甘肃省庆阳市宁县第五中学高中数学 3.1.2 复数的几何意义学案 新人教A版选修1-2

住院医师规范化培训分层递进的理解和探索作者：周汝云潘赛英艾文梁静来源：《现代职业教育》2020年第14期[摘要] 国家对住院医师规范化培训分层递进培训的要求日益提高，如何在工作中实践分层递进的理念是目前的主要问题。

华中科技大学协和深圳医院提出了自己的理解和探索方案，首先明确住院医师规范化培训基地办公室、专业基地、亚专业基地各级部门的分工和职责，其次在入院教育、轮转培训计划、临床培训、教学活动、考核等各个环节探索分层递进的具体措施，总结了一些经验，希望为住院医师实施分层递进培训工作的开展提供参考。

[关键词] 住院醫师;规范化培训;分层;递进[中图分类号] C975 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）14-0234-03我国住院医师规范化培训工作经过多年的实践和改进，已取得了有目共睹的成绩，但仍需持续改进，尤其是近年来提出的分层递进模式被大家广泛关注。

2019年颁发的《住院医师规范化培训评估指标-培训基地》的评估标准中有三条涉及分层递进培训，其中一条指标要求在培训计划中体现（1.3.3管理情况），两条核心指标体现了住培分层递进培养的理念（2.2.3轮转管理，2.2.4考核管理）。

目前，对住院医师规范化培训分层递进模式的理解和实践，各家住培基地尚有不同的认识和看法，甚至专家意见也不完全一致。

我国有多家基地在探索各种培训模式[1-3]，如温州医科大学附属第二医院在儿科住院医师规范化培训推行“分层渐进、螺旋上升、定岗负责、强化督导”的温州模式，将轮转时间在3年内进行分配，部分科室反复轮转，并给予不同级别的培训和考核[4];北京协和医院在内科系统推行的“在病房轮转式开展病房分层培养小组”模式，通过建立分层培养小组、确立组长、各岗位职责及角色转化等措施，为住院医师提供更全面、更立体化的培训，住培医师的个人能力均得到进一步提升[1]。

美国住院医师规范化培训从1889年建立至今，已有100多年的历史，美国毕业后医学教育认证委员会（ACGME）强调各基地对住院医师实行渐进式培训模式，对不同年资的住院医师有不同的要求，并要求高年资住院医师带教低年资住院医师，毕业时即独立行医;也要求住院医师进入轮转科室后，带教老师对其进行评估，作为出科考核的基本内容[5]。

《复数的几何意义》教学设计教学目标：1知识与技能：理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模。

2过程与方法：通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。

3情感态度与价值观：通过复数的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：复数的几何意义以及复数的模。

教学难点：复数的几何意义及模的综合应用。

教学方法：主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比向量的模探究出复数的模。

教学过程：一、复习引入上节课引入了复数，学习了复数的定义，从而把数系由实数系扩充到了复数系，请同学们回忆：复数是如何定义的？ 把形如z a bi =+的数叫做复数，其中a ，b 都是实数。

a 叫实部，b 叫虚部，i 叫虚部单位。

i 又是什么特点？21i =-复数(),z a bi a b R =+∈表示实数的条件是？0b =；表示虚数的条件是？0b ≠；表示纯虚数的条件是？0,0a b =≠ 我们上节课知道了，对于一般的两个复数是不能比较大小的，那么为什么不能比较大小？复数的本质是什么？又有什么意义呢？这节课我们从形的角度研究复数，学习复数的几何意义。

二、新课讲解1复数的几何意义（1）师：在几何上，我们可以用什么来表示实数呢？生：数轴上的点！师：实数与数轴上的点有着怎样的对应关系？生：一一对应师：也就是说实数与数轴上的点，在数与形上是一一对应的，因此，在几何上，我们可以用数轴上的点来表示实数；类比实数的表示，在几何上，我们可以用什么来表示复数呢？师：复数的代数式是(),z a bi a b R =+∈，一个复数是由那两部分唯一确定的？ 生：由实部a 与虚部b 共同唯一确定的师：若将实部a 与虚部b 构成一个有序实数对(),a b ，那么复数z a bi =+与有序实数对(),a b 之间有怎样的对应关系呢？ 生：一一对应师：而有序实数对(),a b 又与直角坐标系中的什么是一一对应的呢？生：直角坐标系中的点 师：这个点横坐标是a ，纵坐标是b ！这样，我们就建立了复数z a bi =+与平面直角坐标系中的点(),a b 的这种一一对应的关系，通常这个点用大写的Z 来表示。

