应用数学方法求解物理过程中最值问题[论文]

巧妙利用数学知识解决物理最值作者：薛永强杨金凤来源：《神州·中旬刊》2013年第01期摘要：数学知识是解答物理题的工具，其思想方法和知识始终贯穿于整个物理学习和研究的过程中，中学物理教学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确的要求。

近年来高考对学科间综合能力的考查也越来越多，借用数学方法解物理最值问题能较好的考查学生应用数学工具解答物理问题的能力。

所以学生要对诸如二次函数、三角函数、不等式求极值的应用等知识必须熟练掌握。

关键词：数学物理最值一、运用二次函数求解最值此方法主要根据二次函数■，当■时，有极值■，其中当■时，ym为最大值，当■时，ym为最小值。

例1、平直公路上一汽车A以20m/s的速度行驶，现发现前方200m处有一货车B以6m/s 的速度同向匀速行驶，A车司机立即以最大加速度0.5m/s2刹车，求刹车过程中A、B车间的最小距离。

解析一：设经过时间t，A、B两车间距离的表达式为：△ s=sB+200-sA=6t+200-（20t-0.25t2）=200-14t+0.25t2所以当t=■=28s时，A、B间的最小距离为4m。

例2、在一条笔直的公路上，一个人以v=10m/s的速度骑摩托车匀速前进，当经过一辆小汽车旁边时，小汽车立即启动，并以a=1.0m/s2的加速度做匀加速运动，试求小汽车在追上摩托车之前两者的距离。

解：设小汽车在追上摩托车之前，经历时间t，小汽车与摩托车之间的距离为s，s应为摩托车与小汽车的位移大小之差，即： s =vt—■我们看到s是t的一元二次函数，二次项的系数为负值，所以当t=-■时有最大值sm， sm =50（m）注：与例1同理，小汽车和摩托车的速度相同时两者之间有最大距离，在追及问题中，速度相同是距离有最值的条件。

二、运用三角函数公式■求解此方法主要根据三角函数■时，■有最值■，且■。

例3、如图1所示，用力F拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m，物体与地面间的动摩擦因数为μ，欲使F为最小，则F应与竖直方向成多大的夹角？最小的力为多大？解析：设F与竖直方向的夹角为θ，物体要匀速前进，则有■即■其中■，当■时，F有最小值■三、用数学不等式求物理量的最值1、不等式（1）■；当■时取等号，对不等式的左边有最小值，对右边有最大值。

