北京昌平2013-2014学年上学期高三年级期末考试数学试卷(理科)

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{1},{|0},M x N x x =<=>则M N I 等于 A.{}1x x < B. {}1x x >C. {}01x x <<D.∅2．下列函数中，在区间(0，π2)上是减函数的是 A ． cos y x = B ． sin y x = C ．2y x = D ． 21y x =+3. 在ABC ∆中，60,A AC BC ︒∠===，则B ∠等于A. 120oB. 90oC. 60oD. 45o4．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4侧（左）视图正（主）视图D ．435. “αβ=”是“sin sin αβ=”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥C. 若//αβ，//m α，则//m βD. 若//m α，//m β，则//αβ7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是A. 略有盈利B. 略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8. 已知数列}{n a 满足*134(1),n n a a n n ++=≥∈N ，且,91=a 其前n 项之和为n S ，则满足不等式1|6|40n S n --<成立的n 的最小值是 A.7 B.6 C.5 D.4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 计算：(1i)(12i)+-= .（i 为虚数单位） 10. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-是 ，如果输入4，那么输出的结果是 ．11. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60o，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|a b -= .13. 双曲线13:22=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22=与双曲线C 有相同的焦点，则=m _____________.14. 在下列函数①13,x y +=②,log 3x y =③21,y x =+④,sin x y =⑤cos()6y x π=+中，满足“对任意的1x ，2x ∈(0,1)，则1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分） 已知函数1()cos cos 2 1.2f x x x x =++ (I) 求函数()f x 的最小正周期；(II)当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I ）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]46532中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．17.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，252,16a a ==. （I ）求等比数列{}n a 的通项公式；（II ）若等差数列{}n b 中，1582,b a b a ==，求等差数列{}n b 的前n 项的和n S ，并求n S 的最大值.18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，=90DAC ∠o ，O 为AC 的中点，PO ⊥底面ABCD .（I ）求证：AD ⊥平面PAC ;（II ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得//OM 平面PAD ？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分） 已知函数() 1.xxf x e xe =-- （I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x= 其中1,0x x >-≠且，证明: ()g x ＜1.20. （本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为2，其四个顶点组成的菱形的面积是42，O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.（I ） 求椭圆C 的方程； （II ）求线段AB 长度的最小值； （III ）试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2015.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADDABBC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9. 3i - 10. 10 ； 4 11. 2 12. 2 13. 332; 4± 14. ① ③三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 31()sin 2cos 2122f x x x =++ ………… 4分 sin(2)16x π=++ ………… 6分所以22T π==π. ………… 7分 （Ⅱ）因为()sin(2)16f x x π=++， 02x π≤≤，所以2666x ππ7π≤+≤． …………9分所以当262x ππ+=即6x π=时，函数)(x f 的最大值是2. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意10(23456)1m m m m m ⨯++++=，0.005m =. ………3分 （II ）成绩落在[70,80)中的学生人数为20100.036⨯⨯=， 成绩落在[80,90)中的学生人数20100.024⨯⨯=成绩落在[90,100]中的学生人数20100.012⨯⨯=. ……………6分 （III ）设落在[80,90)中的学生为1234,,,a a a a ，落在[90,100]中的学生为12,b b ，则1121314111223242122343132414212{,,,,,,,,,,,,,,}a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b Ω=，基本事件个数为15=n ，设A ＝“此2人的成绩都在[80,90)”，则事件A 包含的基本事件数6m =， 所以事件A 发生概率62()155m P A n ===. ……………13分17.（本小题满分13分）解：（I ）在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为 252,16a a ==,所以 1412,16a q a q =⎧⎨=⎩得112a q =⎧⎨=⎩所以 数列{}n a 的通项公式是 12n n a -=. ……………5分（II ）在等差数列{}n b 中，设公差为d .因为 1582,b a b a ==,所以 1582=16,=2b a b a =⎧⎨=⎩ 1116,+7=2b b d =⎧⎨⎩ 1=16,=2b d ⎧⎨-⎩ ……………9分方法一 21(1)172n n n S b n d n n -=+=-+， 当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分 方法二由182n b n =-,当1820n b n =-≥,解得9n ≤,即980, 2.a a ==所以当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分18. （本小题满分14分） 证明：（I ）在ADC ∆中，=90.DAC AD AC ∠⊥o 因为，所以又因为 PO ABCD ⊥面，AD ABCD ⊂平面所以 PO AD ⊥. 又因为 =PO AC O PC AC PAC ⊂I 平面，、,所以AD PAC ⊥平面. ……………6分 （II ）存在.当M 为PB 中点时，OM//PAD 平面. ……………7分 证明：设PA AD 、的中点分别为E F 、，连结OF ME EF 、、,ACD O AC ∆在中，为的中点，所以1//,=2OF CD OF CD .PAB M E PB PA ∆在中，、为、的中点， 所以 1//,=2ME AB ME AB ,//=ME OF ME OF ，,所以 四边形OMEF 是平行四边形, 所以 //OM EF .因为 OM PAD ⊄平面，EF PAD ⊂平面，所以 //OM PAD 平面. ……………14分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）'(),xf x xe =- …………………2分 当(,0)x ∈-∞时，f (x )＞0，f (x )单调递增； …………………4分 当(0,)x ∈+∞时，f(x )＜0，f (x )单调递减． …………………6分x( , 0)-∞0 (0 , )+∞)(' x f＋ 0 － )(x f↗极大值↘ 所以f (x )的最大值为f (0)＝0．…………………7分DABC FEM OP（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x >时，()0,()0 1.f x g x <<< …………………9分 当10x -<<时，()1g x <等价于().f x x > 设()()h x f x x =-，则'()1xh x xe =--．当(1,0)x ∈-时，01,01,xx e <-<<<则01,xxe <-<从而当(1,0)x ∈-时，'()0h x <，()h x 在(1,0)-单调递减．…………………12分 当(1,0)x ∈-时，()(0)0,h x h >= 即()(0)0,()f x x h f x x ->=>所以， 故g (x )＜1． 综上，总有g (x )＜1．…………………14分20. （本小题满分13分）解：（I）由题意2c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得224,2a b ==.故椭圆C 的标准方程为22142y x +=. ……………3分 （II ）设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r，即0020+=x ty ， ……………4分解得002=-x t y ，又220024+=x y ， 所以22200||(2)()=-+-AB x y t=2200002(2)()-++x x y y =2220002044+++x x y y=2220002042(4)42--+++y y y y =2200284(04)2++<≤y y y ，……………5分因为22002084(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为……………7分（III ）直线AB 与圆222x y +=相切. ……………8分证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即0020x ty +=，解得002xt y =-. (9)分直线AB 的方程为00(2)2y ty t x x --=--， 即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………10分圆心O 到直线AB 的距离d =, ……………11分由220024y x +=，02x t y =-， 故d ===，所以 直线AB 与圆222x y +=相切. ……………13分。

