2018年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题限时集训4平面向量

2018高三二轮复习之讲练测之练案【苏教版数学】专题三 三角函数与平面向量1.练高考1. 【2017北京，理6 改编】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的_____条件（在充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件 、既不充分也不必要条件选择） 【答案】充分而不必要条件【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选填充分而不必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2. 【2017课标3，理12 改编】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为______ 【答案】3 【解析】所以z的最大值为3.【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b|= .【答案】23【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= 所以|2|1223a b +==.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.4. 【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 【答案】33【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立λ的方程.5. （2016年高考江苏卷）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅===,22414FO BCBF CF -⋅==-, 因此22513,BC 82FO ==，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅=== 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：2244AO BCBA CA -⋅=6. 【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.2.练模拟1.【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试数学试题】直角ABC ∆中， 2AB AC ==， D 为AB 边上的点，且2ADDB =，则CD CA ⋅=______；若CD xCA yCB =+，则xy =________． 【答案】 4 29【解析】建立直角坐标系，设()()()40,0,2,0,0,2,,03A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以CD CA ⋅=()4,20,243⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，由CD xCA yCB =+得 ()()44212,20,22,22,222,,33339x y y x y y x xy ⎛⎫-=-+-∴=-=--∴=== ⎪⎝⎭2. 【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三校内第一次诊断考试数学】已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *),向量()0,1i =，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201612122016cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为_________．【答案】20162017【解析】1,1n OA n n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以()2222111cos 1111n n n n n n θ+==++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，因[]0,n θπ∈，故()()()2222211sin 11111n n n n n n n θ⎛⎫+ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭，所以()cos 111sin 11n n n n n n θθ==-++，故所求之和为11111120161223201620172017-+-++-=，填20162017．3. 【辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测（一）数学理】已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点， P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+（）的最小值是__________． 【答案】-1【解析】以A 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()0,0,2,0,0,2A B C ，则(),P x y ，()()(),,2,,,2PA x y PB x y PC x y ==-=-，利用向量的坐标运算法则有：()()()2211,22,2222122PA PB PC x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，当12x y ==，即点P 坐标为11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭时， PA PB PC ⋅+（）取得最小值是1-. 4. 【湖南师范大学附属中学2018届高三上学期月考（五）理】已知向量,a b 夹角为3π， 2b =，对任意x R ∈，有b xa a b +≥-，则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________． 【答案】725. 【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考数学（理）】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，向量ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）若π6βα=-，求向量OA 与OB 的夹角； （2）若2AB OB ≥ 对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）向量OA 与OB 的夹角为3π；（2）3λ≥．.3.练原创1.已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数,x y ，使得AO xAB yAC =+，且21x y +=，则cos BAC ∠= . 【答案】23【解析】试题分析：设AC 中点为M ，222ACAO xAB yxAB y AM =+=+,所以B,O,M 三点共线，所以23AM AB =，也就是2cos 3BAC ∠=．【名师点睛】把题设条件变形为2AO xAB yAM =+，利用系数和为1得到B,O,M 三点共线，这样得到一个特殊的三角形2．试题平面向量a 与b 的夹角为o 60， ()2,0a =， 1b =，则2a b +=_______ . 【答案】23【名师点睛】利用2a a =计算模长.3.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系，由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】如果量向量的夹角不容求得，则建立直角坐标系把数量积的计算归结为坐标的运算． 4.已知ABC 三个内角A ， B ， C 的对应边分别为a ， b ，c ，且π3C =， 2c =．当AC AB ⋅取得最大值时，ba的值为____． 【答案】23+【解析】设ABC ∆的外接圆半径为R ，则432sin 3c R C ==. 4383cos 2cos 2sin cos sin cos 33AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= , 23B A π=-, 832cos sin 33AC AB A A π⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭ 2833143cos cos sin 4cos 3223A A A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭sin cos A A()2323431321cos2sin2sin22cos22sin2cos233322A A A A A A ⎛⎫=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭43sin 2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ . 240,0233A A ππ<<<<,52333A πππ<+< ，则当232A ππ+=，即： 12A π=时， AC AB ⋅取得最大值为4323+，此时ABC ∆中， 7,12B π= ,7sinsin 1212a bππ=()()2317sin 12423231sin 124b a ππ+===+- . 【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线，本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角A 的三角函数式，根据角A的范围研究三角函数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用.5.设ABC ∆是边长为1的正三角形，点321,,P P P 四等分线段BC （如图所示）．（1）求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数m 的值； （3）P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，求PAB ∠cos 的值． 【答案】（1）813；（2）41；（3）13265．【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及余弦定理，属于中档题.解决本题的关键有二：一是利用线段的中点坐标公式得到2121()2AP AB AP AP ⋅+=；二是在第（3）问中利用2PP 是PA 在PC 方向上的投影将cos PA PC APB -∠转化为2PC PP -，再进行求解.。