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

物理极值求解方法袁培耀【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)005【总页数】4页(P30-33)【作者】袁培耀【作者单位】中国石油天然气管道局中学河北廊坊【正文语种】中文物理极值问题是物理知识和数学知识的有机结合,是高考能力要求中应用数学知识解决物理问题能力的体现.复习中,若能从方法、题型、解题思路等方面进行整理与探究,将达到事半功倍的复习效果．大部分物理规律展示的都是一个物理量与另一个物理量间的函数关系,若二者满足如y=ax2+bx+c的形式,由二次函数的性质可知,当时,y有极值为，当a>0时,y有最小值;当a<0时,y有最大值．例1 如图1所示,R0为定值电阻,变阻器全值电阻值为R,电流表内阻不计,电池的电动势为E,内阻为r,在滑动触头P从a到b的过程中,以下说法中正确的是( ).A 电流表示数先减小后增大;B 电流表示数先增大后减小;C 电流表示数一直增大;D 电流表示数一直减小滑动触头将变阻器分为2部分,设滑动触头P左侧部分电阻为RPa,由并联分流原理可知I总.因为,联立并整理得,关系式的分母为一关于RPa的二次函数式,配方得当RPa=0时,电流有最大值;当时,电流有最小值分析可知,选项A正确,选项B、C、D错误.当物理问题涉及角度,建立的物理表达式中含有如y=asin θ+bcos θ、y=Asinθcos θ等因子时,就可充分利用三角函数的极值性质求解物理极值．如函数y=asin θ+bcos θ,可有sin(θ+φ),其中,当θ+φ=90°时,y有最大值为当θ+φ=0时,y有最小值为0．例2 如图2所示,一质量m=0.4 kg的小物块,以v0=2 m·s-1的初速度,在与斜面成某一夹角的拉力F作用下,沿斜面向上做匀加速运动,经t=2 s的时间物块由A点运动到B点,A、B之间的距离L=10 m．已知斜面倾角θ=30°,物块与斜面之间的动摩擦因数，g取10 m·s-2.则拉力F与斜面的夹角α多大时,拉力F最小?拉力F 的最小值是多少?设物体受支持力为FN, 所受摩擦力为Ff, 拉力与斜面的夹角为α, 由受力分析及牛顿第二定律得Fcos α-mgsin θ-Ff=ma, Fsin α-mgcos θ+FN=0,因Ff=μFN,联立得.由数学知识可知，表达式的分母,当α=30°时,F有最小值,即物理解题中根据题目要求建立的物理关系式,是2个及2个以上物理量间的函数关系,当物理量分布于a、b 2项因子中,且2项因子表现为和或积的关系时,由不等式均值定理:如果a、b为正,则,当且仅当a=b时取“=”，即如果a+b=k,当时,a和b的积有最大值;如果ab=p,当时,a和 b的和有最小值．总结为“和一定,积最大” “积一定,和最小”．例3 我国“嫦娥三号”探测器成功实现“月面软着陆”,着陆阶段可简化为3个过程: ① 探测器从月球表面附近高为H处匀减速竖直下降至静止; ② 悬停(即处于静止状态); ③ 自由下落至月球表面.为了保证探测器的安全,要求探测器到达月球表面的速度不能超过vmax,月球表面附近的重力加速度为g0,探测器在减速过程中每秒消耗的燃料为Δm=pa+q (a为探测器匀减速下降的加速度大小,p、q为大于0的常数).忽略探测器因消耗燃料而引起的质量变化.(1) 求探测器悬停位置距月球表面的最大高度hmax;(2) 在悬停最大高度hmax不变的情况下,为使探测器减速下降过程中消耗的燃料质量最少,则该过程中探测器的加速度为多大,最低消耗燃料的质量为多少?(1) 在探测器自由下落到月球表面的过程中,由=2g0hmax,解得．(2) 探测器从高为H处匀减速竖直下降到高为hmax悬停位置的过程中,由运动学公式有H-hmax=at2/2,在该过程中消耗燃料的质量整理得.对于m的函数表达式,因=pq,所以当时,即时,所消耗的质量最少为例4 一个质量为m的小球拴在长为L的轻绳上,轻绳一端固定,现用手将小球拉至水平位置,从静止释放,在小球运动到竖直位置的过程中,不计空气阻力．以下说法正确的是( ).A 小球重力的功率先减小后增大;B 小球重力的功率先增大后减小;C 小球重力的功率最大值为;D 小球重力的功率的最大值为画出小球运动过程的情景图,如图3所示,设小球运动到B位置时重力的功率最大,且与竖直方向的夹角为θ．从A到B,根据动能定理有其中h=Lcos θ,解得重力的功率.设y=cos θsin2θ.因为又因2cos2θ+sin2 θ+sin2 θ=2(sin2 θ+cos2 θ)=2，由不等式性质可知,当且仅当2cos2θ=sin2θ=sin2θ时,y有最大值.由2cos2 θ=1-cos2 θ可知，当时,y有最大值为，此时功率P有最大值为，所以小球重力的功率先增大后减小,最大值为,选项B、C正确．由物理情景建立的物理关系式是所求物理量与自变量间的函数关系式,根据函数极值定理(如果函数f(x)在点x0的一个邻域内有定义,在点x0可导,那么, x0是 f(x)极值点的必要条件是f ′(x)=0),可求物理极值．例5 在真空中的M、N两处分别放置电荷量相等的正点电荷,M、N相距2L,作两电荷连线的中垂线,从连线中点沿中垂线到无限远的区域,两正电荷产生的电场,以下说法正确的是( ).A 电势先降低后升高;B 场强先增大后减小;C 场强最大值为;D 电势最低为0两正电荷产生的电场中,从连线中点沿中垂线到无限远的区域,电势一直降低,选项A 错误. 无限远处电势最低为0,选项D正确.根据题意,画出情景示意图,如图4所示．在两电荷连线的中垂线上选一场点A,设∠AMO=θ,电荷M、N在A点的场强大小为,故A点场强为因为为定值,可令y=cos2θsin θ,求导得当y′=0时,y最大,由题意可知cos θ≠0,故有1-3sin2θ=0,解得因此当时EA最大,且选项B、C、D正确．总结上述求解极值方法,都是先用物理规律建立物理量间的函数关系,再由函数关系的结构特点,灵活选用数学方法求得物理极值．若用代数解法,先构建出符合代数极值解法的函数模式,再由代数极值规则求解;用求导方法,不用刻意构建函数,也无繁难的极值规则,只要对函数求导,就能快捷求出极值．物理知识学习和应用中,有许多用物理基本规律推出的结论,可称之为二级结论,其中一些二级结论就含有最值因素,如自由弦运动的等时性结论——在弦光滑的前提下,从竖直圆环上沿不同的弦运动到圆环最低点或从竖直圆环最高点沿不同的弦运动到圆周上的时间相同,等于从竖直圆环最高点到圆环最低点做自由落体运动的时间;再如物体在做加速度逐渐减小的变加速直线运动时,当加速度减小到a=0时,速度v有最大值;又如对于闭合电路,当外电阻等于内阻时,电源有最大输出功率Pmax=E2/4r．例6 如图5所示,一个质点自倾角为α的斜面上方定点A沿光滑斜槽从静止开始下滑,为了使质点在最短时间内到达斜面,斜槽与竖直方向的夹角β 等于( ).A α;B α/2;C 45°;D 90°以A点为最高点,以AO线为半径作一个与斜面相切的圆,如图6所示(作图相关的辅助线略去)．由自由弦运动的等时性可知质点沿AB、AB1、AB23条光滑斜槽从A点滑到圆周上的时间是相等的,同时也说明只有沿AB滑槽才能使质点在最短时间内到达斜面．由几何知识可知斜槽与竖直方向的夹角β=α/2．例7 如图7所示,平行金属导轨相距l=0.2 m,E=6 V,内阻不计,电阻R=10 Ω,均匀磁场方向垂直纸面．金属棒在安培力作用下由静止开始向左滑行,摩擦力Ff=0.1 N．为使金属棒有最大速度vmax,以下说法正确的是( ).A 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为9 m·s-1B 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为9 m·s-1C 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为18 m·s-1D 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为18 m·s-1将R等效为电源内阻,当外电阻等于内阻时,电源输出功率有最大值,即,当金属棒速度达到最大值时,输出功率Pmax全部用来克服摩擦力做功，即有=Ff·vmax,解得=9 m·s-1．在此电路中,等效电源的路端电压即为感应电动势,当外电阻(金属棒)等于内阻时,等效路端电压等于电源电动势的一半,即有,解得 T．选项A正确．物理图象反映的是2个物理量间存在的函数关系,通过研究物理图象就能明确物理量间遵循的物理规律,有些物理图象隐藏有极值特征,如匀变速直线运动的位移-时间图象,电源输出功率与外电阻的图象,一对等量电荷连线及中垂线上的场强、电势随距离变化的图象等,如图8所示.只要全面观察、正确分析,就能通过图象解决物理极值．例8 列车由静止开始从A站出发,沿直线以加速度a1做匀加速运动,至速度v后,匀速前进一段时间,再以加速度为a2做匀减速运动,到达B站刚好停止,全程长为L,以下说法正确的是( ).A 若火车匀加速至v后,接着就做匀减速运动,到达B站的时间将最短;B 若火车到达B站的过程中有匀速运动阶段,匀速运动的速度等于;C 若,火车到达B站的时间最短;D 只有,火车到达B站可能有最短时间画出火车先加速、匀速、再减速运动的v-t图象,如图9所示,图中梯形OBCt2的面积即为A、B站间的距离,为一定值．将Ct2向左平移,保证面积不变的前提下,只能使梯形OBCt2变为△OAt1,可实现减小运动时间的目的．由此可知物体以加速度a1做匀加速直线运动通过一段位移后,接着以加速度a2做减速运动通过下一段位移就可使运动时间最短, 选项A正确．由图示可知,又v2t1,综合分析可知,当时,最短时间为, 选项C正确,选项D错误．由图9可知,若火车到达B站的过程中有匀速运动阶段,匀速运动的速度小于,选项B错误．。

