2015年宁德市普通高中毕业班质量检查文数

2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查英语试题说明:本试题分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。

第一卷1至12页，第二卷13至14页。

满分150分。

答题时间120分钟。

第一卷(选择题共115分)第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A, B, C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. How is the woman going to Fuzhou?A. By train.B. By taxi.C. By car.2. When will the man see the manager?A. At 6:00 pm.B. At 6:30.C. At 7:30.3. What is the probable relationship between the two speakers?A. Policeman and driver.B. Teacher and student.C. Judge and lawyer.4. what are they talking about ？A. Holiday.B. Homework.C. Traveling.高三英语试题第1页共14页5. What does the woman think of Susan's teacher?A. Gentle.B. Patient.C. Hard.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A, B, C三个选项中选出最佳选项，各个小题，每小题5秒钟两遍。

并标在试卷的相应位置。

2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{2,3,4,5}A =，{|3}B x x =>，则满足m A ∈且m B ∉的实数m 所组成的集合为 A ．{2}B ．{3}C ．{4,5}D ．{2,3}2．命题“若1x =-，则220x x --=”的逆否命题是A ．若1x ≠-，则220x x --≠B ．若220x x --≠，则1x ≠-C ．若1x =-，则220x x --≠D ．若220x x --≠，则1x =-3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：根据表中的数据及随机变量的公式，算得8.12≈．根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A ．97.5%B ．99%C ．99.5％D ．99.9%4．某公司将4名新招聘的员工分配至3个不同 的部门，每个部门至少分配一名员工．其中 甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分 配方法的总数为A ．6B ．12 Ｃ．24 D ．5(,)x y 所对应的点都在函数A ．1y x =-的图象上B ．1y =的图象上C ．121x y -=-的图象上D ．2log y x =的图象上6．若变量,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于 A ．8 B ．7 C ．6 D ．57．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．53πB ．43πC ．πD ．3π8．已知函数2())cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 9．已知O 为坐标原点，向量(1,0)OA = ，(1,2)OB =-．若平面区域D 由所有满足俯视图侧视图正视图OC OA OB λμ=+（22λ-≤≤，11μ-≤≤）的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是 A ．1y x=B ．cos y x x =+C ．5ln5xy x-=+ D ．e e 1x x y -=+- 10．斜率为(0)k k ≠的两条直线分别切函数32()(1)1f x x t x =+--的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为21y x =-，则t k +的值为 A ．8B ．7C ．6D ．5第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．已知复数i(1i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的模z =_______． 12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n ＝________．13．如图，直线(0)y kx k =>与函数2y x =的图象交于点O ，P ，过P 作PA x ⊥轴于A ．在OAP ∆中任取一点，则该点落在阴 影部分的概率为________．14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为,,a b c ，且,,2ba c 成等差数列．若其对角线b 的最大值为________．15．如图，011A B A ∆，122A B A ∆，L ，1n n n A B A -∆均为等腰直角三角形，其直角顶点1B ，2B ，L ，n B *()n ∈N 在曲线1(0)y x x =>上，0A 与坐标原点O 重合，i A *()i ∈N 在x 轴正半轴上．设n B 的纵坐标为n y ，则12n y y y +++=L ________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、 健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出n 条鱼称其 重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频 率分布表．（Ⅰ）求频率分布表中的n ，x ，y 的值；（Ⅱ）从捞出的重量不超过100克的鱼中，随机抽取3条 作病理检测，记这3条鱼中，重量不超过90克的鱼的条 数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足：123a =，且11112()33n n n a a ++=+⨯．（Ⅰ）求证：数列{}3n n a ⋅是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．(本小题满分13分)如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠= ，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图（2））．（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得//PQ 平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当23EP ED =时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．图（1）图（2）ABE CDA DCEPQP•19．（本小题满分13分）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处，通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车 辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商 场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元． （Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．20． (本小题满分14分)已知函数2()2ln ()f x ax x x a =+-∈R ．（Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x '在(0,1)有唯一的零点0x ，求a 的取值范围；（Ⅲ）若1(,0)2a ∈-，设2()(1)21ln(1)g x a x x x =-----，求证：()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，且对（Ⅱ）中的0x ，满足011x x +>．21．(本小题满分14分) 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分）已知二阶矩阵A 有特征值11λ=，22λ=，其对应的一个特征向量分别为111⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，210⎛⎫= ⎪⎝⎭e ．（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求圆22:1C x y +=在矩阵A 所对应的线性变换作用下得到曲线C '的方程．（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）已知倾斜角为6π，过点(1,1)P 的直线l 与曲线C ：2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩(α是参数)相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值．（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）在空间直角坐标系O xyz -中，坐标原点为O ，P 点坐标为(,,)x y z ．（Ⅰ）若点P 在x 轴上，且坐标满足253x -≤，求点P 到原点O 的距离的最小值；B CD l（Ⅱ）若点P 到坐标原点O的距离为，求x y z ++的最大值．2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11. 12. 90 13. 1314. 215.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解：（Ⅰ）依题意，30.03n=， ………………………………………1分∴100n =． ………………………………………………2分 ∴1000.1010x =⨯=， …………………………………………3分200.20100y ==． ……………………………………………4分（Ⅱ）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， …………5分3731035(0)120C P C ξ===， 123731063(1)120C C P C ξ===，213731021(2)120C C P C ξ=== ， 333101(3)120C P C ξ===， …………9分（说明：以上4个式子，每个1分）故ξ的分布列为所以ξ的数学期望63211()0123120120120E =+⨯+⨯+⨯ξ…………12分． 910=. …………………………………13分 17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）令3n n n b a =⋅，………………………………………………1分则11133n n n n n n b b a a +++-=⋅-⋅ …………………………………………2分11113(2())333n n n n n a a ++=+⨯-⋅ ……… ………………………3分3232n n n n a a =⋅+-⋅= ………………………………………4分∴数列{}n b 为公差为2的等差数列.即数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}n b 为公差为2的等差数列， 1132b a =⋅=，∴1(1)22n b b n n =+-⋅= ……………………………………………6分 ∴23n nna =． …………………………………………………………7分 ∴2324623333n n nS =++++ ，……………① …………………8分 ∴23411246233333n n nS +=++++ ，……………②……………………9分 ①-②得231222222333333n n n nS +=++++- ， ……………………10分∴2111113333n n n nS -=++++-11(1)31313n nn ⨯-=-- ……………………………………12分332233n nn=--⨯ 323223n n +=-⨯． ………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）∵11112()33n n n a a ++=+⨯，ADCBE PMQ∴11332n n n n a a ++⋅=⋅+，……………………………………3分 ∴11332n n n n a a ++⋅-⋅=， …………………………………4分 ∴数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列，∴133(1)22n n a a n n ⋅=+-⨯=，∴23n nna =．……………………7分 以下同法一18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. 解：（Ⅰ）存在．当P 为DE 的中点时，满足//PQ 平面AEB ．………1分 取AB 的中点M ，连结EM ，QM ．由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且12MQ BC =，……2分又//PE BC ，且12PE BC =，所以//PE MQ ，=PE MQ ，所以四边形PEMQ 为平行四边形，……………………3分 故//ME PQ ．……………………………………………4分 又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以//PQ 平面AEB ． ………………………………5分从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3=2PD ．……………… 6分（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE ，且AE BE ⊥，所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥以E 为原点，分别以,,EB ED EA为x 轴、y 轴、z 直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ，(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，(0,2,0)P (3,3,0)C ．…………………………………………………………8分(3,1,0)PC = ，(0,2,3)PA =-．…………………………………9分平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ， ……………………10分 设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n ，由220,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得30,230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩ ………………………………………11分 取3y =，得2(1,3,2)=-n ， ……………………………………………12分所以12cos,==n n即面AEB和平面APC13分19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）依题意，在Rt ABC∆中，22220AB=，∴AB=1分又∵在ABD∆中，224ABDππ-π∠==,ADBα∠=，由sinsin4AD AB=πα，得10sinADα=………………………………2分由sinsin[()]4BD AB=ππ-+αα，得)4sinBDααπ+=，…………3分∴)420sinCDααπ+=-．…………………………………4分∴100252254S AD BD CD=⨯+⨯⨯+⨯⨯………………………5分))104410050[20]100sin sin sinαααααππ++=⨯+⨯+-⨯1000)42000sinααπ-+=+………………………6分其中α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）1000)42000sinSπ-+=+αα2cos1500500sin-=+⨯αα，…………………………8分令2cos()sinfααα-=，∴22sin sin cos(2cos)12cos()sin sinfαααααααα⋅---'==，……………9分由()0fα'=得：1cos2α=，又∵3,44αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3απ=． …………………………………………………………10分 当,43αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'<，当3,34αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'>， …………………………………11分∴min 12()()3f f α-π=== …………………………………12分 ∴min 1500S =+（元）， ∴当3απ=时，运输费用S 的最小值为(1500+元．……………13分 20. 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解法一：（Ⅰ）当4a =时，2()42ln f x x x x =+-，(0,)x ∈+∞， 21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．…………………1分 由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，…………………3分()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值．………………………………4分（Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，得22210ax x +-=，设2()221h x ax x =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意；…………………………5分 当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增， 且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；……………………6分当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-，只需(1)210h a =+>，得102a -<<．……………7分 综上，12a >-．…………………8分 （说明：0∆=未讨论扣1分）（Ⅲ）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t =-=+--，…………………9分 21221()22at t p t at t t+-'=+-=， 由1(,0)2a ∈-，故由（Ⅱ）可知， 方程22210at t +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．…………………11分又(1)=10p a -<，所以0()0p x <．…………………12分取32e (0,1)a t -+=∈，则326432326432(e )=e 2e 3ln e e 2e 332a a a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>，从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点1t ，且100t x <<，即1001x x <-<，得1(0,1)x ∈，且011x x +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011x x +>．……14分解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，由22210ax x +-=，得2112a x x =-．………5分 设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a m m m =-=--，………6分 问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题． 又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，………7分故直线y a =与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-．……8分 （Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用0t →时，()p t →+∞进行证明，扣1分）21. （1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,依题意，得111222,,A A λλ=⎧⎨=⎩e e e e …………………1分 ∴1,1,02,00.a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ………………………………2分 解得2,1,0,1.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………3分 ∴2101A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………………4分 （Ⅱ）设圆C 上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''',∴2,.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ …………………5分 解得,2.x y x y y ''+⎧=⎪⎨⎪'=⎩…………………6分 又∵221x y += , ∴2212x y y ''+⎛⎫'+= ⎪⎝⎭, ∴曲线C ′的方程为22254x xy y ++=.…………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分．（Ⅰ）依题意，得直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，，（t 为参数）………1分即111.2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）…①…………………………………………2分∵曲线C 的参数方程为2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩，∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=.………②………………4分（Ⅱ）把①代入②得2211(1)42t ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴21)20t t +-=，………………5分∴21)80∆=+>，122t t =-，…………………6分∴12||||||2PA PB t t ⋅==.………………………………7分（3）本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分解：（Ⅰ）由点P 在x 轴上，所以(,0,0)P x ， 又坐标满足253x -≤，所以3253x -≤-≤，………………2分解得14x ≤≤，…………………………………………………3分所以点P 到原点O 的距离的最小值为1.. …………………4分（Ⅱ）由点P 到坐标原点O 的距离为，故22212x y z ++=， …………………………………………5分由柯西不等式，得2222222()(111)()x y z x y z ++++≥++，………6分即2()36x y z ++≤，所以x y z ++的最大值为6，当且仅当2x y z ===时取最大. …………7分。

