浙江省湖州中学2020届高三3月月考(网测)数学试题及答案

2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。

2020年浙江省湖州中学高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x ∈N ∗|(x −6)(x +1)≤0}，集合A ={1,2，4}，则∁U A =( )A. {3,5}B. {3,5，6}C. {0,3，5}D. {0,3，5，6}2. 已知双曲线的离心率为2，焦点坐标是(−4,0),(4,0)，则双曲线的方程为( ) A. x 210−y 26=1 B. x 212−y 24=1 C. x 24−y 212=1 D. x 26−y 210=1 3. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为( )A. 13B. 12C. 1D. 324. 对于函数y =f(x)，x ∈R ，“y =|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y =f(x)是奇函数”的( ) A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知cos(π2−α)+3cos(π−α)sinα−cos(π+α)=2，则tanα=( )A. 5B. √22 C. −5 D. √26. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤4，则z =2x +y 的最小值为 ( )A. 14B. 8C. 6D. 47. 若关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0的解集为R ，则a 的取值范围是( )A. [−2,2]B. (−2,2)C. (−2,2]D. [−2,2)8. 随机变量ξ的分布列如下图，若E(ξ)=0，则D(ξ)=( )ξ−3 0 3 P 13 a bA. 6B. 2C. 0D. √6 9. 在数列{a n }中，a 1=13,a n =(−1)n 2a n−1,(n ≥2)，则a 5=( )A. 163B. −163C. 83D. −8310.在四面体ABCD中，二面角A−BC−D的大小为600，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为θ，则()A. θ的最大值为600B. θ的最小值为600C. θ的最大值为300D. θ的最小值为300二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知z(1+i)2=2i，则|z|=______ ．12.已知a⃗=(3,√3)，b⃗ =(1,0)，则a⃗⋅b⃗ =______ ．13.{a n}为等差数列，前n项和S n，若a2，a10是方程x2−3x−5=0的两根，则a6=______ ；S11=______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bsinA=2acosB，则cos B的值为_________．15.将编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入三个不同的盒子，其中两个盒子各有2个球，另一个盒子有1个球，则不同的放球方案有____种(用数字作答)。

浙江省湖州中学2020届⾼三3⽉⽉考（⽹测）数学试题及答案浙江省湖州中学2019学年第⼆学期⾼三3⽉检测数学参考公式：()()()P AB P A P B =若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+若事件A ，B 相互独⽴，则若事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是p ，则n 次独⽴重复试验中事件A 恰好发⽣k 次的概率()()()0,1,2,,1n kk kn n P C p k n k p -==-L台体的体积公式()1213V S S h =其中1S ，2S 分别表⽰台体的上、下底⾯积，h 表⽰台体的⾼柱体的体积公式V Sh =其中S 表⽰柱体的底⾯积，h 表⽰柱体的⾼锥体的体积公式13V Sh =其中S 表⽰锥体的底⾯积，h 表⽰锥体的⾼球的表⾯积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表⽰球的半径选择题部分⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1. 已知集合{}1,0,1,2A =-为全集，{}2|20,B x x x x Z =--<∈，则A C B =（）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,2-D. {}0,1,22. 已知双曲线C 的离⼼率2e =，其中⼀个焦点的坐标为()0,2，则该双曲线C 的标准⽅程是（）A. 2213y x -=B. 2251y x -=C. 2215x y -=D. 2213x y -=3. 某正三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所⽰，该三棱锥的体积是（）A.B. C. 3D. 4. 若()f x 是定义在R 上的函数，则“()f x 是奇函数”是“()()()f x y f x f y +=+”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若()1cos 2πα-=-，则（） A. ()sin α-=B. sin 2πα??+=C. ()1cos 2πα+=D. ()1cos 2απ-=-6. 已知实数x ，y 满⾜22010220x y x y x y +-≥??+-≥??-+≥?，则关于⽬标函数3z x y =-的描述正确的是（）A. 最⼩值为-2B. 最⼤值为3C. 最⼤值为2D. ⽆最⼤值也⽆最⼩值7. 已知实数x ，y 满⾜()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（） A. ()1,2,2??-∞-+∞U B. ()(),21,-∞-+∞UC. ()(),12,-∞-+∞UD. ()1,2,2??-∞+∞U8. 已知甲、⼄两个盒⼦中分别装有两种⼤⼩相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；⼄盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲⼄两个盒中各取⾛⼀个动物玩具，再从甲⼄两个盒⼦中各取⾛⼀个动物玩具.此时记甲盒中的熊猫只数为1ξ，⼄盒中的熊猫只数为2ξ，则（） A. ()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ= B. ()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ= C. ()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>D. ()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ<9. 已知⽆穷项数列{}n a ，满⾜10a >，且1ln n n n a a a +=?，下列关于数列{}n a 描述正确的是（） A. 当且仅当1a e >时，数列{}n a 单调递增 B. 存在11,a e e ??∈，使得数列{}n a 为单调数列 C. 当1a e <时，存在0n ，使得001n n a a +≤D. 当11a e>时，数列{}n a ⼀定存在⽆限多项的值⼤于1e10. 如图，在长⽅形ABCD 中，AD CD <，现将ACD ?沿AC 折⾄'ACD ?，使得⼆⾯⾓'A CD B --为锐⾓，设直线'AD 与直线BC 所成⾓的⼤⼩为α，直线'BD 与平⾯ABC 所成⾓的⼤⼩为β，⼆⾯⾓'A CD B --的⼤⼩为γ，则α，β，γ的⼤⼩关系是（）A. αβγ>>B. αγβ>>C. γαβ>>D. 不能确定⾮选择题部分⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 若复数()12z i +=（i 为虚数单位），则z=______，z =______.12. 已知()1,sin a x =r ，()2cos ,1b x =r ，则a b ?r r 的最⼤值为______；若//a b r r，则x 的值是______.13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若满⾜10a >，且4a ，5a 是⽅程()210x mx m R +-=∈的两根，则54S S 的取值范围是______；当n =______时n S 最⼤. 14. 在ABC ?中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，则a cb+=______，⾓B 的最⼤值是______. 15. 现有材质、⼤⼩完全相同的红、黄、绿颜⾊的⼩球各两个，将这6个⼩球按“1，1，1，3”数额分组后分别放⼊四个不同的盒⼦中，则有______种不同搭配⽅案.（⽤数字作答）16. 已知函数()xxx te ef t =-+的最⼩值是与t ⽆关的常数，则实数t 的取值范围是______. 