河南省南阳六校2020-2021学年高二月考联考理科数学试题

【全国百强校】河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二下学期第四次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知31i z i -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1- C ．1 D ．22．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是（ ）A ．判断模型的拟合效果B ．对两个变量进行相关分析C ．给出两个分类变量有关系的可靠程度D ．估计预报变量的平均值3．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据得到样本的平均数3x =， 2.7y =，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ）A ．0.2 3.3y x =-+B ．0.4 1.5y x =+C ．2 3.3y x =-D ．28.6y x =-+4．已知某批电子产品的尺寸服从正态分布()1,4N ，从中随机取一件，其尺寸落在区间()3,5的概率为（附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,P X μσμσ-<<+=(22)0.9545)P X μσμσ-<<+=（ ） A ．0.3174 B ．0.2781 C ．0.1359 D ．0.0456 5．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．已知5112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A ．80-B ．40-C ．40D ．80 7．函数 ()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）A ．1055010C C ⋅ B ．10550102C C ⋅ C ．105250102C C A ⋅⋅ D ．55250452C C A ⋅⋅ 9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）A ．516B ．1132C ．1564 D ．1116 10．已知实数x ，y 满足()2ln 436326x y x y ex y +-+--≥+-，则x y +的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1- 11．一布袋中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ）A ．若9n =，则乙有必赢的策略B ．若7n =，则甲有必赢的策略C ．若6n =，则甲有必赢的策略D ．若4n =，则乙有必赢的策略12．已知函数()()),0x f x e g x a ==≠，若函数()y f x =的图象上存在点()00,P x y ，使得()y f x =在点()00,P x y 处的切线与()y g x =的图象也相切，则a的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(C ．(D ．e ⎤⎥⎦二、填空题13．100sin xdx π-=⎰⎰______ 14．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为__________．15．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．16．已知函数()()e 1,ln xf x xg x x kx =⋅-=+,且()()f x g x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立,则实数k 的最大值为______.三、解答题17．若二项式n +的展开式中的常数项为第5项. (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项；18．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：（1）女生都不相邻有多少种排法？（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？20．已知a ，b ，c 使等式()()()222211223 (112)n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对*n N ∈都成立，（1）猜测a ，b ，c 的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.21．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：相关系数公式()()n n i i i i x xy y x y nx y r ---==∑∑回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()111222111ˆn n i i i i i n n i i i x xy y x y nx y b xx x nx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.22．已知函数2()ln 2()f x x a x x a R =+-∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <且12()0f x mx -≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，进而可得结果. 【详解】因为3(3)(1)422 1(1)(1)2i i i iz ii i i--++====+ --+,所以2z i=-，故z的虚部为1-，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．C【解析】【分析】根据独立性检验的概念，即可作出判定，得到答案．【详解】对两个分类变量进行独立性检验目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度，故选C．【点睛】本题主要考查了独立性检验的概念及判定，其中熟记独立性检验的概念是判定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．3．A【解析】【分析】利用变量x与y负相关，排除正相关的选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可．【详解】解：因为变量x与y负相关，而B，C正相关，故排除选项B，C；因为回归直线方程经过样本中心， 把3x =代入0.2 3.3y x =-+解得，0.23 3.3 2.7y y =-⨯+==故A 成立， 把3x =代入28.6y x =-+解得，238.6 2.6y y =-⨯+=≠，故D 不成立，故选A ．【点睛】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，是基础题．4．C【分析】由已知可得1,2μσ==，再由()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+求解． 【详解】解：由已知，得1,2μσ==，所以()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+0.95450.68270.13592-==． 故选C ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于简单题．5．A【解析】【分析】根据数学期望和方差的计算公式求得关于p 的函数关系式，根据函数单调性求得结果.【详解】()1101212222p p p E ξ-=⨯+⨯+⨯=- p ∴在()0,1内增大时，()E ξ减小()22211011121222222p p p p p D ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()221113114244p p p =--+=-++ p ∴在()0,1内增大时，()D ξ减小本题正确选项：A【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的计算，考查对于公式的掌握程度和计算能力. 6．D【分析】令1x =可得各项系数和，求出a ，根据二项展开式求出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的常数项和含x 的项与1a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭相乘，合并同类项即可求解展开式的常数项. 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +， 12a ∴+=1a551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与含x 的系数和， 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r ；令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式各项的系数和，二项展开式的通项公式，赋值法，属于中档题.7．A【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可判断函数图象；【详解】解：∵()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()()()221sin 1sin 11x x x e f x x x x e f e -⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为偶函数，其图像关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时， ()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ， 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题.8．A【分析】根据先分组，后分配的原则得到结果.【详解】 由题意，先分组，可得10550102C C ⋅，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有1052105501025010A =2C C C C ⋅⋅⋅. 故选A ．【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．9．C【分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果. 【详解】所有“重卦”共有：62种；恰有2个阳爻的情况有：26C 种∴恰有2个阳爻的概率为：26615264C p ==本题正确选项：C 【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题，属于基础题. 