1992高考数学试题

1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题)．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔或圆珠笔直线答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后的括号内(1)3log 9log 28的值是 ( )(A)32 (B) 1 (C)23 (D) 2(2)如果函数y =sin(ωx )cos(ωx )的最小正周期是4π，那么常数ω为 ( )(A) 4(B) 2(C)21 (D)41 (3)极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 ( )(A) 2(B)2(C) 1(D)22 (4)方程sin4x cos5x =－cos4x sin5x 的一个解是 ( )(A) 10°(B) 20°(C) 50°(D) 70°(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )(A) 6：5(B) 5：4(C) 4：3(D) 3：2(6)图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像．已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为 ( )(A) －2，－21，21，2 (B) 2，21，－21，－2 (C) －21，－2，2，21(D) 2，21，－2，－21(7)若log a 2<log b 2<0，则 ( )(A) 0<a <b <1(B) 0<b <a <1(C) a >b >1(D) b >a >1(8)直线 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+⋅=20cos 320sin t y t x (t 为参数)的倾斜角是( )(A) 20° (B) )70° (C) 110°(D) 160°(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A) x 2+y 2－x －2y －41=0 (B) x 2+y 2+x －2y +1=0 (C) x 2+y 2－x －2y +1=0(D) x 2+y 2－x －2y +41=0 (11)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为 ( )(A) 160(B) 240(C) 360(D) 800(12)若0<a <1，在[0，2π]上满足sin x ≥a 的x 的范围是 ( )(A) [0，arcsin a ] (B) [arcsin a ，π－arcsin a ] (C) [π－arcsin a ，π](D) [arcsin a ，2π+arcsin a ] (13)已知直线l 1和l 2夹角的平分线为y =x ，如果l 1的方程是ax +by +c =0(ab >0)，那么l 2的方程是( )(A) bx +ay +c =0 (B) ax －by +c =0 (C) bx +ay －c =0(D) bx －ay +c =0(14)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 ( )(A)23(B)1010(C) 53(D)52(15)已知复数z 的模为2，则|z －i |的最大值为 ( ) (A) 1(B) 2(C)5(D) 3(16)函数y =2xx e e -的反函数( )(A) 是奇函数，它在(0，+∞)上是减函数 (B) 是偶函数，它在(0，+∞)上是减函数(C) 是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数 (D) 是偶函数，它在(0，+∞)上是增函数(17)如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意实数t 都有f (2+t )=f (2－t )，那么 ( )(A) f (2)<f (1)<f (4) (B) f (1)<f (2)<f (4) (C) f (2)<f (4)<f (1)(D) f (4)<f (2)<f (1)(18)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )(A) 32 (B)14(C) 5 (D) 6二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(19)方程33131=++-xx的解是_________________ (20)sin15°sin75°的值是(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为___________________ (22)焦点为F 1(－2，0)和F 2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是__________(23)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是____________________三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤．(24)已知z ∈C ，解方程z z －3i z =1+3i ． (25)已知432παβπ<<<，cos(α－β)=1312，sin(α+β)=53-．求sin 2α的值． (26)已知：两条异面直线a 、b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA 1的长度为d ．在直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A 1E =m ，AF =n ．求证：EF =θcos 2222mn n m d ±++．(27)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 3=12，S 12>0，S 13<0． (Ⅰ)求公差d 的取值范围．(Ⅱ)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．(28)已知椭圆12222=+b y a x (a >b >0)，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)．证明ab a x a b a 22022-<<--．1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．(1)A (2)D (3)D (4)B (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10)D (11)B (12)B (13)A (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．(19)x =－1 (20)41 (21) 12815 (22)()1124222=--y x (23) 1613三、解答题(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识． 解：设z =x +yi (x ，y ∈R )． 将z =x +yi 代入原方程，得 (x +yi )(x －yi )－3i (x －yi )=1+3i ，整理得x 2+y 2－3y －3xi =1+3i ． 根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧=-+=-.13,3322y y x x由①得 x =－1．将x =－1代入②式解得y =0，y =3． ∴z 1=－1，z 2=－1+3i ．(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力． 解：由题设知α—β为第一象限的角，∴ sin(α—β)=()βα--2cos 1135131212=⎪⎭⎫⎝⎛-=由题设知α+β为第三象限的角， ∴ cos(α+β)=()βα+--2sin 1545312-=⎪⎭⎫⎝⎛---=∴ sin2α=sin[(α－β)+(α+β)]=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) =655653131254135-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． (26)本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．解法一：设经过b 与a 平行的平面为α，经过a 和AA 1的平面为β，α∩β=c ，则 c ∥a ．因而b ，c 所成的角等于θ，且AA 1⊥c ．∵ AA 1⊥b ， ∴AA 1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG ⊥c ，垂足为G ，则EG =AA 1．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG ⊥α．连结FG ，则EG ⊥FG ．在Rt △EFG 中，EF 2=EG 2+FG 2．∵ AG =m ， ∴ 在△AFG 中， FG 2=m 2+n 2－2mn cos θ．∵ EG 2=d 2，∴ EF 2=d 2+m 2+n 2－2mn c o s θ． 如果点F (或E )在点A (或A 1)的另一侧，则EF 2=d 2+m 2+n 2+2mn cos θ．因此，EF =θcos 2222mn n m d ±++解法二：经过点A 作直线c ∥a ，则c 、b 所成的角等于θ，且AA 1⊥c ． 根据直线和平面垂直的判定定理，AA 1垂直于b 、c 所确定的平面a ．在两平行直线a 、c 所确定的平面内，作EG ⊥c ，垂足为G ，则EG 平行且等于AA 1， 从而EG ⊥α．连结FG ，则根据直线和平面垂直的定义，EG ⊥FG ． 在Rt △EFG 中，EF 2=EG 2+FG 2． (以下同解法一)(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力． (Ⅰ)解：依题意，有 ()021121212112>⋅-⨯+=d a S()021131313113<⋅-⨯+=d a S即⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a由a 3=12，得 a 1=12－2d ． ③将③式分别代①、②式，得⎩⎨⎧<+>+030724d d ∴ 724-<d <－3 (Ⅱ)解法一：由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n+1<0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值． 由于 S 12=6(a 6+a 7)>0， S 13=13a 7<0， 即 a 6+a 7>0，a 7<0． 由此得a 6>－a 7>0． 