课题3.1.2 复数的几何意义授课时间课型新授二次修改意见教学目标知识与技能理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

过程与方法从具体问题中引导学生根据复数的代数形式描出其对应的点及向量去分析讨论;情感态度价值观让学生用所学习的知识解决生活中的实际问题。

教材分析重难点教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学设想教法引导探究，三主互位导学法学法合作交流教具多媒体,刻度尺课堂设计一、目标展示回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程，可以看出，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关。

通过本节课的学习，要理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

二. 预习检测1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i+-+---2．复数(4)(3)z x y i=++-，当,x y取何值时为实数、虚数、纯虚数？3. 若(4)(3)2x y i i++-=-，试求,x y的值，（(4)(3)2x y i++-≥呢？）三. 质疑探究. 复数的几何意义：①讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

四．精讲点拨1. 例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i+-+---分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi）观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？2. 实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

3.1.2 复数的几何意义●三维目标1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．●重点难点重点：复数的几何意义及复数的模．难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．【问题导思】1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序实数对(a ，b )有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】 一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．【问题导思】1．平面直角坐标系中的点Z 与向量OZ →有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】 一一对应．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 平面向量OZ →.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，且r ∈R ).复平面内的点同复数的对应关系例题1 实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)．(1)若P 在虚轴上，则⎩⎨⎧ 2m ＝0，4－m 2≠0，即m ＝0. (2)若点P 在第三象限，则⎩⎨⎧2m ＜0，4－m 2＜0，解得m ＜－2. ∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)．规律方法1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点(a ，b )． 2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部．互动探究在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m .(1)在实轴上；(2)在直线y ＝x 上．【解】 (1)若点在实轴上，则4－m 2＝0，即m ＝±2.(2)若点在直线y ＝x 上，则4－m 2＝2m ，解得m ＝－1±5.复数的模的求法例题2 已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i. 法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝2－|z |2＋82， 即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.规律方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．变式训练求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小． 【解】 |z 1|＝36＋64＝10，|z 2|＝－122＋－22＝14＋2＝32，|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义 例题3 已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形．【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2. |z 2|＝－122＋－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．规律方法1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．互动探究如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|，改为|z 2|＜|z |＜|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【解】 |z 2|＜|z |＜|z 1|⇒1＜|z |＜2，则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误典例 试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．【错解】 将方程变为|x |2－5|x |＋6＝0⇒|x |＝2或|x |＝3⇒x ＝±2或x ＝±3，故共有4个．【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x |是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数．(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．(3)理解|z |的意义及|z |的计算方法．(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解．【正解】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎨⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝±3，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝±1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i.故方程在复数集上的解共有6个．课堂小结1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．。

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3。

1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．（重点）3．理解复数模的概念,会求复数的模．(难点）[基础·初探]教材整理复数的几何意义及复数的模阅读教材P52～P53内容，完成下列问题．1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R）错误!复平面内的点Z(a，b)．（2)复数z＝a＋b i(a，b∈R）错误!平面向量错误!。

为方便起见，我们常把复数z＝a＋b i说成点Z或说成向量错误!，并且规定,相等的向量表示同一个复数．3．复数的模向量错误!的模r叫做复数z＝a＋b i的模，记作｜z|或｜a＋b i|,且r＝错误!（r≥0，且r ∈R）．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )（2）复数的模一定是正实数．（）（3)复数z1>z2的充要条件是|z1｜〉|z2|。