10．A 【分析】设m 4x 3y 6=+-，n x y 2=+-，得n lnm e m n 2-≥--，变形为n lnm m e n 2,(m 0)-≥-->，令()f m lnm m =-，()nh n e n 2=--，求导求最值得()()max min f m h n =,结合取等条件求出x,y 即可【详解】设m 4x 3y 6=+-，n x y 2=+-，则m n 3x 2y 4-=+-n lnm e m n 2-≥--，nlnm m e n 2,(m 0)-≥-->令()f m lnm m =-，f '(m)=11,0m-∴<m<1,f '(m)>0,;m>1, f '(m)<0,则()f m 在()0,1单调递增()1,∞+单调递减()()max f m f 11∴==-，()f m 1∴≤-令()nh n e n 2=--，()()()ne 1,0,0;0,0,h n n h n n h n =-∴>'<'<'>则()()h n ,0∞-单调递减，()0,∞+单调递增()()()min h n h 01h n 1∴==-∴≥-由题意()()f m h n m 1≥∴=，n 0=，436120x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，x 1∴=，y 1=,故x+y=2故选A本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题 11．A 【分析】乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解． 【详解】若9n =，则乙有必赢的策略．（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球． 所以若9n =，则乙有必赢的策略 所以选A 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，属于难题． 12．B 【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数()h t ，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得()h t 的最大值． 【详解】()()e ,xf xg x ==00(,e )x P x ，设切线与()y g x =的图象相切与点(,t()00','()x f x e g t ==由题意可得0000x xx e e e x t⎧=>⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，解得01x t =-所以01,0x t a t -==>令1(),0t h t t -=>则()111'()12t t t h t t ---=-=- 令'()0h t =，解得12t =当0t > 时，()0h t > 当102t <<时，()'0h t > ，函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 当12t < 时，()'0h t < ，函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 当t 从右侧趋近于0时，(0)h 趋近于12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭当t 趋近于+∞ 时，(0)h 趋近于0所以(a ∈ 所以选B 【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题． 13．22π-【分析】利用定积分的几何意义可求1⎰的值，再由微积分基本定理求得0sin xdx π⎰的值，从而可得结果.【详解】根据题意，12=⎰⎰，⎰等于半径为1的圆的面积的四分之一,为21144ππ⨯⨯=，所以10242ππ=⨯=⎰，()sin cos 2xdx x ππ=-=⎰，则10sin 22xdx ππ-=-⎰⎰；故答案为22π-．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解. 14．10或64. 【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出m 的所有可能的取值． 【详解】如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1， 则经过5次运算后得到的一定是2； 经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）； 经过2次运算后得到的是16； 经过1次运算后得到的是5或32； 所以开始时的数为10或64． 所以正整数m 的值为10或64． 故答案为10或64． 【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 15．66 【分析】根据题意，分3种情况讨论：①当A 、C 、E 种同一种植物，②当A 、C 、E 种二种植物，③当A 、C 、E 种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案． 【详解】根据题意，分3种情况讨论：①当A 、C 、E 种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法； ②当A 、C 、E 种二种植物，此时共有C 32×A 32×2×1×1=36种方法； ③当A 、C 、E 种三种植物，此时共有A 33×1×1×1=6种方法； 则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案； 故答案为66． 【点睛】本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 16．1 【解析】由题意可得ln 1e xx k x x ≤--对任意的()0,x ∞∈+恒成立,令()ln 1e x x h x x x=--,()2´2e ln x x x h x x+=,易知存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()´00h x =，且()h x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数,即函数的最小值为0()h x ,又()1e 11h =->,111e e 1e e h e e e ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭,因此0()1h x ≥,所以1k ≤，即实数k 的最大值为1. 点睛：不等式()()f x g x ≥恒成立问题的常用解法：（1）化不等式为()()()0h x f x g x =-≥，然后求()h x 的最小值，由这个最小值0≥可得参数范围．（2）利用参数分离法，化不等式为()()H k h x ≥，一般化为()k h x ≥（或()k h x ≤）然后求得()h x 的最大值max ()h x ，解不等式max ()()H k h x ≥，可得结论． 17．（1）10； （2）5615360x - . 【分析】（1）根据二项式的展开式的通项公式求出n 的值，（2）根据二项式的展开式的通项公式系数列不等式组，解得系数最大时的项数，再代入通项公式得结果. 【详解】(1)因为二项式的展开式的通项公式为1n rrr r nT C -+=，所以x 的指数为32n r r--+.又因为n+的展开式中的常数项为第五项， 所以4r =,且44032n --+=，解得n=10. (2)因为10110rrr r T C -+=，其系数为10102r r C-⋅.设第k+1(k N ∈)项的系数最大，则101910101011110102222k k k k k k k kC C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 化简得()2110,112,k k k k ⎧+≥-⎨-≥⎩即81133k ≤≤， 因为k N ∈,所以3k =，即第四项系数最大，且553766410215360T C xx --=⋅⋅=.【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式及其应用，考查综合分析与运算能力，属中档题. 18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①4960；②数学期望为6，方差为2.4. 【分析】（1）完成列联表，由列联表，得2258.333 6.6353K =≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人，偶尔或不用网购的有30103100⨯=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=，由题意100.6XB （，），由此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ． 【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得： ()2220050305070258.333 6.635120801001003K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人， 偶尔或不用网购的有30103100⨯=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：2137373104960c c c P c +==． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=， 将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6， 由题意()100.6XB ，，∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =⨯=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=． 【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（1）43200（2）60480（3）287280 【解析】试题分析：（1）不相邻排法，可使用插空法，先将男生排好，再将男生排入女生的空档中；（2）可以先将所有学生任意全排列，再将男生三人的多余排法除去；（3）分类，先考虑甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位与末位的． 试题解析：解：（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有545643200A A = (种)不同排法.（2）9人的所有排列方法有99A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，又对应甲、乙、丙只有 一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有993360480A A = (种)．