高中数学教案——绝对值不等式的解法 第一课时

课 题：含有绝对值的不等式（1）教学目的：1．理解含有绝对值的不等式的性质；2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识； 3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；4．认识不等式证法的多样性、灵活性教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用教学难点：对性质的理解、常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题我们知道，当a ＞0时，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ,|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质二、讲解新课：定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫≤≤-≤≤- ||||||b a b a +≤+⇒ ①又∵a =a +b -b |-b |=|b |由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ②综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤-注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤--即 ||||||||||b a b a b a +≤-≤-三、讲解范例：例1 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, 求证 |x +2y －3z |＜ε 证明：|x +2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z |∵|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备例2 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证||||||||a d d c cb b a +++≥4证明：∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>ad a c c b b a ∴,||2||2||||2||||ca cb b ac b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||ac ad d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又 2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+a c c a a c c a ac c a ③ 由①，②，③式，得4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++ac c a a c c a ad d c c b b a 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法例3 已知|a |＜1,|b |＜1,求证|1|abb a ++＜1 证明：|1|ab b a ++＜122)1()(ab b a ++⇔＜1 .0)1)(1(012122222222222>--⇔>+--⇔++<++⇔b a b a b a b a ab b ab a 由|a |＜1,|b |＜1,可知（1－a 2）(1－b 2)＞0成立，所以 |1|abb a ++＜1 说明：此题运用了|x |＜a ⇔x 2＜a 2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性例4 设|a |<1, |b |<1 求证|a +b |+|a -b |<2证明：当a +b 与a -b 同号时，|a +b |+|a -b |=|a +b +a -b |=2|a |<2当a +b 与a -b 异号时，|a +b |+|a -b |=|a +b -(a -b )|=2|b |<2∴|a +b |+|a -b |<2例5 已知21)(x x f += 当a ≠b 时 求证：|||)()(|b a b f a f -<- 证法一：1111|11||)()(|222222+++--+=+-+=-b a b a b a b f a f|||||)(||||))((|11||222222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=+-+<+++-= |||||||||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤ 证法二：（构造法）如图21)(a a f OA +==，f OB =||||b a AB -=，由三角形两边之差小于第三边得|||)()(|b a b f a f -<-四、课堂练习：已知：|x －1|≤1,求证：（1）|2x ＋3|≤7; (2)|x 2－1|≤3证明：（1）∵|2x ＋3|=|2(x －1)＋5|≤2|x －1|＋5≤2＋5=7(2)|x 2－1|=|(x ＋1)(x －1)|=|(x －1)[(x －1)＋2]|≤|x －1||(x －1)＋2|≤|x －1|＋2≤1＋2=3五、小结 ：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性六、课后作业： 1:(1)a ,b ∈R ,求证|a +b |≤|a |+|b |;(2)已知|h |<ε,|k |<ε(ε>0),求证:|hk |<ε;(3)已知|h |<c ε, c <|x | (c >0,ε>0),求证:|xh |<ε 分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:|ab |=|a |·|b |;|a n |=|a |n ,|b a |=ba 等证明:(1)证法1:∵-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b |∴-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b | 即|a +b |≤|a |+|b |证法2:(平方作差)(|a |+|b |)2-|a +b |2=a 2+2|a ||b |+b 2-(a 2+2ab +b 2)=2［|a |·|b |-ab )=2(|ab |-ab )≥0显然成立故(|a |+|b |)2≥|a +b |2又∵|a |+|b |≥0,|a +b |≥0，所以|a |+|b |≥|a +b |, 即|a +b |≤|a |+|b |(2)∵0≤|h |<ε,0≤|k |<ε (ε>0)，∴0≤|hk |＝|h |·|k |<ε·ε=ε(3)由0<c <|x |可知: 0<c x 11<且0≤|h |<c ε,∴c h x 11<⋅·c ε,即|xh |<ε 2:|x +x1|≥2(x ≠0) 分析:x 与x 1同号,因此有|x +x 1|=|x |+|x 1| 证法一:∵x 与x 1同号,∴|x +x1|=|x |+x 1∴|x +x 1|=|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,即|x +x 1|≥2 证法二:当x >0时,x +x1≥2x x 1⋅=2 当x <0时,-x >0,有-x +2121)(21-≤+⇒=-⋅-≥-xx x x x ∴x ∈R 且x ≠0时有x +x 1≤-2,或x +x 1≥2 即|x +x1|≥2 方法点拨:不少同学这样解: 因为|x +x 1|≤|x |+x 1,又|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,所以|x +x 1|≥2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3:|A-a |<2ε,|B-b |<2ε,求证: (1)|(A +B )-(a +b )|<ε；(2)|(A -B )-(a -b )|<ε分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会证明:因为|A -a |<2ε,|B -b 2所以(1)|(A +B )-(a +b )|=|(A -a )+(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|=|(A -a )-(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A -B )-(a -b )|<ε方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