专题4：平面向量问题归类篇类型一：向量的运算一、前测回顾1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.答案：－3．2． (1)已知向量a ＝(0，2)，|b |＝2，则|a －b |的取值范围是 ．(2)若a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是 ．(3) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案：(1)[0,4]； (2)[0,1]； (3) 90°．3．(1)已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________． (2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，|a －2b |＝19，则向量a ，b 的夹角是 ． (3) 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________． (4)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于____ __． 答案：(1)－32； (2)2π3； (3) 32； (4)12．4．(1)在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ．则−→AD ·−→BC ＝ ．(2)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，E 为CD 中点， 则−→AE ⋅−→BD ＝ ．(3)已知OA ＝2，OB ＝23, −→OA ·−→OB ＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝60︒，则−→AB ·−→OC ＝________________．(4)在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，E 为BC 边上的点，且−→AE ·−→BC ＝0．则−→AD ·−→BC ＝ ；−→AD ·−→AE ＝ ． 答案：(1)－83； (2)1； (3)4； (4)－83, 37．二、方法联想1．向量的运算方法1 用向量的代数运算．方法2 结合向量表示的几何图形． 三、归类巩固*1．已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则a 的模的取值范围是 答案：（0，233]．提示：结合向量的几何图形求解．A BCD E**2．在等腰梯形ABCD 中,已知AB 平行于DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝π3，动点E ，F 分别在线段BC ，DC 上，且−→BE ＝λ−→BC ，−→DF ＝19λ−→D C ，则−→AE ·−→AF 的最小值为 .答案：1829． 提示：数量积−→AE ·−→AF 标示为λ的函数．***3．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3， 则AO →·BC →＝________. 答案：52．提示：外心隐含着垂直关系．类型二：形如AD →＝x AB →＋y AC →等式中系数x ，y 值的确定一、前测回顾1．在△ABC 中，点M ，N 满足−→AM ＝2−→MC ,−→BN ＝−→N C ．若MN →＝x AB →＋y AC →，则x ＋y 的值为． 答案：13．2．平面内有三个向量−→OA ，−→OB ，−→OC ，其中−→OA 与−→OB 的夹角为2π3，−→OA 与−→OC 的夹角为π6，且，|−→OA |＝|−→OB |＝2，|−→OC |＝43，若(),OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的值为_______．答案：6．3．已知在△ABC 中，O 为△ABC 的外心，AB ＝16，AC ＝102，AO →＝x AB →＋y AC →，且32x ＋25y ＝25，则|AO →|等于___________．答案：10．提示：由AO x AB y AC =+，可得AO AO x AB AO y AC AO ⋅=⋅+⋅，211282AB AO AM AB AB ∴⋅===，同理：211002AC AO AN AB AC ∴⋅===，所以()212810043225100AO x y x y =+=+=， 所以|AO →|＝10． 二、方法联想方法1 通过平面向量运算，完成向量AD →用AB →，AC →表示，进而确定x ，y 的值．方法2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式AD →＝x AB →＋y AC →，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x ，y 的方程，再进行求解．方法3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x ，y 的方程，再进行求解． 三、归类巩固**1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则x ＋4y 的最小值是________．答案：94．***2．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2， AB →·AC →＝－1，O 是△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋y AC →，则x ＋y 的值为________．答案：136． 类型三：平面向量的综合应用 一、前测回顾1．平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=，且0MA MB ⋅=，若1233MC MA MB =+，则MC的最小值为___________．答案：4． 2．已知a ，b 是单位向量，且a ，b 的夹角为60°，，若向量c 满足|c －a ＋2b|＝2，则|c|的最大值为_____．答案：2+3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ．答案：－3．二、方法联想方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决． 三、归类巩固**1．在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是_____． 答案:2．提示：以BC 所在直线为x 轴, 中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则点B(-1,0),C(1,0)。

限时规范训练三算法、框图与推理限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23解析：选D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )A．7 B．8C．9 D．10解析：选D.根据程序框图知，当i＝4时，输出S.第1次循环得到S＝S0－2，i＝2；第2次循环得到S＝S0－2－4，i＝3；第3次循环得到S＝S0－2－4－8，i＝4.由题意知S0－2－4－8＝－4，所以S0＝10，故选D.5．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A．x＞3 B．x＞4C．x≤4D．x≤5解析：选B.输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.6．如图所示的程序框图的运行结果为( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：选A.a ＝2，i ＝1，i ≥2 019不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 019不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 019不成立；a ＝1－(－1)＝2，i ＝3＋1＝4，i ≥2 019不成立；…，由此可知a 是以3为周期出现的，结束时，i ＝2 019＝3×673，此时a ＝－1，故选A. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体S ­ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S ­ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R ，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，解得R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M 处的条件为( )A ．k ≥16B ．k ＜8C ．k ＜16D ．k ≥8解析：选A.根据框图的循环结构依次可得S ＝0＋1＝1，k ＝2×1＝2；S ＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S ＝3＋4＝7，k ＝2×4＝8；S ＝7＋8＝15，k ＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S ＝15.所以M 处的条件应为k ≥16.故A 正确．9．如图所示的程序框图中，输出S ＝( )A ．45B ．－55C ．－66D ．66解析：选B.由程序框图知，第一次运行T ＝(－1)2·12＝1，S ＝0＋1＝1，n ＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.11．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析：选D.