17. 已知不共线平⾯向量a r ，b r ，c r满⾜1a c ==r r ，记集合{}4X x b a xc a b a b ==+++-=r r r r r r r 且中所有元素的绝对值之和为(),S a c r r ，则(),S a c r r的最⼩值是______.三、解答题：本⼤题共5⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数()222sin 4x f x x π??=+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()02313f x =，07,212x ππ??∈，求0cos 2x 的值. 19. 如图，平⾯ABCD ⊥平⾯MNBD ，且菱形ABCD 与菱形MNBD 全等，其中MDB ∠为锐⾓，G 为MC 中点.（Ⅰ）求证：直线//GB 平⾯AMN ；（Ⅱ）求直线DC 与平⾯AMN 的所成⾓的正弦值.20. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等⽐数列.已知11a =，12b =，222b a =，3322b a =+. （Ⅰ）求n a 和n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满⾜11c =，1,221,2k k n n ka n c n +?<<=?=?，其中k N ∈，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求2nS 的值.21. 如图，抛物线C ：24x y =，其中AC ，BD 是过抛物线焦点F 的两条弦，且AC BD ⊥，记ABF ?，DCF ?的⾯积分别为1S ，2S .（Ⅰ）当直线AC 与直线BD 关于y 轴对称时，求1S 的值；（Ⅱ）求12S S +的最⼩值. 22. 已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈. （Ⅰ）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,+∞上单调递增；（Ⅱ）当1k >时，讨论函数()f x 的零点的个数.2020届湖州中学⾼三（下）数学⽹测卷（3.21）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1-5：CDABD 6-10：ACBCB⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 1i - 12. 4x k ππ=+，k Z ∈ 13. 5,16??；414. 2；3π15. 96 16. 1t ≥ 17. 3 三、解答题：本⼤题共5⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.18. 解析：（1）())1cos 21cos 22x x f x π??=-+++ 2sin 213x π?=-+，令222232k x k πππππ-+≤-≤+，得()f x 的单调递增区间为()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. （2）∵07,212x ππ??∈?，∴0252,336x πππ??-∈，∴0cos 203x π??-< ，∵05sin 2313x π?-= ??，∴012cos 2313x π?-=-，∴000cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x ππππππ-+=---12151213213226+=--=-. 19. 解析：（1）连接AC 交DB 于E ，连接GE ，易知//GE AM ，因为GE ?平⾯AMN ，AM ?平⾯AMN ，所以//GE 平⾯AMN ，⼜//MN BE ，同理可证//BE 平⾯AMN .⼜因为BE GE E =I ，所以平⾯//GBE 平⾯AMN ，因此//GB 平⾯AMN .（2）连接ME ，由菱形ABCD 与菱形MNBD 全等知ME BD ⊥，⼜平⾯ABCD ⊥平⾯MNBD 且相交于BD ，所以ME ⊥平⾯ABCD .进⽽ME BD ⊥，⼜AC BD ⊥且AC ME E =I ，所以BD ⊥平⾯MEC ，进⽽平⾯GBD ⊥平⾯MEC ，过C 作CF GE ⊥，所以CF ⊥平⾯GBD ，连接DF ，所以CDF ∠即为直线CD 与平⾯GBD 的所成⾓.易知24CF CE ==，所以sin 4CF CDF CD ∠==.20.【解析】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等⽐数列{}n b 的公⽐为q .依题意得2222244q d q d =+??=+?，解得12d q =??=?，故()111n a n n =+-?=，1222n nn b -=?=.所以，{}n a 的通项公式为n a n =，{}n b 的通项公式为2nn b =.（2）【解析⼀】易知012221n A c c c n =+++=+L ，令()()()1212221212122212k k k k kk k k d a a a a +++-+--=+++=-+L()()()()212233212142222kk kkk k --=-++=?-?，所以 ()()1112141421233214212n n n B d d d -----=+++=?-?--L1124321n n --=?-?+，于是11224322n n n S A B n --=+=?-?++.（⽅法⼆）依题意可知：()()121212222222n n n n S c c c a a a a a a n =+++=+++-++++L L L ()()21232222n n n =++++-++++L L ()()()1122122122122221n n n n n n n n --+-=-+=+-++-2112322n n n --=-?++.21.【解析⼀】（1）BD ：1y x =+，联⽴C ：24x y =得2610y y -+=，所以6B D y y +=，1B D y y ?=，⼜()()111111222B D S BF AF BF DF y y ===++()1142B D B D y y y y =++?+=. （2）分析选⽤直线AB ，CD ，放弃直线AC ，BD ，设直线AB ：y kx m =+，联⽴24x y =得2440x kx m --=，于是4A B x x k +=，4A B x x m ?=-.（易知0m <），⼜FA FB ⊥，所以2222,1,1114444A BA B A B A B x x x x FA FB x x x x =-?-=+-- ? ? ??u u u r u u u r ()()222221114610164A B A B A B x x x x x x m k m +-++=--+==，即22614m m k -+=，⼜h =A B A B x =-，所以111122A B S AB h m x x ==--()2112m m =-=-，同理()22'1S m =-，因此4A B x x m ?=-，4'C D x x m ?=-，所以()()16'16A C D B x x x x mm ?==，即'1mm =，因此()()22212111'12S S m m m m m m +=-+-=+-+ ?，令(]1,2u m m =+∈-∞-. 于是21228S S u u +=-≥，当且仅当1m =-时等号成⽴.【解析⼆】设()22,A s s，()22,B t t ，由焦点弦知识可知221,C s s ??- ，221,D t t ??-，且()11142AC A C k x x s s ??=+=- ，同理112BD k t t ??=-，所以 ()()221114114BD AC k k s t s t st s t ?=-?--=-?--=-，所以()22241s t st st +=++，⼜21AF s =+，21BF t =+，所以()()()2221111124222S s t st st ??= ++=++?()221st st =++，同理22121S st st ??=++ .于是()221212228S S st st st st ??+=++++≥，当且仅当22162s t st s t s t ?+=-?=?+=??-=-??(2A --+.21. 解析：（1）()l 'n ln 1x f x x x x x -=-=，令()()1ln '1x x g x g x x=-?=-，易得()g x 在(]0,1上递减，()1,+∞上递增，∴()()()min 110'0g x g f x ==>?>，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）()n 'l ln 1x k x x xf x x kx --=--=，由（1）知当1k >时，⽅程ln x x k -=有两个根1x ，2x ，且易知1201x x <<<，且1x 为()f x 的极⼤值点，2x 为()f x 的极⼩值点.显然()22211022kkf eee ---=-<-<，()()1112f x f >=，∴()f x 在()10,x 仅有唯⼀零点. ⼜()2222211022nk nk nk f e e n k nk e n k =--->->，（当n 为较⼤的整数时），于是下⾯讨论()2f x 的正负情况：()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211ln ln ln 22x x x x x =----2222211ln ln 22x x x x =-+-. 构造函数()211ln ln 22F x x x x x =-+-()()1ln ln '11ln 0x x xF x x x x-?=+--=≤，且()0f e =. ①当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在()0,+∞上只有⼀个零点.②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,+∞上有两个零点.③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,+∞上有三个零点.综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,+∞上有⼀个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,+∞上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,+∞上有三个零点.。