2015年福建省宁德市高考二模（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣3x+2=0}，N={﹣2，﹣1，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣2，﹣1，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中方程的解确定出M，找出M与N的交集即可．【解析】解：由M中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即M={1，2}，∵N={﹣2，﹣1，1，2}，∴M∩N={1，2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若x∈R，则“2x＜1”是“﹣1＜x＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据指数函数的单调性容易判断“2x＜1”能否得到“﹣1＜x＜0”，而“﹣1＜x＜0”能否得到“2x＜1”，根据充分条件、必要条件的概念即可得出答案．【解析】解：（1）若2x＜1=20，则x＜0；而x＜0得不到﹣1＜x＜0；∴“2x＜1”不是“﹣1＜x＜0”的充分条件；（2）若﹣1＜x＜0，则2x＜20=1；即﹣1＜x＜0能得到2x＜1；∴“2x＜1”是“﹣1＜x＜0”的必要条件；∴综上得“2x＜1”是“﹣1＜x＜0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】考查指数函数的单调性，函数单调性的定义，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．3．（5分）某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．【解析】解：每个个体被抽到的概率为=，∴专科生被抽的人数是×1500=50，本科生要抽取×3000=100，研究生要抽取×900=30，故选：D．【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，本题是一个基础题．4．（5分）经过圆（x﹣2）2+y2=1的圆心且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．2x﹣y+4=0 C．x+2y﹣2=0 D．x+2y+2=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】由圆的方程求得圆心坐标，再由已知直线方程求得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．【解析】解：圆（x﹣2）2+y2=1的圆心坐标为（2，0），与直线2x﹣y+1=0平行的直线的斜率为2，∴所求直线方程为：y﹣0=2（x﹣2），即2x﹣y﹣4=0．故选：A．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题．5．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解析】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．6．（5分）已知sinα=，α∈（0，），则tan2α=（）A．﹣B．C．﹣D．2【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数间的基本关系先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切函数公式即可求值．【解析】解：∵sinα=，α∈（0，），∴cosα==，tanα==2，∴tan2α===﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．7．（5分）下列函数中，既为奇函数又在（0，+∞）内单调递减的是（）A．f（x）=xsinx B．f（x）=xC．f（x）=D．f（x）=x﹣【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．【解析】解：A．f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx，为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C．f（﹣x）===﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，且f（x）==为减函数，满足条件．D．f（x）是奇函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据相应的定义和性质是解决本题的关键．8．（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则可输入x的个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3【考点】伪代码．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟程序运行，可得程序的功能是求y=的值，分类讨论即可得可输入x的个数．【解析】解：模拟程序运行，可得程序的功能是求y=的值，故x≤0时，1=2x，解得：x=0x＞0时，1=﹣x3+3x，解得：x＞0时该函数图象与x轴有2个交点，即有2个零点，综上，可得可输入x的个数为3．故选：D．【点评】本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题．9．（5分）已知实数x，y满足，若不等式ax﹣y≤3恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，] C．[，2] D．[2，4]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若ax﹣y≤3恒成立即y≥ax﹣3恒成立，即平面区域ABC在直线y=ax﹣3的上方即可．即C（2，0）在y=ax﹣3的上方或在直线上即可，即2a≤3，解得a≤，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件ax﹣y≤3恒成立，得到平面区域ABC 在直线y=ax﹣3的上方是解决本题的关键．10．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的侧面积为（）A．6+4B．9+2C．12+2D．20+2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形，一侧面垂直于底面的四棱锥，利用题目中的数据求出它的侧面积即可．【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，一侧面PCD垂直于底面ABCD的四棱锥，如图所示：∴该四棱锥的侧面积为S=S△PCD+2S△PBC+S△PAB=4×+2××3×2+×4×=2+12．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求几何体侧面积的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何模型，是基础题目．11．（5分）已知点P是△ABC所在平面上一点，AB边的中点为D，若2=3+，则△ABC 与△ABP的面积比为（）A．3 B．2 C． 1 D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；平面向量及应用．【分析】通过向量加减运算以及AB的中点为D，推出A是PC的中点，即可求出△ABC 与△ABP的面积比．【解析】解：∵2=3+，∴2（+）=3+，∴2=+，∵AB边的中点为D，∴=+，∴=，∴A是PC的中点，∴△ABC与△ABP的面积比为1．故选：C【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的加减法，基本知识的综合应用．12．（5分）已知O为坐标原点，A、B为曲线y=上的两个不同点，若•=6，则直线AB与圆x2+y2=的位置关系是（）A．相交B．相离C．相交或相切D．相切或相离【考点】平面向量数量积的运算．【专题】直线与圆．【分析】根据点A，B在曲线y=上不同两点，从而设出A，B坐标：A（），，而由•=6可得到x1x2=4，能够写出直线AB的方程，从而求出圆心即原点到直线AB的距离和圆半径比较即可判断出直线和圆的位置关系．【解析】解：设A（），；∴由得：，设，则：t2+t﹣6=0，解得t=2，或t=﹣3（舍去）；∴x1x2=4；直线AB的斜率为k=；∴直线AB的方程为：；∴原点到该直线的距离为=；∴直线AB与圆的位置关系为相交．故选A．【点评】考查根据曲线方程设出曲线上点的坐标的方法，数量积的坐标运算，解一元二次方程，以及由两点坐标写直线方程，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．13．（4分）复数z=i（1+2i）（i为虚数单位），则=﹣2﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解析】解：∵z=i（1+2i）=﹣2+i，∴．故答案为：﹣2﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．（4分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．【解析】解：由题意知0＜x＜4．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为=，．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．15．（4分）关于x的方程|log2x|﹣a=0的两个根为x1，x2（x1＜x2），则2x1+x2的最小值为2．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得x1=2﹣a，x2=2a，（a＞0）；从而可得2x1+x2=21﹣a+2a；再利用基本不等式即可．【解析】解：∵关于x的方程|log2x|﹣a=0的两个根为x1，x2（x1＜x2），∴x1=2﹣a，x2=2a，（a＞0）；∴2x1+x2=21﹣a+2a≥2=2；（当且仅当21﹣a=2a，即a=时，等号成立）；故答案为：2．【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于基础题．16．（4分）已知函数f（x）=asin+cos（a∈R），且f（x）≤f（）恒成立．给出下列结论：①函数y=f（x）在[0，]上单调递增；②将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数；③若k≥2），则函数g（x）=kx﹣f（2x﹣）有且只有一个零点．其中正确的结论是①③．（写出所有正确结论的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】①=a+，由f（x）≤f（）恒成立，可得a＞0，=a+，解得a，可得f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出单调性；②将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得y==，即可判断出图象的奇偶性；③利用奇函数的定义可得：函数f（x）是奇函数．