这是一个循环结构，循环的结果依次为M ＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝1＋1＝2；M ＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝2＋1＝3.最后输出7，所以在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率P＝710，故选D. 12．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α＞β＞γB ．β＞α＞γC ．γ＞α＞βD ．β＞γ＞α解析：选C.g (x )＝g ′(x )，即x ＝1，所以α＝1；h (x )＝h ′(x )，即ln(x ＋1)＝1x ＋1，0＜x＜1，所以β∈(0,1)；φ(x)＝φ′(x)，即x3－1＝3x2，即x3－3x2＝1，x2(x－3)＝1，x＞3，所以γ＞3.所以γ＞α＞β.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．解析：令a≥b得，x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.当x≤1时，由题意得a＝x2＝8，解得x＝－8＝－2 2.当x＞1时，由题意得b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2 2.14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．答案：乙，丙15．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．解析：实数x ∈[2,30]，经过第一次循环得到x ＝2x ＋1，n ＝2；经过第二次循环得到x ＝2(2x ＋1)＋1，n ＝3；经过第三次循环得到x ＝2[2(2x ＋1)＋1]＋1，n ＝4，此时输出x ，输出的值为8x ＋7.令8x ＋7≥103，解得x ≥12.由几何概型的概率公式，得到输出的x 不小于103的概率为30－1230－2＝914. 16．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12×[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝12×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)解析：由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12×[282－(12＋22＋…＋72)]．又∵12＋22＋…＋72＝16×7×8×15＝140，∴T 7＝12×(784－140)＝322.答案：322。

专题四 平面向量———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第12页)1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.图4－13 [法一 因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin (180°－α－∠OCD ) ＝sin (α＋∠OCD )＝45，即n7210＝m22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n2，cos ∠AOB ＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35， 则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3.] 2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．图4－278[由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →) ＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，① BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →)＝9DF →2－BD →2＝9|DF →|2－|BD →|2＝4.② 由①②得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2＝4|DF →|2－|BD →|2＝4×58－138＝78.]3．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为______．－3 [∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.]4．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12 [由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.]5．(2014·江苏高考) 如图4－3，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.【导学号：56394021】图4－322 [由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD 2→＝25，AB 2→＝64，所以AB →·AD →＝22.] [命题规律]平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第12页) [第1步▕ 核心知识再整合]1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[第2步▕ 高频考点细突破]【例1】 (ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝3332，则AB 的长为________．[解析] 根据条件：AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(BC →＋CE →) ＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋AD →2＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝3332. ∴16|AB →|2－8|AB →|＋1＝0，解得|AB →|＝14.故答案为14.[答案] 14[规律方法] 向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”． [举一反三](江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)如图4－4，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝________.(用AB →和AD →表示)图4－412AB →－23AD → [EF →＝ED →＋DA →＋AB →＋BF →＝12CD →＋DA →＋AB →＋13BC →＝－12AB →－AD →＋AB →＋13AD →＝12AB →－23AD →.]【例2】 (1，x )，c ＝a ＋3b ，若a ∥c ，则实数x 的值是________.【导学号：56394022】[解析] 由题意得(1，－4)∥(－2，－4＋3x )⇒8＝－4＋3x ⇒x ＝4. [答案] 4[规律方法] 向量a ，b (a ≠0)共线的充要条件是b ＝λa ，λ∈R ，用坐标表示就是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. [举一反三](2017届高三七校联考期中考试)如图4－5，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.图4－5－2 [AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CD →)＝AD →·BC →＋(AD →－BC →－CD →)·CD → ＝AD →·BC →＋(AD →＋DC →＋CB →)·CD →＝AD →·BC →＋AB →·CD →， ∴AD →·BC →－6×2＝－14⇒AD →·BC →＝－2.]【例3】 (＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →，若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．[解析] AD →＝13AB →⇒|AD →|＝1，|DB →|＝2；DB →·DC →＝3⇒DC →cos θ＝32，所以AC →2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322⇒|AC →|＝10.[答案]10 [规律方法] 向量a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. [举一反三](江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设平面向量a ＝(x,4)，b ＝(y ，－2)，c ＝(2,1)(其中x ＞0，y ＞0)，若(a －c )⊥(b －c )，则|a ＋b |的最小值为________．226 [∵a ＝(x,4)，b ＝(y ，－2)，c ＝(2,1)， ∴a －c ＝(x －2,3)，b －c ＝(y －2，－3)， 由(a －c )⊥(b －c )，得(x －2)(y －2)－9＝0，即xy －2(x ＋y )－5＝0.又x ＞0，y ＞0，∴2(x ＋y )＋5＝xy ≤ x ＋y24，解得x ＋y ≤－2(舍)，或x ＋y ≥10.|a ＋b |＝ x ＋y 2＋4≥104＝226.]【例4】 (2017a 和b 是起点和终点均在格点的向量，则向量2a ＋b 与a －b 的夹角余弦值是________．图4－6[解析] a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，所以2a ＋b ＝(7,0)，a －b ＝(－1，－3)，因此向量2a ＋b 与a －b 的夹角余弦值是 7，0 · －1，－3 7×10＝－1010.[答案] －1010[规律方法] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，a 2＝|a |2. [举一反三](泰州中学2017届高三上学期期中考试)在△ABC 中，(AB →－3AC →)·CB →＝0，则角A 的最大值为________．