因为a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． (Ⅱ)解法二：()d n n na S n 211-+= ()()d n n d n 121212-+-=＝22245212245212⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d d d n d ．∵ d <0，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，S n 最大．当 724-<d <－3时 5.6245216<⎪⎭⎫ ⎝⎛-<d ，∵ 正整数n =6时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴ S 6最大． (Ⅲ)解法三：由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒076a a故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．注：如果只答出S 6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给2分． (28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．证法一：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 不平行于y 轴，即x 1≠x 2．又交点为P (x 0，0)，故|P A |=|PB |，即(x 1－x 0)2+21y =(x 2－x 0)2+22y ①∵ A 、B 在椭圆上，∴ 2122221x ab b y -=，2222222x ab b y -=．将上式代入①，得2(x 2－x 1) x 0=()2222122ab a x x -- ② ∵ x 1≠x 2，可得.2222210a b a x x x -⋅+= ③∵ －a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，且x 1≠x 2， ∴ －2a <x 1+x 2<2a ，∴ .22022ab a x a b a -<<--证法二：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．因P (x 0，0)在AB 的垂直平分线上，以点P 为圆心，|P A |=r 为半径的圆P 过A 、B 两点，圆P 的方程为(x －x 0)2+y 2=r 2，与椭圆方程联立，消去y 得(x －x 0)222ab -x 2=r 2－b 2， ∴02222002222=+-+--b r x x x x ab a ① 因A 、B 是椭圆与圆P 的交点，故x 1，x 2为方程①的两个根．由韦达定理得x 1+x 2=2222b a a -x 0．因－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，且x 1≠x 2，故－2a <x 1+x 2=2222b a a -x 0<2a ， ∴ .22022ab a x a b a -<<--。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试92理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时刻120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地点填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

4．考试终止，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：假如时刻A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 假如时刻A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kkkn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1等于A ．iB ．i -C iD i（2）、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y x x ==--≤≤，则()R C AB 等于A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅（3）、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4（4）、设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2,x 0x ≥（5）、函数y = 的反函数是 2x -, 0x <2x， 0x ≥ 2,x 0x ≥ A ．y = B ．y =x -， 0x < x -， 0x <2x， 0x ≥ 2,x 0x ≥ C ．y = D ．y =x --， 0x < x --， 0x < （6）、将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-（7）、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=（8）、设0a >，关于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值（9）、表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A ．3 B ．13π C ．23π D ．3 10x y -+≥，（10）、假如实数x y 、满足条件 10y +≥， 那么2x y -的最大值为 10x y ++≤，A ．2B ．1C ．2-D ．3-（11）、假如111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆差不多上锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆差不多上钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形 D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形（12）、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．17 B ．27 C ．37 D ．47高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

1992年普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分120分.考试时间120分钟一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分.在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内.一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

把所选项前的字母填在题后括号内。

（1）3log 9log 28的值是 （ ） （A ）32 （B ）1 （C ）23 （D ）2 （2）如果函数)cos()sin(x x y ωω=的最小正周期是π4，那么常数ω为 （ ）（A ）4 （B ）2 （C ）21 （D ）41 （3）极坐标方程是θ=ρθ=ρsin cos 和的两个圆的圆心距是 （ ）（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）22 （4）方程x x x x 5sin 4cos 5cos 4sin -=的一个解是 （ ）（A ）100 （B ）200 （C ）500 （D ）700（5）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 （ ）（A ）6:5 （B ）5:4 （C ）4:3 （D ）3:2（6）图中曲线是幂函数n x y =在第一象限的图象。

已知n 取21,2±±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 值依次为 （ ） （A ）2,21,21,2-- （B ）2,21,21,2-- （C ）21,2,2,21-- （D ）21,2,21,2-- (7) 若02log 2log <<b a ，则 （ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b（C ）1>>b a （D ）1>>a b（8）直线⎩⎨⎧︒-=+︒=.20cos ,320sin t y t x （t 为参数）的倾斜角是 （ ）（A ）200 （B ）700 （C ）1100 （D ）1600（9）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 （ ）（A ）4个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）1个（10）圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）（A ）041222=---+y x y x （B ）01222=+-++y x y x （C ）01222=+--+y x y x （D ）041222=+--+y x y x （11）在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为 （ ）（A ）160 （B ）240 （C ）360 （D ）800（12）若a x a ≥π<<sin ]2,0[,10上满足在的x 的范围是 （ ）（A ）]arcsin ,0[a （B ）]arcsin ,[arcsin a a -π（C ）],arcsin [π-πa （D ）]arcsin 2,[arcsin a a +π （13）已知直线21l l 和夹角的平分线为y=x ，如果1l 的方程是)0(0>=++ab c by ax ，那么2l 的方程是 （ ）（A ）0=++c ay bx （B ）0=+-c by ax（C ）0=-+c ay bx （D ）0=+-c ay bx（14）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）（A ）23 （B ）1010 （C ）53 （D ）52 （15）已知复数z 的模为2，则|z - i|的最大值为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）3（16）函数2xx e e y -=的反函数 （ ） （A ）是奇函数，它在),0(+∞上是减函数（B ）是偶函数，它在),0(+∞上是减函数（C ）是奇函数，它在),0(+∞上是增函数（D ）是偶函数，它在),0(+∞上是增函数（17）如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么 （ ）（A ）)4()1()2(f f f << （B ）)4()2()1(f f f <<（C ）)1()4()2(f f f << （D ）)1()2()4(f f f <<（18）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）（A ）32 （B ）14 （C ）5 （D ）6二．填空题：本大题共5小题;每小题3分，共15分。