f（0）=0．若k≥2，当x＞0时，函数g （x）=kx﹣f（2x﹣）≥2x﹣2sinx=2（x﹣sinx）＞0，无零点；同理x＜0时，无零点，即可判断出．【解析】解：①=a+=a+，∵f（x）≤f（）恒成立，∴a＞0，=a+，解得a=．∴f（x）==，由x∈[0，]，可得∈，∴函数y=f（x）在[0，]上单调递增，①正确；②将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得y==，所得图象对应的函数不是偶函数，②不正确；③f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．f（0）=0．若k≥2，则当x＞0时，函数g（x）=kx﹣f（2x﹣）=kx﹣2sinx≥2x﹣2sinx=2（x﹣sinx）＞0，无零点；同理x＜0时，无零点．综上可得：函数f（x）有且只有一个零点，故③③正确．因此只有：①③正确．故答案为：①③．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r．（Ⅰ）求实数r的值和{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=1，b n+1﹣b n=log2a n+1，求b n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（II）b n+1﹣b n=log2a n+1=n．利用“累加求和”可得b n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】解：（Ⅰ）∵S n=2n+r，∴a1=S1=2+r，a2=S2﹣S1=2，a3=S3﹣S2=4．∵数列{a n}是等比数列，∴，即22=4（2+r），∴r=﹣1．∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴b n+1﹣b n=log2a n+1=n．当n≥2时，b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=（n﹣1）+（n﹣2）+…+（2﹣1）+1=+1=+1．又n=1符合上式，∴b n=+1．【点评】本题主要考查了递推式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题．18．（12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，可求出直方图中的a的值；（Ⅱ）先求出上学所需时间的平均值，再与20比较即可得到答案；（Ⅲ）根据分层抽样确定[30，40）和[40，50）抽取的人数，列举任意抽取两人的基本事件，找出恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上事件包含的基本事件，利用概率公式计算即可．【解析】解：（Ⅰ）时间分组为[0，10）的频率为1﹣10（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，∴a==0.015，所以所求的频率直方图中a的值为0.015．（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7，因为16.7＜20，所以该校不需要推迟5分钟上课．（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在[30，40）中的有3人，不妨设为a，b，c，单程所需时间在[40，50）中的有2人，不妨设为A，B，从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的有以下6种：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），故恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的概率P==．【点评】本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．19．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，其中M（，2），N（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=，c=3，f（）=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由图象可求f（x）的周期T，由周期公式可得ω，又f（x）过点（，2），结合|φ|＜，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）由f（）=2sin（A+）=，结合A∈（0，π），即可求得A的值，在△ABC中，由余弦定理得b2﹣3b﹣4=0，解得b的值，由三角形面积公式即可得解．【解析】本题满分（12分）．解：（Ⅰ）由图象可知：函数f（x）的周期T=4×（﹣）=π，（1分）∴ω==2．（2分）又f（x）过点（，2），∴f（）=2sin（+φ）=2，sin（+φ）=1，（3分）∵|φ|＜，+φ∈（﹣，），∴+φ=，即φ=．（4分）∴f（x）=2sin（2x+）．（5分）（Ⅱ）∵f（）=2sin（A+）=，即sin（A+）=，又A∈（0，π），A+∈（，），∴A+=，即A=．（7分）在△ABC中，A=，a=，c=3，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，（8分）∴13=b2+9﹣3b，即b2﹣3b﹣4=0，解得b=4或b=﹣1（舍去）．（10分）∴S△ABC=bcsinA==3．（12分）【点评】本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，属于中档题．20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD=．（Ⅰ）求三棱锥A﹣PCD的体积；（Ⅱ）问：棱PB上是否存在点E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连接AG，利用已知可得：四边形AGCB为平行四边形，∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，AG=BC=1，DG=CD=1，利用勾股定理与逆定理可得：PA⊥AD．利用面面垂直的性质定理可得：PA⊥平面ABCD，利用V A﹣PCD=V P=，即可得出．﹣ACD（II）棱PB上存在点E，当=时，PD∥平面ACE．连接BD交AC于点O，连接OE．利用平行线分线段成比例定理再三角形中的应用：可得OE∥DP．【解析】解：（Ⅰ）取CD中点G，连接AG，∵CD=2AB，AB∥CD，∴AB∥GC，AB=GC，∴四边形AGCB为平行四边形，∴∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，∵AG=BC=1，DG=CD=1，∴AD==，∴PD2=3=PA2+AD2，∴∠PAD=90°，即PA⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PA⊥平面ABCD，∵S△ACD==1，∴V A﹣PCD=V P﹣ACD===．（II）棱PB上存在点E，当=时，PD∥平面ACE．证明：连接BD交AC于点O，连接OE．∵AB∥CD，CD=2AB，∴==，∴=，又，∴，∴OE∥DP，又OE⊂平面ACE，PD⊄ACE，∴PD∥ACE．【点评】本题主要考查空间线线、线面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．21．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），动点E满足直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l1与曲线C交于点P，Q，记点P到直线l2：x=2的距离为d．（ⅰ）求的值；（ⅱ）过点F作直线l1的垂线交直线l2于点M，求证：直线OM平分线段PQ．【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直译法，利用斜率公式可求轨迹方程；（2）先设出直线l1的方程，然后带入椭圆方程，通过消元化简得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，点到直线距离公式将所求表示出来，带入结论化简即可；（3）要证结论，只需分别求出直线OM的方程，PQ中点的坐标，然后证明坐标适合方程即可．【解析】解：（Ⅰ）设E（x，y），依题意得，整理得，∴动点E的轨迹C的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）F（1，0），设P（x1，y1）则，∴==．（ⅱ）依题意，设直线PQ：x=my+1，Q（x2，y2），联立可得（2+m2）y2+2my﹣1=0，显然，所以线段PQ的中点T坐标为，又因为FM⊥l1故直线FM的方程为y=﹣m（x﹣1），所以点M的坐标为（2，﹣m），所以直线OM的方程为：，因为满足方程，故OM平分线段PQ．【点评】本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）试比较e a﹣2与a e﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．【解析】解：（Ⅰ）因为a=﹣2时，f（x）=inx+x﹣1，．所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．所以a=﹣2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．（II）（i）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1），所以，①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，∴a≤0不合题意．②当a≥2即时，在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，∴a≥2满足题意．③若0＜a＜2即时，由f′（x）＞0，可得，由f′（x）＜0，可得x，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴，∴0＜a＜2不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．（ii）a≥2时，“比较e a﹣2与a e﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．则．∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以e x﹣2＜x e﹣2．当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴e x﹣2＞x e﹣2．综上所述，当a∈[2，e）时，e a﹣2＜a e﹣2；当a=e时，e a﹣2=a e﹣2；当a∈（e，+∞）时，e a﹣2＞a e﹣2．【点评】本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．。