（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有88A 种排法，若甲不在末位，则甲有17A 种排法，乙有17A 种排法，其余有77A 种排法，综上共有(88A +17A 17A 77A )＝ 287280(种)排法． （或者）99A -288A +77A =287280(种） （或者）99A -217A 77A -77A =287280(种)点睛：在处理排列问题时，要以两个原理为基础，确定好是分类还是分步，再用排列数表示每类或每步的个数，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常见思路解决．一般情况下，会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论，对于相邻问题，常用”捆绑法”；对于不相邻问题，常用”插空法”(特殊元素后考虑)，对于”在”与”不在”的问题，常常使用”直接法”或”排除法”(特殊元素先考虑)． 20．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）通过举例：1,2,3n =得到三元一次方程组求解并猜测a ，b ，c ；（2）代入a ，b ，c 的值，利用数学归纳法的常规步骤去证明等式成立即可. 【详解】(1)假设存在符合题意的常数a ，b ，c ， 在等式()()()222211223 (112)n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++中， 令1n =，得()146a b c =++ ① 令2n =，得()122422a b c =++②令3n =，得7093a b c =++③由①②③解得3,11,10a b c === ，于是， 对于1,2,3n =都有()()()222211223 (13111012)n n n n n n c +⋅+⋅+++=++（*）成立． (2)下面用数学归纳法证明：对一切正整数n ，（*）式都成立． （1）当1n =时，由上述知，（*）成立． （2）假设(1)n k k =≥时，（*）成立， 即()()()222211223 (13111012)k k k k k k k +⋅+⋅+++=++ 那么当1n k =+时，()()()22221223...112k k k k ⋅+⋅++++++ ()()()()()()()2221123111012317241212k k k k k k k k k k k +++=+++++=++ ()()()()212311111012k k k k ++⎡⎤=++++⎣⎦，由此可知，当1n k =+时，（*）式也成立．综上所述，当3,11,10a b c ===时题设的等式对于一切正整数n 都成立． 【点睛】使用数学归纳法的注意事项：由n k =到1n k =+时,除等式两边变化的项外还要利用n k=时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 21．(1)0.75r =>，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2) ˆ0.7 1.5y x =+，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克． 【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，由0.75r >可得可用线性回归模型拟合y 与X 的关系；（2）求出ˆb与ˆa 的值，得到线性回归方程，取12x =求得y 值得答案． 【详解】 （1）因为2456855x ++++==，3456755y ++++==．()()51(3)(2)(1)(1)00113214ii ix x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()52222221(3)(1)01320i ix x =-=-+-+++=∑，()52222221(2)(1)01210i i y y =-=-+-+++=∑．()()550.75iix x y y r --===>∑∑． ∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）()()()5152114ˆ0.720i iii ix x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx=-=-⨯=． ∴ˆ0.7 1.5yx =+． 当12x =时，ˆ0.712 1.59.9y=⨯+=． ∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克． 【点睛】本题主要考查线性相关系数的计算和它的数值大小对相关程度的影响的理解，线性回归方程的求法以及利用方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．22．（1）12a ≥时，增区间为(0,)+∞；0a ≤时，增区间为1()2++∞；102a <<时，增区间为1(0,)2-，1()2++∞；（2）3(,ln 2]2-∞--. 【分析】（1）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间；（2）由（1）知， 102a <<且121x x =+，122a x x ⋅=， ()120f x mx ≥-恒成立，可化为()12f x m x ≤1111112ln 1x x x x =-++-恒成立，利用导数求出函数1()12ln 1g x x x x x =-++-，1(0,)2x ∈的最小值即可得结果. 【详解】 （1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222'()22a x x a f x x x x-+=+-=， 令2220x x a -+=，484(12)a a ∆=-=-，1︒若12a ≥时，0∆≤，'()0f x ≥在(0,)+∞恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 2︒若12a <，>0∆，方程2220x x a -+=，两根为1x2x =， 当0a ≤时，20x >，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. 当102a <<时，1>0x ，20x >， 1(0,)x x ∈，'()0f x >，()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. 综上，12a ≥时，函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞， 0a ≤时，函数()f x单调递增区间为1()2++∞，102a <<时，函数()f x单调递增区间为，)+∞. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <时，102a <<且121x x =+，122a x x ⋅=，则1112a x x +=，()1121a x x =-，且1102x <<，2112x <<. 此时()120f x mx ≥-恒成立，可化为()()21111112121ln 21f x x x x x x m x x +--≤=- ()()11111111121ln 11x x x x x x x -+-+--=-1111112ln 1x x x x =-++-恒成立， 设1()12ln 1g x x x x x =-++-，1(0,)2x ∈， 2221(1)1'()122ln 2ln (1)(1)x g x x x x x --=-++-=+--2(2)2ln (1)x x x x -=+-， 因为102x <<，所以(2)0x x -<，2ln 0x <，所以)'(0g x <，故()g x 在1(0,)2单调递减， 13()ln 222g x g ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，所以实数m 的取值范围是3(,ln 2]2-∞--. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。

南阳一中2020-2021学年高二(下)第一次月考数学复习卷1一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，则9+8i 1+2i =( ) A. 5−2i B. 5+2i C. 6i D. 82. 已知数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，且a 1=1，a 2=32，则a 99=( )A. 49B. 50C. 51D. 523. 已知函数f(x)=x 3−3x 2+3x −1，则函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为( )A. 3x +y −5=0B. x −3y −5=0C. 3x −y −5=0D. 3x −y +5=04. 定义A ㊣B 、B ㊣C 、C ㊣D 、D ㊣A 的运算分别对应图中的(1)、(2)、(3)、(4).则图中的甲、乙的运算式可以表示为：( )A. B ㊣D 、C ㊣AB. B ㊣D 、A ㊣CC. D ㊣B 、C ㊣AD. D ㊣B 、A ㊣C 5. 若△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x=1，则f′(x 0)等于( ) A. 2 B. −2 C. 12 D. −12 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根为−b ，则a −b 的值为( )A. 1B. −1C. 0D. −27. 已知P 是正弦曲线y =sinx 上一点，过点P 作正弦曲线的切线，则切线倾斜角的范围是( )A. [0,π4]∪[3π4,π)．B. [0,π)．C. [π4,3π4]．D. [0,π4]∪[π2,3π4]． 8. 下面是关于复数z =1+i(i 为虚数单位)的四个命题：①z 对应的点在第一象限；②|z|=2；③z 2是纯虚数；④z >z.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知定义域为R 的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意x ∈[0,+∞)，均满足：xf′(x)>−2f(x).若g(x)=x 2f(x)，则不等式g(2x)<g(1−x)的解集是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,13)C. (−1,13)D. (−∞,−1)∪(13,+∞) 10. 下面使用类比推理恰当的是( ) A. “(a +b)c =ac +bc ”类推出“a+b c =a c +b c (c ≠0)” B. “若(a +b)c =ac +bc ”类推出“(a ⋅b)c =ac ⋅bc ”C. “若a ⋅3=b ⋅3，则a =b ”类推出“若a ⋅0=b ⋅0，则a =b ”D. “(ab)n =a n b n ”类推出“(a +b)n =a n +b n ”11. 若f(x)=xcosx ，则函数f(x)的导函数f′(x)等于( )A. 1−sinxB. x −sinxC. sinx +xcosxD. cosx −xsinx12. 