1992年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题).满分120分.考试时间120分钟.用钢笔直接答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚.一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分.在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内.(1)3log 9log 28的值是 ( )(A)32 (B) 1 (C)23 (D) 2(2)已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是( )(A) 2(B) 3(C) 5(D) 7(3)如果函数y =sin(ωx )cos(ωx )的最小正周期是4π,那么常数ω为( )(A) 4(B) 2(C)21 (D)41 (4)在(312xx -)8的展开式中常数项是 ( )(A) －28(B) －7(C) 7(D) 28(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )(A) 6∶5(B) 5∶4(C) 4∶3(D) 3∶2(6)图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像.已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为 ( )(A) －2，，21-21，2 (B) 2，21，，21-－2(C) ，21-－2，2，21(D) 2，，21－2，－21 (7)若log a 2< log b 2<0，则( )(A) 0<a <b <1(B) 0<b <a <1(C) a >b >1(D) b >a >1(8)原点关于直线8x ＋6y =25的对称点坐标为( )(A) (23,2) (B) (625,825) (C) (3，4) (D) (4，3)(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A) x 2＋y 2－x －2y －41=0 (B) x 2＋y 2＋x －2y ＋1=0 (C) x 2＋y 2－x －2y ＋1=0 (D) x 2＋y 2－x －2y ＋41=0 (11)在[0，2π]上满足sin x ≥21的x 的取值范围是 ( )(A) ]60[π，(B) ]656[ππ， (C) ]326[ππ，(D) ]65[ππ， (12)已知直线l 1和l 2夹角的平分线为y =x ，如果l 1的方程是ax ＋by ＋c =0(ab >0)，那么l 2的方程是( )(A) bx ＋ay ＋c =0 (B) ax －by ＋c =0 (C) bx ＋ay －c =0 (D) bx －ay ＋c =0(13)如果α，β∈(2π，π)且tg α<ctg β,那么必有 ( ) (A) α<β (B)β<α(C) α＋β<π23 (D) α＋β>π23(14)在棱长为1的正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 和N 分别 为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )(A)23 (B)1010 (C)53 (D)52 (15)已知复数z 的模为2，则|z －i |的最大值为( )(A) 1 (B) 2(C)5(D) 3(16)函数y =2xx e e --的反函数( )(A) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数(B) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数(C) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数(D) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数(17)如果函数f (x )=x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )=f (2－t )，那么( )(A) f (2)<f (1)<f (4) (B) f (1)<f (2)<f (4) (C) f (2)<f (4)<f (1)(D) f (4)<f (2)<f (1)(18)已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )(A) 32(B)14(C) 5 (D) 6二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.(19)]31)1(2719131[lim 1n n n -∞→-+++-的值为_______ (20)已知α在第三象限且tg α=2，则cos α的值是_________(21)方程xx3131++-=3的解是________(22) 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为_______(23)焦点为F 1(－2，0)和F 2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是___________三．解答题：本大题共5小题；共51分.解答应写出文字说明、演算步骤(24)(本小题满分9分)求sin 220º+ cos 280º＋3sin20ºcos80º的值. (25)(本小题满分10分) 设z ∈C ，解方程z －2|z |=－7+4i.(26)(本小题满分10分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1－EBFD1的体积.(27)(本小题满分10分)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标.(28)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a3=12，S12>0，S13<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1，S2，…S12中哪一个值最大，并说明理由.1992年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案及评分标准说明：一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分.三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.五．只给整数分数.一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分54分.(1)A (2)D (3)D (4)C (5)D (6)B (7)B (8)D (9)D(10)D (11)B (12)A (13)C (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.(19)41 (20)55- (21)x =－1 (22)12815 (23)1124)2(22=--y x三、解答题(24)本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力.满分9分. 解 sin 220º+cos 280º＋3sin 220ºcos80º=232160cos 1240cos 1+++- (sin100º－sin60º) ——3分 =1＋21(cos160º－cos40º)+23sin100º－43 ——5分 =41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º ——7分 =41－23sin100º＋23sin100º =41. ——9分 (25)本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识.满分10分. 解 设 z =x ＋yi (x ，y ∈R ). 依题意有x ＋yi －222y x +=－7+4i ——2分由复数相等的定义，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.47222y y x x ——5分 将②代入①式，得 x －2162+x =－7. 解此方程并经检验得①②x 1=3， x 2=35. ——8分 ∴ z 1 =3＋4i ， z 2=35＋4i . ——10分(26)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一 ∵ EB =BF =FD 1=D 1E =22)2(a a +=25a ， ∴ 四棱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形. ——2分 连结A 1C 1、EF 、BD 1，则A 1C 1∥EF .根据直线和平面平行的判定定理，A 1C 1平行于A 1－EBFD 1的底面，从而A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是A 1－EBFD 1的高 ——4分设G 、H 分别是A 1C 1、EF 的中点，连结D 1G 、GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1根据直线和平面垂直的判定定理，有 FH ⊥平面HGD 1，又，四棱锥A 1－EBFD 1的底面过FH ，根据两平面垂直的判定定理，有A 1－EBFD 1的底面⊥平面HGD 1.作GK ⊥HD 1于K ，根据两平面垂直的性质定理，有GK 垂直于A 1－EBFD 1的底面. ——6分 ∵ 正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴ ∠HGD 1=90º. 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a .∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a . ——8分∴ 11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK =31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a =61a 3 ——10分解法二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1E =22)2(a a +=25a ， ∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形. ——2分 连结EF ，则△EFB ≌△EFD 1.∵ 三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高， ∴ 111EFD A EFB A V V --=.