3.1.2 复数的几何意义自主预习·探新知情景引入大家知道实数的几何模型是数轴上的点，即实数和数轴上的点建立了一一对应关系，那么复数的几何模型又是怎样的呢？在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法，即虚数能用平面内的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a 的点A ，纵轴上取对应虚部b 的点B ，通过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C 就表示复数a ＋b i ，这样就将复数与平面内的点建立了一一对应关系，至此找到了复数的几何模型——平面内的点．以后随着对复数的进一步研究，又将复数与平面内的向量建立了一一对应关系，因此复数就有了另一个几何模型——平面内的向量，并且阐述了复数的几何加法和乘法，从而丰富了内涵，至此复数理论也就较完整地建立起来了．新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做__实轴__，y 轴叫做__虚轴__，实轴上的点都表示实数，除了__原点__外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)每一个复数都由它的__实部__和__虚部__唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__一一对应__关系．(2)若复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则其对应的点的坐标是__(a ，b )__，不是(a ，b i)． (3)复数与复平面内__以原点为始点__的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )可以用点 __Z (a ，b )__或向量__OZ →__表示．复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )与点Z (a ，b )和向量O Z →的一一对应关系如下：3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应的向量为O Z →，则O Z →的模叫做复数z 的模，记作|z |且|z |＝__a 2＋b 2__．当b ＝0时，z 的模就是实数a 的绝对值． 4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z ＝a ＋b i 所对应的点Z (a ，b )到原点(0,0)的__距离__． 由向量的几何意义知，|z 1－z 2|表示在复平面内复数z 1与z 2对应的两点之间的__距离__．预习自测1．复数z ＝－πi 在复平面内对应的点Z 的坐标为( A ) A ．(0，－π) B ．(－π，0) C ．(0,0)D ．(－π，－π)[解析] 复数z ＝πi 的实部为0，虚部为－π，故在复平面内对应的点Z 的坐标为(0，－π)，故选A ．2．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限．3．已知平行四边形OABC 中，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则向量AB →的模|AB →|＝( D )A. 5 B ．2 5 C ．4D ．13[解析] 由于OABC 是平行四边形，所以AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13． 4．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2[解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3．5．求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．[解析] |z 1|＝32＋42＝5， |z 2|＝(－12)2＋(－2)2＝32， ∵5＞32，∴|z 1|＞|z 2|．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶复数的几何意义典例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2＋2m －8)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点分别满足下列要求，试求复数z ：(1)在虚轴上(不包括原点)；(2)在实轴负半轴上；(3)在第一、三象限的角平分线上． [思路分析] 把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数m 的值，即得复数z ．[解析] (1)若复数z 对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m 2＋2m －8＝0且m 2－3m ＋2≠0， ∴m ＝－4，此时z ＝30i ．(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －8<0，m 2－3m ＋2＝0， 解得m ＝1，此时z ＝－5．(3)若复数z 对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y ＝x 上，即m 2－3m ＋2＝m 2＋2m －8，∴m ＝2，此时z ＝0．『规律方法』 1.复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标．(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，能更好地理解复数的相关知识．2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．┃┃跟踪练习1__■在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( C )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C ． 命题方向❷复数与复平面内向量的对应典例2 在复平面上，点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2，O 为复平面的坐标原点．(1)求向量OA →＋OB →，AC →对应的复数；(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数．[思路分析] 根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．[解析] (1)由已知得OA →，OB →，OC →所对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2， 于是OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)， 因此OA →＋OB →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(1，－4)， 故OA →＋OB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为1－4i ．(2)由已知得点A ，B ，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC 的中点为(32，2)，由平行四边形的性质知BD 的中点也是(32，2)，若设D (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧0＋x 02＝32，－3＋y2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝7，故D (3,7)． 『规律方法』 1.若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则复数z 在复平面内对应的向量OZ →＝(a ，b )．2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得．3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．┃┃跟踪练习2__■ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ． (1)求点D 对应的复数； (2)求△ABC 的边BC 上的高．[解析] (1)复平面内A ，B ，C 对应点的坐标分别为(1,3)，(0，－1)，(2,1)， 设点D 的坐标为(x ，y )，由AD →＝BC →，得(x －1，y －3)＝(2,2)， ∴x －1＝2，y －3＝2，解得x ＝3，y ＝5， 故点D (3,5)，其对应的复数为3＋5i ． (2)∵B (0，－1)，C (2,1)， ∴BC 的直线方程为x －y －1＝0，点A 到BC 的直线距离d ＝|1－3－1|2＝322，故BC 边上的高为322．命题方向❸复数模的计算典例3 已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z ．[思路分析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b ． [解析] 解法一：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i ．解法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝(2－|z |)2＋82， 即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17． 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i ．『规律方法』 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．┃┃跟踪练习3__■下列各复数的模不是1的为( D ) A ．－i B ．i C.12－32i D ．12＋12i[解析] |12＋12i|＝(12)2＋(12)2＝22≠1．易混易错警示混淆复数的模与实数的绝对值致误典例4 已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( A )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆[错解] 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，故选D ． [辨析] 错解中忽视了“|z |”的几何意义导致错误． [正解] 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1．∵|z |≥0，∴|z |＝－1应舍去，故应选A ．[点评] 由复数模的定义和复数的几何意义知，|z |表示z 在复平面内的对应点到原点的距．离．，因此|z |≥0.z ＝i 时，z 2＝－1，但|z |≠－1，不要作错误的迁移．学科核心素养 利用复数的几何意义解题我们知道，在实数集中，实数a 的绝对值，即|a |是表示实数a 的点与原点O 间的距离．那么在复数集中，类似地，|z |是表示复数z 的点到坐标原点间的距离，也就是向量OZ →的模，|z |＝|OZ →|.运用此性质，可以解决有关问题．典例5 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |＜4，求实数a 的取值范围．[思路分析] 由题目可获取以下主要信息： ①已知复数及其模的范围； ②求复数虚部的取值范围．解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解． [解析] 解法一：∵z ＝3＋a i(a ∈R )， ∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2＜42，∴a 2＜7，∴a ∈(－7，7)．解法二：利用复数的几何意义，由|z |＜4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由32＋y2＝42得y＝±7，∴A(3，7)，B(3，－7)．由图可知：－7＜a＜7．『规律方法』解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体化思想：利用复数的特征整体处理．。