π6[由题设可得ac cos B ＋3ab cos C ＝0，即c cos B ＝－3b cos C ，也即sin C cos B ＝－3sin B cos C ，故tan C ＝－3tan B ，由于tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tanC ，因此3tan A tan 2B －2tan B ＋tan A ＝0，故4－12tan 2A ≥0，所以－33≤tan A ≤33，所以A max ＝π6.]，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________.【导学号：56394023】[解析] 由点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，3x ＋34，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2，3x ＋34－3，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，3x ＋34＋3， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －6)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋342－9＝116(25x 2－110x ＋57)，又AP →·BP →＋2λ＝0，∴116(25x 2－110x ＋57)＋2λ＝0， 化简得25x 2－110x ＋57＋32λ＝0，根据题意Δ＝(－110)2－4×25×(57＋32λ)＞0， 解得λ＜2，∴实数λ的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[规律方法] 平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题． [举一反三](泰州中学2016－2017年度第一学期第一 次质量检测文科)已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于________．3∶2∶1 [OA →＋2OB →＋3OC →＝0⇒－OC →＝OC ′→＝13OA →＋23OB →，所以C ′为AB 三等分点(靠近B )，如图，所以S △AOC ＝S △AOC ′；S △BOC ＝S △BOC ′；S △AOC ＝2S △BOC ′；S △AOB ＝S △AOC ′＋S △BOC ′，即△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于3S △BOC ′∶2S △BOC ′∶S △BOC ′＝3∶2∶1.][第3步▕ 高考易错明辨析]1．误把两向量数量积大于(小于)0当作两向量夹角为锐角(钝角)的充要条件已知|a |＝2，|b |＝3，a ，b 的夹角为45°，当向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角时，求实数λ的取值范围．[错解] a ·b ＝|a ||b |cos 45°＝3，因为向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角，所以(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，由(a ＋λb )·(a ＋b )＝a 2＋(λ＋1)a ·b ＋λb 2＝12λ＋5＞0，得λ＞－512，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，＋∞.[正解] a ·b ＝|a ||b |cos 45°＝3，因为向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角，所以(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，由(a ＋λb )·(a ＋b )＝a 2＋(λ＋1)a ·b ＋λb 2＝12λ＋5＞0，得λ＞－512，当向量a ＋λb 与a ＋b 方向相同时，λ＝1，即当λ＝1时，虽然(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，但向量a ＋λb 与a ＋b 夹角为0°，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，1∪(1，＋∞)．2．忽视两向量夹角的概念导致错误在△ABC 中，AB →＝(1，3)，BC →＝(3,0)，则角B 的大小为________． [错解] 因为cos B ＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝32×3＝12，且B ∈(0，π)，所以B ＝π3.[正解] 根据向量的夹角的定义，向量AB →与BC →的夹角应是角B 补角，所以cos(π－B )＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝32×3＝12，又π－B ∈(0，π)，所以π－B ＝π3，从而B ＝2π3.3．忽视变量取值范围导致错误如图4－7，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝1，AC ＝2，D 为BC 边上一点，DC →＝λBD →，则AD →·BC →的取值范围为________．图4－7[错解] AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－1，BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋1λ＋1BC →＝λλ＋1AB →＋1λ＋1AC →，AD →·BC →＝1λ＋1AC →2－λλ＋1AB →2＋λ－1λ＋1AB →·AC →＝5－2λλ＋1＝7λ＋1－2，因为DC →＝λBD →，所以λ∈[0,1]，当λ＝0时，7λ＋1－2取最大值5，当λ＝1时，7λ＋1－2，所以AD →·BC→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，5.[正解] AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－1，BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋1λ＋1BC →＝λλ＋1AB →＋1λ＋1AC →，AD →·BC →＝1λ＋1AC →2－λλ＋1AB →2＋λ－1λ＋1AB →·AC →＝5－2λλ＋1＝7λ＋1－2，因为DC →＝λBD →，所以λ∈[0，＋∞)，当λ＝0时，7λ＋1－2取最大值5，当λ→＋∞时，7λ＋1－2→－2取最小值32，所以AD →·BC →的取值范围为(－2,5]．———————专家预测·巩固提升———————(对应学生用书第14页)1．(改编题)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若BO →＝12(BA →＋BC →)，则BA →与BC →的夹角为________．90° [由BO →＝12(BA →＋BC →)，故O ，A ，C 三点共线，且O 是线段AC 中点，故AC 是圆O的直径，从而∠ABC ＝90°，因此BA →与BC →的夹角为90°.]2．(改编题)△ABC 中，|AB |＝10，|AC |＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________.【导学号：56394024】37 [法一 如图， AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋λBN → ＝AB →＋λ(BA →＋AN →) ＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋13AC →＝(1－λ)AB →＋λ3AC →，AP →＝AC →＋CP → ＝AC →＋μCM → ＝AC →＋μ(CA →＋AM →) ＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC →＋12AB →＝(1－μ)AC →＋μ2AB →，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，即AP →＝25AB →＋15AC →，∴|AP →|2＝125(4×|AB →|2＋2×2AB →·AC →＋|AC →|2)＝125⎝ ⎛⎭⎪⎫4×100＋2×2×10×15×12＋225 ＝37，故|AP →|＝37.法二 因为B 、P 、N 三点共线，有AP →＝xAB →＋(1－x )AN →＝xAB →＋ 1－x 3AC →，同理，因为C 、P 、M 三点共线，有AP →＝yAM →＋(1－y )AC →＝y 2AB →＋(1－y )AC →，根据向量相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2，1－x3＝1－y ，解得：x ＝25，y ＝45，于是，AP →＝25AB →＋15AC →.(下同法一)法三 以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系：由已知可得：C (15,0)，N (5,0)，B (5,53)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，于是BN 所在直线方程为x ＝5，CM 所在直线方程为y ＝－35(x －15)， 解得P (5,23)，故|AP |＝52＋ 23 2＝37.]3．(新颖题)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________．[2,3] [由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意－2≤x ≤0，2m －x ＝6，解得2≤m ≤3.]4．(原创题)△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上的一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值范围是________．[－5,2] [∵D 是边BC 上的一点(包括端点)，∴可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，(0≤λ≤1)． ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， ∴AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1.∴AD →·BC →＝[λAB →＋(1－λ)AC →]·(AC →－AB →)＝(2λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋(1－λ)AC →2＝－(2λ－1)－4λ－λ＋1＝－7λ＋2. ∵0≤λ≤1，∴(－7λ＋2)∈[－5,2]． ∴AD →·BC →的取值范围是[－5,2]．]。