2020年3月湖州中学3月月考高二数学试卷一、选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分）1.汽车上有10名乘客，沿途有5个车站.则乘客不同的下车方法有（ ）种. A. 510 B. 105 C. 510AD. 510C【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得每名乘客都有5种下车方式，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有5种下车方式， 则10名乘客有105种下车的可能方式； 故选：B ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意没有要求每个车站都有人下车，直接由分步计数原理分析可得答案．2.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A. 30种 B. 35种 C. 42种 D. 48种【答案】A 【解析】本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A 中选有33C 种，只在B 中选有34C 种，则在两类课程中至少选一门的选法有333734C C C 351430--=--=种.3.记者要为4名志愿者都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A. 144种 B. 960种C. 72种D. 288种【答案】A 【解析】 【分析】本题是一个分步问题，采用插空法，首先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中，然后2位老人内部还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法， 先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的）， 然后将2位老人排列，则不同的排法有412432144A C A =种． 故选：A ．【点睛】本题考查分步计数原理，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列，属于基础题． 4.已知函数()ln 1x f x x+=，则该函数的导函数()f x '=（ ） A.2ln xx B. 2ln xx -C. ln xx-D.2ln x xx - 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由导数的除法公式计算可得； 【详解】解：因为()ln 1x f x x+=所以()()()()22221ln 1ln 1ln 11ln 1ln x x x x x x x x x f x x x x x⋅-+''+-+---'==== 故选：B【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握函数导数的计算公式，属于基础题．5.已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 上的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 上的极大值点的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】分析：由导函数()'f x 在(),a b 上的图象以及函数取得极大值点0x 的充要条件是：在0x 左侧的导数大于0， 右侧的导数小于0，即可得出结论. 详解：导函数()'f x 在(),a b 上的图象如图所示， 由函数取得极大值点0x 的充要条件是： 在0x 左侧的导数大于0， 右侧的导数小于0， 由图象可知，函数()f x 只有在点,A C 处取得最大值， 而在B 点处取得极小值，而在点O 处无极值， 函数()f x 在(),a b 上的极大值点的个数为2，故选B. 点睛：本题主要考查函数取得极大值在一点0x 充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.6.设函数()xe f x x=，则函数()f x 的单调增区间是（ ）.A. (),0-∞B. ()0,1C. ()1,+∞D.()e,+∞【答案】C 【解析】【分析】先利用导数的四则运算求函数()f x 的导函数()f x '，再解不等式()0f x '>即可得函数的单调增区间；【详解】解：因为()xe f x x=定义域为()(),00,-∞⋃+∞，所以()()()2221xxxx x e x x e e x e x e f x x x x ''⋅-⋅⋅-⋅-'=== 令()0f x '>，即()210x e x x⋅->，解得1x >， 故函数的单调递增区间为：()1,+∞， 故选：C【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的重要应用，导数四则运算，转化化归的思想方法，属于基础题．7.()621x -展开式中2x 的系数为（ ） A. 160- B. 60-C. 60D. 160【答案】C 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 项的系数．【详解】解：()621x -的展开式的通项公式为()61621()rr r r T C x -+=-，令62r -=，解得4r =，可得2x 项的系数为()26442160C ⨯⨯-=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 8.已知随机变量22,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则该变量ξ的数学期望E ξ和方差D ξ分别为（ ）A. 83，163B.49，827C.53，59D.43，49【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二项分布的期望、方差公式计算可得； 【详解】解：因为22,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以24233E ξ=⨯=，22421339D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选：D【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式的应用，属于基础题.9.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个白球的概率等于（ ） A. 27B.528C.514D.57【答案】D 【解析】 【分析】由在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同知本题是一个古典概型，试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个白球包括摸到2个白球，或摸到3个白球有312535C C C +种不同的取法，根据古典概型公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．试验的总事件是从8个球中取3个球有3856C =种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个白球包括摸到2个白球，或摸到3个白球有53351240C C C =+种不同的取法，∴至少摸到2个黑球的概率等于3353812557C C C P C +==， 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，简单的组合问题，属于中档题.10.若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（ ） A.35B.115C.815D.13【答案】A 【解析】 【分析】从中任取2把，基本事件总数2615n C ==，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1222149m C C C +==，由此能求出从中任取2把能将该锁打开的概率．