福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。

以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。

解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。

本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。

关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。

例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。

2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。

用不等式法解力学中的极值问题首先，我们要了解力学中极值问题是什么，然后看看如何以不等式法解决它。

力学中的极值问题是指研究物理学上的极端条件，即极大极小值。

例如在建筑中，我们可能要求寻找极大强度或极小的重量等。

在力学中，极值问题也是一类问题，就是有关于力学中物体运行轨迹的最值分析。

物体的位置、力学能量和质量都会影响运动的最值。

以不等式法解决极值问题，是学者们在力学中设计极值问题的一种重要方法。

这种方法的原理是，对一个给定的函数，从它的几个因素中挑选出一个最优值，其他因素变量可以以一组不等式的形式来定义。

通过解不等式系统，可以实现问题的解决。

比如，在弹性力学中，当在持续的应用力的情况下，物体的形状发生变化时，我们可以使用不等式法来求解，因为它可以提供一种方法，它可以将所有的变量放在一起，同时考虑应变能量和弹性能量，最终找到极值解。

然而，在实际应用中，一般情况下极值问题往往很复杂，而不等式法也不是一种非常容易解决它们的方法，因为它涉及到大量的数学运算，而且它本身也可能存在着困难，比如无解的情况，极限的情况等。

因此，为了实现极值问题的最优解，一般要求用分析法和数值法相结合，在分析法的基础上使用数值运算方法，从而找到最优解。

总而言之，不等式法是一种非常有用的方法，可以有效解决力学中极值问题，尽管在实际应用中可能存在着困难，但如果能正确应用它，我们也可以轻易地解决极值问题。

此外，在解决极值问题时，我们还可以使用其他的方法，比如微分法、泰勒展开等，来得到更准确的解决方案，并且在不同情况下选择相应的方法来解决极值问题。

另外，解决极值问题时，正确且谨慎的应用数学方法，对于解决极值问题至关重要。

数学的核心思想是将复杂的问题简化为更容易解决的问题，然后逐步分析，最终得出结果，这是解决极值问题的基本思路。

因此，以不等式法解决力学中的极值问题，是一个非常有意义的研究，它可以帮助我们更好地理解力学中的极值问题，从而有助于掌握有效的解决力学问题的方法，最终实现物理学上的极值分析。