∴ EFB A EBFD A V V --=1112. ——4分 又 11EBA F EFB A V V --=，∴ 1112EBA F EBFD A V V --=， ——6分 ∵ CC 1∥平面ABB 1A 1，∴ 三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a . ——8分 又 △EBA 1边EA 1上的高为a .∴ 11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3. ——10分 (27)本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力.满分10分.解 由 ⎩⎨⎧==+-.0,012y y x得 顶点A (－1，0). ——2分 又，AB 的斜率 k AB =)1(102---=1.∵ x 轴是∠A 的平分线，故AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y =－(x ＋1) ① ——5分 已知BC 上的高所在直线的方程为x －2y ＋1=0，故BC 的斜率为－2，BC 所在的直线方程为y －2=－2(x －1) ② ——8分 解①，②得顶点C 的坐标为(5，－6). ——10分 (28)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.满分12分.解(Ⅰ)依题意，有2)112(1212112-⨯+=a S ·d >0，2)113(1313113-⨯+=a S ·d <0.即⎩⎨⎧<+>+.06,011211d a d a ——4分 由a 3=12，得a 1＋2d =12. ③ 将③式分别代入①、②式，得⎩⎨⎧<+>+.03,0724d d 解此不等式组得 －.3724-<<d ——6分 (Ⅱ)解法一 由d <0可知 a 1> a 2> a 3>…> a 12> a 13.因此，若1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. ——9分 由于 S 12=6(a 6+a 7)>0， S 13=13a 7<0， 即 a 6+a 7>0， a 7<0，由此得 a 6>－a 7>0. 因 a 6>0，a 7<0.故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大.(Ⅱ)解法二 S n =na 1＋d n n 2)1(- =n (12－2d )＋21n (n －1)d=2d [n －21(5－d 24)]2－2)]245(21[2d d -, ∵ d <0，①②∴ [n －21(5－d 24)]2最小时，S n 最大. ——9分 当 －3724-<<d 时 6<21(5－d24)<6.5， ∴ 正整数n =6时[n －21(5－d24)]2最小，∴ S 6最大. ——12分 (Ⅱ)解法三 由d <0可知a 1> a 2> a 3>…> a 12> a 13.因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. ——9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒.0076a a 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大. ——12分 注：如果只答出S 6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给3分.。

1992年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ．B ． 1C ．D ． 22．（3分）已知椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ． 9 B ． 7 C ． 5 D ． 33．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．4．（3分）在（﹣）8的二项展开式中，常数项等于（ ） A ． B ． ﹣7C ． 7D ． ﹣5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4： 3 D ． 3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2，，﹣2，﹣7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1 D ． b ＞a ＞18．（3分）原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为（ ）A ． （）B ． （）C ．（3，4） D ． （4，3）9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0D ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011．（3分）在[0，2π]上满足sinx≥的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ）A ． b x+ay+c=0B ． a x ﹣by+c=0C ． b x+ay ﹣c=0D ． b x ﹣ay+c=013．（3分）如果α，β∈（，π）且tan α＜cotβ，那么必有（ ） A ． α＜β B ． β＜α C ． π＜α+β＜ D ． α+β＞14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 316．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 上是增函数17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）A ．B ．C ． 5D ． 6二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）（2009•金山区二模）的值为_________ ．20．（3分）已知α在第三象限且tanα=2，则cosα的值是_________ ．21．（3分）方程的解是 _________ ．22．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则的值为 _________ ．23．（3分）焦点为F 1（﹣2，0）和F 2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是_________ ．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（9分）求sin 220°+cos 280°+sin20°cos80°的值．25．（10分）设z ∈C ，解方程z ﹣2|z|=﹣7+4i ．26．（10分）如图，已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥的A 1﹣EBFD 1的体积．27．（10分）在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y+1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y=0．若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标．28．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．1992年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（）A．B．1C．D．2考点：对数的运算性质．分析：根据，从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2．（3分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：综合题．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a 的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为3，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．3．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π，那么常数ω为（）A．4B．2C．D．考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值解答：解：∵y=sin（ωx）cos（ωx）=sin（2ωx），∴T=2π÷2ω=4π∴ω=，故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加绝对值．4．（3分）在（﹣）8的二项展开式中，常数项等于（）A．B．﹣7 C．7D．﹣考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r代入通项求出常数项．解答：解：：（﹣）8的二项展开式的通项公式为T r+1=c8r（）8﹣r•（﹣x﹣）r=•x8﹣r，令8﹣r=0得r=6，所以r=6时，得二项展开式的常数项为T7==7．故选C．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积，是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣考点：幂函数的图像． 专题：阅读型． 分析：由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．解答： 解：根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，n 越大，递增速度越快，故曲线c 1的n=﹣2，曲线c 2的n=，c 3的n=，曲线c 4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A ． 点评： 幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞ 1考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 计算题．分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log a 2＜log b 2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可． 解答： 解：∵log a 2＜log b 2＜0，由对数换底公式得：∴∴0＞log 2a ＞log 2b ∴根据对数的性质得： ∴0＜b ＜a ＜1． 故选B ． 点评： 本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．8．（3分）原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为（）A．