一、教学目标：1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用.3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系.二、教学重点：重点：理解并掌握复数的几何意义.难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi =+的关系；复数模的问题.三、教学过程【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P 104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1. 复平面?2.复数的几何意义？3.复数的模？4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?【合作探究】问题1：复数与复平面内点的关系1.复数2z i =对应的点在复平面的（ B ）A. 第一象限内B. 实轴上C. 虚轴上D. 第四象限内2.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ D ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在复平面内表示复数()3z m =-+的点在直线y x =上，则实数m 的值为 9 .4.已知复数()()2232z x x x i =--+-在复平面内的对应点位于第二象限，求实数x 的取值范围. 解：23x <<问题2：复数与复平面内向量的关系1.向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ +2OZ 对应的复数是 0 .2. 复数43i +与25i --分别表示向量OA 与OB ，则向量AB 表示的复数是68i --.3.在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为B ，求向量OB 对应的复数.解：向量OB 对应的复数为：2i -+问题3：复数模的计算与几何意义的应用1.复数()()12,z x y i x y R =++-∈，且3z =，则点Z ()x,y 的轨迹是 以()1,2-为圆心，3为半径的圆 .2.已知()0,z x yi x y R =+∈，且02z =，()()32z x i y =++-，求复数z 对应的点的轨迹.解：设z a bi =+(),a b R ∈，则 3,2,a x b y =+⎧⎨=-⎩即3,2,x a y b =-⎧⎨=+⎩又()0,z x yi x y R =+∈且02z =,()()2232 4.a b ∴-++=∴复数z 对应的点的轨迹是以()3,2-为圆心，2为半径的圆.2. 设z C ∈，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)4z = ;(2)24z <<解：(1)以原点O 为圆心，4为半径的圆.(2)以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.【深化提高】1.若OA ,OB 对应的复数分别是7i +，32i -，则AB = 5 .2. 虚数cos z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点()()0,1,0,1P Q -，但除去原点 .3. 复数sin z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点 ()()0,1,0,1P Q - .4.设复数z 满足||5z =且(34)i z +在复平面上对应的点在第二,四象限的角平分线上,||)m m R -=∈,求z 和m 的值.解：22z i =+或22z =--，2m =±【学习评价】【小结与反思】。