极限求解方法及应用论文极限求解方法是数学分析中的重要概念，用于研究一个函数在某一点或无穷远处的行为。

它在物理学、工程学以及经济学等领域中有广泛的应用。

首先，我们来讨论一下极限定义及其求解方法。

极限可以分为左极限和右极限。

设函数f(x)在a点的定义域中不存在函数值，当x无限接近于a时，如果f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的左极限，记作lim(x→a-) f(x) = L。

同理，如果当x无限接近于a时f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的右极限，记作lim(x→a+) f(x) = L。

当且仅当左极限等于右极限并且都存在时，函数f(x)在x=a处的极限存在，即lim(x→a) f(x) = L。

极限求解方法主要包括极限的基本四则运算法则、极限的夹逼定理、函数的连续性等。

极限的四则运算法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)以及常数a和b，当lim(x→a) f(x)存在，lim(x→a) g(x)存在，那么：1. lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)3. lim(x→a) [af(x)] = a * lim(x→a) f(x)4. lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)5. lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（前提是lim(x→a) g(x) 不为零）极限的夹逼定理是极限求解中常用的方法之一。

它描述了当一个函数夹在两个函数之间时，这个函数的极限等于这两个函数的共同极限，即：如果对于任意的x都有g(x) ≤f(x) ≤h(x)，同时lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则lim(x→a) f(x) = L。

介绍两种求物理量最值的方法求物理量的最值可以用求导数，均值不等式，辅助角公式等方法，今天我再介绍两种求解最值的方法。

一、判别式法例1：如图一所示，在广阔的水平面上固定有一个边长为L 22的正方形光滑薄板，薄板中心0点钉有一钉子，长为L 的不可伸长的轻绳一端通过极小绳套套在钉子上，另一端与质量为m 的物块P 连接，物块以大小为v 0的速度绕0点做圆周运动，不计绳套与钉子间的摩擦。

某时刻剪断轻绳，求从剪断轻绳到物块P 离开薄板的最短时间t 。

解：如图二所示，由几何关系可得：()θθsin cos 2-=L x 令()θθsin cos 2a -=两边平方后，整理得：()02cos 22cos 1222=-+-+a a θθ R ∈θcos≥∆∴ ()()0214-822≥-+a a 即： 化简得：()0122≥-a a 0>a 1,012≥≥-∴a a 得所以，a min =1代入得X min =Lt min =L/V 0二、齐次法一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子，我们称之为齐次式。

‘齐次’从词面上解释是“次数相等”的意思。

例如：x+y+z 次数都是1，x 2+2x*y+y 2 次数都是2,或者x 3+x*y*z+y 3+z 3 次数都是3,所以这3个都是齐次式.例2：如图3所示，在水平地面上方固定一足够长水平直杆，质量M ＝3m 的滑块套在直杆上，长为H 的轻绳一端固定在滑块底部O 点，另一端连接质量为m 的小球。

现将小球拉至与O 点等高处，轻绳伸直后由静止释放。

不计小球与滑块所受到的空气阻力，重力加速度大小为g 。

若滑块不固定，小球运动的过程中，滑块始终静止，求滑块与杆之间的动摩擦因数的最小值μ。

解：如图4，设轻绳转过θ时，小球的速度为v 0，轻绳中拉力为F ，则由动能定理：mgH sin θ＝12mv 20 由牛顿第二定律，有F －mg sin θ＝m v 20 H要使滑块不动，应满足：F cos θ≤μ(Mg ＋F sin θ)，联立解得θθθμ2sin 1cos sin +≥ 观察知，可以把分子分母变为2次。

应用数学方式求物理极值问题宁夏中卫市第一中学 闫保臻在物理和数学的关系中，很多时侯都把物理比喻成皇帝，数学比喻成皇后，不能分开。

一个物理学家他第一是一个数学家。

数学是科学的语言，它能简练、准确地表达物理概念和推导证明物理规律，是物理学的重要工具，物理是数学的灵魂。

运用数学方式解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好能够帮忙咱们加倍简捷的解决物理问题。

下面，笔者就运用数学方式在物理极值求解中的常常利用方式总结如下。

一、用一元二次方程判别式求解极值一元二次方程，当它的判别式B 2-4AC≥0时，此方程有实数解。

若咱们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。

使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。

例题1：一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m 的墙外，从喷口算起，墙高4m ，若空气阻力不计，取2/10s m g =。