含绝对值的不等式教案课时：一节课（约45分钟）教材：高中数学教材教学目标：学生能够掌握含绝对值的不等式的求解方法，能够解决实际问题。

教学重点：掌握含绝对值的不等式的不同情况求解方法。

教学难点：理解含绝对值的不等式的多种解法。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：今天我们将学习一个新的不等式——含绝对值的不等式。

它与我们之前学过的不等式不同，带有绝对值符号。

2. 引出问题：如果有一个不等式，如|x - 3| < 5，我们要如何求解呢？二、讲解（25分钟）1. 情况一：|x - a| < b，a和b都是实数，b > 0。

- 将不等式分解为-x + a < b和x - a < b两个不等式。

- 分别求解这两个不等式，得到解区间。

- 讲解示例题目，让学生自主思考解法。

2. 情况二：|x - a| > b，a和b都是实数，b > 0。

- 将不等式分解为-x + a > b和x - a > b两个不等式。

- 分别求解这两个不等式，得到解区间。

- 讲解示例题目，让学生自主思考解法。

3. 情况三：|x - a| < -b，a和b都是实数，b > 0。

- 不存在这种情况，因为绝对值必为非负数。

4. 情况四：|x - a| > -b，a和b都是实数，b > 0。

- 任何一个实数都大于或等于-无穷，所以不等式成立。

- 解集为实数集。

三、练习（10分钟）1. 提供一些含绝对值的不等式，让学生根据所学内容求解。

2. 错题讲解：对于学生犯错较多的题目进行讲解和解析，引导学生找出错误原因。

四、拓展（5分钟）1. 引导学生思考：在实际生活中，含绝对值的不等式有哪些应用场景？2. 提问：你能想到一种含绝对值的不等式的实际问题吗？五、总结（5分钟）1. 总结本节课所学的内容：含绝对值的不等式的求解方法及应用场景。

2. 引导学生进行思考和讨论：学习了含绝对值的不等式后，你对不等式有什么新的理解？六、课后作业（5分钟）1. 完成课后作业册上相关的练习题。

1.2.2 绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法． 四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .五、教学过程 （一）导入新课解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】 若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解． （三）重难点精讲题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法 例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. (2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一 由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －3)＞0，(x －6)(x ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6. ∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 法二 作函数y ＝x 2－5x 的图象，如图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 规律总结：1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3， 由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1， 所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}． 题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题 例2已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【精彩点拨】 解f (x )≤3，由集合相等，求a →求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． 规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}． (2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10， 因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1， 故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立． 题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|；(2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0，解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5， 根据函数f (x )的图象可知， 原不等式的解集为 (－∞，5)． （四）归纳小结绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题（五）随堂检测1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32且x ≠－2六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。

第十一教时教材：含绝对值不等式的解法目的：从绝对值的意义出发，掌握形如 | x | = a 的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0)不等式的解法，并了解数形结合、分类讨论的思想。

过程：一、实例导入，提出课题实例：课本 P14（略） 得出两种表示方法：1．不等式组表示：⎩⎨⎧≤-≤-55005500x x 2．绝对值不等式表示:：| x - 500 | ≤5 课题：含绝对值不等式解法二、形如 | x | = a (a ≥0) 的方程解法复习绝对值意义：| a | = ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a几何意义：数轴上表示 a 的点到原点的距离． 例：| x | = 2 ．三、形如| x | > a 与 | x | < a 的不等式的解法 例 | x | > 2与 | x | < 21︒从数轴上，绝对值的几何意义出发分析、作图。

解之、见 P15 略结论：不等式 | x | > a 的解集是 { x | -a< x < a}| x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < -a}2︒从另一个角度出发：用讨论法打开绝对值号| x | < 2 ⇒ ⎩⎨⎧<≥20x x 或 ⎩⎨⎧<-<20x x ⇒ 0 ≤ x < 2或-2 < x < 0 合并为 { x | -2 < x < 2} 同理 | x | < 2 ⇒ ⎩⎨⎧>≥20x x 或 ⎩⎨⎧>-<20x x ⇒ { x | x > 2或 x < -2} 3︒例题 P15 例一、例二 略4︒《课课练》 P12 “例题推荐”四、小结：含绝对值不等式的两种解法。

五、作业： P16 练习 及习题1．4。

《绝对值不等式的解法》（第一课时）教学设计一、教学内容解析《绝对值不等式的解法》是选修4-5第一章第三节内容，我们这里讲解第一课时。

该内容是在初中学习了绝对值的概念，学习了一元一次不等式；高中必修1学习了绝对值函数图像的画法，必修5学习了一元二次不等式的基础上展开的。

通过本节课可渗透数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法，因此它是本章的重点之一，在整个数学学科中占有重要地位。

解含绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为同解的不含绝对值符号的一般不等式去解.而去绝对值的方法主要有定义法（分类讨论法）、平方法、几何法、图像法等，实际上，这四种方法也是解绝对值不等式问题的基本思路，为下一节学习含有两个绝对值的不等式的解法做好铺垫.而本节的重点是运用绝对值的几何意义去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解，并从中总结规律，形成解绝对值不等式的规律公式及口诀。