2015年宁德市普通高中毕业班质量检查语文本试卷分五大题，共12页。

满分150分，考试时间150分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答题使用O．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并在答题卡上填写所选题目的序号。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、古代诗文阅读（27分）（一）默写常见的名句名篇（6分）1．补写出下列名句名篇中的空缺部分。

（6分）（1）长太息以掩涕兮，。

（屈原《离骚》）（2）茕茕孑立，。

（李密《陈情表》）（3），都护在燕然。

（王维《使至塞上》）（4），相逢何必曾相识。

（白居易《琵琶行》）（5）无可奈何花落去，。

（晏殊《浣溪沙》）（6）箫鼓追随春社近，。

（陆游《游山西村》）（二）文言文阅读（15分）阅读下面文言文，完成2～5题。

（15分）赠郡侯郭文麓升副使序【明】唐顺之廉吏，自古难之。

虽然，今之所谓廉者，有之矣。

前有所慕于进而后有所惧于罪，是以虽其嗜利之心不胜其竞进之心，而其避罪之计有甚于忧贫之计，慕与惧相持于中，则势不得不矫强而为廉。

其幸而恒处于有可慕有可惧之地，则可以终其身而不至于坏，而世遂以全．节归之。

其或权位渐以极，泄然志盈而气盛，则可慕者既已得之，而无复有惧于罪。

至如蹉跎沦落，不复自振，则可慕者既已绝望，萎然志销而气沮，且将甘心冒．罪而不辞。

是故其始也，缩腹镂骨以自苦；而其后也，甚或出于饕餮之所不为。

人见其然，则曰：‚若人也，而今乃若是！‛而不知始终固此一人也。

虽然，此犹自其既坏言之也。

方其刻意为廉之时，而其萌芽固已露矣。

苟捐．之足以为名而得之足以为罪，则千金有所必割；苟捐之不足以为名而得之不足以为罪，则锥刀①有所必算。

2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量a (3,)m =，b (2,1)=-，//a b ，则实数m 的值为A ．32-B ．32C ．2D ．62．若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅=A ． 6B ． 18C ．24D ．364．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --则该函数的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．2，，(n x x ++-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序． 若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入 的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 6．已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从 正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 ABC ．2 D8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日 9．若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13-D ．010．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是侧视图正视图A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．复数1iiz +=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________． 12．设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率 为 ．13．若关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为 ．14．若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是 ． 15的ABC ∆中，3A π∠=．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(c o s s i n )A θθ，． （Ⅰ）求点A 的坐标； （Ⅱ）若向量(s i n 2,2c o s )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．17．(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数； （Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18． (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥． （Ⅰ）求证：1AO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？ 若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．19． (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程;（Ⅱ）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， （ⅰ）求证:直线CD 过定点;（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究20．(本小题满分14分)xyO已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设3()(e g x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n +=+，求证：当2,n n ≥∈N 时 11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）求曲线410x y+-=在矩阵M的变换作用后得到的曲线C '的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ；（Ⅱ）若正实数,a b 满足11a b +2212m a b+≥.2013年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．1112．1313．1-或0 14．(3,1)(1,3)-- 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分． 解: （Ⅰ）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分 ∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分 ∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（Ⅱ）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分 由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分 ∴函数()f x的值域为12[5-．……………………………………………13分 17．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分． 解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：143.6x =．……………………………2分∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分 ∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分 ∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为ξ， 则ξ所有可能的取值为60-，20-，20，60．331(60)1464P ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 213339(20)14464P C ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 3233327(20)14464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(60)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴19276020206030646464E ξ=-⨯-⨯+⨯+=．……………………………8分 设最后抢答阶段乙队获得的分数为η，则η所有可能的取值为60-，20-，20，60． ∵2111(60)5250P η⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭，2411119(20)25525250P η⎛⎫=-=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(20)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(60)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴191216602020602450502550E η=-⨯-⨯+⨯+⨯=，……………………………12分 ∵1203012024+>+，∴支持票投给甲队．…………………………………………13分18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．（Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1A O =…………………………………………2分 ∴22211AO AD AA += ∴1AO AD ⊥.…………………………………………3分 又1CD AO ⊥，且CD AD D =，∴1AO ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分 （Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ，设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(x ∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n =1),m +．……………………………8分 又1AO ⊥平面ABCD ,且1AO ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD .B a１a又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD =∴CD ⊥平面11A ADD . 不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ，……………………12分解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分 19．本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分．解法一: （Ⅰ）由题意可知，HF HP =，∴点H 到点(0,1)F 的距离与到直线1:1l y =-的距离相等，……………………………2分 ∴点H 的轨迹是以点(0,1)F 为焦点， 直线1:1l y =-为准线的抛物线，………………3分 ∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设0(,1)P x -，切点(,),(,)C C D D C x y D x y ． 由214y x =，得12y x '=． ∴直线01:1()2C PC y x x x +=-，…………………………………………5分 又PC 过点C ，214C C y x =， ∴2001111()222C C C C C y x x x x x x +=-=-， ∴01122C C C y y x x +=-，即01102C C x x y -+=．…………………………………………6分 同理01102D D x x y -+=， ∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）得,直线CD 的方程为1102x y -+=. 设:1(1)l y k x +=-， 与方程1102x y -+=联立，求得4221Q k x k +=-．……………………………………9分 设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQPQ PQ PA PB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭ ()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分 ()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 5422215k k -=⋅=-， ∴PQPQ PA PB +为定值，定值为2．…………………………………………13分解法二: （Ⅰ）设(,)H x y ，由题意可知， HF HP =，1y =+， ………………………………2分∴化简得24x y =，∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设切点(,),(,)C C D D C x y D x y ，直线CD 的方程为y kx t =+．联立y kx t =+与24x y =得2440x kx t --=，由根与系数的关系，得4,4C D C D x x k x x t +=⋅=-．…………………………………………5分 由214y x =，得12y x '=． ∴直线1:()2C C C PC y y x x x -=-，又214C C y x =， 所以211:24C C PC y x x x =-． 同理211:24D D PD y x x x =-．…………………………………………6分 联立两直线方程，解得1y t =-=-，∴1t =，即直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ），解得11()22C D x x k =+=， ∴12k =， ∴直线CD 的方程为1102x y -+=． 以下同解法一．20．本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解: （Ⅰ）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分 由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分（Ⅱ）2()e (2)x f x x x -=+．由()()g x f x ≥，得23()e (2)ex x x t x x ----≥+，[0,1]x ∈． 当0x =时，该不等式成立; …………………………………………4分当(0,1]x ∈，不等式3e (2)ex x t x --++≥+对(0,1]x ∈恒成立，即max 3e (2)e x t x x -⎡⎤≥++-⎢⎥⎣⎦．…………………………5分 设3()e (2)ex h x x x -=++-，(0,1]x ∈， ()e (2)e 1e (1)1x x x h x x x ---'=-+++=-++，()e (1)e e 0x x x h x x x ---''⎡⎤=--++=⋅>⎣⎦，∴()h x '在(0,1]单调递增，∴()(0)0h x h ''>=，∴()h x 在(0,1]单调递增， …………………………………………………………7分 ∴max 33()(1)11e eh x h ==+-=， ∴ 1.t ≥………………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）∵11(1)n n a a n+=+， ∴11n n a n a n++=，又11a =， ∴2n ≥时，321121231121n n n a a a n a a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->，∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=． 又∵1()i f n n ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n ，宽为1n的小矩形的面积， ∴11()()i n i ni f f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n n n n n n n n --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分 又由（Ⅱ），取1t =，得23()()(1)e f x g x x x ≤=-++， ∴1132100011313()()(1)32e 62ef x dxg x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦，∴11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分 21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''，则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分 又det()3M =-，∴1103213M -⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分 （Ⅱ）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''，则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分 ∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭， 即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分（2）本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为x y +=，………………………………………2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分 （Ⅱ）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分圆心C到直线x y+=的距离为2d，………………………6分又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即3d r+=，∴321r=-=．………………………………………7分(3)本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）∵()|5||3|532f x x x x x=-+-≥-+-=，…………………………………2分当且仅当[3,5]x∈时取最小值2，……………………3分2m∴=．…………………………………4分（Ⅱ）22222121()[1](13a b a++≥⨯+=，222123()2a b∴+⨯≥，∴22122a b+≥.…………………………………………7分。