从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，中得出第n 个等式是( )A. 1+2+3+⋯+n =(2n −1)2B. n +(n +1)+⋯+(2n −1)=(2n +1)2C. n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n −1)2D. n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n +1)2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在复平面内，复数5+4i i (i 为虚数单位)对应的点的坐标为______．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=__________.15. 平行四边形的一个顶点A 在平面a 内，其余顶点在a 的同侧，已知其中有两个顶点到a 的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a 的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为______ .(写出所有正确结论的编号)16. 在平面几何中，若正三角形的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2=14，类比上述命题，在空间中，若正四面体的内切球体积V 1，外接球体积为V 2，则V1V 2=__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列函数的导数：(1)y=2x；(x−1)2(2)y=(x2−x)e1−x18.当实数m 为何值时，z=(m2−2m−3)+(m2+3m+2)i．(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内．19.试用反证法，证明下列结论：已知0<a<1，则．20.已知曲线C：y=x3−3x，求过点P(1,−2)且与曲线C相切的直线方程．21.已知二次函数f(x)=ax2+ax−2b，其图象过点，且．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)设函数，求曲线ℎ(x)在x=1处的切线方程．22.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n【答案与解析】1.答案：A解析：解：9+8i1+2i =(9+8i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=255−105i=5−2i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：∵数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，且a1=1，a2=32，∴数列{a n}是首项a1=1，公差d=32−1=12的等差数列，∴a99=1+98×12=50．故选：B．由已知得数列{a n}是首项a1=1，公差d=32−1=12的等差数列，由此能求出a99．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3.答案：C解析：本题主要考查导数的几何意义与直线斜截式方程的知识点，属于基础题；求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求方程．解：求导函数，可得，，∵f(2)=1；∴y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y−1=3(x−2)，即3x−y−5=0；故选C．解析：本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系，属于中档题．根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系． 解：通过观察可知：A 在前表示向右的“−”在后表示向左的“−”，B 在前表示顺时针的“□”，再后表示逆时针的“□”，C 在前表示向上的“|”，在后表示向下的“|”，D 在前表示顺时针的“○”，在后表示逆时针的“○”．图中的(甲)、(乙)所对应的运算结果可能是D ㊣B 、C ㊣A ，故选C ．5.答案：C解析：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．先将△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x 进行化简变形，转化成导数的定义式，f ′(x 0)=△x →0limf(x 0+2△x)−f(x 0)2△x 即可解得．解：根据导数的定义可得，f ′(x 0)=△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)2△x =12△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x =12． 故选C ． 6.答案：A解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.利用韦达定理{x 1+x 2=−a x 1·x 2=b，又因为−b 是一个根，所以另一个根为−1，从而求出答案．解：利用韦达定理{x 1+x 2=−a x 1·x 2=b，又因为−b 是一个根，所以另一个根为−1 ∴−1−b =−a ，∴a =b +1，∴a −b =1．7.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，余弦函数的值域，斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题目．先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．解：y′=cosx∵cosx∈[−1,1]∴切线的斜率范围是[−1,1]∴倾斜角的范围是[0,π4]∪[3π4,π)．故选A．8.答案：B解析：本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．求出z的坐标判断①；求出|z|判断②；求得z2的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④．解：∵z=1+i，∴z对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故①正确；|z|=|z|=√2，故②错误；z2=(1+i)2=2i，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．∴其中真命题的个数为2个．故选B．9.答案：C解析：解：由题意可得函数g(x)=x2f(x)为R上的偶函数，∵当x>0时，xf′(x)>−2f(x)，故x2f′(x)+2xf(x)>0，∴g′(x)=(x2f(x))′=2xf(x)+x2f′(x)>0，又g′(0)=0，∴g(x)=x2f(x)在[0,+∞)上单调递增，∵不等式g(2x)<g(1−x)，∴|2x|<|1−x|，两边平方得4x2<1−2x+x2，即(x+1)(3x−1)<0，解得−1<x<13．故选：C由题意和乘积的导数可得偶函数g(x)=x2f(x)在R上单调递增，可化原不等式为|2x|<|1−x|，解之可得．本题考查导数的基本运算，考查利用导数研究函数单调性，考查函数奇偶性的定义，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查类比推理，其中熟练掌握各种运算性质，是解答本题的关键．解：A中“若(a+b)c=ac+bc类比推出a+bc =ac+bc(c≠0)结论正确；B中若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a⋅b)c=ac⋅bc”，结论不正确；C中“若a⋅3=b⋅3，则a=b”类推出“若a⋅0=b⋅0，则a=b”，结论不正确；D中“(ab)n=a n b n”类推出“(a+b)n=a n+b n”，结论不正确．故选A．11.答案：D解析：解：f(x)=xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)=cosx−xsinx，故选：D根据导数的运算法则计算即可．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．12.答案：C解析：本题主要考查了合情推理，属于基础题．解：观察等式可知，等号的右边为对应奇数的平方，等号的左边分别是以n开始的2n−1个数的和，所以第n个等式n+(n+1)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2，故选C．13.答案：(4,−5)解析：本题考查复数代数形式的四则运算，以及复数的代数表示法及其几何意义。

2020年秋期六校第一次联考高二年级数学参考答案一、选择题ACABDC ADBABD．二、填空题13、82014、215、 i16、38三、解答题17、解(1)设数列{a n}的公差为d，{b n}的公比为q， (1)2＝b1q＝3，3＝b1q2＝91＝1，＝3.∴{b n}的通项公式b n＝b1q n－1＝3n－1， (3)又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，...). (5)(2)设数列{c n}的前n项和为S n.∵c n＝a n＋b n＝2n－1＋3n－1， (6)∴S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×（1－3n）1－3＝2×（n＋1）n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.即数列{c n}的前n项和为n2＋3n－12 (10)18、(1)证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b (2)由正弦定理得sin A＋sin C＝2sinB (4)∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) (6)(2)解由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ， (8)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34.即cos B ＝34.………………1220、解：（1）∵a =3、b =5、c =7∴角C 最大。

由余弦定理得：215327532cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ac c b a C ，又角C 为ABC ∆内角，∴C =1200.………………4(2)在ABC ∆中，B ac S sin 21=∵acb c a B B B 2cos ,1cos sin 22222-+==+且∴22222)2(-121cos -121sin 21acb c a ac B ac B ac S -+===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41b c a c a ，即证。