（）B．（）C．（3，4）D．（4，3）考点：中点坐标公式．专题：综合题．分析：设出原点与已知直线的对称点A的坐标（a，b），然后根据已知直线是线段AO的垂直平分线，得到斜率乘积为﹣1且AO的中点在已知直线上分别列出两个关于a与b的方程，联立两个方程即可求出a与b的值，写出A的坐标即可．解答：解：设原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为A（a，b），直线8x+6y=25的斜率k=﹣，因为直线OA与已知直线垂直，所以k OA==，即3a=4b①；且AO的中点B在已知直线上，B（，），代入直线8x+6y=25得：4a+3b=25②，联立①②解得：a=4，b=3．所以A的坐标为（4，3）．故选D．点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，利用运用中点坐标公式化简求值，是一道中档题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y ﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．解答：解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．11．（3分）在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用三角函数线，直接得到sinx≥的x的取值范围，得到正确选项．解答：解：在[0，2π]上满足sinx≥，由三角函数线可知，满足sinx≥，的解，在图中阴影部分，故选B点评：本题是基础题，考查三角函数的求值，利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，都可以解好本题，由于是特殊角的三角函数值，可以直接求解．12．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0，那么直线l2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程．解答：解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l1和l2关于直线y=x对称，故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x 和y交换位置，即得另一条直线的方程．13．（3分）如果α，β∈（，π）且tanα＜cotβ，那么必有（）A．α＜βB．β＜αC．π＜α+β＜D．α+β＞考点：正切函数的单调性．专题：计算题．分析：先判断tanα＜0 且cotβ＜0，不等式即tanα•tanβ＞1，由tan（α+β）＞0及π＜α+β＜2π，可得π＜α+β＜π．解答：解：∵α，β∈（，π），∴tanα＜0 且cotβ＜0，不等式tanα＜cotβ，即tanα＜，tanα•tanβ＞1，∴tanα+tanβ＜0，∴tan（α+β）=＞0，又π＜α+β＜2π，∴π＜α+β＜π，故选C．点评：本题考查正切值在各个象限内的符号，以及正切函数的单调性．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为2，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．点评： 本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 3考点： 复数的代数表示法及其几何意义．分析： 根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z ﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．解答： 解：∵|z|=2，则复数z 对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z ﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D ．点评： 本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数考点： 反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；综合题．分析： 先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后判定反函数的奇偶性，单调性，即可得到选项．解答： 解：设e x =t （t ＞0），则 2y=t ﹣，t 2﹣2yt ﹣1=0，解方程得 t=y+负跟已舍去， e x =y+，对换 X ，Y 同取对数得函数y=的反函数： g （x ）=由于g （﹣x ）===﹣g （x ），所以它是奇函数，并且它在（0，+∞）上是增函数． 故选C ． 点评：本题考查反函数的求法，函数的奇偶性，单调性的判定，是基础题．17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）（2009•金山区二模）的值为．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：先利用等比列求和公式求出数列{（﹣1）n﹣1×}的前n项和，再利用极限法则求极限．解答：解：不妨设Sn=﹣+…+（﹣1）n﹣1×=∴Sn===故答案为：．点评：.本题考查数列极限的知识，是基础题，要熟练掌握．20．（3分）已知α在第三象限且tanα=2，则cosα的值是．考点：同角三角函数基本关系的运用；象限角、轴线角．专题：计算题．分析：利用α在第三象限判断出cosα＜0，进而利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值．解答：解：∵α在第三象限∴cosα=﹣=﹣=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的关键是熟练记忆三角函数中的平方关系和商数关系．21．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x，令t=3x，然后移项、合并同类项，从而解出x．解答：解：∵，∴1+3﹣x=3（1+3x），令t=3x，则1+=3+3t，解得t=，∴x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简，利用换元法求解方程的根，是一道不错的题．22．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义，求集合的子集及其个数，子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024，又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120．∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．23．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2，∴2c=6﹣（﹣2）=8，c=4，，b2=16﹣4=12，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要注意函数的平移变换，合理地选取公式．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（9分）求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值．考点：三角函数恒等式的证明．专题：计算题．分析：见到平方式就降幂，见到乘积式就积化和差，将前二项用降幂公式，后两项积化和差，结合特殊角的三角函数值即可解决．解答：解：原式=\frac{1}{2}（1﹣cos40°）+\frac{1}{2}（1+cos160°）+\frac{3}{2}（sin100°﹣sin60°）=1+\frac{1}{2}（cos160°﹣cos40°）+\frac{3}{2}sin100°﹣=﹣sin100°sin60°+sin100°=\frac{1}{4}．故答案为．点评：本题主要考查知识点：两角和与差、二倍角的三角函数．25．（10分）设z∈C，解方程z﹣2|z|=﹣7+4i．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：设z=x+yi（x，y∈R）代入方程，由实部和虚部相等列出方程组，求出方程组的解验证后，再求出复数．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R），依题意有x+yi﹣2=﹣7+4i，由复数相等的定义得，，解得y=4，且x﹣2=﹣7①．解方程①并经检验得x1=3，x2=．∴z1=3+4i，z2=+4i．点评：本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识，考查了计算能力．26．（10分）如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：法一：判断四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形，连接A1C1、EF、BD1，说明A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高，求出底面，高的大小，即可得到棱锥的体积．法二：三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高，棱锥转化为2•••a，求解即可．解答：解：法一：∵EB=BF=FD1=D1E==a，∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形．（2分）连接A1C1、EF、BD1，则A1C1∥EF．根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于A1﹣EBFD1的底面，从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高（4分）设G、H分别是A1C1、EF的中点，连接D1G、GH，则FH⊥HG，FH⊥HD1根据直线和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD1，又，四棱锥A1﹣EBFD1的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，有A1﹣EBFD1的底面⊥平面HGD1．作GK⊥HD1于K，根据两平面垂直的性质定理，有GK垂直于A1﹣EBFD1的底面．（6分）∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1，∴∠HGD1=90°．在Rt△HGD1内，GD1=a，HG=a，HD1==a．∴a•GK=a•a，从而GK=a．（8分）∴=•GK=••EF•BD1•GK=•a•a•a=a3（10分）解法二∵EB=BF=FD1=D1E==a，∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形．