福建省宁德市高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】集合＝，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，则∪{x|0＜x＜2}＝，故选：A．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选：B3.若已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵向量，，且，∴，即∴，故选：D4.在一组数据为，，…（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵这组样本数据的相关系数为，∴这一组数据，，…线性相关，且是负相关，∴可排除D，B，C，故选：A5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为（）（参考数据：，，，）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，且顶距时，晷影长．∴，当晷影长度，∴故选：B6.已知平面区域：，：，则点是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】平面区域，表示圆以及内部部分；的可行域如图三角形区域：则点P（x，y）∈Ω1是P（x，y）∈Ω2的必要不充分条件．故选：B．7.直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r，又由直三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距d，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2+d2，∴外接球的表面积S＝4πR2．故选：C．8.若函数，则（）A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为C. 函数的一个对称中心为D. 函数在上是增函数【答案】D【解析】函数它的最小正周期为π，故排除A；函数的最大值为，故排除B；令x，求得f（x），故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除C；，此时在上单调递增，∴函数在上是增函数故选：D9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥中最长的棱长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出四棱锥A﹣BCDE的直观图如图所示：由三视图可知底面BCDE是直角梯形，DE∥BC，BC⊥BE，DE⊥面ABE，AE⊥BE，且AE＝BE＝DE＝4，BC＝2，∴AD＝AB＝4，AC＝6，CD，∴AC为四棱锥的最长棱．故选：B．10.若过抛物线：焦点的直线与相交于，两点，且，过线段的中点作轴的垂线交抛物线的准线于点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线：焦点为，设的方程为：，代入抛物线方程可得：，设A（，）、B（，），则+，，，∴，不妨取，则∴，∴的面积为故选：C11.函数的导函数满足在上恒成立，且，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令函数F（x），则F′（x），∵f′（x）＞f（x），∴F′（x）＞0，故函数F（x）是定义在R上的增函数，∴F（1）＞F（0），即，故有f（1）＞ef（0）；又，∴，故选：Ａ12.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,∴∴而结合选项∴，故选：B二、填空题．13.复数的实部为__________．【答案】【解析】复数，则复数z的实部为．故答案为：．14.已知直线是双曲线：的一条渐近线，则双曲线的离心率为____．【答案】【解析】∵直线y＝2x为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，∴2a＝b，∴c a，∴e．故答案为：．15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为___．【答案】【解析】由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，由正弦定理，，所以BC；△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝解得：AB，则两目标A，B间的距离为．故答案为：．16.若函数有最小值，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】在上单调递增，∴，当时，，此时∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上最小值为，若函数有最小值，的则，即，故答案为：三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知等比数列的各项均为正数，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．解：（Ⅰ）设数列的公比为，依题设有，因为，所以，，解得，，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，所以，．18.在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）为线段上一点，且，求三棱锥的体积．解法一：（Ⅰ）因为是边长为的正三角形，为的中点，所以，同理，，又，因为，所以又，所以平面，又平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，所以，为直角三角形，所以，且，解得．在中，由，．解得，即即,，解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面，所以， 即，， 所以， 得，则， 所以，又，所以平面，在中，，所以．19.党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态．为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）若将购买金额不低于元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取人，求这人中消费金额不低于元的人数；（Ⅱ）从（Ⅰ）中的人中抽取人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求人中至少有人购买金额不低于元的概率；（Ⅲ）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案， 方案一：每满元可立减元；方案二：金额超过元但又不超过元的部分打折，金额超过元但又不超过元的部分打折，金额超过元的部分打折．若水果的价格为元/千克，某游客要购买千克，应该选择哪种方案．解：（Ⅰ）样本中“水果达人”的频率为所以样本中“水果达人”的人数为如图可知，消费金额在与的人数比为其中消费金额不低于元的人数为人所以，抽取的人中消费金额不低于元的人数（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抽取的人中消费金额低于元的有人，记为，，消费金额不低于元的有人，记为，所有基本事件如下：，，，，，，，，，共有种，其中满足题意的有种所以（Ⅲ）依题意得，该游客要购买元的水果，若选择方案一，则需支付元选择方案二，则需支付元，所以选择方案二更优惠．20.已知椭圆：的左焦点为，且过点，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点为椭圆上的动点，过点作平行于的直线交椭圆于，两点，求面积的取值范围．解：解法一：（Ⅰ）依题意得，左焦点，则右焦点即，且则得椭圆方程为（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，，此时．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去得：．显然，设，，则故，．因为，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，所以，，因为，所以，所以．综上，．21.若函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若在上存在两个零点，求的取值范围．解：（Ⅰ）函数的定义域为，，当时，，在单调递减．当时，令，，其中舍去则当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增．所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在单调递减，当时，所以在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，在单调递减，不合题意，舍去．当时，由于在上有两个零点，又因为，所以是的一个零点．因此问题等价于：在存在一个零点，又由（Ⅰ）得，当时，存在一个极值点，故，即．因此问题等价于：．因为，令，在恒成立，所以在单调递减，，所以成立，所以存在，．取，，，所以在存在一个零点．综上所述，．另解：当趋近于时，趋近于正无穷大，则．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线的极坐标方程为，设曲线与直线的交于点和点，曲线与直线的交于点和点，求的面积．解：（1）由，得曲线C的普通方程为，把，代入该式化简得曲线C的极坐标方程为：.因为直线：是过原点且倾斜角为的直线，所以直线的极坐标方程为：．（2）把代入得，故，把代入得，故，因为,所以的面积为.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，且，求证：．解：解法一：（1）因，所以，由得：或或解得或或，所以不等式的解集为：.（2），又，，所以要证成立，只需证成立，即证，只需证成立，因为，，所以根据基本不等式成立，故命题得证．解法二：（1）因为，所以作出函数的图像（如下图）因为直线和函数图像的交点坐标为, . 所以不等式的解集为：（2），又，所以，，故所以成立．。