【详解】解：6把不同的钥匙中只有2把能打开某锁，从中任取2把，基本事件总数2615n C ==，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1222149m C C C +==， ∴从中任取2把能将该锁打开的概率93155m p n ===． 故选：A ．【点睛】本题考查概率的求法，考古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 11.随机变量X 的取值为0，1，2，若()104P X ==，()1E X =，则()D X =（ ） A.32B.12C. 14D. 1【答案】B 【解析】 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)4P X ==，()1E X =，列出方程组，求出p ，q ，由此能求出()D X ．【详解】解：设(1)P X p ==，(2)P X q ==， 1()0214E X p q =⨯++=①，又114p q ++=，②由①②得，12p =，14q =， 2221111()(01)(11)(21)4242D X ∴=-+-+-=，故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 12.二项式()1001x +的展开式中系数之比为5546的相邻两项是（ ） A. 第46、47项 B. 第25、26项C. 第55、56项D. 第81、82项 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出写出展开式的通项，再依题意列出方程，解得即可； 【详解】解：二项式()1001x +的展开式1100r rr T C x +=，设其第1n +与2n +项的系数的比为5546， 则10011005546n n C C +=，则()100110055!461!n n A n A n +=+，即15510046n n +=-，解得54n =，故第55与56项的系数的比为5546， 故选：C【点睛】本题考查了二项式展开式的应用问题，属于中档题．13.将1，2，，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A.1420B.1336C.170D.156【答案】D 【解析】 【分析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．【详解】解：9个数分成三组，共有33396333C C C A 组，其中每组的三个数均成等差数列，有 {(1，2，3)，(4，5，6)，(7，8，9)}； {(1，2，3)，(4，6，8)，(5，7，9)}； {(1，3，5)，(2，4，6)，(7，8，9)}； {(1，4，7)，(2，5，8)，(3，6，9)}； {(1，5，9)，(2，3，4)，(6，7，8)}，共5组．∴所求概率为5187556=⨯⨯．故选：D ．【点睛】本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接，属于中档题．14.某比赛中共有8支球队，其中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支则A 组中至少有两支弱队的概率为（ ） A.12B.37C. 38D.47【答案】A 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，由A 组中至少有两支弱队，分两种情况：①A 组有两支弱队；②A 组有三支弱队；分别计算，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从8支球队随机抽取4支，则一共有4870C =（种），则A 组中至少有两支弱队，分两种情况：①A 组有两支弱队一共有225330C C =种情况；②A 组有三支弱队一共有13535C C =种情况；故A 组中至少有两支弱队一共有2213535330535C C C C +=+=（种）故概率351702P ==， 故选：A【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及简单的组合问题，属于中档题.15.若直线y x =与曲线x my e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C 【解析】 【分析】设切点坐标为()00,x mx e+，求得切线的方程()000x mx m y ee x x ++-=-，根据切线方程为y x =，分别代入(0,0),(1,1)点，即可求解. 【详解】设切点坐标为()00,x mx e +，由函数x my e+=，则x my e+'=，所以切线的斜率为0x m k e +=，所以切线方程为()000x mx m y ee x x ++-=-，又因为切线为y x =过(0,0)，代入切线方程，解得01x =， 即切线方程为()111m m y ee x ++-=-将(1,1)代入切线方程，可得11m e +=，解得1m =-， 故选C .【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义求得切线的方程，合理应用切线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A. 336 B. 210C. 216D. 120【答案】B 【解析】 【分析】由题意知本题需要分类解决，共有两种情况，对于6个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果． 【详解】解：由题意知本题需要分类解决，对于6个台阶上每一个只站一人有36120A =种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有123690C A =种， ∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是312366210A C A +=种．故选：B ．【点睛】本题主要考查分类计算原理，关键如何分类，分类要做到不重不漏，属于中档题． 17.若()()()()525012512111x a a x a x a x -=+-+-++-，则135a a a ++=（ ）.A. 121-B. 122-C. 243-D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求出50123453a a a a a a +++++=-，0123451a a a a a a -+-+-=，再两式相减即可得解； 【详解】解：因为()()()()525012512111x a a x a x a x -=+-+-++-令2x =，则50123453a a a a a a +++++=-①，令0x =，则0123451a a a a a a -+-+-=②，则①减②得：5135311222a a a --++==-故选：B【点睛】本题考查赋值法求二项式部分项的系数和，属于中档题. 18.随机变量X 的分布列如下，其中[]0,1p ∈，对于给定的0m n >>.有下列命题①：随着p 的增大，期望EX 一直减小；命题②：随着p 的增大，方差DX 先增大后减小，则下列正确的是（ ）A. ①为真命题；②为假命题B. ①为假命题；②为真命题C. ①②均为真命题D. ①②均为假命题【答案】C 【解析】 【分析】由期望、方差公式表示出EX 与DX ，再根据函数的性质即可判断； 【详解】解：由表所给数据可得()111022222p p p m n m nEX p n m n m p ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为0m n >>，10p >>，所以02m n+-<，即随着p 的增大，期望EX 一直减小，故①正确； 所以()()222221110222p p p E Xp nm n m ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()222221122p p DX E X E X n m n m -⎡-⎤⎛⎫⎛⎫=-=+⨯-+⨯⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22221122p p n m n m --⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12p t -=，则()()()2222D X n m t n m t =-+++ 对称轴为()22210,42n m t n m +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+， 所以随着p 的增大，方差DX 先增大后减小，故②正确； 故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的性质的应用，属于中档题.19.