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}(4)(2)0A x x x =-+=，{}|3B x x =≥，则AB 等于A. {2}-B. {3}C. {4}D. {2,4}-2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 22a b < B. 11a b> C. a b < D. 22a b >3. 执行如图所示的程序框图，输出a 的值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．324.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4D ．435. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，//m α，则//m βC. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥D. 若//m α，//m β，则//αβ6. 在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人7. 在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A ==则“60B =”是“b =A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁俯视图侧（左）视图正（主）视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 设复数12i z =-，则||z = .10. 5)21(x +的展开式中，2x 的系数是 .(用数字作答)11. 若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|-a b = .13. 已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 . 14. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求,x y 的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望.（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，… ,n x 的平均数.）17. （本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA中点，PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小；(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，请求出FQ 的长;若不存在，请说明理由.乙甲9 0 9x 2 1 5 y 8 6 0 2 018. (本小题满分13分）已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． ( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>> , 经过点P (1,(I) 求椭圆C 的方程；(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足112a =，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S ,2n n b a =，其中*n ∈N .(I) 求23a a +的值；(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III) 是否存在*()n n ∈N ，使得21241?2n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．12. 2 13. 3；22(2)3x y -+= 14.② ③ ④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()sin 222xf x x +=+⨯sin 2cos 21x x =++)14x π=++ ………… 5分所以 22T π==π，故()f x 的最小正周期为π. ………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以2444x ππ5π≤+≤． …………9分当242x ππ+=时，即8x π=时， …………11分所以)(x f 1. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；1(915101820)165x y =+++++=乙，得8y =．……………4分（II ）乙班整体水平高.或解： 1(912132026)165x =++++=甲， 2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，1(915181820)165x =++++=乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s =-+-+-+-+-==乙.因为22s s >甲乙，所以乙班的水平高. ……………7分 (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为ξ，则ξ＝27,28,30,31,35,38， 所以(P ξ1＝27)=9，(P ξ1＝28)=9，(P ξ2＝30)=9，(P ξ2＝31)=9，(P ξ1＝35)=9，(P ξ2＝38)=9.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为112212()272830313538999999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=32 . .……………13分17. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC 因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面 所以//DEF AC 平面 …………………4分(Ⅱ)如图以D .D xyz -5分则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),(1,1,0).P B C PB BC =-=-所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即0,0x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得,x xz =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得 11,x y z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以(1,1m = …………………7分因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量 所以2cos ,2n m n m n m⋅==⋅， 由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4π…………………9分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件. 由1(,0,22F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤， 整理得 1(,22Q λλ-，1(,22BQ λλ+=--…………………11分 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以 1sin |cos ,|||622BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅， …………………13分则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且||||FQ EF == …………………14分18. (本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+，由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分 （Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立， 则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分① 当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. (9)分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a =. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或 所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x =-+2221a x ax x-++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分②0a ≠时，令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分（i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分（ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-，所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. …………………13分19.（本小题满分14分）解：（I）由222221334a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①, 212244m y y k -=+………②………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-，得1212(2)(2)0x x y y --+=． 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③，得 225161204m m k -+=+， 解得65m =或2m =（舍）． 综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分方法二证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5. …………………7分（2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M . 