专题限时集训(四) 平面向量(对应学生用书第86页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则∠ABC ＝________.60° [cos ∠ABC ＝BA →·BC→|BA →|·|BC →|＝－12×12＋32×32⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以∠ABC ＝60°.] 2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．－5 [∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5.]3．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332， 则向量a ，b 的夹角为________. 【导学号：56394025】π6[向量a ，b 的夹角为θ，因为|a |＝|b |＝1，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，即cos θ＝32，θ＝π6.]4．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一 次诊断性检测)设向量a ＝(cos x ，－sin x )，b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos x ，且a ＝t b ，t ≠0，则sin 2x 的值等于________．±1 [因为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos x ＝(－sin x ，cos x )，a ＝t b ，所以cos x cos x－(－sin x )(－sin x )＝0，即cos 2x －sin 2x ＝0，所以tan 2x ＝1，tan x ＝±1，x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，sin 2x ＝±1.]5．(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(－2,1)，a ＋2b ＝(2,3)，则cos θ＝________.－35 [因为(a ＋2b )－a ＝2b ＝(4,2)，所以b ＝(2,1)，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－4＋15×5＝－35.]6．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________.10 [因为a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒x －2＝0⇒x ＝2，所以|a ＋b |＝|(3，－1)|＝10. ]7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________．－14或1 [△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，点P 满足AP →＝AB →＋λAC →， ∴AP →－AB →＝λAC →，∴BP →＝λAC →；又CP →＝AP →－AC →＝(AB →＋λAC →)－AC →＝AB →＋(λ－1)AC →， ∴BP →·CP →＝λAC →·[AB →＋(λ－1)AC →] ＝λAC →·AB →＋λ(λ－1)AC →2＝λ×2×1×cos 60°＋λ(λ－1)×22＝1， 整理得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1，∴实数λ的值为－14或1.]8．(天津六校2017届高三上学期期中联考)D 为△ABC 的边BC 上一点，DC →＝－2DB →，过D 点的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F ，若AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，其中λ＞0，μ＞0，则2λ＋1μ＝________. 3 [因为AD →＝23AB →＋13AC →＝mAE →＋nAF →＝m λAB →＋n μAC →(m ＋n ＝1)，所以m λ＝23，n μ＝13⇒2λ＋1μ＝3m ＋3n ＝3.] 9．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量AC →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)，则AB →·CD →的最小值为________．－94 [设A (a ，b )，B (c ，d )， ∵AC →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴C (a ＋1，b ＋2)，D (c －2，d ＋2)，则AB →＝(c －a ，d －b )，CD →＝(c －a －3，d －b )， ∴AB →·CD →＝(c －a )(c －a －3)＋(b －d )2＝(c －a )2－3(c －a )＋(b －d )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a －322－94＋(b －d )2≥－94.∴AB →·CD →的最小值为－94.]10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一) )已知向量AB →，AC →，AD →满足AC →＝AB →＋AD →，|AB →|＝2，|AD →|＝1，E ，F 分别是线段BC ，CD 的中点，若DE →·BF →＝－54，则向量AB →与AD →的夹角为________.π3 [DE →＝AB →－AD →2，BF →＝AD →－AB →2，∴DE →·BF →＝－AB →22－AD →22＋5AD →·AB →4＝－52＋54AB →·AD →＝－54. ∴AB →·AD →＝1，cos 〈AB →，AD →〉＝12，∴AB →与AD →的夹角为π3.]11．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4－8，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________.【导学号：56394026】图4－89 [平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点， 且OA ＝3，OC ＝5，∴OB →＋OD →＝0； 若AB →·AD →＝－7，则(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝AO →2＋AO →·OD →＋AO →·OB →＋OB →·OD →＝AO →2＋AO →·(OD →＋OB →)－OB →2＝32－OB →2＝－7； ∴OB →2＝16， ∴|OB →|＝|OD →|＝4；∴BC →·DC →＝(BO →＋OC →)·(DO →＋OC →) ＝BO →·DO →＋BO →·OC →＋DO →·OC →＋OC →2＝－BO →2＋OC →·(BO →＋DO →)＋OC →2＝－42＋0＋52＝9.]12．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E ，F ，且交其对角线AC 于K ，若 AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AC →＝λAK →(λ∈R )，则λ＝________.5 [由平行四边形法则，知AC →＝AB →＋AD →，所以AK →＝1λAC →＝1λ(AB →＋AD →)＝1λ(2AE →＋3AF →)＝2λAE →＋3λAF →，又E ，K ，F 三点共线，所以2λ＋3λ＝1，解得λ＝5.] 13．(江苏省南京市2017届高考三模)在凸四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝5，则四边形ABCD 的面积为________． 3 [∵AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD ， ∵(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝5，∴(AB →＋BC →＋DC →＋CB →)·(BC →＋CD →＋AD →＋DC →)＝(AC →＋DB →)·(BD →＋AC →)＝AC →2－BD →2＝5， ∴AC →2＝BD →2＋5＝9，∴AC ＝3.∴四边形ABCD 的面积S ＝12×AC ×BD ＝12×3×2＝3.]14．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________．37－23[如图建立平面直角坐标系，设P (cos θ，sin θ)，则A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332；AQ →＝23AP →＋13AC →＝23(cos θ，sin θ)＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23cos θ＋12，23sin θ－32. BQ →＝BA →＋AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23cos θ＋2，23sin θ＋3，则|BQ →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23cos θ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin θ＋32＝679＋473θ＋α≥679－473＝67－1279＝37－23.