绝密★启用前河南省南阳市A类重点高中六校联考2020-2021学年高二年级下学期第一次阶段检测联合考试数学(理)试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：选修2－2,2－3,4－4,4－5。

第I卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.2i ii2i+-+的虚部为A.－125B.－125i C.45D.45i2.(1－5x)5展开式中的第2项为A.－25xB.25xC.－25D.250x23.某植物种子的每百颗的发芽颗数y和温度x(单位：℃)的散点图如图所示,根据散点图,在0℃至24℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽颗数y和温度x 的回归方程类型的是A.y＝bx＋aB.y＝be x＋aC.y＝bsinx＋aD.y＝bx2＋a4.在极坐标系中,方程ρ2－(1＋cosθ)ρ＋cosθ＝0表示A.两条直线B.两个圆C.一条直线和一个圆D.一条射线和一个圆5.已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.84,超过15岁的概率为0.21。

那么在该地区内,一只寿命超过10岁的猫,寿命超过15岁的概率为A.0.21B.0.25C.0.45D.0.636.已知定义在R 上的函数f(x)恰有3个极值点,则f(x)的导函数的图象可能为7.在18个村庄中有8个村庄交通不便,现从中任意选9个村庄,用X 表示这9个村庄中交通不便的村庄个数,则91828120C ⨯＝ A.P(X ＝1) B.P(X ＝2) C.P(X ＝3) D.P(X ＝4)8.若函数f(x)＝(x 2－1)(x －2)2(x －4)3,则曲线y ＝f(x)在点(1,0)处的切线斜率为A.－27B.27C.－54D.549.现有下而四个命题： ①若z ＝2－3i,则|z ＋i|＝2②若X ～N(1,4),P(1<X<3)＝m,则P(X<－1)＝0.5－m ；③如果今天是2021年6月22日(星期二),那么两百天后是星期六；④若数列{a n }满足a 1＝3,a n ＋1＋n 2＝2a n ＋2n ＋1,则由数学归纳法可证明a n ＝n 2＋2n 。

河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则n a 等于( )A ．22n +B ．24n +C ．21nD ．23n -2．已知ABC ∆的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为( )．A ．24-B ．2 C ．23D ．2-3．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )A ．10,45,60b A C ===B ．6,5,60a c B ===C ．7,5,60a b A ===D ．14,16,45a b A ===4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，520S =，则10a =( )A ．16B ．19C ．22D ．255．等比数列{}n a 的各项均为正数，且562918a a a a +=，则3132310log log log a a a +++的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．325log +6．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，若1a =，321c b -=，则角B 为( )A ．6π B ．65π C ．3π D ．566ππ或7．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若222,44b a c S =+-=，则ABC∆外接圆的半径为( )A 2B ．2C ．2D ．48．为了测量河对岸两地A 、B 之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD ，测得CD =a 米，再测得∠ACD =90°，∠BCD =30°，∠ADC =45°，∠CDB =105°，据此计算A 、B 两地之间的距离是( ) A ．6a B ．62a C ．(31)a +D ．3a9．在中，，BC 边上的高等于,则A ．B ．C ．D ．10．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是 ，第二行共有二项是122,2，第三行共有三项是3452,2,2 ，依此类推第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是2m ，则m=（ ） A ．105 B ．109C ．110D ．21511．在ABC ∆中，60B ∠=︒，3AC =，则2BC AB -的最大值为（）A ．22B ．23C ．2D ．不存在12．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知在等差数列中，首项为20，公差是整数，从第8项开始为负项，则公差为______．14．已知在ABC ∆中，三个内角为,,A B C ，sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是______三角形.15．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，则AD 的长为______16．将边长分别为()*1,2,3,,,n n ∈N 的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为(1),(2),(3),,(),f f f f n ，则()f n =_________，前n 个阴影部分图形的面积的平均值为__________．三、解答题（共70分）17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c A +=.（1）求C ；（2）若2a =，AB 边上的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积.18．（12分）已知数列{}n a 满足1a a =，()*121n n a a n N +=+∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{}1n a +是等比数列，并求通项公式n a .19．（12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且232cos cos a c bA B-=. （1）若5sin b B =，求a ； （2）若6a =， ABC ∆的面积为5，求b c +.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．21．（12分）已知()1221*0,0,nn n n n n u a ab a b ab a b b n ---+>>=++++∈N .（1）当2a =，3b =时，求n u ； （2）若a b =，求数列{}n u 的前n 项和n S .22．（12分）已知递增数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝3，4S n ﹣4n +1＝a n 2，设b n 11n n a a +=（n ∈N *)且数列{b n }的前n 项和为T n（Ⅰ)求证：数列{a n }为等差数列； （Ⅱ)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n 23+•（﹣1)n +1恒成立，求实数λ的取值范围．高二数学月考2答案1-5AADDB 6-12AAB DBDC 13．14．等腰或直角 15．65123- 16．41n -21n17．（1）由正弦定理得sin 2sin 2sin cos +=A B C A ，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，则sin 2sin cos 0A A C +=， 又因为sin 0A ≠，所以1cos 2C =-，(0,)C π∈， 所以23C π=；……………………………………………………5分 （2）由题意知，在ABC 中，有||2==CB a ，因为2CA CBCE +=则||2||2+==CA CB CE ，平方得22||2||4CA CA CB CB +⋅+=，所以224cos443++=b b π，即2b =，……………………………………………8分 所以ABC 的面积为12sin 323==S bc π.……………………………………………10分18．（1）数列{}n a 是等差数列，1a a =，()*121n n a a n N +=+∈，设数列的公差为d ，则()11n n a a n d a a nd +=+-=+，，()211a nd a n d ∴+=+-+⎡⎤⎣⎦，即21nd d a =--对*n N ∈成立，0,1d a ∴==-.1n a a ∴==-，所以()*1n a n N =-∈.………………………………………5分（2）2a =，()*121n n a a n N +=+∈，()()*1121n n a a n N +∴+=+∈.1130a +=≠，∴数列{}1n a +是以()11a +为首项，公比为2的等比数列.…………………………………10分()11111223n n n a a --∴+=+⋅=⋅，()1*321n n a n N -∴=⋅-∈.…………………………………………………12分 19．（1）由正弦定理得：2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C BA B A B--=⇒=， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，∴，∵sin 0C ≠，∴2cos 3A =，则sin 5A = ∵5sin bB =，∴由正弦定理得：5sin sin 3b a A B =⋅=………………………………………6分（2）∵ABC ∆1sin 2bc A =，得3bc =，∵a =22463b c bc +-=，∴()21063b c bc +-=，即()216b c +=，∵00b c >>，，∴4b c +=.…………………………………………………12分20．（1）3A π=；（2）sin 4C =（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈3A π∴=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin2sin222C C C++=整理可得：3sin C C=，即3sin6C C Cπ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭sin62Cπ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C Cππππ∈-∈-，所以,6446C Cππππ-==+sin sin()46Cππ=+=.21．