（2分）连接EF，则△EFB≌△EFD1．∵三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高，∴．∴．（4分）又，∴，（6分）∵CC1∥平面ABB1A1，∴三棱锥F﹣EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离，即棱长a．（8分）又△EBA1边EA1上的高为a．∴=2•••a=a3．（10分）点评：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力．27．（10分）在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．考点：直线的点斜式方程．专题：压轴题．分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．解答：解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．故选C（5，﹣6）．点评：本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．28．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有，即由a3=12，得a1=12﹣2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜﹣3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n＞0，a n+1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．⇒，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．。

1992年全国高考数学试题(文科)一、一、选择题:本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1.82log 9log 3的值是 A. 23 B. 1 C. 32D. 2 2.已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为A. 2B. 3C. 5D. 73.如果函数sin()cos()y x x ωω=的最小正周期是4π,那么常数ω为A. 4B. 2C. 12D. 144.在8(2x -的展开式中常数项是 A. 28- B. 7- C. 7 D. 285.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是A. 6:5B.5:4C.4:3D. 3:26.图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图像，已知n 取12,2±±四个值,则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为 A. 112,,,222-- B. 112,,,222-- C. 11,2,2,22-- D. 112,,2,22--37.若log 2log 20a b <<,则A. 01a b <<<B. 01b a <<<C. 1a b >>D. 1b a >>8.原点关于直线8625x y +=的对称点坐标是 A. 3(2,)2 B. 2525(,)86C. (3,4)D. (4,3) 9.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有A.1个B.2个C.3个D.4个10.圆心在抛物线22y x =上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A. 221204x y x y +---= B. 22210x y x y ++-+= C. 22210x y x y +--+= D. 221204x y x y +--+= 11.在[]0,2π上满足1sin 2x ≥的x 取值范围是 A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知直线1l 和2l 夹角的平分线为y x =,如果1l 的方程是0ax by c ++= (0)ab >,那么2l 的方程是A. 0bx ay c ++=B. 0ax by c -+=C. 0bx ay c +-=D. 0bx ay c -+=13.如果,(0,)2παβ∈且tan cot αβ<，那么必有 A. αβ< B. βα< C. 32παβ+< D. 32παβ+> 14.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -A 中, M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是A. 2B. 10C. 35D. 25 15.已知复数z 的模为2,则z i -的最小值为A. 1B. 2 D. 316.函数2x xe e y --=的反函数是 A.奇函数,它在(0,)+∞上是减函数. B.偶函数,它在(0,)+∞上是减函数.C.奇函数,它在(0,)+∞上是增函数.D.偶函数,它在(0,)+∞上是增函数.17.如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-,那么A. (2)(1)(4)f f f <<B. (1)(2)(4)f f f <<C. (2)(4)(1)f f f <<D. (4)(2)(1)f f f <<18.长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为A.5 D.6二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上. 19. 11111lim[(1)]39273n n n -→∞-+++-的值为 . 20.已知α为第二象限的角，且tan 2α=,则cos α的值是 .21.方程13313xx -+=+的解是 . 22.设含有10个元素的集合的全部子集数为S ,其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S的值为 . 三、解答题: 本大题共5小题，共51分，解答应写出文字说明、演算步骤.24.（本题满分9分） 求22sin 20cos 803sin 20cos80++25已知z C ∈,解方程274z z i -=-+.26.（本题满分10分）已知1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，,E F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，求四棱锥11A EBFD -的体积.27.（本题满分12分）在ABC ∆中,BC 边上的高所在的直线的方程为210x y -+=,A ∠的平分线所在的直线的方程为0y =,若点B 的坐标为1,2（），求点A 和点C 的坐标. 28.（本题满分10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知312a =,120S >,130S <.(Ⅰ)求公差d 的取值范围.(Ⅱ)指出1S ,2S ,…, 12S 中哪一个值最大,并说明理由.。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试92理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分：考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前：务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名：并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时：每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动：用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时：必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

4．考试结束：监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：如果时间A 、B 互斥：那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立：那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ：那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kkkn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=：其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=：其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分：在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。

（1等于A ．iB ．i -C iD i（2）、设集合{}22,A x x x R =-≤∈：{}2,12B y x x ==--≤≤：则()R C AB 等于A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅（3）、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合：则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4（4）、设,a R ∈b ：已知命题:p a b =：命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭：则p 是q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2,x 0x ≥（5）、函数y = 的反函数是 2x -, 0x <2x： 0x ≥ 2,x 0x ≥ A ．y = B ．y =x -： 0x < x -： 0x <2x： 0x ≥ 2,x 0x ≥ C ．y = D ．y =x --： 0x < x --： 0x < （6）、将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移：平移后的图象如图所示：则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-（7）、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直：则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=（8）、设0a >：对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<：下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值（9）、表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上：则此球的体积为A ．3 B ．13π C ．23π D ．3 10x y -+≥：（10）、如果实数x y 、满足条件 10y +≥： 那么2x y -的最大值为 10x y ++≤：A ．2B ．1C ．2-D ．3-（11）、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值：则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形：222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形：222A B C ∆是钝角三角形（12）、在正方体上任选3个顶点连成三角形：则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．17 B ．27 C ．37 D ．47高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上书写作答无效。