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)已知直线l 1与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于不同的A ，B 两点，对平面内任意的点Q 都有QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →.设P 为直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0上的动点，求PA →·PB →的最小值．[解] 由QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →可知，A ，B ，C 三点共线，即弦AB 为圆C 的直径. 又因为P 为直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0上的动点，且PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2－CB →2＝PC →2－4，故PA →·PB →的最小值为PC →2－4的最小值.10分又因为圆心C (1,2)到直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0的距离为3＋8＋45＝3，故|PC →|min ＝3，所以PA →·PB →的最小值为9－4＝5.14分16．(本小题满分14分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x )．(1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．[解] (1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，∴m ·n ＝34－14＝12. 6分(2)m ·n ＝3sin x cos x －cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，8分若m ·n ＝33－12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63. ∴cos 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 14分17．(本题满分14分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知三点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC →且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3.(1)求AB →·AC →； (2)求λ＋μ的值.【导学号：56394027】[解] (1)因为AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)， 2分所以AB →·AC →＝2＋2＝4.4分 (2)因为AP →·AB →＝0，所以AP →⊥AB →， 因为AB →＝(2,1)，设AP →＝(a ，－2a )，6分 因为AP →·AC →＝3，所以(a ，－2a )·(1,2)＝3，a －4a ＝3，a ＝－1，8分 AP →＝(－1,2)，因为AC →＝(1,2)，所以(－1,2)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，10分所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝2λ＋μ，2＝λ＋2μ，则λ＋μ＝13.14分18．(本小题满分16分)如图4－9，已知点O 为△ABC 的外心，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ，且2OA →＋3OB →＋4OC →＝0.图4－9(1)求cos ∠BOC 的值；(2)若△ABC 的面积为15，求b 2＋c 2－a 2的值．[解] (1)设△ABC 外接圆的半径为R ，由2OA →＋3OB →＋4OC →＝0得3OB →＋4OC →＝－2OA →， 两边平方得9R 2＋16R 2＋24R 2cos ∠BOC ＝4R 2， 所以cos ∠BOC ＝－21R 224R ＝－78.6分(2)由题意可知∠BOC ＝2∠BAC ，∠BAC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ∠BOC ＝cos 2∠BAC ＝2cos 2∠BAC－1＝－78，从而cos ∠BAC ＝14，10分所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝154， △ABC 的面积S ＝12bc sin ∠BAC ＝158bc ＝15，故bc ＝8，从而b 2＋c 2－a 2＝2bc cos ∠BAC ＝2×8×14＝4.16分19．(本小题满分16分)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足|PM →|＝2|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝GA →·GB →，求f (a )的取值范围．[解] (1)设P 的坐标为(x ，y )，则PM →＝(4－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )． ∵动点P 满足|PM →|＝2|PN →|，∴－x2＋y 2＝2－x2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝4.6分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，4－a 2)，B (a ，－4－a 2)，∴f (a )＝GA →·GB →＝(0，4－a 2)·(0，－4－a 2)＝a 2－4；8分(b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2ak 21＋k 2，x 1x 2＝k 2a 2－41＋k2，∴f (a )＝GA →·GB →＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝a 2－4.由(a)(b)得f (a )＝a 2－4. 14分∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点， ∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是[－4,0).16分20．(本小题满分16分)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ).8分(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13＞0，设x 1＜x 2，则0＜x 1＜5π12＜x 2＜2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13. 16分。

第一部分平面向量的概念及线性运算向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】1. 判断正误（在括号内打或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若a// b, b// c,贝U a// c.（）⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（）⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（）2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（）A.①B.③C.①③D.①②3.(2017•枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =()A.2B.3C. —2D. —34.(2015 •全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X =5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示).1 26.（2017 •嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE= 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ , 入2= _______________ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _________ （填序号）.①若I a| = |b| ,则a= b；②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a= b, b= c,贝V a= c.【训练1】下列命题中，正确的是 _________ （填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a, b都是单位向量，则a= b；考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若 AB= a + b , BC= 2a + 8b , CD= 3( a — b ).求证：A, B , ⑵ 试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.【训练 3】已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , CD=- 3a + 3b ，则( )A.AB, C 三点共线 B.A, B, D 三点共线 C.A, C D 三点共线D.B, C, D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 对实数入1,入2,使a =入e+入2e 2.