福建省宁德市2015年普通高中毕业班质量检查文综历史试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷为必考题，第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

本试卷共14页，满分300分，考试时间150分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷本卷共36小题，每小题4分，共计144分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

13. 以下对图7所示邮票《燕侯盂》内容的解读，正确的是①“中国人民邮政”的字体系甲骨文 ②它反映西周实行分封制的历史事实 ③此盂象征着燕侯的政治权力与地位 ④该青铜器由私营作坊精心制作而成 A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④14. 据统计，唐前期兴修的163项水利工程中，北方五道有101项。

唐后期兴修的101项水利工程中，南方五道就有76项，其中江南道占49项。

这种变化表明唐代A ．政府重视水利工程的建设B ．南北经济出现失衡的态势C ．江南成为全国的经济中心D ．经济重心呈现转移的趋势 15．下列文学作品中，能体现“中华民族追求国家统一、向往安定太平”天下观的是A ．《红楼梦》 B.《西游记》 C ．《三国演义》 D.《水浒传》 16. 某地孙氏后人想征集一幅祠堂大门对联，以下可采用的对联是A ．首创共和蠲帝制，独谙韬略著兵书B ．岷江水利千年颂，昌谷诗风万里香C ．一统江山明社稷，四书精典宋圣贤D ．海战献身致远舰，文行图志伯牙琴 17．如果要给图8设置一个主题，确切的应是 A ．传统与现代的对立图7B ．保守与激进的冲突C ．趋新与倒退共存D ．中西文明的交融18．1943年，中美、中英分别签订《中美新约》和《中英新约》，废止美、英两国历史上强迫中国签订的不平等条约，取消两国在华的治外法权及有关特权。

2015届高三最后模拟考试文科综合能力测试第Ⅰ卷本卷共36小题，每小题4分，共计144分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

图1示意世界炼油能力空间分布及变化（图中圆圈大小表示炼油能力大小）。

读图回答1～2题。

1．与图中炼油能力空间分布关系最大的是 A ．石油资源 B ．科技水平 C ．市场需求 D ．人口数量 2．炼油能力空间分布的变化将导致 A ．石油运输量增加 B ．欧美经济萎缩 C ．世界贫富差距加剧 D ．污染区域更集中处在丝绸之路经济带的西安正在构建国际化大都市，这为咸阳的杨凌农业高新技术产业示范区提供了发展机遇。

图2示意陕西省城市发展轴线。

读图回答3～4题。

3．对图中城市发展轴线分布影响最大的是 A ．经纬线 B ．山谷线C ．旅游线D ．交通线4．西安国际化大都市的构建将使杨凌农业高新区 ①水稻种植面积扩大 ②技术交流加强 ③农产品种类增多 ④产品以国际市场为主A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④图1图 2图3示意我国浙江、安徽、西藏三省区2005-2010年间迁移人口比重，迁移人口以青壮年为主。

读图回答5～6题。

5．据图推断A ．①、②省区迁入人口数相同B ．①省区经济较③省区发达C ．人口迁移加剧①省区人口老龄化D ．人口迁移导致①省区经济水平降低 6．②省区迁出、迁入人口比重低的主要原因是 A ．地理环境独特 B ．人口数量少7．该瀑布形成的地质作用过程是A ．岩浆活动—固结成岩—地壳抬升—侵蚀作用B ．岩浆活动—冷却凝固—地壳抬升—侵蚀作用C ．沉积作用—固结成岩—地壳抬升—风化作用D ．沉积作用—固结成岩—地壳抬升—侵蚀作用 8． 该瀑布可能会影响其下游河流的A ．含沙量B ．流量C ．汛期D ．结冰期图5示意我国某县年降水量及水系分布。

读图回答9～10题。

9． 影响该县年降水量空间分布的主要因素是A ．河流B ．海陆位置C ．季风D ．地形①③迁出人口比重（℅）10 8 6 4 2 ②20151050 迁入人口比重（℅） 图4图3（背面还有试题）10．据图推断，年平均气温A ．N 地＞M 地B ．P 地＞N 地C ．Q 地＞P 地D ．Q 地＞M 地一观测者在某日对当地的太阳方位和太阳高度进行观测，图6中a 、b 两点记录了该日两个不同时刻的太阳方位和太阳高度(同心圆上的数值表示太阳高度)，其中a 点为北京时间19:00的观测记录。

数学（文科）参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考。

如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则。

2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2,10R x x x ∈∀+-< 14．0.4- 15．376416．①②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（满分10分）本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识。

考查概念识记、运算化简能力。

解：（Ⅰ）2221z (1)12ai a ai =+=-+21z 为纯虚数∴210a -=， ……………………… 3分.又0a >∴1a = ∴11z i =+ ………………………… 5分 （Ⅱ）121(1)1211112z i i i i z i i i i i ++⋅+=====---⋅+（）（）（） ……………………8分21z i ∴=== …………………………10分18．（满分12分）本题主要考查简易逻辑、不等式解法、根式意义等基础知识。

考查运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论的思想．解：∴命题p 为真时101a a ⇔-≥⇔≤ …………………2分p ⌝为真1a ⇔> ………………………3分（Ⅱ）命题q 为真时，24(1)40a ⇔∆=-->即0a <或2a > ………………5分命题q 为假时 02a ⇔≤≤ ………………6分 由“p q ∨”为真且“p q ∧”为假，知p 、q 有且只有一个为真. ………………7分p 真q 假102a a ≤⎧⇔⎨≤≤⎩[] 0,1a ⇔∈ ………………9分p 假q 真102a a a >⎧⇔⎨<>⎩或() 2,a ⇔∈+∞ …………………………11分综上，a 取值范围是[]() 0,12,a ∈+∞ ………………………12分19. （满分12分）本题主要考查函数、导数等基本知识。