求：所需的最小初速度及对应的喷射仰角。

分析：本题的解题思路是按照题目描述的物理情景，写出喷射速度的的数学表达式，再用数学工具进行求解。

解答：设喷射速度为v ，喷射仰角为θ，按照题意得：在水平方向：3=vcos θ·t ①竖直方向：4=vsin θ·t －221gt ② 联立①、②消去时刻t ，能够取得喷射出的水的轨迹方程为4=3tan θ－θ22cos 45v ，该式中含有两个未知量θ和v,现以tan θ为变量，以v 参量，化简该式得：θ2tan － 01454tan 1522=++v v θ ③ 要使③式有解，必需要使其判别式大于等于零，即：b 2-4ac 0≥，在上述方程中，a=一、b=152v -、c=14542+v ，所以b 2－4ac=（152v -）2－4×1×（14542+v ）0≥ ④ 该不等式只含有一个未知量v ，解 ④式能够取得v 的有效解为：90≥v m/s ，所以喷射的最小速度为：90min =v m/s 。

一元二次函数模型解初中物理的最值问题一元二次函数在初中物理中有着广泛的应用，特别是在解决最值问题时，一元二次函数模型能够很好地进行描述和求解。

本文将通过一些物理问题为例，介绍一元二次函数模型在初中物理中的应用，以及如何使用一元二次函数来解决最值问题。

一、一元二次函数模型在初中物理中的应用1.自由落体运动在物理学中，自由落体运动是一个经典的问题。

当一个物体从高处自由落下时，其运动轨迹可以用一元二次函数来描述。

根据自由落体运动的公式，物体下落的距离与时间的关系可以用一元二次函数来表示。

2.抛体运动抛体运动是物理学中另一个重要的问题。

当一个物体在斜面上抛出时，其运动轨迹也可以用一元二次函数来描述。

通过建立合适的坐标系和运动方程，可以将抛体运动表示为一元二次函数的形式。

3.弹簧振子的运动弹簧振子是物理学中常见的振动问题。

当弹簧振子受到外力作用时，其位移与时间的关系可以用一元二次函数来描述。

通过求解一元二次函数的最值，可以得到弹簧振子的最大位移和最大速度等物理量。

二、使用一元二次函数解决最值问题的方法1.建立函数模型要根据物理问题的特点建立合适的一元二次函数模型。

对于自由落体运动问题，可以通过分析自由落体运动的公式，建立物体下落位移与时间的关系的一元二次函数模型。

2.求解最值接下来，可以通过一元二次函数的性质和求最值的方法来解决物理问题中的最值问题。

对于一元二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），其最值可以通过以下公式来求解：最大值为y_max=-Δ/4a最小值为y_min=-Δ/4a其中，Δ=b^2-4ac称为一元二次函数的判别式，根据判别式的正负可以判断函数的最值。

3.解释物理现象要将最值问题的解释与物理现象相结合，得出符合物理意义的结论。

对于自由落体运动的最值问题，可以根据最值的解析结果来分析自由落体运动的最大高度、最大速度等物理量。

三、结语一元二次函数模型在初中物理中有着重要的应用，特别是在解决最值问题时，可以很好地描述物理现象并求解相关物理量。

大学物理教学思想和数学方法论文（合集16篇）-其他范文篇1：大学物理教学思想和数学方法论文大学物理教学思想和数学方法论文1理想模型思想理想模型思想是研究物理学问题的最基本思想，是为了突出问题的主要性质，忽略了次要因素的影响，用一种理想化的客体来代替客观事物，从而使问题变得简单的方法。

质点是物理中建立的第一个理想化模型：当物体自身的线度大小远小于两物体之间的距离，而且物体的大小、形状对所研究问题的影响忽略不计时，都可以把它们视为质点。

能否将物体视为一个质点，要以具体的研究问题来决定，而与物体本身无关。

原子、分子虽小，一旦涉及到自身的内部结构就不可以把它们视为质点；地球虽大，如果不涉及自身结构及自转，就可以将它看做质点。

理想模型的学习能够使学生认识到建立模型是物理学也是自然科学中的一个基本研究思想，若不这样做就无法将复杂事物简单化，问题很难得到解决[2]；同时这种理想化的抽象又不是凭主观想象的，有一定的限定条件和限定范围，是以客观事实（当问题本身的次要因素对所要研究的问题影响不大，可以忽略不考虑）为基础的。

通过在教学过程中渗透理想模型思想可以培养学生的思维概括能力，抓住事物的本质因素，掌握建立理想模型的条件和方法，当理想模型存在不足时，知道如何对其进行适当修正。

同时，为后续物理学中相关内容的学习打下良好的思维能力基础，如刚体模型、黑体模型、点电荷模型、原子模型等的建立与理解。

理想模型思想还能够应用到其他学科及社会生活中去。

例如，管理学中，对于一个具体的研究问题，对各方面的影响因素进行分析之后，忽略非本质因素的影响，建立一定的理想模型，通过相关的软件计算得到最终的结果。

因此，不管学生毕业之后从事什么工作，物理学中所体现的理想模型思想对他们今后的工作都具有一定的指导作用。

2微积分思想和方法大学物理与中学物理的一个重要区别是微积分思想在解决物理问题中的广泛应用。

中学物理采用的.是初等数学的方法，而大学物理涉及到的主要是微积分的思想，这对于刚步入大学开始学习物理的学生来说是难以适应的。

物理中最值问题的处理方法极值问题是教学的难点，原因是极值问题往往是动态的过程分析，如何把动态转化为静态是处理此类问题的关键。

数学方法：避开物理上的动态过程分析，转化为数学上的动态分析；就是研究动态过程中的任一静态，利用物理知识表示出所求量和自变量（角度或时间等）的函数关系式，利用数学求最值的思想进行求解。