其中，不共线的向量 e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a =(X 1, y” , b = (X 2, y 2)，贝U③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 答案③考点二平面向量的线性运算1【例2】(2017 •潍坊模拟)在厶ABC 中, P , Q 分别是AB BC 的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 13BC 若AB= a , AC= b ,则 PQ=( )311 A ・3a +3b 1 1B. — 3a +3b 1 1 C.J a -3b1 1 D. - 3a — 3b【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK 点 E 是DC 的中点, 靠近B 点的三等分点，那么 EF 等于(A .^AB ^2D 三点共线;a ,有且只有-点F 是BC 的一个A BC.a+ b= (x i + X2, y土y) , a—b= (x i—X2, y i—y2), X a=(入x i, hy , | a| = ：x1+y?.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x i，y i)，B(x?，y?)，则AB= (x? —X i，y?—y i)，| AB = : (x?—X i)?+( y? —y i) 24. 平面向量共线的坐标表示设a= (x i, y i) , b= (x?, y?)，贝y a// b? x i y? —x?y i = o.【基础练习】i.(?0i7 •东阳月考)已知向量a= (2 , 4) , b= ( —1 , 1),则2a+ b 等于()A.(5 , 7)B.(5 , 9)C.(3 ,7)D.(3 , 9)2.(20i5 -全国I卷)已知点A(0 , i), B(3 , 2),向量AC= ( —4, —3),则向量BC=( )A.( —7,—4)B.(7 ,4)C.( —1,4)D.(i ,4)3.(20i6 -全国n卷)已知向量a= (m4) , b= (3 , —2)，且a / b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A—i, —2),耳3 , —i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014 •全国I卷)设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ F C= ( )A.ADB.[A DC.1B CD. BC >4【训练1】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD= __ .a DC"考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a = (5 , 2) , b= ( —4, —3) , c= (x , y),若3a—2b+ c = 0,则c =( ) A.( —23 , —12) B.(23 , 12)C.(7 , 0)D.( —7 , 0)【训练2】(1)已知点A— 1 , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为()A.(7 , 4)B.(7 , 14)C.(5 , 4)D.(5 , 14)⑵(2015 •江苏卷)已知向量a= (2 , 1), b= (1 , —2).若na+ nb= (9 , —8)( m n € R),则m—n的值为_________ .考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a= (1 , 2), b= ( — 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= ___________(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2 , 3) , B (4 , — 3)，点P 在线段AB 的延长线上，且| AFf =|| Bp ，则点P 的坐标为 ____________单位向量是()⑵若三点A (1 , - 5),政a , — 2) , q — 2, - 1)共线，则实数a 的值为 _____________ .第三部分 平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念⑴ 向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记O A a , O B- b ,则/ AOB- 0 (0 ° < 0 < 180°)叫做向量a 与b 的夹角.⑵ 数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为 0，则数量| a || b |cos 0叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a • b ,即a • b = | a || b |cos ___ 0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 • a = 0.⑶数量积几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投影| b |cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 0为向量a , b 的夹角.⑴ 数量积：a • b = | a || b |cos 0 = X 1X 2+ y i y 2.(2) 模：| a | = , a • a = , x i + y i . 亠宀 a • bX 1X 2+ y i y 2(3) 夹角：C0S 0= 1 冲=——2222.丨 a ll b | 寸x i + y i •寸X 2 + y 2⑷ 两非零向量 a 丄b 的充要条件：a • b = 0? X 1X 2+ y i y 2= 0.(5)| a • b | <| a || b |(当且仅当 a // b 时等号成立)？ | X 1X 2+ yyl w 寸x ；+ y ： • p x 2+ y 2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b = b • a (交换律).(2)入a • b = X (a • b ) = a •(入b )(结合律).(3)( a + b ) - c = a - c + b - c (分配律). 【基础练习】1. (2015 •全国 n 卷)向量 a = (1 , — 1), b = ( — 1, 2)，则(2a + b ) - a 等于( )A. — 1B.0C.1D.22. (2017 •湖州模拟)已知向量a , b ,其中|a | = 3, | b | = 2，且(a — b )丄a ，则向量a 和b 的 夹角是 ________ .2 n3. (2016 •石家庄模拟)已知平面向量a , b 的夹角为, |a | = 2,|b | = 1，则| a + b | = ________ .【训练3】 (1)(2017 •浙江三市十二校联考)已知点A (1 , 3) , B (4 , — 1)，则与AB 同方向的3-4-- D4 - 53 - 5-3 - 5 -4 -4 - 5-3 - 5A35. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120°,则向量b在向量a方向上的投影为 _________ .6. _______________________________________ (2017 •瑞安一中检测)已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1 , 2) , |b | = 1, 且a + b 与a — 2b 垂直，则向量 a • b =； a 与b 的夹角0的余弦值为 ________________________________ .【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 •四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形, 足B M= 3^C 6N = 2hf c 则 AM ・ NM 等于（ ） A.20B. 15C.9D.6⑵(2016 •天津卷)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点连接DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF • BC 的值为(【训练1】(1)(2017 •义乌市调研)在Rt △ ABC 中 , / A = 90° , AB= AC= 2,点D 为AC 的中 点，点E 满足1BE= 3B C 则尺E ・E3D= _____⑵(2017 •宁波质检)已有正方形 ABC 啲边长为1,点E 是AB 边上的动点，贝U 0E- CB 勺值为 ________ ； 6E - [5C 的最大值为 ______ . 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016 •全国n 卷)已知向量a = (1 , m ) , b = (3 , — 2),且(a + b )丄b ,则 作( )A. — 8B. — 6C.6D.8⑵ 若向量a = (k , 3), b = (1 , 4), c = (2, 1),已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取值 范围是_______________ .【训练2】(1)(2016 •全国川卷)已知向量BA= 1 ,右3 , BC= , 2 ,则/ ABC=()A.30 °B.45 °C.60°D.120°2 2 2(2)(2016 •全国I 卷)设向量 a = (m 1) , b = (1 , 2),且 |a + b | = | a | + | b | ,贝 Um ^ .考点三平面向量的模及其应用n【例3】(2017 •云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于—,若|a | = 2 , | b | = 3,则 |2a — 3b | =()| AB = 6, |AD | = 4，若点 M N 满D, E 分别是边AB BC 的中点,11A . —8B.81。