复数的几何意义学习目标：1.能知道复平面、实轴、虚轴等概念．2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．3．能知道复数模的概念，会求复数的模．重点：重点：1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．2．复数的模．难点：复数的几何意义．方法：合作探究一新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示实数，除了__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)每一个复数都由它的__________和__________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________关系．(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是_______，不是(a，bi)．(3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系．如图：在复平面内复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点___或向量表示复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如右上图：牛刀小试1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称课堂随笔:2．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3．设复数z ＝a ＋bi 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．b ＞0，a ∈R D ．a ＞0，b ∈R 3．复数的模 复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)对应的向量为O ，则O 的模叫做复数z 的模，记作|z|且|z|＝a2＋b2 当b ＝0时，z 的模就是实数a 的绝对值． 4．复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z ＝a ＋bi 所对应的点Z(a ，b)到原点(0,0)的__________． 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__________． 牛刀小试 4．(2014·武汉市调研)复数z ＝m(3＋i)－(2＋i)(m ∈R，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．复数i ＋i2的模等于__________. 6．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝________. 7．比较复数z1＝3＋4i 及z2＝－12－2i 的模的模的大小．命题方向（一）复数的几何意义 【例一】在复平面内，若复数z ＝(m2＋2m －8)＋(m2－3m ＋2)i 对应的点分别满足下列要求，试求复数z ： 在虚轴上(不包括原点)； (2)在实轴负半轴上； (3)在第一、三象限的角平分线上．跟踪训练１：若复数(m2－3m －4)＋(m2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 : D ．－1和6 命题方向（二）复数模的计算 【例二】已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z. 跟踪训练2：下列各复数的模不是1的为( ) －i B ．i C ．12－32i D ．12＋12i命题方向（三）综合应用 【例三】 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|＜4，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3：若z ＋|z|＝2，则复数z ＝__________. （四）准确掌握复数模的几何意义 【例四】已知复数z 满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆 课时小结： 课后作业 一、选择题 1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限后记与感悟:2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．33．复数z ＝1＋(2－sinθ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．26．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13二、填空题7．已知复数x2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________.8．已知复数z1＝－2＋3i 对应点为Z1，Z2与Z1关于x 轴对称，Z3与Z2关于直线y ＝－x 对称，则Z3点对应的复数为z ＝________.9．若复数z ＝(m2－9)＋(m2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z|＝________.三、解答题10．如果复数z ＝(m2＋m －1)＋(4m2－8m ＋3)i(m ∈R)对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．答案：牛刀小试 1、B ； 2、C ； 3、D ； 4、B 5、2；6、±15－8i ；7、|z1|＞|z2|例一 解析：(1)若复数z 对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m2＋2m －8＝0且m2－3m ＋2≠0，∴m ＝－4，此时z ＝30i.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋2m －8<0，m2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，此时z ＝－5.(3)若复数z 对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y ＝x 上，即m2－3m ＋2＝m2＋2m －8，∴m ＝2，此时z ＝0.跟踪训练 1、C例二 解析：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b.解法一：设z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得a ＋bi ＋a2＋b2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a2＋b2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i.解法二：原式可化为z ＝2－|z|＋8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部，于是|z|＝(2－|z|)2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.代入z ＝2－|z|＋8i 得z ＝－15＋8i.跟踪训练2、D例三 解析：解法一：∵z ＝3＋ai(a ∈R)，∴|z|＝32＋a2，。

复数的几何意义说课稿一、说教材本节课是选修2-2第三章第1节第二课时，是在数系引入虚数单位把实数扩充复数的背景下，进一步研究复数的另两种表示形式：坐标式和向量式。

从形的角度，具体、形象地帮助学生再次认识复数引进的必要性和如何应用复数运算解决一些简单问题。

故本节课的地位起到承上启下的作用。

二、说学情学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

但针对高二〔8〕班学生根底知识根本为零，所以学起来就很吃力，是否到达预期的教学效果有待观察。

三、说教学目标1、能够类比实数的几何意义说出复数的几何意义；2、会利用几何意义求复数的模；3、能够说出共轭复数的概念。

四、说教学重、难点重点：复数模的公式及其应用；难点：复数与复平面是点的对应关系。

五、说教法、学法本节课用类比的教学方式，由实数用数轴上的点来表示，类比联想得到复数可用复平面上的点来表示，进而得到向量形式，由一维上升到二维，同时实现从“数〞到“形〞的转化。

再类比平面向量的加减法，得到了复数加减法的几何意义，从而对复数有了新的认识。

六、说教具准备多媒体七、说教学过程1、问题情景问题：实数与数轴上的点的关系怎样？能否可用数轴上的点表示实数？设计目的：点题复数是否也能用点来表示？设计作用：从学生认知欲由熟悉过渡到未知，生成新知。

2、学生活动问题1：复数相等的充要条件是什么？设计目的：任何一个复数都可用由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与直角坐标系中的点是一一对应的。

设计作用：能否帮助学生建立用平面内的点来表示复数？问题2：平面直角坐标系中的点与以原点为起点、为终点的向量是一一对应，那么复数能用平面向量来表示吗？设计目的：将复数从数的形式过渡到形的形式设计作用：引出复数的几何意义3、数学建构〔1〕在平面直角坐标系中，以复数的实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，确定点，并用表示复数的几何意义。

〔2〕建立复数平面，轴为实轴，轴为虚轴。