物理方法：从物理过程的动态分析入手，利用敏锐的洞察力或模型分析直接挖掘出极值状态的特殊条件，然后进行静态处理。

下面通过例题比较说明这两种方法。

例1．平直公路上一汽车A 以20m/s 的速度行驶，现发现前方200m 处有一货车B 以6m/s的速度同向匀速行驶，A 车司机立即以最大加速度0.5m/s 2刹车，求A 、B 车间的最小距离。

数学方法：写出经过时间t ，A 、B 两车距离的表达式2225.014200)25.020(2006200t t t t t s s d A B +-=--+=-+=讨论其最值即可，即：4)28(25.042≥-+=t d所以当t=28s 时，A 、B 间的最小距离为4m物理方法：通过定性分析可得：共速前A 快，距离减小；共速后B 快，距离增大，所以共速时距离最小。

m as t A 3645.02620222202=⨯-=-=νν，m s B 1685.06206=-⨯=m s s d A B 4200min =-+=例2．如图1中O 点距离倾角为θ的斜面底端的距离为h ，在O 点和斜面间搭建一光滑斜槽，让小球从O 点从静止滑到斜面上，求下滑的最短时间。

数学方法：写出时间t 与斜槽和竖直夹角α的函数关系式 在∆OAB 中运用正弦定理：)]2(sin[)2sin(θπαπθπ---=-hOB解得：)cos(cos θαθ-=h OB∵αcos g a =，221at s = ∴)cos(cos cos 22θααθ-==g h a s t∵()θθαθαθcos )2cos(21)cos(cos +-=-g ∴当2θα=时，时间最短为：)cos 1(cos 4min θθ+=g h thＯA图1物理方法：模型套用，从圆最高点沿不同的光滑弦下滑到圆周上的时间为定值，且等于沿直径自由落体的时间。

浅析中学物理中的极值问题金坛市第四中学物理组张立军[内容摘要] 极值问题在高中物理中有极其广泛的应用，本方就中学物理中极值问题谈谈个人粗浅的看法。

[关键词] 浅析物理极值问题在中学物理教学中可以发现，数学和物理是两门相通的学科，随着知识的加深、从形象思维发展到逻辑思维，数学知识的应用也逐步增加，下面通过极值问题的讨论和研究，力图使广大中学物理同行在教学的同时，注意到数学知识的应用，帮助和培养应用数学解决问题的能力。

物理过程中，因变量y随着自变量x的变化，研究在整个变化的过程中或变化过程的某个阶段上，因变量取值的最大、最小问题，实际上就是数学上的极值问题或最值问题。

有了物理量的变化规律，即有了一个函数式，我们就能应用数学上介绍的方法，求得因变量的极值或最值。

所以，研究物理学中的极值、最值问题，首先要得到一个函数式，然后，才能利用这函数式进行推算求解。

下面我们就几个问题来看极值问题的应用。

例题1、（静力学）如图1，重量为G的匀质球，半径为R，放在墙和AB杆之间，杆的A端和墙壁铰接，B端用水平绳子BC拉住，杆长为L ，其与墙的夹角为α，若不计杆重，问α为何值时绳子拉力最小？解：研究对象为AB 杆，将重力G 沿两个作用方向分解：N 为球对AB 杆的作用力，Q根据矢量关系和几何关系求得N=G/sinαAD=R/2tan α以A 为轴，根据有固守转动轴物体的平衡条件，AB 杆的平衡应满足下式T ．AC-N ．AD=0即 T ．Lcos α-αsin G ．2tan αR=0 所以 T=2tan sin cos αααl GR=()ααcos 1cos -l GR=()αα2cos cos -l GR------------------(1) 推导中用到了半角公式2tan α=ααsin cos 1-。

G 、R 、L 都是常量，自变量为α，因变量为T 。

根据题意，α可定为在0o 到90o 范围内取值。

G B显然，当（1）式中的分母取最大值时，T 便取得最小值，为此。

数学方法在求解物理最值问题中的妙用作者：华兴恒来源：《试题与研究·高考理综物理》2015年第02期在学习物理知识的过程中，我们经常会遇到一些求解物理量的最值问题。