平面向量解析版（精炼基础，链接高考）例题讲解在ABC △中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN分别交,AB AC 于点,M N ，若,A M xA B A N yA C == ，则4x y +的最小值是（ ） A ．94B ．2 CD ．1【解析】若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系．由,,M H N 共线可想到“爪”字型图，所以AH m AM n AN=+，其中1m n +=，下面考虑将,m n 的关系转为,x y 的关系．利用条件中的向量关系：12A H A D = 且()12AD AB AC =+ ，所以()14A H AB AC =+，因为,AM x AB AN y AC== ，所以AH mxAB nyAC =+，由平面向量基本定理可得：11441144m mx x n ny y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以111144m n x y +=⇒+=，所以()11144414444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而44y x x y +=≥，所以944x y +≥．【答案】A近年高考中几乎每年高考都会有一题考察平面向量，平面向量作为一个解题工具，在高考中也是不可忽视的一个考点．平面向量位于必修4． 规范训练 一、选择题1．若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c === ，则a b c++ 等于（ ） A ．2 B ．5 C ．2或5 D【解析】首先由,,a b c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,a b c 同向（此时夹角均为0），则a b c ++为5，另一种情况为两两夹角2π3，以1a b == 为突破口，由平行四边形法则作图得到a b + 与,a b 夹角相等，1a b a +== （底角为60︒的菱形性质），且与c反向，进而由图得到2a b c ++=，选C ．【答案】C2．已知()2,6,2a b a b a ==⋅-= ，R λ∈，则a b λ-的最小值是（ ）A ．4 B ．C ．2 D 【解析】由条件可得()2226a b a a b a ⋅-=⇒⋅=+= ，所以考虑将a b λ- 模长平方，从而转化为数量积问题，代入,,a b a b ⋅的值可得到关于λ的二次函数，进而求出最小值．∵()222a b a a b a ⋅-=⇒⋅-= ，∴226a b a ⋅=+= ，∴()()22222222361246133a b a b a a b b λλλλλλλ-=-=-⋅+=-+=-+ ≥，∴mina bλ-=【答案】D3．若,,a b c 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅- ≤，则a b c +-的最大值为（ ） A1B ．1CD ．2【解析】()()200a c b c a b b c a c c -⋅-⇒⋅-⋅-⋅+ ≤≤······①∵0,1a b c ⋅== ，∴①转化为101b c a c b c a c -⋅-⋅+⇒⋅+⋅≤≥，∴()()222222221112a b c a b ca b c a b a c b c b c a c+-=+-=+++⋅-⋅-⋅=++-⋅+⋅ 321-=≤， ∴1a b c +-≤．【答案】B4．如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE △内（包括边界）的一个动点，设()AP AB AF λμλμ=+∈R，，则λμ+的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]2,3C ．[]2,4D ．[]3,4FC【解析】因为P 为动点，所以不容易利用数量积来得到,λμ的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，可得：()((33131,,1,3,2222B D E ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，则()11,0,2AB AF ⎛==- ⎝⎭，所以设(),P x y ，则由AP AB AF λμ=+可得：12P λμ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为P 在CDE △内，且:3,CE x CD y +=+=所以P所满足的可行域为3x y y ⎧⎪⎪⎨+≥≤，代入可得：322λμμλ+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，通过线性规划可得：[]3,4λμ+∈．【答案】D5．如图，在ABC △中，13A N N C =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．211【解析】观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN=+ ，且1m n +=，由13A N N C = 可得14A N A C =，所以14AP mAB nAC =+ ，由已知211AP mAB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =． 【答案】C6．在ABC △中，π,66B AB BC ∠===，设D 是AB 的中点，O 是ABC △所在平面内的一点，且320OA OB OC ++=，则DO的值是（ ）A ．12B ．1CD ．2【解析】本题的关键在于确定O 点的位置，从而将DO与已知线段找到联系，将320OA OB OC ++= 考虑变形为()323OA OB OC OA OB OB OC CB +=-⇒+=-=，即13O A O B C B += ，设O E O A O=+，则,,O D E 三点共线，且OE BC ∥，所以由平行四边形性质可得：11126OD OE CB ===．【答案】B7．如图，在ABC △中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE ⋅ 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】在本题中已知,AB AC 及两个向量的夹角，所以考虑将,AB AC作为一组基底．则考虑将,BF DE 用,AB AC 进行表示，再做数量积即可，则：()11111111132222223264BF BD DF BA DE BA AE AD AB AC AB AC AB⎛⎫=+=+=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，且1132DE AE AD AC AB =-=-，所以有：22131111364321838BF DE AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由已知可得：2216,36,cos 12AB AC AB AC AB AC BAC ==⋅=⋅∠=，∴4BF DE ⋅=．【答案】C8．菱形ABCD 边长为2，120BAD ∠=︒，点,E F 分别在,BC CD 上，且,BE BC DF DCλμ== ，若31,2AE AF CE CF ⋅=⋅=- ，则λμ+=（ ） A ．12B ．32C ．54D ．712【解析】本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑将题目中所给的31,2AE AF CE CF ⋅=⋅=-所涉及的向量用菱形的边和,λμ进行表示，进而列出关于,λμ的方程，解出方程便可求出λμ+．AE AB BE AB BCλ=+=+ ，AF AD DF AD DC μ=+=+，()1CE CB λ=- ，()1CF CD μ=- ，∴()()AE AF AB BC AD DC AB AD BC AD DC AB BC DC λμλμλμ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2442λμλμ=-++-，()()()()1121CE CF CB CD λμλμλμ⋅=--⋅=--++，∴()()()()()3242152243121124λμλμλμλμλμλμλμλμλμλμ⎧-++-=⎧+-=⎧⎪+=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--++=-⎪⎪⎪=-+=-⎩⎩⎪⎩． 【答案】C9．如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC的中点，点P 是ABC △内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______．B【解析】直角三角形直角边已知，且P 为图形内动点，所求MP不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理．设(),P x y，从而可得1524AN MP x ⋅=-+ ，而P 所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解，以,AC BC 为轴建立直角坐标系，(()11,1,0,,,,0222A B M N ⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭，设(),P x y ，∴11,,,22AN MP x y ⎛⎛==-- ⎝⎝⎭，∴11152224AN MP x y x ⎛⎫⋅=-=+ ⎪⎝⎭⎭ ， 数形结合可得：77,44AN MP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ ．【答案】77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则A DB E ⋅=__________．【解析】观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：11,,0,,022A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令(),E x y，∴11,,22CE x y CA ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 由3CA CE =，可得：111322332x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴13E ⎛ ⎝⎭，∴50,,6AD BE ⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭，∴14AD BE ⋅=- ．【答案】14。