（1）当2a=，3b=a时，()1221*22323233n n n n nnu n---=+⋅+⋅++⋅+∈N，两边除以2n，得213333122222n nnnu-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1111332112322321212n nn nnn nu++++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===---，因此，1132n nnu++=-；…………………5分（2）若a b=，则()1nnu n a=+，所以()232341nnS a a a n a=+++++，①当1a=时，()()32312nn nS n+=++++=；……………………………………7分当1a≠时，在①的两边同乘以a，得()23412341nnaS a a a n a+=+++++，与①式作差，得()()()()2311112111nn n nna aa S a a a a n a a n aa++--=++++-+=+-+-，所以()()()1211111n nna a n aaSa aa+-+=+----.综上，()()()()123,1211,0,111nn nn naSa aa n aa aa a+⎧+=⎪⎪=⎨--+⎪+>≠⎪--⎩.……………………………………12分22．（Ⅰ)证明：依题意，当n≥2时，由4S n﹣4n+1＝a n2，可得4S n﹣1﹣4(n﹣1)+1＝a n﹣12，两式相减，可得4a n ﹣4＝a n 2﹣a n ﹣12，化简整理，得(a n +a n ﹣1﹣2)(a n ﹣a n ﹣1﹣2)＝0， ∴a n +a n ﹣1﹣2＝0，或a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0， ∵数列{a n }是递增数列，∴a n ≥a n ﹣1，则a n +a n ﹣1≥2a n ﹣1≥2a 1＝2×3＝6，∴a n +a n ﹣1﹣2＝0不符合题意， ∴a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列．……………………………………5分 （Ⅱ)由（Ⅰ)知，a n ＝3+2•(n ﹣1)＝2n +1，n ∈N*，则b n ()()111121232n n a a n n +===++(112123n n -++)， 故T n ＝b 1+b 2+…+b n 12=(1135-)12+(1157-)12++(112123n n -++)12=(11111135572123n n -+-++-++)12=(11323n -+)()323n n =+，……………8分 将T n ()323n n =+代入不等式，可得λ•()323n n <+n 23+•（﹣1)n +1， 化简整理，得λ1n<(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]，构造数列{c n }：令c n 1n=(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]，则①当n 为奇数时，n +2为奇数，c n 1n =(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]1n = (2n +3)(3n +2)， c n +212n =+[2(n +2)+3][3(n +2)+2•(﹣1)n +3]12n =+ (2n +7)（3n +8)，c n +2﹣c n 12n =+(2n +7)(3n +8)1n-(2n +3)(3n +2)()()()()()()2738223322n n n n n n n n ++-+++=+()()212212n n n n +-=+，∵n 为奇数，∴n 2+2n ﹣1>0，∴c n +2﹣c n >0，即c n +2>c n ，∴数列{c n }的奇数项为单调递增数列，即c 1<c 3<c 5<… ②当n 为偶数时，n +2也为偶数，c n 1n =(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]1n =（2n +3)(3n ﹣2)， c n +212n =+[2(n +2)+3][3(n +2)+2•(﹣1)n +3]12n =+ (2n +7)(3n +4)，c n +2﹣c n 12n =+(2n +7)(3n +4)1n-(2n +3)(3n ﹣2)()212(1)2n n n +=>+0， 故数列{c n }的偶数项为单调递增数列，即c 2<c 4<c 6<…∵c1＝25，c2＝14，c3＝33，c4552=，∴λ<{c n}min＝c2＝14，∴实数λ的取值范围为(﹣∞，14)．……………………………………12分。

2020-2021学年河南省南阳市高二下学期阶段检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()51213i i z +=，则z =（ ）A ．15B ．12C ．1D ．5【答案】C 【分析】化简1251313z i =+，即得解. 【详解】因为13(512)125512131313i i i z i i -===++， 所以1z =． 故选：C2．已知函数2()6f x x =-，且()02f x '=，则0x =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【分析】依题意求出函数的导函数，再解方程即可；【详解】解：由题意可得()6f x '=-+，因为()0062f x '=-+=，所以0x = 故选：B3．已知x 为正数，随机变量ξ的分布列为则x =（ ） A ．19B ．112 C ．16D ．18【答案】C【分析】利用分布列的概率和为1，即可求解. 【详解】由分布列可知，321x x x ++=，得16x =． 故选：C4．下面给出的类比推理中（其中R 为实数集，C 为复数集），结论正确的是（ ）A ．由“已知,a b ∈R ，若a b =，则a b =±”类比推出“已知,a b C ∈，若a b =，则a b =±”B ．由“若直线a ，b ，c 满足//a b ，//b c ，则//a c ”类比推出“若向量a →，b →，c →满足//a b →→，//b c →→，则//a c →→”C ．由“已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >”类比推出“已知,a b C ∈，若0a b ->，则a b >”D ．由“平面向量a →满足22a a →→=”类比推出“空间向量a →满足22a a →→=” 【答案】D【分析】根据复数知识判断选项A ；根据平面向量知识判断选项B ；根据复数不一定可以比较大小判断C ；根据空间向量知识判断选项D ；【详解】在复数集C 中，若两个复数满足||||a b =，则只表示它们的模相等，a ，b 不一定相等或相反，所以A 不正确；当b →为零向量，a →，c →为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，所以B 不正确；在复数集C 中，例如2a i =+，1b i =+，此时10a b -=>，但a ，b 都是虚数，无法比较大小，所以C 不正确；平面向量或空间向量a →，均满足22a a →→=，所以D 正确． 故选：D.5．某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为（ ） A ．520.80.2⨯ B ．5527C 0.80.2⨯⨯C ．0.85D ．557C 0.8⨯【答案】B【分析】根据独立重复试验的概率计算公式直接计算出结果.【详解】根据独立重复试验的概率计算公式()()1n kkk nP X k C p p -==⋅-⋅可知：恰有5次投中的概率为55270.80.2P C =⨯⨯．故选：B.6．已知函数2()ln 21f x x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y --=C ．210x y +-=D ．240x y --=【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解切线的斜率，最后写出切线方程即可.【详解】因为()2ln 2f x x x x '=+-， 所以(1)121f '=-=-． 因为()11f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x +=--， 即0x y +=． 故选：A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数在切点处的取值为切线的斜率，这类问题需要注意题目中的关键信息，是在这个点处还是过这个点，注意区别对待.7．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则()|P B A =（ ） A ．1011 B ．56C ．12D ．512【答案】C【分析】根据已知条件先分析事件A 对应的情况数，然后分析事件,A B 同时发生的情况数，由此求解出()(),P A P AB 的值，再根据公式()()()P AB P B A P A =求解出结果.【详解】由题知，事件A 出现的情况有66630⨯-=种，事件A ，B 同时出现的情况有3515⨯=种，所以()1536P AB =，30()36P A =，()()()151302P AB P B A P A ===． 故选：C.8．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A ，B ，C 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B 说：“你的名次在C 之前．”对C 说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（ ） A ．108 B ．120 C ．144 D ．156【答案】A【分析】先选冠军有13C 种可能，最后一名有13C 种可能，再排剩下4个位置，即得解. 【详解】因为A ，B ，C 都没有得到冠军，所以从D ，E ，F 中选一个为冠军，有13C 种可能．因为C 不是最后一名，B 的名次又在C 之前，所以最后一名有13C 种可能，剩下4个位置．因为B ，C 定序，所以有442212 A A =种可能，所以6人的名次排列有3312108⨯⨯=种不同情况． 故选：A9．已知()272901291(21)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则2468a a a a +++=（ ） A ．10935 B ．5546 C ．5468 D ．5465【答案】D【分析】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，得02a =；令1t =，可得0129a a a a ++++；令1t =-，可得0129a a a a -++-，进而可得结果.【详解】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，则02a =． 令1t =，则012910935a a a a ++++=，令1t =-，则01291a a a a -++-=-，所以024********54672a a a a a -++++==， 所以246805467546725465a a a a a +++=-=-=． 