有些同学看到此类问题就发怵，不知从何下手。

为此，下面向大家介绍几种我们很熟悉的数学方法在求解物理最值问题中的妙用，希望对提升同学们的解题能力和技巧有所帮助。

一、利用和为定值巧求最值若两个数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积最大。

图1【例1】如图1所示，有粗细均匀的细金属棒MN、PQ组成水平平行导轨，其长度MN=PQ=1m，间距为0.3m，MN、PQ导轨每米长的电阻为1Ω。

在导轨两端分别接有阻值均为1Ω的电阻R，另有阻值为0.5Ω的直金属导体ab放置在导轨上，且与导轨接触良好，无摩擦。

导体ab从MP端开始以速度v=1m/s向NQ端匀速运动，整个装置在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.1T。

求杆ab运动多长时间时，整个电路中释放的电功率最小？其最小值是多少？图2【解析】画出相应的等效电路图如图2所示。

设ab杆运动t时间电路中功率最小，因为ab杆做匀速运动，所以t时间运动的位移s=vt，则aMPb分支总电阻为：R1=ρ2s+R=2s+1；aNQb分支总电阻为：R2=2（L-s）ρ+R=3-2s。

故总电阻R总=r+R1R2R1+R2=0.5+（2s+1）（3-2s）4=5+4s-4s24。

因R1+R2=（2s+1）+（3-2s）=4Ω是定值，所以当R1=R2时，R1R2R1+R2有最大值，R 总也有最大值，即R1=R2=2Ω时，R总=r+R1R2R1+R2=0.5Ω+2×22+2Ω=1.5Ω，可得s=0.5m，所以t=sv=0.51s=0.5s，此时电功率P的最小值为：Pmin=E2R总=（BLv）2R总=（0.1×0.3×1）21.5=6×10-4W。