从8张连号的电影票中选4张分配给甲乙丙丁四人，要求剩下的4张电影票恰有3张是连号的，则不同的分配方法有（ ）种，（用数字作答） A. 300 B. 384 C. 432 D. 480【答案】D 【解析】 【分析】对3张连号的票分类讨论，再按照分类加法原理计算可得； 【详解】解：当3张连号票为()1,2,3时，共有144496C A =（种）；当3张连号票为()2,3,4时，共有143472C A =（种）； 当3张连号票为()3,4,5时，共有143472C A =（种）； 当3张连号票为()4,5,6时，共有143472C A =（种）； 当3张连号票为()5,6,7时，共有143472C A =（种）；当3张连号票为()6,7,8时，共有144496C A =（种）；所以一共有962724480⨯+⨯=种不同的分配方法， 故选：D【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于中档题.20.已知函数()22e 3e e x x xf x t -=-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ）A. ()1,+∞B. ()0,1C. ()1,0-D.(),1-∞-【答案】B 【解析】 【分析】令xm e =则()0,m ∈+∞，()322123123tm m f m tm m m m-+=-+=，则()f m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，令()32231g m tm m =-+，即等价于()g m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，利用导数研究()g m 的单调性、极值，即可得到()32min112310g m t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再解不等式即可；【详解】解：因为()22e 3e e x x xf x t -=-+有两个不同零点，令xm e =则()0,m ∈+∞，()322123123tm m f m tm m m m-+=-+=，则()f m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，令()32231g m tm m =-+，即()g m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，则()()26661g m tm m m tm '=-=-当0t =时，显然不成立，则0t ≠， 令()0g m '=，则0m =或1m t=，当0t <时，()g m 在()0,∞+上单调，故不存在两个零点，舍去，所以0t >， 令()0g m '>解得1m t >，即()g m 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0g m '<解得10m t <<，即()g m 在10,t ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()g m 在1m t=上取得极小值，也就是最小值，所以()32min112310g m t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2110t ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得11t -<<，又0t >，所以01t <<，即()0,1t ∈ 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，以及利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.二、填空题（共四小题，每空4分，共20分）21.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________.【答案】28 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项． 【详解】8848418831(2)()(1)28rrr r r r rr T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r，所以的常数项为228(1)28C -=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 22.已知离散型随机变量X 的分布列为则q =______，()25D X +=______. 【答案】 (1). 12 (2). 114【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质列出方程组，解得q ，再求出方差，最后根据方差的性质求得()25D X +．【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列得：22310122102131122q q q q ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪+-+=⎪⎩， 解得12q =或1q =（舍去），故12q =， 则离散型随机变量X 的分布列为：()11130122444E X =⨯+⨯+⨯=()2223131311101242444416D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()211112524164D X D X +==⨯= 故答案为：12；114. 【点睛】本题考查离散型随机变量的计算，方差的性质的应用，属于中档题.23.某医院从8名内科医生中选派4名同时去4个武汉四家医院进行支援，每个医院1名医生，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有______.（用数字作答） 【答案】600 【解析】 【分析】分两步进行，先从8名医生中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名医生分配去四家医院进行支援，对四名医生进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两步进行，第一步，先选四名医生，又分两类：①甲去，则丙一定去，乙一定不去，有2510C =种不同选法，②甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有4615C =种不同选法，则不同的选法有101525+=种第二步，四名医生去四家医院进行支援，有4424A =最后，由分步计数原理，可得共有2524600⨯=种方法， 故答案为：600．【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，做题时候要分清用排列还是用组合去做，属于中档题.24.已知不等式e x x a b ≤+对任意x ∈R 恒成立（其中e 为自然对数的底数，a ，b R ∈）则1b a-的最小值为______. 【答案】e - 【解析】 【分析】令()e xf x a b x =+-，利用导数研究函数的单调性，求出其最小值，则最小值大于等于零，即可得到1ln 0b a ++≥，则1ln 2b a -≥--，所以1ln 2b a a a ---≥，令()ln 2a g a a--=，()0a >利用导数求出()g a 的最小值即可得解；【详解】解：令()e xf x a b x =+-，则()0f x ≥恒成立， 所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时，()0f x '<，不符合题意，舍去；当0a >时，由()0f x '=，得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<即()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，当ln x a >-时，()0f x '>即()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln ln ln 0af a ae b a --=++≥，即1ln 0b a ++≥，则1ln 2b a -≥--，所以1ln 2b a a a ---≥，令()ln 2a g a a --=，()0a >，则()221ln 2ln 1a a g a a a-+++'==， 所以当1a e >时，()0g a '>即()g a 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当10a e<<时，()0g a '<即()g a 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()min 1ln 211e g a g e e e--⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 故1b e a-≥- 故答案为：e -【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，属于中档题. 三、解答题（共50分）25.在1，2，3，4，5，6，7这7个自然数中，任取3个数. （Ⅰ）求①这3个数中恰有1个是偶数的概率， ②这3个数中至少有一个为偶数的概率；（Ⅱ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）.