1992年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷1. 设函数z=ⅈ2+√3ⅈ, 那么arg z是(A)56π(B)π3(C)23π(D)−43π2. 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱) 的体积是16πcm3, 那么它的底面半径等于(A)4√23cm(B)4cm(C)2√23cm(D)2cmarc sin√32−arc cos(−12)arctan(−√3)的值等于(A)1(B)0(C)−25(D)−654. 函数y=log12(1−x)(x<1)的反函数是(A)y=1+2−x(x∈R)(B)y=1−2−x(x∈R)(C)y=1+2x(x∈R)(D)y=1−2x(x∈R)5. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中, 如果AB=BC=a,AA1=2a, 那么点A到直线A1C的距离等于(A)2√63a(B)3√62a(C)2√33a(D)√63a6. 函数y=sⅈn x cos x+√3cos2x−√32的最小正周期等于(A)π(B)2π(C)π4(D)π27. 有一个椭圆, 它的极坐标方程是(A)ρ=√3−2cosθ(B)ρ=√3−√3cosθ(C)ρ=2−√3cosθ5(D)ρ=2−√3cosθ8.不等式|√x−2−3|<1的解集是(A){x|5<x<16}(B){x|6<x<18}(C){x|7<x<20}(D){x|8<x<22}9.设等差数列{a n}的公差是d, 如果它的前n项和S n=−n2, 那么(A)a n=2n−1,d=−2(B)a n=2n−1,d=2(C)a n=−2n+1,d=−2(D)a n=−2n+1,d=210.方程cos2x=3cos x+1的解集是π,k∈Z}(A){x|x=2kπ±23π,k∈Z}(B){x|x=kπ±13π,k∈Z}(C){x|x=kπ±23π,k∈Z}(D){x|x=2kπ±1311. 有一条半径是 2 的弧, 其度数是600, 它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠, 那么这个球冠的面积是(A)4(2−√3)π(B)2(2−√3π)(C)4√3π(D)2√3π12. 某小组共有10 名学生, 其中女生 3 名. 现选举 2 名代表, 至少有 1 名女生当选的不同的选法共有(A) 27 种(B) 48 种(C) 21 种(D) 24 种13. 设全集U=R, 集合M={x|√x2>2},N={x|log x7>log37}, 那么M∩N̅=’(A){x|x<−2}(B){x|x<−2或x≥3}(C){x|x≥3}(D) {x|−2≤x<3}14. 设{a n}是由正数组成的等比数列, 公比q=2, 且a1a2a3⋯a30=230, 那么a3a6a9⋯a30等于(A)210(B)220(C)216(D)21515. 设ΔABC不是直角三角形,A和B是它的两个内角, 那么( )(A)A<B是tan A<tan B的充分条件, 但不是必要条件(B)A<B是tan A<tan B是的必要条件, 但不是充分条件(C)A<B是tan A<tan B是的充分必要条件(D)A<B是tan A<tan B是的充分条件, 也不是必要条件16. 对于定义域是R的任何奇函数f(x), 都有(A)f(x)−f(−x)>0(x∈R)(B)f(x)−f(−x)≤0(x∈R)(C)f(x)f(−x)≤0(x∈R)(D)f(x)f(−x)>0(x∈R)17. 如果双曲线的两条渐近线的方程是y=±32x, 焦点坐标是(−√26,0)和(√26,0), 那么它的两条准线之间的距离是(A)813√26(B)413√26(C)1813√26(D)913√2618.tanπ8=19. 设直线的参数方程是{x=2+12ty=3+√32t, 那么它的斜截式方程是 .20. 如果三角形的顶点分别是O(0,0),A(0,15)B(−8,0), 那么它的内切圆方程是21. lⅈmn→∞[11×4+14×7+17×10+⋯+1(3n−2)(3n+1)]=22. 9192除以100 的余数是 .23. 已知三棱锥A −BCD 的体积是V , 棱BC 的长是a , 面ABC 和面DBC 的面积分别是S 1,S 2,设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α,那么sⅈn α=.24. 已知关于x 的方程2a 2x−2−7a x−1+3=0有一个根是 2, 求a 的值和方程其余的根25. 已知平面α和不在这个平面内的直线a 都垂直于平面β. 求证:a‖α26. 证明不等式: 1√2√3⋯+√n <2√n (n ∈N ∗)27. 设抛物线经过两点(−1,6)和(−1,−2)对称轴与x 轴平行, 开口向右, 直线y =2x +7被抛物线截得的线段的长是,4√10 求抛物线的方程28. 求同时满足下列两个条件的所有复数z : ①z +10z 是实数, 且1<z +10z ≤6②z 的实部和虚部都是整数。

1992年全国普通高等学校招生统一考试数学(湖南、云南、海南三省用题)第I卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(2)如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体积是16πcm３，那么它的底面半径等于(A)y=1+2-x(x∈R) (B)y=1-2-x(x∈R)(C)y=1+2x (x∈R) (D)y=1-2x (x∈R)(5)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果AB=BC=a,AA1=2a,那么点A到直线A1C的距离等于(7)有一个椭圆,它的极坐标方程是(A){x│5<x<16}(B){x│6<x<18}(C){x│7<x<20}(D){x│8<x<22}(9)设等差数列{a n}的公差是d,如果它的前n项和S n=-n2,那么(A)a n=2n-1,d=-2 (B)a n=2n-1,d=2(C)a n=-2n+1,d=-2 (D)a n=-2n+1,d=2(10)方程cos2x=3cosx+1的解集是(11)有一条半径是2的弧,度数是60°,它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠,那么这个球冠的面积是(12)某小组共有10名学生,其中女生3名.现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同的选法共有(A)27种(B)48种(C)21种(D)24种(A){x│x<-2} (B){x│x<-2,或x≥3}(C){x│x≥3}(D){x│-2≤x<3}(14)设{a n}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1.a2.a3.....a30=230,那么a3.a6.a9. (30)于(A)210(B)220(C)216(D)215(15)设△ABC不是直角三角形,A和B是它的两个内角,那么(A)"A<B"是"tgA<tgB"的充分条件,但不是必要条件.(B)"A<B"是"tgA<tgB"的必要条件,但不是充分条件.(C)"A<B"是"tgA<tgB"的充分必要条件.(D)"A<B"不是"tgA<tgB"的充分条件,也不是必要条件.(16)对于定义域是R的任何奇函数f(x),都有(A)f(x)-f(-x)>0 (x∈R)(B)f(x)-f(-x)≤0(x∈R)(C)f(x)f(-x)≤0 (x∈R)(D)f(x)f(-x)>0 (x∈R)第Ⅱ卷二、填空题:把答案填在题中的横线上.(20)如果三角形的顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0),那么它的内切圆方程是 .(22)9192除以100的余数是 .(23)已知三棱锥A-BCD的体积是V,棱BC的长是a,面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是α,那么sinα= .三、解答题:解题应写出文字说明、演算步骤.(24)已知关于x的方程2a2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2.求a的值和方程其余的根.(25)已知:平面a和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β.求证:a∥α.(27)设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)对称轴与x轴平行,开口向右,(28)求同时满足下列两个条件的所有复数z:(Ⅱ)z的实部和虚部都是整数.1992年全国普通高等学校招生统一考试数学(湖南、云南、海南三省用题)一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)C (2)D (3)C (4)B (5)C (6)A (7)D (8)B(9)C (10)A (11)A (12)D (13)B (14)B (15)D (16)C (17)A二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(24)本小题考查方程的概念、解指数方程的能力.解法一:∵2是关于x的方程2a2x-2-7a x-1+3=0的根,∴2a4-2-7a2-1+3=0,即2a2-7a+3=0.(Ⅱ)当a=3时,原方程化为2·32x-2-7·3x-1+3=0,从而有两根x=1-log32,x=2.a=3,方程的另一根为x=1-log32.解法二:设a x-1=y,则原方程化为2y2-7y+3=0,∵2是关于x的方程2a2x-2-7a x-1+3=0的根,以下同解法一.(25)本小题考查直线与平面、平面与平面的位置关系以及逻辑推理和空间想象能力.证法一:设α∩β=b.在α内作直线c⊥b.则由α⊥β可知c⊥β.又知α⊥β.