对称问题

二、题型剖析
例1．（1）直线 2x y 3 0关于定点 M (1,2) 对
称的直线方程是（B）
对称问题
高三备课组
一、基础知识
1、 点关于点的对称
点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y).
点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点 的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题 。
2、点关于直线的对称点
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的
“垂直平分线“，Байду номын сангаас用”垂直“和”平分“这
； https:///xuxiaoming/ 徐小明新浪博客
;
；
石头'是什麽，请记住，先挑'大石头'优先放进去吧！” ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相 关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题 ： ? 三、一头老驴掉到一个废弃的旧井里，很深，根本爬不上来。主人看它是老驴懒得去救它了，让它在那里自生自灭。 ? 那头驴一开始也放弃了求生的希望。每天不断地有人往井里倒垃圾，老驴也生气自己倒霉掉到了井里主人不要它，就算死了也不让它死得舒服点，每天还有那么多垃圾 扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己

微专题2 对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．一、几类常见的对称问题例1 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点坐标；(2)直线y ＝x －2关于l 的对称直线的方程；(3)直线l 关于点A (3,2)的对称直线的方程．解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－2，y ′＝7. ∴P ′点坐标为(－2,7)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋3，y ＝x －2，得⎩⎨⎧ x ＝－52，y ＝－92，则点⎝⎛⎭⎫－52，－92在所求直线上． 在直线y ＝x －2上任取一点M (2,0)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y02＝3×x 0＋22＋3，y 0x 0－2×3＝－1，解得⎩⎨⎧ x 0＝－175，y 0＝95.点M ′⎝⎛⎭⎫－175，95也在所求直线上．由两点式得直线方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52， 化简得7x ＋y ＋22＝0，即为所求直线方程．(3)在直线l 上取两点E (0,3)，F (－1,0)，则E ，F 关于点A (3,2)的对称点分别为E ′(6,1)，F ′(7,4)．因为点E ′，F ′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为y －14－1＝x －67－6， 即3x －y －17＝0.反思感悟 对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点为P ′(2a －x ，2b －y )．(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．设l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)和点P (x 0，y 0)，则l 关于P 点的对称直线方程为A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．设P (x 0，y 0)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，P 关于l 的对称点Q 可以通过条件①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上来求得．(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．二、对称问题的应用例2 已知A (4,1)，B (0,4)两点，在直线l ：3x －y －1＝0上找一点M ，使得||MA |－|MB ||的值最大，并求此时点M 的坐标及最大值．解 设B (0,4)关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－4x 0－0＝－13，3·x 0＋02－y 0＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝3， 所以B ′(3,3)．设M ′为l ：3x －y －1＝0上任意一点，则有||M ′A |－|M ′B ′||≤|AB ′|，当且仅当M ′，B ′，A 三点共线时，上式等号成立，此时||M ′A |－|M ′B ′||取得最大值|AB ′|， 即||M ′A |－|M ′B ||取得最大值|AB ′|，且|AB ′|＝(4－3)2＋(1－3)2＝ 5.因为过点A (4,1)，B ′(3,3)的直线方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5. 所以直线AB ′与直线l 的交点为M (2,5)．所以当点M 的坐标为(2,5)时，||MA |－|MB ||取得最大值，且最大值为 5.例3 如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3， ∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8，∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.。

06 对称问题的哲学思考
CHAPTER
对称与美的关系
总结词
对称被广泛认为是美的，因为它能给 人带来一种平衡和和谐的感觉。
详细描述
在艺术、建筑和自然界中，对称的形 状和图案常常被认为是具有审美价值 的。这是因为对称能创造出一种平衡 和和谐的感觉，使观察者能够轻松地 理解和欣赏。
对称与平衡的关系
总结词
音乐作品的对称性
总结词
音乐作品中，对称性是一种重要的结构 原则，它能够使乐曲更加规整、平衡和 有节奏感。
VS
详细描述
在音乐作品中，对称性可以通过重复、倒 影、逆行等方式实现。对称的乐曲结构可 以使音乐作品更加有层次感、逻辑感和美 感。例如，贝多芬的《命运交响曲》就运 用了对称性的结构原则，使乐曲更加紧凑 、有力和动人。
对称性是普遍存在的特性，自然 界和人造物中都可以找到对称的
例子。
对称性在数学、物理学、工程学 等领域有广泛的应用，如建筑设
计、机械制造、电路设计等。
对称性也是美学中的一个重要概 念，被广泛应用于艺术创作和装
饰设计中。
02 对称问题在几何中的应用
CHAPTER
点对称
总结词
点对称是指两个点关于某一点位 置相对，保持距离不变。
晶体结构的对称性对于理解晶体的物理性质和化学性质非常 重要。例如，某些晶体在特定方向上具有更高的导电性或光 学性能，这与其对称性有关。
电磁波的对称性
电磁波的对称性是指电磁波在空间中的传播方式和分布特 征的对称性质。例如，电磁波可以具有偶极子对称、四极 子对称等。
电磁波的对称性对于理解电磁波的传播规律和散射特性非 常重要。例如，在雷达和通信领域中，电磁波的对称性对 于信号的传输和接收具有重要影响。

补充练习
1、如果AC 0, BC 0, 则直线Ax By C 0 不通过（） ( A)第一象限( B)第二象限(C )第三象限( D)第四象限
2、已知 By C 0的图形如下，则（） Ax
A、若C>0;0,B>0 C、若C<0,则A>0,B<0 D、若C<0,则A>0,B>0 y x
初中我们证明过这样一个问题：
等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于
一腰上的高。
你能用解析几何的方法证明此问题吗？
③点C（a,b)关于直线y=m的对称点为 C‘（a,2m-b)
④点D（a,b)关于直线x=n的对称点为 D‘（2n-a,b) ⑤点E（a,b)关于直线y=x的对称点为 E‘（b,a) ⑥点F（a,b)关于直线y=-x的对称点为 F‘（-b,-a) ⑦点P（a,b)关于直线y=x+m的对称点为 P‘（b-m,a+m) ⑧点Q（a,b)关于直线y=-x+n的对称点为 Q‘（-b+n,-a+n)
和l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程。
例：一等腰三角形的底边所在直线l1的方程为x+y-1=0,
一腰所在直线l2方程为x-2y+1=0,又另一腰所在直 线l3过点（-2，0），求l3的直线方程。
补充练习
下列命题是真命题的是 A、 经 过 （x 0，y 0 的 直 线 都 可 以 写 成 P ） y - y 0 k ( x x0 ) B、 经 过 任 意 两 个 不 同 点P1 x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y2 ) 的（ 的 直 线 都 用 - y 1 )( x 2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) (y 表示 x y C、 不 经 过 原 点 的 直 线 可 以 用 1表 示 都 a b D、 经 过 定 点 (0, b )的 直 线 都 可 以 用 kx b表 示 A y