故选：D.10．已知函数32()ln 2e f x x x x ax =-+-，若对任意的(0,)x ∈+∞，()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．)2e ,⎡+∞⎣【答案】A【分析】问题转化为22lnx a x ex x-++，令2()2lnx h x x ex x =-++，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a 的取值范围即可．【详解】2()()2lnxf xg x a x ex x⇔-++， 令2()2lnxh x x ex x=-++，则2211()222()lnx lnxh x x e x e x x --'=-++=--+， 当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， ()h x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()h x ∴的最大值为21()h e e e=+，则21a e e+，故选：A11．十九大报告提出实施乡村振兴战略，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．将这5名毕业生分配到该山区的A ，B ，C 三所小学，每所学校至少分配1人（ ）．A ．若甲不去A 小学，则共有120种分配方法B ．若甲、乙去同一所小学，则共有36种分配方法C ．若有一所小学分配了3人，则共有90种分配方法D ．共有120种分配方法 【答案】B【分析】A ．分析A 小学分别分配1,2,3人的分配方法数且甲不在A 小学，由此可计算出总的分配方法数；B ．分别考虑甲、乙所去的小学仅有2人，甲、乙所去的小学有3人，计算出对应的分配方法数再相加即可；C ．考虑将5人分成3，1，1三组，然后再将三组人分配给三所小学，计算出对应的分配方法数；D ．考虑5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，计算出总的分配方法数即可.【详解】5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，若A 小学安排1人且甲不在A 小学，则有()1322442456C C A C ⨯+=种分配方法，若A 小学安排2人且甲不在A 小学，则有21243236C C A =种分配方法， 若A 小学安排3人且甲不在A 小学，则有32428C A =种分配方法， 所以甲不去A 小学共有56368100++=种分配方法，所以A 错误；若甲、乙同去A ，当A 中仅有2人时，则将剩下3人分到B ，C 小学共有1223226C C A =种分配方法，当A 中有3人时，则将剩下3人平均分到A ，B ，C 三所小学共有336A =种分配方法，所以甲、乙去同一所小学共有()136636C +⋅=种分配方法，所以B 正确；若有一所小学分配了3人，先将5人分成3，1，1三组，再将三组人分配到三所小学，所以共有335360C A =种分配方法，所以C 错误； 由上根据部分平均分组可知一样共有311221352153132222150C C C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法，所以D 错误； 故选：B.12．现有11棵树径（绕树底部围一圈得到的周长）均不相等的国槐需要种植在新办公楼的前面，种成一排，若要求从中间往两边看时，树径都依次变小，则树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻的概率为（ ） A ．27B ．29C ．584D ．542【答案】D【分析】首先基本事件有510252C =，然后树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻有46230C =，进而根据概率公式即可求得结果.【详解】将树径从高到低的11棵树依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，则1号必须排在正中间，从其余10棵中任选5棵排在1号的左边，剩下的5棵树排在1号的右边，有510252C =种排法．当排名第五的5号排在最高的1号的左边时，从6，7，8，9，10，11中任选4棵排在5号的左边，其余五棵排在1号的右边，有4615C =种排法，同理当排名第五的5号排在最高的1号的右边时，也有15种排法．所以树径排第五的那棵树和树径排第一的那棵树相邻的概率为30525242=． 故选：D.二、填空题13．已知z 为纯虚数，若()()12z i ++在复平面内对应的点在直线0x y -=上，则z =________．【答案】13i【分析】根据z 为纯虚数设()z ai a R =∈，由此计算出()()12z i ++并将其对应的点的坐标代入0x y -=，由此求解出a 的值，则z 可知.【详解】设()z ai a R =∈，则()()()()()1212221z i ai i a a i ++=++=-++． 因为()221a a i -++对应的点为()2,21a a -+，所以221a a -=+，解得13a =，故13z i =．故答案为：13i .14．在()622y x y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+的展开式中，34x y 的系数为________．【答案】58-【分析】求出62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出系数.【详解】因为62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为61612rr r rr T C x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以34x y 的系数为4343661152228C C ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：58-.15．已知函数ln ,1,()1(7),14x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若21x x >且()()12f x f x =，则21x x -的最小值是________． 【答案】118ln 2-【分析】首先画出函数的图象，由()()12f x f x t ==，解出12,x x ，并将21x x -转化为关于t 的函数，利用导数求函数的最小值. 【详解】作出函数()f x 的大致图象如图所示，设()()12f x f x t ==，则02t ≤<．由()()11174f x x t =+=，可得147x t =-；由()22ln f x x t ==，可得2t x e =． 令21()47tg t x x e t =-=-+，其中02t ≤<，则()4t g t e '=-．由()0g t '=，得2ln 2t =．当02ln 2t ≤<时，()0g t '<，则()g t 在[0,2ln 2)上单调递减； 当2ln 22t <<时，()0g t '>，则()g t 在[2ln 2,2]上单调递增． 所以min ()(2ln 2)118ln 2g t g ==-．即21x x -的最小值为118ln 2-． 故答案为：118ln 2-【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点，利用导数求函数的最值的综合问题，属于中档题型，本题的关键是结合函数的图象，得到t 的取值范围，并得到147x t =-，2tx e =.三、双空题16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22,，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a a a ++++=________．【答案】92 336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n na n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++的结果. 【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯， 32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n na a n n -=++++-=-，即(31)2n na n =-，所以892a =．又312n a n n -=， 所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯=．四、解答题17．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利．为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础，在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家农产品加工厂加工同一种农产品．已知食品安全监管部门随机抽检了两个加工厂生产的产品各100件，在抽取的200件产品中，根据检测结果将它们分为A ，B ，C 三个等级，A ，B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表（表一）所示．（表一）（表二）在相关政策的扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），若从抽取的100件乙产品中选取2件，求刚好1件合格品，1件次品的概率；（2）用频率代替概率，从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，求甲抽到的合格产品件数比乙多的概率．【答案】（1）填表见解析；1633；（2）2150．【分析】（1）结合表（一）完成列联表即可，由排列组合可得古典型概率；（2）依题意可得，从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．进而可得结果. 【详解】（1）22⨯列联表如下因为100件乙产品中合格品60件，次品40件，所以所求概率为11604021001633C C C =．（2）因为用频率近似概率，所以从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．因为12333(1)1448P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，239(2)416P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，234(0)1525P Y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，123312(1)15525P Y C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以349491221()8251625162550P A =⨯+⨯+⨯=．18．已知函数23215()6132f x a x ax x =-++在2x =处取得极大值．