求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.【答案】（Ⅰ）①1835②3135（Ⅱ）见解析，47【解析】【分析】（Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，①恰有1个是偶数有1234C C 种结果，②试验发生包含的事件是满足条件的事件是至少有一个是偶数有3374C C -种结果，再根据古典概型的概率公式计算得到概率．（Ⅱ）有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个，不包含相邻的数的有351520-=，根据概率公式求解得当变量为0时表示不包含相邻的数204(0)357P ξ===， 当变量为1时表示包含1组相邻的数102(1)357P ξ===，当变量为2时表示包含2组相邻的数51(2)357P ξ===列出分布列，求解出数学期望即可． 【详解】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从7个数字中任取3个，共有3735C =种结果， 则恰有1个是偶数有1234C C 种结果，至少有一个是偶数有3374C C -种结果，记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则()1234371835C C P A C ==； 记“这3个数恰有一个是偶数”为事件B ，则()343731135C P B C =-=，即3个数中至少有1个是偶数的概率是3135．（Ⅱ）随机变量ξ为这三个数中两数相邻的组数，从7个数字中任取3个，共有37C 种结果，有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个则不包含相邻的数的有351520-= 则ξ的取值为0，1，2，当变量为0时表示不包含相邻的数204(0)357P ξ===，当变量为1时表示包含1组相邻的数102(1)357P ξ===， 当变量为2时表示包含2组相邻的数51(2)357P ξ=== 随机变量ξ的分布列：其数学期望42140127777E ξ=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查古典概型的概率问题，离散型随机变量的分布列及期望的计算，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．26.己知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式前三项中x 的系数的绝对值．．．．．．成等差数列. （Ⅰ）求n 的值及展开式中的常数项； （Ⅱ）求展开式系数最大的项.【答案】（Ⅰ）8n =，常数项为第三项为7（Ⅱ）系数最大的项为第三项为7 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求写出二项式展开式的通项，求出前三项系数的绝对值，即可求出n ，从而求出常数项；（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第1r +项系数的绝对值．．．最大， 则有118811882222r r r r r r r r C C C C -+-----+⎧≥⎨≥⎩，求得r 的值，即可可得系数最大的项． 【详解】解：（Ⅰ）因为二项式312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1312rr n r r n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以展开式前三项的系数的绝对值分别为01nC =，1122nn C ⋅=，()2211128n C n n ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭.由题设知：()11128n n n =+-，解得：8n =或1n =（舍去）. 当8n =时，()()()838418822rrrr r r r r T C x x C x -----+=-=-当2r时223827T C -==，即常数项为第三项为7（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第1r +项系数的绝对值．．．最大， 则有118811882222r r r r r r r r C C C C -+-----+⎧≥⎨≥⎩ 由118822rrr r C C -+--≥，1118812228r rr r r C C r+-+--+∴≥⨯- ()218r r ∴+≥-，2r ∴≥，同理可得118822rrr r C C ---+≥，3r ∴≤系数绝对值最大项为447T x=-和37T = 所以系数最大的项为第三项为7【点睛】本题主要考查等差数列的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．27.已知函数()2ln a f x ax x x =--，()e e 2x xg x --=（其中0a >，a R ∈，e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域并讨论其单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，求实数a取值范围； （Ⅲ）证明：当1x ≥时，()ln g x x ≥【答案】（Ⅰ）定义域为()0,∞+，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，()f x 在11a a ⎛-+⎪⎝⎭上递减（Ⅱ）[)1,a ∈+∞（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域，再求出函数的导函数，得到()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=，再对∆分类讨论，即可得到函数的单调区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()10f =，以及函数的单调性，要使()0f x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，即()()10f x f ≥=，根据函数的单调性即可得解；（Ⅲ）令1a =，有11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即当1x ≥时，11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，再证e e 1122x x x x --⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）因为()2ln af x ax x x=-- 所以()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=， ①当2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增②当2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，得：1x a=，当()0f x '>时，x ∴>或0x <<()0f x '<时，解得x <<()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为()10f =，()2222a ax ax af x a x x x-+'=+-=， ①当2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=；②当01a <<时()f x 在⎛ ⎝⎭递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，因为()10f =，所以()10f f <=⎝⎭，在[)1,+∞上不恒成立；（说明：其中22111a x ==<<，211x a =>>） 综上所述，[)1,a ∈+∞.（Ⅲ）令1a =，有11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即当1x ≥时，11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 又()=e x F x x -，()1x ≥，()=e 10x F x '->即()=e x F x x -在[)1,+∞上单调递增，所以()()110F x F e ≥=->，即()e 1x x x ≥≥，()112h x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()1,+∞上单调递增， ()()e x h h x ∴≥()e e 11ln 22x x g x x x x --⎛⎫∴=≥-≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，以及利用导数证明不等式，属于中档题．。

