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分三种情况讨论。 （1）设<0，常微分方程的通解为
X ( x) Ae
•根据边界条件
x
Be
x
A B 0 Ae
a
Be
a
0
A＝B＝0，X(x)无非零解。 •不能小于零。
（2）设＝0，常微分方程的通解为
X ( x) Ax B
•代入边界条件同样得： A＝B＝0。X(x)无非零解。 •不能等于零。 （3）设>0，令＝2，常微分方程的通解为
2．再解Y（y） d 2Y n 2 2
dy
2
a
2
Y 0
n y a
Yn ( y ) Dn ' e
En ' e
n y a
3．满足方程和部分边界条件的一组特解是：
n ( x, y) X n ( x)Yn ( y) ( Dn e
n y a
En e
n y a
) sin
e
n y a
n n n ) sin x 2 En sh y sin x a a a n 1
n 1
2 0 n n (cosn 1)sh y sin x nshn a a
X ( x) A cos x B sin x
代入边界条件 A＝0，Bsina＝0，B不能为零，否则只有零解。 sina＝0，
a n ,
n 2 2 a2
n , ( n 1,2,......... ) a
所以固有值和固有函数分别为
n 2 2 n , ( n 1,2,......... ) 2 a n X n ( x ) Cn Sin , ( n 1,2,......) a
0, (0 x a, y 0) 0, ( x a,0 y a ) 0 (0 x a , y a )
•令(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程，得
YX ' ' XY ' ' 0, 1 d2X 1 d 2Y , 2 2 X dx Y dy
•只有当左右两边都是常数时，上式才成立，令此常数为－。 •将偏微分方程转化为两个常微分方程。
d2X X 0, 2 dx d 2Y Y 0 2 dy
•边界条件转化为：
0, ( x 0,0 y a)
X (0)Y ( y ) 0, Y ( y )不恒为零， X (0) 0. 同理， 0, ( x a,0 y a) X (a)Y ( y ) 0, X (a) 0
n
f (s)
•当媒质不均匀时，作为定解条件还需加入辅助边界条件
f 1 ( s) f 2 ( s) n
1 2 1 2 , 1 2 n n
•如果场域扩展为无界区域，还需提出无限远处的边界条件。微 分方程与边界条件一起构成边值问题。
4.1分离变量法
•无穷级数的系数应满足
Dn En En 0 (cosn 1) nshn
( x, y ) n ( x, y ) ( Dn e
n 1 n 1
n y a
En e
n y a
n ) sin x a
E n (e
n 1
n y a
n x, (n 1,2,.....) a
•这组解满足方程和部分边界条件，但不一定满 足所有边界条件。
•由于方程是线性的，可应用叠加原理， •将所有特解叠加
( x, y) n ( x, y) ( Dn e
n 1 n 1 n y a
En e
n y a
) sin
第四章 静态场边值问题的解法
4.1分离变量法
4.1.1直角坐标系中的分离变量法 4.1.2圆域内的二维场问题 4.1.3球坐标中的分离变量法
4.2 有限差分法
•静电场和恒定电场的分析归结为求解相应的泊松方程或拉普拉斯方 程。给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一点解。三类给定边 值：
f (s)
4.1.1直角坐标系中的分离变量法 • 定解问题 一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖 电位4＝0。求槽内电位分布。 解：设金属槽的长度远大于截面尺 度，忽略边缘效应，将问题简化为 二维场来分析。
•问题转化为如下定解问题
2 2 0, (0 x a ),0 y a ) 2 2 x y 0, ( x 0,0 y a )
n a a
Dm Em 0
(D e
0 n 1 n
a
n a a
En e
m a a
n m m ) sin x sin xdx 0 sin xdx a a a 0
a a
Dm e
m a a
Em e
2 m 2 0 0 sin xdx (cosm 1) a0 a m
n x, (n 1,2,......) a
•只要无穷级数收敛，且能关于x和y逐项微分两次，则 （x,y）与n(x,y)一样满足方程和部分边界条件。 •适当选择Dn和En，可使（x,y）满足方程和所有边界条 件。
n ( x,0) n ( x,0) ( Dn En ) sin x 0, a n 1 n 1
( x, a) n ( x, a) ( Dn e
n 1 n 1
n a a E en a an ) sin x 0 a
m x 在上两式两边分别乘 sin a 并作积分。
( Dn En ) sin
0 n 1
a
n m x sin xdx 0, a a
1．需先解下列边值问题。
d2X X 0, 2 dx X (0) X ( a ) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此非零解X(x)。 •该边值问题称为常微分方程在此边值条件下的固有值（特征 值）问题。 •称为该问题的固有值（特征值），X(x)称为该问题的固有 （特征）函数。