由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=.2216(41)0k m ∆=-+>1228,41km x x k -+=+ ……① 21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=-1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分整理得 221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知 22121650,k km m ++=解得 62,.5m k m k =-=- （i ） 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分（ii ） 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6(,0)5 .…………………14分20. （本小题满分13分）解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分(II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-,12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数列. ……………7分(III)由 (II) 知1(2)n n b -=-，所以21212(2)2n n n b --=-=-.设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则， 又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++++112n a c c c =++++212n n =--+. 则由212412n n S b +-=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)x f x x x x =---≥，则'()()4ln 442x g x f x x ==--，'2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增 又因为(1)0,(3)0f f <=，所以仅存在唯一的3n =，使得212412n n S b +-=成立．……………13分。

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4） （4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 10+B ．10+C. 14+D. 14+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221aii i=-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________.（10）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.（11）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uu u r uuu r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;OFEDCBA② 坐标原点O与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,AB =在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图： 甲厂乙厂93 9 6 5 8 18 4 5 6 9 0 31 5 0 3 21 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分） 已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)gg g g；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．G BCEF昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）4 （10）22(5)16x y -+=（11） 3（12）4 （13）2; [-9,9] （14） 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f 2cos )cos 1x x x =-⋅+ 2cos 2x x -π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分 （16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC EC ACE 平面，翘所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III)解法一：在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG .在四棱锥E ABCD -中，,2AB CO AB CE ===， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^?因为,CG EO CG ACE 平面，^?所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO =…………………………………………… 14分 解法二：y由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C DBE -由已知,AB =设(0)CE a a =>，则(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a(,,0),,,0),(0,,),,,).2222O a a BD BE a EO a a uu u r uuruu u r =-=-=-设G 为线段EO 上一点，且(01)EGEOλλ=<<，则,),22EG EO a a a λλλλuuu r uu u r ==-,,(1)),22CG CE EO a a a λλλλuuu r uur uu u r =+=-…………………………..12分由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uuu r uu u r ，CG BE ^uu u r uur.所以，221(1)0,0,12a a λλλ解得，（）-+-==?， 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1.2EG EO =…………………… 14分 （17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分 （II ）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅====== 所以ξ的分布列为故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分 （18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分 此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得 …………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分 综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)解：（I ）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22 1.42x y +=……5分 （II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设AB P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y+=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m mk k+=++，化简得22212m k=+，经检验满足①式.………10分又点O到直线l的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l的方程为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为2. ………13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-…………………4分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m≤<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+…9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,M M b k k k k =++++=L123123123....M k k k M k a a a a ++++=++++L 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++123100()100a a a a =-+++++，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2013-2014学年上学期期末考试高三数学试卷班级： 姓名： 得分：一、选择题（每题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1、已知集合A=｛1,2,3,4｝，集合B=｛1,3,5｝，则A ∩B=（ ）A 、｛2｝B 、｛1,3｝C 、｛2,4,5｝D 、｛1,2,3,4,5｝2、函数 ）A 、{}12x x x ３或B 、{}12x x ＃C 、{}12x x x ３或D 、{}12x x x３或 3、等比数列｛n a ｝的各项均为正数，且48=4,=64a a ,这个等比数列的公比q 等于（）A 、12 B 、 C 、2 D 、44下列运算正确的是（ ）A 、236=x x xB 、-2=-6xC 、()235=x xD 、04=15、某几何体的三视图如下所示，则该几何体是（ ）A 、圆柱B 、圆锥C 、三棱柱D 、三棱锥6、当输入a 的值为1，b 的值为-3时，右边程序运行的结果是（ ）A 、1 INPUT a, bB 、-2 a=a+bC 、-3 PRINT aD 、2 END7、函数=2sin (2-)6y x p的最小正周期是（ ）A 、4pB 、2pC 、pD 、12p8、设直线经过点O(0,2)，且与圆22+=1x y 相切，则的斜率是（ ）A 、±1B 、12± C 、3± D 、±9、已知向量=(2,1),=(3,),a b l 且,a b ^ 则l =（ ）A 、—6B 、6C 、32D 、—3210、在△ABC 中，若a=7,b=3,c=8,则△ABC 的面积是（ ）A 、12B 、212C 、28 D、11、两条直线3x+2y+a=0与2x-3y+1=0的位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交但不垂直D 、与a 的值有关12、已知a ＞0, b ＞0,a+b=2,则14=+y a b 的最小值是（ ） A 、72 B 、4 C 、92D 、5 二、填空题（每小题5分，共20分）13、某单位有老年人28人，中年人有54人，青年人81人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为36的样本 ，用分层抽样方法分别从老年人、中年人、青年人中各取__——人，__________人，____________人。