2015年福建省宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|320}M x x x =-+=，{2,1,1,2}N =--，则=N MA ．{2,1}--B ．{1,2}C ．{2,1}-D ．{2,1,1,2}-- 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}2,1023|2==+-=x x x M ，{}{}2,1,1,22,1--=∴ N M {}2,1=，故答案为B.考点：集合的交集的运算.2.若x ∈R ，则“21x <”是“10x -<<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由12<x得0<x ，由0<x 不能推出01<<-x ，由01<<-x 能达到0<x ，因此12<x是01<<-x 的必要不充分条件，故答案为B.考点：充分条件、必要条件的判断.3.某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人. 现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取 A ．55人，80人，45人 B ．40人，100人，40人 C ．60人，60人，60人 D ．50人，100人，30人【答案】D 【解析】试题分析：专科生：本科生：研究生3:10:5900:3000:1500==，抽取的专科生人数50185180=⨯人， 抽取的本科生人数1001810180=⨯人，抽取的研究生人数30183180=⨯人，故答案为D. 考点：分层抽样的应用.4.经过圆22(2)1x y -+=的圆心且与直线210x y -+=平行的直线方程是 A ．240x y --= B ．240x y -+= C ．220x y +-= D ．220x y ++= 【答案】A考点：直线的方程.5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βD ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α 【答案】D 【解析】试题分析：对应A ，直线n m ,可能平行，可能异面直线；对应B ，平面βα,可能相交；对应C ，直线m 与平面α可能相交，也可能直线在平面内；对应D ，根据两条平行线中一条垂直这个平面，另一条也垂直这个平面，正确，故答案为D. 考点：空间中直线、平面的的位置关系.6.已知sin α=(0,)2απ∈，则tan 2α=A ．43- B ．43 C ．12- D ．2【答案】A 【解析】试题分析：由552sin =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα得55sin 1cos 2=-=αα，2cos sin tan ==∴ααα，34tan 1tan 22tan 2-=-=∴ααα，故答案为A.考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角的正切公式. 7.下列函数中，既为奇函数又在(0,)+∞内单调递减的是A ．()sin f x x x =B ．12()f x x-=C ．1()1xxe f x e -=+ D ．3()f x x x =-【答案】C考点：函数的奇偶性和单调性.8.运行如图所示的程序，若输出y 的值为1，则可输入x 的个数．．为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】试题分析：当0≤x 时，12==xy ，得0=x 符合题意，当0>x 时，x x y 33+-=，由图象可知当0>x 时，x x y 33+-=与1=y 有两个交点，因此输出的x 个数为3，故答案为D.考点：1、程序的应用；2、分段函数求值.9.已知实数,x y 满足122x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若不等式3ax y -≤恒成立，则实数a 的取值范围为A ．(,4]-∞B ．3(,]2-∞ C ．3[,2]2 D ．[2,4]【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，不等式3≤-y ax 恒成立，即3-≥ax y 恒成立，平面区域ABC 在直线3-=ax y 上及上方，由图可知得()1,1A ，()0,2B ，()1,1-C 三点在直线上及上方，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤-313241a a a ，得23≤a ，故答案为B考点：线性规划的应用.10.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则此四棱锥的侧面积为A．6+．9+ C．12+．20+【答案】C 【解析】试题分析：由三视图得几何体如图所示，平面⊥SAD 平面ABCD ，SF BC BC EF AD SE ⊥⊥⊥,,，侧视图俯视图第10题图又3==SD SA ，2===EF CD AB ，4==BC AD ，5=∴SE ，345=+=SF ，侧面SAD 的面积52，侧面SCD SAB ,的面积为3，侧面SBC 的面积63421=⋅⋅=S ，四棱锥的侧面积5212+，故答案为C.考点：由三视图求侧面积.11.已知点P 是ABC ∆所在平面上一点，AB 边的中点为D ，若23PD PA CB =+，则ABC ∆与ABP ∆的面积比为A ．3B ．2C ．1D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由于点D 是AB 的中点，PD PB PA 2=+∴，因此CB PA PB PA +=+3，化简得PC PA =2，因此点A 是PC 的中点，ABC ∆的面积和ABP ∆的面积相等，故答案为C.考点：平面向量数量积的应用.12.O 为坐标原点，,A B 为曲线y 上的两个不同点，若6OA OB ⋅=，则直线AB 与圆2249x y +=的位置关系是A. 相交B. 相离C. 相交或相切D. 相切或相离【答案】A 【解析】试题分析：设()121,t t A ，()222,t t B ，6212221=+=⋅t t t t ，解得221=t t （321-=t t 舍去），122122121t t t t t t k AB +=--=，直线AB 与y 轴的交点()b ,0，则2121110t t t b t +=--，解得2121t t t t b +=，直线AB 方程212121t t tt t t x y +++=，整理得()0221=++-y t t x ，圆心()0,0到直线AB 的距离 ()22112t t d ++=，由基本不等式得21212t t t t ≥+，由于B A ,是不同两点，因此等号不能成立，2221>+∴t t ，因此32812=+<d ，因此位置关系的相交，故答案为A. 考点：直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.复数()i i z 21+=（i 为虚数单位），则z = . 【答案】i --2 【解析】试题分析：()i i i z +-=+=221，i z --=∴2. 考点：共轭复数的概念.14.在区间(0,4)内任取一个实数x ，则使不等式2230x x --<成立的概率为 . 【答案】43. 【解析】试题分析：在区间()4,0内任取一个实数x ，试验全部结果构成的长度为4，不等式0322<--x x 得31<<-x ，满足题意的30<<x ，满足不等式的x 的长度是3，不等式0322<--x x 成立的概率为43=P . 考点：利用几何概型求随机事件的概率.15.关于x 的方程2log 0x a -=的两个根为1212,()x x x x <，则122x x +的最小值为 . 【答案】22【解析】试题分析：方程0log 2=-a x 的两个根()2121,x x x x <，则函数a y =与函数x y 2log =的交点有两个，由图可知，101<<x ，12>x ，因此a x -=12log ，a x -=∴21，a x =∴22log ，得a x 22=，因此a a x x 222221+⋅=+-222222211=⋅≥+=--a a a a ，因此212x x +的最小值22.考点：1、方程的根和函数的零点；2、基本不等式的应用.16.已知函数()sin cos (22x xf x a a =+∈R)，且()()3f x f 2π≤恒成立. 给出下列结论：①函数()y f x =在[0,]32π上单调递增； ②将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，所得图象对应的函数为偶函数； ③若2k ≥，则函数()(2)3g x kx f x π=--有且只有一个零点.其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【解析】试题分析：由于()⎪⎭⎫⎝⎛≤32πf x f ，得⎪⎭⎫⎝⎛32πf 为最大值，12123322+=+=⎪⎭⎫⎝⎛a a f π，平方化简得()032=-a ，得3=a ，因此()2cos 2sin3x x x f +=⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx ，当320π≤≤x 时，2626πππ≤+≤x ，因此①对；将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，所得图象对应的函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6321sin 2ππx y ⎪⎭⎫⎝⎛+=3221sin 2πx 不是偶函数，②错；当2≥k 时，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=63221sin 2ππx kx x g x kx sin 2-=，()0cos 2≥-='x k x g ，不恒等于0，函数()x kx x g sin 2-=在R 上单调递增，()00=g ，故③正确，答案为①③.考点：1、函数的单调性和奇偶性；2、函数的零点.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S r =+. （1）求实数r 的值和{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，121log n n n b b a ++-=，求n b . 【答案】（1）()*12N n a n n ∈=-；（2）121212+-=n b n ()*N n ∈.又11b =符合上式，∴2111()22n b n n n *=-+∈N . ······················ 12分考点：1、由n S 得n a ；2、等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式. 18.（本小题满分12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生．．．．上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上的概率.【答案】（1）015.0；（2）不需要推迟5分钟；（3）53=P . 【解析】试题分析：(1)解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、组距频率，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2)平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标；（3）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算，当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合. 试题解析：（1）时间分组为[0,10)的频率为110(0.060.020.0030.002)0.15-+++=， ················· 2分∴0.150.01510a ==， 所以所求的频率直方图中a 的值为0.015. ················· 3分 （2）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：0.1550.6150.2250.03350.0245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ············· 4分0.7595 1.050.9=++++16.7=. ······························· 5分因为16.720<，所以该校不需要推迟5分钟上课. ···················· 6分 （3）依题意满足条件的单程所需时间在[30,40)中的有3人，不妨设为123,,a a a ， 单程所需时间在[40,50]中的有2人，不妨设为12,b b ， ··········· 7分 从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，12(,)b b ； ····················· 10分其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的有以下6种：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ； ········ 11分故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的概率63105P ==. ····· 12分 考点：1、频率分布直方图的应用；2、利用古典概型求随机事件的概率. 