本节课在求解过程中也是对集合知识的应用和巩固，同时，为以后不等式的学习打下了基础，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。

二、教学目标设置【教学目标】1、知识与技能：使学生熟练掌握()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；2、过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，渗透数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法；培养学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。

3、情感态度价值观：向学生渗透“具体-抽象-具体”辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质。

感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美。

【教学重点与难点】重点：()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；难点：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式。

三、学生学情分析学生在初中已经学过绝对值的定义，在高中必修1中，也会画简单的绝对值函数的图像，也接触过两边平方的方法。

《绝对值不等式的解法》教学设计教学目标1、理解并掌握x a <和x a >型不等式的解法.2、充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.教学重、难点重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用.难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.教学过程一、复习引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解. 请同学们回忆一下绝对值的意义.在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值.即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果.在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式.二、新课学习：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式.下面分别就这两类问题展开探讨.1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式.主要的依据是绝对值的几何意义.2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型.第一种类型：设a 为正数.根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是}|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间(－a ，a )，如图所示.a - a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解.第二种类型：设a 为正数.根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是{|x a x >或a x -<}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集.如下图所示.-a a同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解.3、c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法.c b ax c c b ax ≤+≤-⇔≤+c b ax c b ax c b ax ≥+-≤+⇔≥+或例3 解不等式31 2.x -≤例4 解不等式237.x -≥4、c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法.例5 解不等式12 5.x x -++≥思考：例5中给出了三种绝对值不等式的方法，你能概括一下它们各自的特点吗？ 从例5的解题过程看到，上述三种方法各有特点.解法一利用了绝对值不等式的几何意义，体现了数形结合思想.从中可以发现，理解解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.解法二利用10,20x x -=+=的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之，体现了分类讨论的思想.从中可以看出，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值符号内多项式取值得正、负性，进而去掉绝对值符号.解法三通过构造函数，利用了函数的图象，体现了函数与方程的思想.从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是解题的关键.5、课堂小结回顾本课学习了哪些知识？。

中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：（一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a bx -≥①或2()2a b x x a b+≤⇒≤+②，当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<；当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．。

高一数学含绝对值的不等式解法课题：§1.4含绝对值的不等式解法 教材分析： 课 型：新授课课时计划：本课题共安排1课时 教学目的：（1）理解绝对值的意义；（2）掌握|ax+b|<c 与|ax+b|>c 型的不等式的解法；教学重点：|x|>a 与|x|<a 型不等式的解法； 教学难点：关键是绝对值意义的理解； 教具使用：常规教学 教学过程：一、温故知新，引入课题1. 复习初中数学学过的不等式的三条基本性质2. （1）如果a>b,那么a+c>b+c3. （2）如果a>b,c>0,那么ac>bc4. （3）如果a>b,c<0,那么ac<bc5. 注意不等式两边都乘以同一个负数，不等号方向要改变；6. 不等式的基本性质是解不等式的基础，我们学过一元一次不等式，一元一次不等式组；若将不等式添上含有绝对值的符号，便是我们今天学习的课程（宣布课题） 二、新课教学1. |a|的意义是什么？2. 在数量上，我们规定⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0a a 0a 00a a |a | 3. 在几何上 ，我们规定|a|表示数a 在数轴上相应点与原点的距离； 4. 因此，满足|x|=2的x 有两值，2和-2；5. 在看相应的不等式|x|<2,与|x|>2，在数轴上表示出来；6. 一般地：对于a>07. |x|<a ⇔-a<x<a,|x|>a ⇔x>a 或x<-a 8. 解不等式： 9. (1)|x-3|<510. 解：由原不等式可得 –5<x-3<5 11. 解得-2<x<812. 所以原不等式的解集为{x|-2<x<8} 13. (2)|21x+1|≥2 14. 解：由原不等式可得21x+1≥2，或21x+1≤-2 15. 解得 x ≥2，或x ≤-616. 所以原不等式的解集为{x| x ≥2，或x ≤-6} 17. （3）3≤|3x-2|≤9 18. 解：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-≥-9|2x 3|3|2x 3|，19. 解得：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≥311x 3731x ,35x 或，得31x 37-≤-，或311x 35≤≤ 20. 所以原不等式的解集为{x| 31x 37-≤-，或311x 35≤≤}21. （4）|2x-3|<x+1 22. 原不等式的解集为{x|4x 32<<} 23. （5）|2x-3|>x+124. 原不等式的解集为{x|32x <，或x>4} 三、归纳小结，强化思想一般地：对于a>0，|x|<a ⇔-a<x<a,|x|>a ⇔x>a 或x<-a对于|ax+b|<c 与|ax+b|>c 型的不等式，只要将ax+b 看作x 就可以求解了 四、作业布置 习题1.4，课时训练1.4。