2020.3考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式11221()3V S S S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π 其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}1,0,1,2A =-为全集，{}2|20,B x x x x Z =--<∈，则C A BA. {}1,0,1-B. {}1,0-C ．{}1,2-D. {}0,1,22．已知双曲线C 的离心率2e =，其中一个焦点的坐标为()0,2，则双曲线C 的标准方程为A. 2213y x -=B. 2215y x -=C ．2215x y -=D. 2213x y -=3．某正三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为A.B.C ．3D.4．若()f x 是定义在R 上的函数，则“()f x 是奇函数”是“()()()f x y f x f y +=+”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若()1cos 2πα-=-，则A ．()sin α-=B．sin 22πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．()1cos 2πα+=D ．()1cos 2απ-=-6. 已知实数,x y 满足22010220x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则关于目标函数3z x y =-的描述正确的是A ．无最大值也无最小值B ．最小值为2-C ．最大值为2D ．最大值为37. 已知()(2)1x y x y +-=且0y ≠ ，则xy的取值范围为A. ()(),12,-∞-+∞UB. ()(),21,-∞-+∞U C ．()1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U D. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 8. 已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具。

2019-2020年高三（上）第三次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题：若x≥1，则x2+3x﹣2≥0的否命题为“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”．．考点：四种命题．专题：常规题型．分析：命题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，据此可得出答案．解答：解：根据命题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，可得命题：“若x≥1，则x2+3x﹣2≥0”的否命题应是“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”．故答案为“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”．点评：掌握四种命题间的关系是解决问题的关系．2．（5分）i是虚数单位，复数=2﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以1+i，展开后整理即可．解答：解：．故答案为2﹣i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．解答：解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）已知510°角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：任意角的概念．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得cos510°=﹣，再由任意角的三角函数的定义可得m＜0且﹣=，由此求得m的值．解答：解：∵510°=360°+150°，∴cos510°=cos150°=﹣cos30°=﹣．再由510°角的终边经过点P（m，2），可得m＜0，且cos510°=﹣=，解得m=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的性质，属于基础题．5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，得到=，再向下平移1个单位，得到函数的图象，所以g（x）的解析式为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系数的关系．6．（5分）已知向量=（sin55°，sin35°），=（sin25°，sin65°），则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．分析：向量夹角公式的应用，已知向量的坐标要求向量的夹角，利用向量夹角的公式，在代入的过程中，注意向量的坐标是用三角函数表示的，这里有一个利用诱导公式变化的过程．解答：解：∵=（sin55°，sin35°），=（sin25°，sin65°），∴=1，=1，由向量夹角的公式可得，cosθ====sin120°=，∵θ∈[0，180]，∴θ=30°，故答案为：30．点评：本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的模不是数字，而是用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换．7．（5分）如果实数x、y满足不等式组，则z=x+2y+3最小值为8．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入x+2y+3中，求出x+2y+3的最小值．解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=x+2y+3在边界点A（1，2）处取到最小值z=1+2×2+3=8．故答案为：8．点评：本题考察的知识点是简单线性规划的应用，在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．8．（5分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（5分）（xx•盐城一模）已知是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数，则f（x）的值域为．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：根据是奇函数，可确定a的值，进而可得函数的解析式，利用函数的定义域，可确定函数的值域．解答：解：∵是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴∴∴2a=﹣1，∴∴∵x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∴2x∈（0，]∪[2，+∞）∴[﹣2，﹣1）∪（0，1]∴f（x）∈故答案为：点评：本题重点考查函数的奇偶性，考查函数的值域，解题的关键是确定函数的解析式，属于基础题．10．（5分）“”是“对∀正实数x，”的充要条件，则实数c=1．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据所给的条件，看出对于c的值的符号不同，分两种情况进行讨论，c小于0时，比较简单，当c大于0时，需要分离参数，求出二次函数的值域，根据函数的思想求出结果．解答：解：若c＜0，则a≥0，不符合题意，若c＞0，，∴根据x是正数有a≥cx﹣2x2∵y=cx﹣2x2在x是正数时，值域是y=则，于是，故答案为：1点评：本题考查充要条件的判断，考查二次函数的性质，考查函数的分离参数的思想．本题解题的关键是求出二次函数的最值，根据函数的思想来解题，本题也可转化为二次函数a≥﹣2x2+cx恒成立展开讨论．11．（5分）函数f（x）=ax2+lnx+1在[e，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，使导函数在[e，+∞）上恒小于等于0，列式求解a的范围．解答：解：由f（x）=ax2+lnx+1，则，令g（x）=2ax2+1，因为f（x）在[e，+∞）上是减函数，所以，f′（x）在[e，+∞）上小于等于0恒成立，则g（x）=2ax2+1在[e，+∞）上小于等于0恒成立，即，所以．故答案为．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．考查了在某一区间内不等式恒成立的问题，此题属中档题．12．（5分）（2011•天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为18．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先把已知条件转化为ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可．解答：解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．又3a+9b=3a+32b≥2=2，因为a+2b≥2=2≥2=4，所以3a+9b≥2=18．即3a+9b的最小值为18．故答案为18．点评：本题是对指数的运算性质，对数的运算性质以及基本不等式的综合考查．