阅读下列材料：t 是一个三位正整数，且10010t a b c =++（19a ≤≤，0b ≤，9c ≤，a ，b ，c 为整数）．若t 的百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则我们称这个三位数t 是“幸运数”，并规定：()3F t a c =-．如237是幸运数，且(237)3271F =⨯-=-．（1）若t 既能被3整除，又能被5整除，求符合条件的“幸运数”t ；（2）若两个“幸运数”1t ，2t 的十位数字均为y ，百位数字分别为x ，m ，()x m ≠，个位数字分别为z ，n ，()z n ≠，且123()4()2F t F t =-，证明：315m z -=．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：1011031132332222222=+→=+→=+→，1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．3. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数； （2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？4. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a n b =，即a bn =，例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得11an=，即11a n =，一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”.①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；②若七位整数17562m n 能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数。
常见的对称问题及求解方法一、中心对称1、点关于点的对称，可以利用中点坐标公式求解例1、已知点(5,6)A 和点(1,2)B ，求点A 关于点B 的对称点A '。
解：设(,)A x y '，由题意可知点B 为点A 与点A '的中点，即有512622x x +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得32x y =-⎧⎨=-⎩所以点A '的坐标为(3,2)A '--。
2、直线关于点的对称，可以利用点到直线的距离来求解例2、已知直线:210l x y ++=和点(1,2)A ，求直线l 关于点A 对称的直线l '。
分析：l '与l 互相平行，且点A 到直线l '的距离等于点A 到直线l 的距离 解：设直线l '的方程为：20(1)x y m m ++=≠，则有|= 解得11m =-或1m =（舍）所以直线l '的方程为：2110x y +-=。
3、图形关于点的对称，可以转化为点关于点的对称来求解例3、求曲线1C 22231x y +=的图象关于点(1,1)A 对称的曲线2C 的解析式。
解：在曲线2C 上任取一点(,)P x y ，则它关于点(1,1)A 的对称点为(2,2)Q x y --， 由点Q 在22231x y +=上可得 222(2)3(2)1x y -+-=即曲线2C 的解析式为222(2)3(2)1x y -+-=。
二、轴对称1、点关于直线的对称，可以利用垂直平分线的性质求解例4、已知直线:230l x y ++=和点(1,1)A ，求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标。
解：设(,)A x y '，则由点A 与点A '关于直线l 对称可得，A A l '⊥，且点A 与点A '的中点 在直线l 上。
故有11()1121123022y x x y -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+⋅+=⎪⎩ 解得75195x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以点A '的坐标为719(,)55A '--。
专题07整式加减中取值无关型的两种考法类型一、不含某一项问题所以330b -=，20a +=，解得：1b =，2a =-．∴()992118117a b +=⨯-+=-+=-．【点睛】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，求解代数式的值，理解题意，列出运算式与方程是解本题的关键．类型二、错解型问题5．对于m ，n ，定义，若2m n +=，则称m 与n 是关于1的“对称数”．(1)填空：7与________是关于1的“对称数”，25x +与________是关于1的“对称数”(2)若2324a x x =-+-，()22523b x x x =-+-，判断a 与b 是不是关于1的“对称数”，并说明理由(3)已知()()2A x a x =+-，24B x x b =--+，其中a ，b 均为常数，且无论x 取何值，A 与B 都是关于1的“对称数”，求a ，b 的值；【答案】(1)5-，24x --(2)a 与b 是关于1的“对称数”，理由见解析(3)6,14a b ==【分析】（1）根据题中所给关于1的“对称数”的定义，即可进行解得；（2）将a 和b 相加，看结果是否为2，若为2，则a 与b 是关于1的“对称数”，否则不是；（3）根据无论x 取何值，A 与B 都是关于1的“对称数”可得A B +的结果等于2，且含有x 的项系数为0，即可进行求解．【详解】（1）解：设7与m 是关于1的“对称数”，则72m +=，解得5m =-，设25x +与n 是关于1的“对称数”，则251x n ++=，解得：24n x =--，故答案为：5-，24x --．（2）()222324523a b x x x x x +=-+-+-+-2223245226x x x x x =-+-+--+2=，∴a 与b 是关于1的“对称数”．（3）()()224A B x a x x x b+=+---+22224x x ax a x x b=-+---+62x ax a b=-+-+()62a x a b =-+-+，∵无论x 取何值，A 与B 都是关于1的“对称数”，∴6022a a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：614a b =⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和运算顺序．