∴根据直线和平面垂直的性质定理,有a∥c.∴根据直线和平面平行的判定定理,有a∥α.证法二:假定a不平行于α,则a与α必有公共点.于是由α⊥β,a⊥β,此结论与已知""相矛盾.可见前述"a不平行于α"的假定不成立.∴a∥α(26)本小题考查不等式的基础知识以及证明不等式的能力.证法一:(Ⅰ)当n=1时,不等式的左边=1,右边=2,故不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k时不等式成立,即这就是说,当n=k+1时不等式也成立.根据(Ⅰ)和(Ⅱ),可知不等式对任何自然数n都成立.证法二:对k=1,2,…,n(n∈N)有把上列不等式两边分别相加,即得(27)本小题考查直线与抛物线的基础知识,坐标轴的平移以及综合解题的能力.解法一:由于抛物线过点(-1,6)和点(-1,-2),而所以它的对称轴是y=2.因此,可设抛物线的顶点坐标是(a,2),它的方程是(y-2)2=2p (x-a)(p>0). ①由抛物线通过点(-1,6)得8=-p(1+a). ②将直线方程y=2x+7代入①,消去y可得(2x+5)2=2p(x-a),即4x2+(20-2p)x+(25+2pa)=0. ③又因y1=2x1+7,y2=2x2+7,于是(y1-y2)2=4(x1-x2)2,由④,⑤可得128=(10-p)2-100-8pa, ⑥再由②得-8pa=64+8p,代入⑥得128=(10-p)2-36+8p,即p2-12p-64=0,解出p1=16,p2=-4(不合题意,舍去).把p1=16代入②可得所以,抛物线的方程是解法二:同解法一得抛物线的对称轴是y=2.设所求抛物线的方程是x=a(y-2)2+b (a>0). ①由于它通过点(-1,6)得-1=16a+b. ②把直线方程y=2x+7 代入①消去y得x=a(2x+5)2+b,即4ax2+(20a-1)x+25a+b=0. ③设直线与抛物线的交点是(x1,y1)和(x2,y2),于是x1和x2满足方程③,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2又因y1=2x1+7,y2=2x2+7,于是(y1-y2)2=4(x1-x2)2,由题设可得=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2. ⑤由④,⑤可得512a2+40a-1+16ab=0, ⑥由②,⑥消去b可得256a2+24a-1=0.(28)本小题考查复数和解不等式的基础知识及综合解题能力.解:设z=x+yi,其中x,y∈R,且x,y不同时为零,于是即y=0 或x2+y2=10.当y=0时,由x≠0知①即当x2+y2=10时,①即1<2x≤6,因为z满足条件(Ⅱ),即x和y都是整数,于是可得所以,同时满足条件(Ⅰ)和(Ⅱ)的全体复数是1+3i,1-3i,3+i,3-i.。

1992年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后的括号内.【】[Key] 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为【】[Key] (2)D(3)极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是【】[Key] (3)D(4)方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是(A)10°. (B)20°. (C)50°. (D)70°【】[Key] (4)B(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是(A)6:5. (B)5:4. (C)4:3. (D)3:2【】[Key] (5)D个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为【】[Key] (6)B(7)若log a2<log b2<0,则(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1【】[Key] (7)B(A)20°. (B)70°. (C)110°. (D)160°【】[Key] (8)C(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.【】[Key] (9)D(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是【】[Key] (10)D(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为(A)160. (B)240. (C)360. (D)800.【】[Key] (11)B(12)若0<a<1,在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是(A)[0,arcsina]. (B)[arcsina,π-arcsina].【】[Key] (12)B(13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是(A)bx+ay+c=0. (B)ax-by+c=0.(C)bx+ay-c=0. (D)bx-ay+c=0.【】[Key] (13)A(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM 与CN所成角的余弦值是【】[Key] (14)D(15)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为【】[Key] (15)D(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.【】[Key] (16)C(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(A)f(2)<f(1)<f(4). (B)f(1)<f(2)<f(4).(C)f(2)<f(4)<f(1). (D)f(4)<f(2)<f(1).【】[Key] (17)A(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为(C)5. (D)6.【】[Key] (18)C二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)sin15°sin75°的值是 .(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的(22)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是.(23)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.[Key] 三、解答案(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.解:设z=x+yi(x,y∈R).将z=x+yi代入原方程,得(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,整理得x2+y2-3y-3xi=1+3i.根据复数相等的定义,得由①得x=-1.将x=-1代入②式解得y=0,y=3.∴z1=-1,z2=-1+3i.[Key] (25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.解:由题设知α-β为第一象限的角,由题设知α+β为第三象限的角,∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)(26)已知:两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.[Key] (26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.解法一:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图).∵AA1⊥b, ∴AA1⊥α.根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.∵AG=m,∴在△AFG中,FG2=m2+n2-2mncosθ.∵EG2=d2,∴EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.解法二:经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面 .在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1,从而EG⊥α.连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.(以下同解法一)(27)设等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a3=12,S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围.(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.[Key] (27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:依题意,有由a3=12,得a1=12-2d. ③将③式分别代①、②入,得(Ⅱ)解法一:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.因此,若1≤n≤12在中存在自然数n,使得a n>0,a n+1<0, 则S n就是S1,S2,…,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,即a6+a7>0,a7<0.由此得a6>-a7>0.因为a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.(Ⅱ)解法二:∵d<0,∴S6最大.(Ⅱ)解法三:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得a n>0,a n+1<0, 则S n就是S1,S2,…,S12中的最大值.故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.[Key] (28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.证法一:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故│PA│=│PB│,即∵A、B在椭圆上,将上式代入①,得∵x1≠x2,可得∵-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,∴-2a<x1+x2<2a,证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为(x-x0)2+y2=r2,与椭圆方程联立,消去y得因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故。