二、利用积为定值巧求最值若两个数的积为定值，则当这两个数相等时，它们的和最小。

物理力学求最值问题的常用方法概述及解释说明1. 引言1.1 概述物理力学是研究物体在力的作用下运动的学科，它是自然科学中最基础、最基本的学科之一。

在物理力学的研究过程中，求最值问题经常会出现并引起广泛关注。

求最值问题一直以来都是数学和物理领域中重要的研究方向之一。

通过求解最大值或最小值，可以找到使得某个函数取得极值时的变量取值情况，从而获得系统或者过程的优化解。

1.2 文章结构本文旨在概述和解释物理力学中常见的求最值问题的方法。

文章将分为五个部分进行探讨。

首先，在引言部分，我们将介绍文章所要涉及的主题以及相关背景知识。

其次，我们将在第二部分简要概述物理力学求最值问题的基本概念、最大和最小值的定义与性质，并介绍数学建模在物理力学研究中的应用。

接着，在第三部分，我们将对微积分法进行示例解析，包括极值点与拐点判定方法、高阶导数在求极值问题中的应用，并通过实例进行具体分析。

第四部分将介绍约束条件法的示例解析，包括约束条件下求最值问题的基本思路和拉格朗日乘数法在力学中的应用，并结合实例进行详细分析。

最后，在第五部分，我们将对已掌握的方法及其适用场景进行总结，并展望未来可能的研究方向。

1.3 目的本文的目的是为读者提供物理力学求最值问题常用方法的概述和解释说明。

通过阅读本文，读者将了解到微积分法和约束条件法这两种常用方法在求最值问题中的应用，并能够运用所学知识进行实际问题的解答。

此外，文章还将讨论不同方法在不同情境下的适用性，以及未来可能开展的相关研究方向，为读者提供更深入探索该领域的启示和引导。

2. 物理力学求最值问题的常用方法概述2.1 求最值问题的基本概念在物理力学中，求最值问题是指通过数学方法确定某个物理量在特定情境下所能达到的最大或最小值。

这些问题通常涉及力、速度、加速度、位移等物理量的变化与相互关系。

2.2 最大值和最小值的定义与性质在数学中，一个函数可能具有多个局部极大值或局部极小值，并且还可能存在全局极大值或全局极小值。

“数学极值法”在物理问题中的妙用应用数学知识处理物理问题的能力，是物理教学培养学生五个方面能力中的重要一个.其中，数学求极值的方法在解决物理问题时被广泛应用.现就高中物理解题过程中常遇到的几种数学求极值的方法归纳如下，以期同广大同仁进行交流. 1.关于 θθcos sin b a Y += 的应用 )sin(cos sin 22ϕθθθ++=+=b a b a Y 且ϕtg =ab.要使Y 有最大值， 需1)sin(=+ϕθ, 即︒=+90ϕθ.例1.如图1所示，质量为m 的物块放置在水平地面上，物块与地面的动摩擦因数为μ，要使小物块沿水平面匀速运动，θ为何值时，F 有最小值？是多少？解：以m 为研究对象， 受力分析如右图： m 匀速运动时：mgF F F F N N =+=θμθsin cos)sin(1mgsin cos mg 2ϕθμμθμθμ++=+=F ,μϕ1=tg . 当 2min 1mg F 1arctan 22μμμπϕπθ+=-=-=时，. 2.关于c bx axY ++=2的应用根据二次函数的特点：0>a 时， 图象开口向上，Y 有最小值; 0<a 时，图象开口向下，Y 有最大值.且当abx 2-=时，Y 有最值. 例2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车汽车以2/3s m 的速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以s m /6的速度匀速驶来，从后面赶过汽车.试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此距离是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t 秒两车相距最远，则有：6)2(2323621222+--=-=-=∆t t t at t v s 自由二次函数的极值条件知：s t 2=时，s ∆最大，最大值为m 6图 1F NF3．关于判别式0≥∆的应用要使方程02=++c bx ax 有解，须满足0≥∆.例3 质点从A 点由静止出发沿直线运动到B 点停止，在这段时间内，物体可以做匀速运动，也可以做加速度为a 的匀变速运动，要使质点从A 到B 运动的时间最短，质点应如何运动已知？最短时间是多少？已知A 、B 间的距离为s .解析：质点从A 到B 最简单的运动形式为：先做匀加速，再做匀速，最后做匀减速. 设质点从A 到B 运动的总时间为t ，做匀加速的时间为1t ，做匀减速运动的时间为3t ，则做匀速直线运动的时间为31t t t --根据题意有：31t t = ①)(21213112321t t t at at at s --++=② 由①②两式得： 0121=+-s att at ③ 要使③式有解，须满足0≥∆ 即 04)(2≥-as at 得ast 2≥ 即t 的最小值为：a st 2= 带入③得ast t ==31 即物体先做匀加速直线运动后做匀 减速直线运动.4．关于定和求积原理的应用两数和为常数，当两数相等时其乘积最大.由)0,0(,2)(2>>+≤y x y x xy ，若P y x =+（定值），则当y x =时：x 、y 的乘积有极大值.例5．已知Ω=21R ，Ω=32R ，Ω=53R 电源电动势V 6=ε，电源内阻 Ω=5.0γ.问：变阻器滑动片在何处时，电源发热功率最小？解析：设电源发热功率为P ，干路电流为I 据γ⋅=2I P ， 可知：I 最小时，P 最小.外R I +=γε ①32132x 1)()R R R R R R R R R x ++-+⋅+=（外 ② 根据定和求积原理可知：当x x R R R R R -+=+321时，I 有最小值. 即Ω=-+=32132R R R R x 时，I 的最小值为A I 2min =得：W P 2min = 5．关于定积求和原理的应用两数乘积为常数时，两数相等时，其和值最小. 由xy y x 2≥+， 若常数）(k xy =， 则x y =时，x 与y 的和最小.例6：一个连同装备总质量为M 的宇航员，在距离飞船S 处与飞船处于相对静止状态，他准备对太空中的哈勃望远镜进行维修.宇航员背着装有质量为0m 的2O 贮气筒，筒内有一个可以使2O 以速度v 喷出的喷嘴，宇航员维修完毕后，必须向反方向释放2O ，才能回到飞船，同时又必须保留一部分2O 供途中呼吸之用，宇航员的耗氧率为Q (kg/s).若不考虑喷出2O 对质量的影响，求：为了使总耗氧量最低，应该一次喷出多少氧气？解析：以飞船为参照物，设喷出质量m 的氧气时，宇航员获得'v 的速度，则由动量守 恒可知：0)('=--mv v m M因不考虑喷出2O 对质量的影响，所以有：Mmvv ='宇航员返回时间： mv Ms vs t =='宇航员返回过程中呼吸用氧mvQMsQt m =='故总耗氧量为mvQMsm m m +=+'因： 定值）(v QMs mv QMs m=，故当mvQMsm =时耗氧量最少 则总耗氧量最少为vQMs26.关于求导法求函数极限的应用一般地，当函数)(x f y =在0x 连续时，判别)(0x f 是极大（小）值的方法是：（1）如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么，)(0x f 是极大值. （2）如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么，)(0x f 是极小值. 例7 如图所示．一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m 的a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释放．当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度为θ．下列结论正确的是 ( ) A ．θ＝90° B ．θ＝45°C ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小D ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大解析：由机械能守恒以及圆周运动的相关知识可求得：当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度θ为090.设b 球的摆动半径为R ，当摆过角度θ时的速度为v ，对b 球由动能定理：221mv sin mgR =θ① 此时重力的瞬时功率为： θcos mgv p = ② 由① ②得： θθ2322cossin 2R g m p = ③对于函数θθ2cos sin =y 其一阶导数为： )sin 31(cos cos sin 3cos 22'θθθθθ-=-=y 33arcsin0<<θ 0'>y 原函数单调递增 233arcsinπθ<< 0'<y 原函数单调递减 故当33arcsin =θ y 取极大值.即b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小.。