6．某野生动物园门票价格为60元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用．设某旅游团一次性购买门票x 张（x 为正整数）．(1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用；(2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m 个500元（m 为正整数）．①该旅游团一共需要花费的总费用为____元；（用含m ，x 的代数式表示）②当40x ＞时，无论x 取什么值，都存在一个正整数m ，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值，则m 的值为____，固定值为____．【答案】(1)当040x ≤＜时，该旅游团购买门票的费用为60x 元；当40x ＞时，该旅游团购买门票的费用为(50400)x +元(2)①[500(602)]m m x +-或(500602)m x mx +-；②m 的值是5，固定值是2100【分析】对于（1），分040x ≤＜，40x ＞，分别列出代数式即可；对于（2）①，直接列出关系式即可，对于②，用方案二的总费用-方案一的总费用，再根据整式加减法法则计算，然后根据题意求出m 的值和固定值．【详解】（1）当040x ≤＜时，60x ；当40x ＞时，6040(6010)(40)240050200050400x x x ⨯+--=+-=+．答：当040x ≤＜时，该旅游团购买门票的费用为60x 元；当40x ＞时，该旅游团购买门票的费用为(50400)x +元．（2）①[500(602)]m m x +-或(500602)m x mx +-；故答案为：[500(602)]m m x +-或(500602)m x mx +-；②500602(50400)m x mx x +--+=50060250400m x mx x +---=500(60250)400m m x +---=500(102)400m m x +--因为无论x 取什么值，都存在一个正整数m ，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值，所以1020m -=，即5m =，当5m =时，原式=500540025004002100⨯-=-=．答：m 的值是5，固定值是2100．故答案为：5，2100．【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减法运算，确定各数量之间的关系是解题的关键．7．已知代数式222573,2A x xy y B x xy =+--=-+．(1)当1,2x y =-=时，求3A B -的值；(2)若2A B -的值与y 的取值无关，求x 的值．【答案】(1)40-；(2)1x =【分析】（1）先把A 、B 的代数式代入3A B -化简，再把1,2x y =-=代入化简后的式子计算即可；（2）先把A 、B 的代数式代入2A B -化简，结合2A B -的值与y 的取值无关可得关于x 的方程，解方程即可．【详解】（1）3A B-()22257332x xy y x xy =+----+222573336x xy y x xy =+---+-2879x xy y =-+--；当1,2x y =-=时，原式()()21812729=--+⨯-⨯-⨯-116149=----40=-；（2）2A B-()22257322x xy y x xy +----+=222257324x xy y x xy +--+--=777xy y =--()717y x =--；∵2A B -的值与y 的取值无关，∴10x -=，解得：1x =．【点睛】本题考查了整式的加减，正确理解题意、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键．。
专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (2)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (2)【题型4比较二次根式的大小】 (3)【题型5已知字母的取值化简求值】 (3)【题型6已知条件式化简求值】 (4)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (4)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (4)【题型9二次根式的新定义类问题】 (5)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (6)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与--273不是同类二次根式的是（）A．273B 27C．9D【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55从小到大排列．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…2021+1；(2)设===，，的大小关系．【变式4-3】（2023春·【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅−÷−−的值．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知为奇数，求(+【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=222+4++1的值.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若'={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点'是点M的“横负纵变点”，求点''的坐标．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)×2024+1．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．。