（1）求a ；（2）求经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率． 【答案】（1）1a =；（2）6或2116． 【分析】（1）由题意可知0a ≠，求出函数的导函数，令()0f x '=，即可求出参数的值，还需判断函数的单调性进行检验；（2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，求出函数的导函数，设切点为()()00,x f x ，表示出切线方程，最后将点()0,1代入切线方程，求出0x ，即可得解；【详解】解：（1）由题意可知0a ≠，22()56(2)(3)f x a x ax ax ax '=-+=--． 令()0f x '=，得2x a =或3x a=． 当0a >时，23a a<，则22a =，得1a =，所以()(2)(3)f x x x '=--，所以当()(),23,x ∈-∞+∞时()0f x '>，()2,3x ∈时()0f x '<，即()f x 的单调递增区间是(,2)-∞和(3,)+∞，单调递减区间是()2,3， 当2x =时()f x 取得极大值，满足题意； 当0a <时，320a a<<，显然不合题意．故1a =． （2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，则(0)1f =，2()56f x x x '=-+．设切点为()()00,x f x ，则()200056f x x x '=-+，所以切线方程为()()32200000015615632y x x x x x x x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，将点()0,1代入，得320025032x x -=，所以00x =，或0154x =．因为(0)6f '=，1521416f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率为6或2116． 19．某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X 的分布列． 【答案】（1）415；（2）答案见解析． 【分析】（1）利用古典概型计算公式可得：甲选排球的概率，乙未选排球的概率，再利用相互独立概率计算公式即可求出结果；（2）首先求出X 的可能取值，然后求出丙选排球的概率，进而求出对应概率，即可列出分布列.【详解】解：（1）设A 表示事件“甲选排球”，B 表示事件“乙选排球”，则12232()3C P A C ==，24353()5C P B C ==．因为事件A ，B 相互独立，所以甲选排球且乙未选排球的概率234()()()13515P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭．（2）设C 表示事件“丙选排球”，则24353()5C P C C ==．X 的可能取值为0，1，2，3．1224(0)35575P X ==⨯⨯=；2221321234(1)35535535515P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；23222313311(2)35535535525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；2336(3)35525P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为20．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A ，B ，C 三大类，其中A 类有3个项目，每项需花费2小时，B 类有3个项目，每项需花费3小时，C 类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择机会均等．（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X 小时，求X 的分布列． 【答案】（1）928；（2）答案见解析． 【分析】（1）在三类项目中各选一个有111332C C C 种选法，总的选法数有38C 种，两者相除即可求得所求概率；（2）先分析X 的可取值，对于每一个X 的取值，利用该值对应的选法数除以总的选法数即可求得对应概率，由此可得X 的分布列. 【详解】解：（1）记事件M 为在三类中各选1个项目则111332389()28C C C P M C ==，所以小张在三类中各选1个项目的概率为928． （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8，9，则2123383(4)56C C P X C ===；21212332389(5)56C C C C P X C +===； 111323333819(6)56C C C C P X C +===； 212132333815(7)56C C C C P X C +===； 2133389(8)56C C P X C ===；33381(9)56C P X C ===．所以分布列如下表所示：21．已知数列{}n a ，{}n b 满足16a =，2154a =，12n n n a b a ++=，1n n n n n b a b +=+．（1）证明：{}n n a b 为常数数列，且13n n a a +>>．（2）设数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：499n nS <+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先利用递推关系，两式相乘证明{}n n a b 为常数数列，进而得到9n nb a =， 通过基本不等式证明3n a >，接着证明10n n a a +-<即可； （2）利用13n n a a +<<，放缩得到()2211994n n a a +-<-，进而得到121111349n n b -⎛⎫≤⨯+⎪⎝⎭， 最后求和证明不等式即可. 【详解】证明：（1）因为1122n n n nn n n n n na b a b a b a b a b +++=⨯=+， 所以数列{}n n a b 为常数数列，因为16a =，2154a =，且1122a b a +=，所以132b =，故119n n a b a b ==，9n nb a =． 易知0n a >，则11932n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当3n a =时取等号）．因为163a =≠，所以3n a >．因为21902nn n na a a a +--=<，所以13n n a a +<<． （2）由()281n n a b =，得221181n n a b =， 因为13n n a a +<<，所以()222121811182744n n n n a a a a +⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭， 则()2211994n n a a +-<-， 所以()1122111992744n n na a --⎛⎫⎛⎫-≤-=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1212794n na -⎛⎫≤⨯+ ⎪⎝⎭，所以122111181349n n n a b -⎛⎫=≤⨯+ ⎪⎝⎭． 当1n =时，211441999b =<+； 当2n ≥时，11111111144113449399914nn n n S n n -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭<++++=⨯+<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，故499n n S <+． 【点睛】本题主要考查数列不等式的证明，在处理中要用到不等式的放缩，这类问题有一定的难度，适当的进行放缩是解决问题的关键，在备考中要多总结提高. 22．已知函数2()2e 1x f x ax =-+．（1）若()f x 在(0,)+∞上不单调，求a 的取值范围．（2）若()f x 在区间(0,)+∞上存在极大值M ，证明：1M a <+． 【答案】（1）(,)e +∞；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数的导函数()2x e f x x a x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，再令()xe g x x =，利用导数说明其单调性与最小值，即可求出参数a 的取值范围．（2）由（1）可知a e >，令()()h x f x ='，利用导数说明()f x '的单调性，即可得到存在0(0,1)x ∈，使得()00f x '=，从而得到当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：()()22x xe f x e ax x a x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．令()xe g x x =，则2(1)()x x e g x x -'=．当01x <<时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故min ()(1)g x g e ==．因为()f x 在(0,)+∞上不单调，即()0f x '=在(0,)+∞有变号零点，所以a e >，即a 的取值范围为(,)e +∞．（2）证明：由（1）可知当a e ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则不存在极大值．当a e >时，1ln a <．()()2x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，则()()2xh x e a '=-．令()0h x '=，则ln x a =．易知()f x '在()0,ln a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． 因为(0)20f '=>，(1)2()0f e a '=-<，所以存在0(0,1)x ∈，使得()()00020xf x e ax '=-=．则当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,1x x ∈时()0f x '<． 故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+．因为001x <<，所以0102x ->，且00122x x ≠-． 因为000x e ax -=，所以00xe ax =，则0220002121x M e ax ax ax =-+=-+2000122411411222x x x x a a a ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=⋅⋅-+<+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即1M a <+．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。