考查的都是基本知识点，只要课本知识掌握熟练，是道基础题．13．（5分）设实系数一元二次方程x2+ax+2b﹣2=0有两个相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围是．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：要求的式子化为1+，表示点（a，b）与点（1，4）连线的斜率再加上1．由可得，画出可行域，求出点A和点B的坐标，根据函数z=表示可行域里面的点（a，b）与点p（1，4）的斜率的大小，求出z的范围，可得z+1的范围，即为所求．解答：解：==1+，表示点（a，b）与点（1，4）连线的斜率再加上1，实系数一元二次方程x2+ax+2b﹣2=0有两个相异实根，f（x）=x2+ax+2b﹣2，图象开口向上，对称轴为x=﹣，由可得，画出可行域，如图所示：由求得点A的坐标为（﹣1，1），由求得点B的坐标为（﹣3，2）．设目标函数z=，表示可行域里面的点（a，b）与点p（1，4）的斜率的大小，∴z min=k AP==；z max=k BP==，∴≤z≤．再由于点A和点B不在可行域内，故有＜z＜．∴1+ 的范围为（，），故答案为（，）．点评：此题主要考查函数的零点的判定定理，还考查了简单线性和规划问题，要分析的几何的意义，属于中档题．14．（5分）已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用．分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：∵已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+=1②，联立方程①②可得a=，b=，f（x）=x2+x+，∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，可得f（x﹣t）=（x﹣t+1）2≤x，化简可得，x2﹣2x（t﹣1）+（t﹣1）2﹣4x≤0，在[1，9]上恒成立，令g（x）=x2﹣2x（t+1）+（t﹣1）2≤0，在[1，9]上恒成立，∴，解①可得0≤t≤4，解②可得4≤t≤14，解③可得t≥4综上可得：t=4，故答案为2点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件；二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）已知a＞0，a≠1．设命题p，q分别为p：函数y=x2+（3a﹣4）x+1的图象与x 轴有两个不同的交点；q：函数y=a x在（0，+∞）内单调递减．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：依题意可分别求得命题p为真命题与命题q为真命题时a的取值范围，再结合题意，利用真值表通过解不等式组即可求得实数a的取值范围．解答：解：因为a＞0，a≠1，由命题p为真命题得：（3a﹣4）2﹣4＞0，解得0＜a＜或a＞2…．（2分）由命题q为真命题可得0＜a＜1…（4分）由命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，可知命题p、q为真命题恰好一真一假…．（6分）（1）当命题p真q假时，，即a＞2…（9分）（2）当命题p假q真时，，即≤a＜1…（12分）综上，实数a的取值范围为≤a＜1或a＞2．…．（14分）点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数与指数函数的性质，突出考查真值表的应用及解不等式组的能力，属于中档题．16．（14分）已知向量（λ≠0），，，其中O为坐标原点．（1）若λ=2，，β∈（0，π），且，求β；（7）若对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据给出的λ和α的值，求出向量，由向量的坐标差求出向量，最后由向量垂直的坐标表示可解得β的值；（2）把向量和的模代入后得到关于λ的不等式λ2+1+2λsin（β﹣α）≥4，把不等式左边看作关于λ的二次函数，分λ＞0和λ＜0求出函数的最小值，让最小值大于等于4可求解λ的范围．解答：解：（1）若λ=2，，则，，由，得：，即，所以，因为，所以，所以．（2）若对任意实数α，β都成立，则（λcosα+sinβ）2+（λsinα﹣cosβ）2≥4对任意实数α，β都成立，即λ2+1+2λsin（β﹣α）≥4对任意实数α，β都成立，所以，或，解得：λ≥3或λ≤﹣3，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．点评：本题考查了向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查计算能力，数学转化思想和函数思想，是中等难度的题目．17．（14分）（2011•江西模拟）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（Ⅰ）通过二倍角公式，以及，求出a的值，利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用余弦定理化简，通过正弦定理求出，推出B的值，然后求f（x）在（0，B]上的值域．解答：解：（Ⅰ）f（x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=．由得，解得．因此．令得故函数f（x）=的单调递增区间（6分）（Ⅱ）由余弦定理知：即2acosB﹣ccosB=bcosC，又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA即，所以当时，，f（x）∈（﹣1，2]故f（x）在（0，B]上的值域为（﹣1，2]（12分）点评：本题考查余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，正弦定理个应用，考查转化思想与计算能力．18．（16分）（xx•绵阳二模）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．专题：分类讨论．分析：（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．解答：解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．点评：本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．19．（16分）（xx•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；证明题．分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24=﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．20．（16分）（xx•湖北模拟）已知f（x）=ax﹣ln（﹣x），x∈（﹣e，0），，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=﹣1时，f（x）的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，．（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）把a=﹣1代入f（x）=ax﹣ln（﹣x），求导，分析导函数的符号，可得f（x）的单调性、极值；（2）由（1）知f（x）在[﹣e，0）的最小值为1，要证，只需证的最大值小于1即可，利用导数求函数的最大值；（3））假设存在实数a，使f（x）=ax﹣ln（﹣x）有最小值3，x∈[﹣e，0），求导，令导数等于零，解方程得到的方程的根是否在定义域（﹣e，0）内进行讨论，从而求得结果．解答：解：（1）∵f（x）=﹣x﹣ln（﹣x）∴当﹣e≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，此时f（x）为单调递减当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，此时f（x）为单调递增∴f（x）的极小值为f（﹣1）=1（2）∵f（x）的极小值，即f（x）在[﹣e，0）的最小值为1∴|f（x）|min=1令又∵当﹣e≤x＜0时h′（x）≤0，h（x）在[﹣e，0）上单调递减∴∴当x∈[﹣e，0）时，（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣ln（﹣x）有最小值3，x∈[﹣e，0）①当时，由于x∈[﹣e，0），则∴函数f（x）=ax﹣ln（﹣x）是[﹣e，0）上的增函数∴f（x）min=f（﹣e）=﹣ae﹣1=3解得（舍去）②当时，则当时，此时f（x）=ax﹣ln（﹣x）是减函数当时，，此时f（x）=ax﹣ln（﹣x）是增函数∴解得a=﹣e2点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题．对方程f'（x）=0根是否在定义域内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，和转化思想，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．11 / 11文档可自由编辑打印。