提醒] (1)在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c . (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )．考点二 平面向量数量积的性质(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：[多角探明]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A 因为AD ＝12(AB ＋AC )＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD |2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD |＝2.2．(2014·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)， ∵ λa ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5. 答案： 5角度二：平面向量的夹角3．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，可得cos 〈a ，b 〉＝12，又因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以〈a ，b 〉＝π3.4．(2014·江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.答案：223角度三：平面向量的垂直5．(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D.152解析：选C 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.6．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)， ∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.[类题通法]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三 平面向量与三角函数的综合(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[演练冲关]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R ，(1)当a ·b ＝12时，求x 的取值集合；(2)设函数f (x )＝(a －c )2，求f (x )的最小正周期及其单调递增区间．解：(1)∵a ·b ＝cos 3x 2cos x 2＋sin 3x 2sin x 2＝cos x ＝12，∴x ＝2k π±π3(k ∈Z )．∴所求x 的取值集合为xx ＝2k π±π3，k ∈Z .(2)∵a －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－3，sin 3x 2＋1，∴f (x )＝(a －c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝5－23cos 3x 2＋2sin 3x 2＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 3x 2－32cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3. ∴最小正周期为T ＝2π32＝4π3.由2k π－π2≤3x 2－π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π3－π9≤x ≤4k π3＋5π9(k ∈Z )． ∴单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π3－π9，4k π3＋5π9(k ∈Z )．对应A 本课时跟踪检测二十七一、选择题1．(2015·惠州调研)已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( ) A. 5 B.13 C ．5D ．13解析：选 B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13.2．(2015·长春调研)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C.12D.35解析：选A b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311，故选A.3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A.3π4B.π4C.π3D.2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.4．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选 C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0,2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB |＝|AC |，故△ABC 一定是直角三角形．5．(2015·东北三校联考)已知△ABC 中，|BC |＝10，AB ·AC ＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD |等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选 D 由题知AD ＝12(AB ＋AC )，AB ·AC ＝－16，∴|AB |·|AC |cos∠BAC ＝－16.在△ABC 中由余弦定理得，|BC |2＝|AB |2＋|AC |2－2|AB ||AC |cos ∠BAC ，∴102＝|AB |2＋|AC |2＋32，|AB |2＋|AC |2＝68，∴|AD |2＝14(AB 2＋AC 2＋2AB ·AC )＝14(68－32)＝9，∴|AD |＝3，故选D.6．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.[]0，1解析：选 C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.二、填空题7．(2015·北京东城质量检测)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－2＝8 2.答案：8 28．(2015·山西四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB ＋AC ＝2AO ，且|OA |＝|AC |，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为________．解析：∵AB ＋AC ＝2AO ，∴O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA |＝|AC |，∴∠B ＝30°.由定义，向量BA 在向量BC 方向上的投影为|BA |cos ∠B ＝23×32＝3. 答案：39．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA ＋OB ＋OC ＝0，则向量OA ，OB 的夹角为________．解析：∵A ，B ，C 为单位圆上三点， ∴|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， 又OA ＋OB ＋OC ＝0， ∴－OC ＝OB ＋OA ，∴OC 2＝(OB ＋OA )2＝OB 2＋OA 2＋2OB ·OA ，可得cos 〈OA ，OB 〉＝－12，∴向量OA ，OB 的夹角为120°. 答案：120°10．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，则AB ·AD 的值是________．解析：因为AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋14 AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34 AB ＝|AD |2－316|AB |2－12AD ·AB ＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ·AD ＝22. 答案：22 三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)由题设知AB ＝(n －8，t )， ∵AB ⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA |＝|AB |，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB ＝(24,8)或OB ＝(－8，－8)． (2)由题设知AC ＝(k sin θ－8，t )， ∵AC 与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k2＋32k. ∵k ＞4，∴0＜4k＜1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC ＝(4,8)．∴OA ·OC ＝(8,0)·(4,8)＝32.第四节数系的扩充与复数的引入对应学生用书P69基础盘查一 复数的有关概念 (一)循纲忆知1．理解复数的基本概念； 2．理解复数相等的充要条件． (二)小题查验 1．判断正误(1)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时复数z 为纯虚数( ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材例题改编)如果(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则x ＝________，y ＝________.答案：4 －2基础盘查二 复数的几何意义 (一)循纲忆知了解复数的代数表示法及其几何意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)原点是实轴与虚轴的交点( )(2)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )答案：(1)√ (2)√2．(人教A 版教材习题改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为________．答案：3＋5i基础盘查三 复数的运算 (一)循纲忆知1．会进行复数代数形式的四则运算；2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立( ) (3)两个复数的积与商一定是虚数( )(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(人教A 版教材习题改编)计算： (1)2i 2－i＝________，(2)＋2＋＝________.答案：(1)－25＋45i (2)1－38i对应学生用书P69考点一 复数的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋。

第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的 投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为 【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为 卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》 当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为 一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实 数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［ 平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。