19.（本小题满分12分）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)2ωϕπ><在一个周期内的图象如图所示，其中M (,2)12π，N (,0)3π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是a,b,c，且3,()2Aa c f ==，求ABC∆的面积．【答案】（1）()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 2πx x f ；（2）33.【解析】试题分析：（1）求函数()()()0,0sin >>+=ωϕωA x A x f 的解析式时，A 比较容易得出，困难的是确定待定系数ϕω和的值，常用如下方法;(2)一是由Tπω2=即可求出ω的值；确定ϕ的值，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00=+ϕωx （或πϕω=+0x ），即可求出ϕ；(3)二是代入点的坐标，利用一些已知点坐标代入解析式，再结合图形解出ϕω和，若对ω,A 的符号或对ϕ的范围有要求，则可利用诱导公式进行变换使其符合要求；（4）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.试题解析：（1）由图像可知：函数()f x 的周期4()312T πππ=⨯-=， ····· 1分 ∴22ωπ==π. ···························· 2分 又()f x 过点(,2)12π,∴()2sin()2126f ππϕ=+=，sin()16πϕ+=， ················ 3分∵2πϕ<，2(,)633πππϕ+∈-， ∴62ππϕ+=，即3πϕ=. ························ 4分∴()2sin(2)3f x x π=+. ························· 5分（2）∵()2sin()23A f A π=+即sin()3A π+=又4(0,),(,)333A A ππππ∈+∈∴233A ππ+=，即3A π=. ······················· 7分在ABC ∆中，,33A a c π===，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-， ················· 8分 ∴21393b b =+-，即2340b b --=，解得4b =或1b =-（舍去）. ····················· 10分∴11sin 43sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯⨯=················ 12分考点：1、利用函数图象求函数解析式；2、三角形的面积. 20.（本小题满分12分）如图四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， 90ABC ︒∠=，且2,1CD AB BC PA ====，PD（1）求三棱锥A PCD -的体积；（2）问：棱PB 上是否存在点E ，使得//PD 平面ACE ？若存在，求出BEBP的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）31；（2）棱PB 上存在点E ，当13BE BP =时，//PD 平面ACE .【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键，利用棱锥的体积公式Sh V 31=求体积；（3）)证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质.试题解析：（1）取CD 中点G ，连接AG ，2,//,CD AB AB CD =GC//,,AB GC AB GC ∴=∴四边形AGCB 为平行四边形，090AGD DCB ABC ∴∠=∠=∠=在Rt AGD ∆中，11,1,2AG BC DG CD ====AD ∴=···················· 1分 2223,123,PD PA AD ∴=+=+=222,PD PA AD =+090,PAD ∴∠= 即,PA AD ⊥ ······················ 2分平PAD ⊥面平ABCD 面，平PAD 面平ABCD AD =面PA ∴⊥平ABCD 面 ·························· 3分112ACD S CD AG ∆=⋅=, ························ 4分A PCD P ACD V V --∴= ··························· 5分13ACD S PA ∆=⋅⋅ 111133=⨯⨯=. ···························· 6分 （2）棱PB 上存在点E ，当13BE BP =时，//PD 平面ACE .·········· 7分证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OE . ∵//,2AB CD CD AB = ∴1,2BO AB OD CD == ··························· 8分 ∴13BO BD =,又13BE BP = ∴BO BEBD BP=， ∴//,OE DP ····························· 10分又,OE ACE PD ACE ⊂⊄面，面//PD ACE ∴面. ···························· 12分考点：1、求三棱锥的体积；2、直线与平面平行的判定. 21.（本小题满分12分）已知点(A B ，动点E 满足直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-.（1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设过点()1,0F 的直线1l 与曲线C 交于点,P Q ，记点P 到直线2:2l x =的距离为d .①求PF d的值；②过点F 作直线1l 的垂线交直线2l 于点M ，求证：直线OM 平分线段PQ .【答案】（1）()21222±≠=+x y x ；（2）22=d PF ，证明略. 【解析】试题分析：（1）设E 点的坐标()y x ,，根据题意列方程找到y x ,之间的关系式，注意范围；（2）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出22,b a 的值，若不明确，需分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论；（3）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：（1）设(,)E x y ， 依题意得1,2EA EB k k ⋅==-(x ≠,············ 1分 整理得2212x y +=,∴动点E 的轨迹C 的方程为221(2x y x +=≠. ············ 3分（2）①(1,0)F ，设11(,),P x y 则 221112x y =-, ·············· 4分∴1||PF d = ························ 5分1=1=. ······························· 7分 ②依题意,设直线22:1,(,)PQ x my Q x y =+,联立221,12x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210m y my ++-=, ·············· 8分 显然12220,,2my y m∆>+=-+ ······················ 9分 所以线段PQ 的中点T 坐标为222(,),22mm m-++ ··············· 10分 又因为1,FM l ⊥故直线FM 的方程为(1)y m x =--, 所以点M 的坐标为(2,)m -, 所以直线OM 的方程为:,2my x =- ··················· 11分 因为222(,)22m T m m -++满足方程,2my x =-故OM 平分线段.PQ ························· 12分 考点：1、求轨迹方程；2、直线与椭圆的综合问题. 22.（本小题满分14分）已知函数1()ln (1)2f x x a x =--（a ∈R ）．（1）若2a =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若不等式()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立．①求实数a 的取值范围；②试比较2a e -与2e a -的大小，并给出证明（e 为自然对数的底数， 2.71828e ≈）．【答案】（1）22-=x y ；（2）2≥a ，22-->a a a e .【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()1,1f 处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率()1f k '=，从而求出直线方程；（2）若可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f ()()0≤'x f 恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式. 试题解析：（1）2a =-时，()ln 1f x x x =+-，1()1,f x x'=+ ······· 1分 ∴切点为(1,0)，(1)2k f '== ······················ 3分 2a ∴=-时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-. ······ 4分（2）1()ln (1)2f x x a x =--，12()22a axf x x x-'∴=-=， ······················· 5分 ①当0a ≤时，(1,)x ∈+∞，()0f x '>,∴()f x 在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0f x f >=，∴0a ≤不合题意. ·························· 6分 ②当2a ≥即201,a <≤时，2()2()022a x ax a f x x x --'==-<在(1,)+∞上恒成立， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递减，有()(1)0f x f <=，∴2a ≥满足题意. ·························· 7分③若02a <<即21,a >时，由()0f x '>，可得21x a<<，由()0f x '<，可得2x a >， ∴()f x 在2(1,)a上单调递增，在2(,)a +∞上单调递减，∴2()(1)0f f a>=，∴02a <<不合题意.························· 9分 综上所述，实数a 的取值范围是[2,).+∞ ················· 10分 当2a ≥时，“比较2a e -与2e a -的大小”等价于“比较2a -与(2)ln e a -的大小” 设()2(2)ln (2)g x x e x x =---≥ 则2(2)()10,e x e g x x x-+-'=-=> ∴()g x 在[2,)+∞上单调递增， ····················· 12分 ()0,g e =当[2,)x e ∈时,()0,g x <即2(2)ln x e x -<-，22x e e x --∴< 当(,)x e ∈+∞时,()0g x >，即2(2)ln x e x ->-，22x e e x --∴> 综上所述，当[2,)a e ∈时，2a e -<2e a -； 当a e =时，2a e -=2e a -；当(,)a e ∈+∞时，2a e ->2e a -. ······················ 14分 考点：1、导数的几何意义；2、函数单调性的应用；3、利用导数证明不等式.。