量子力学总复习.

)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。

四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。

北京化工大学本科生——量子力学复习题第一章绪论1. 基尔霍夫热辐射定律的使用条件是？使用条件是：热平衡辐射态，即单位时间，单位面积上发射和吸收的能量相等。

2. 假定一个人的体温37度，身高170厘米，直径为35厘米的圆柱体。

在平衡热辐射的前提下视为黑体。

问该人单位时间内向外界辐射的能量是多少？3．一个黑体在1000K时处在平衡热辐状态，在黑体表面单位时间、单位面积上发射的能量为多少？4．人们在地球表面探测到火星表面的温度为300K，人们利用何种波长的电磁波，观测火星时比较理想？5．请用量子观点解释光电效应实验中发现的规律。

6．一束单色x 射线射向某物质，人们在某一散射角ϕ进行观察时发现了波长变长的数值为2c λ，问人们观察ray x -散射的角度为多少？7．卢瑟福的原子有核模型和经典理论相矛盾的地方是什么？为什么？8．Bohr 的氢原子理论的三个假定。

9．求出氢原子玻尔理论的轨道半径的表达式。

10．求出氢原子处于定态时其能量表达式。

11．计算氢原子中电子由1-→n n 状态跃迁时谱线频率，证明∞→n 时这个频率恰好为电子在量子数为n 的圆轨道上绕转的频率。

12．根据德布罗意假定和驻波条件得出玻尔的轨道量子化假定。

13．假定地月距离为m 8104⨯，月亮围绕地球的轨道为圆形，Kg M 24106⨯=地，Kg M 22107⨯=月，2211107.6--⋅⋅⨯=Kg m N G 估算其德布罗意波长。

14．利用Bohr 理论讨论月亮围绕地球旋转时月亮的可能轨道半径和其能量。

15．设电子枪枪口直径为0.01cm ，对电子的加速电压为U =10KV ，求电子枪射出电子的横向不确定?∆V=x16．设原子线度为m1010-，求原子中电子速度的不确定量。

17．设原子核线度为m1510-，试判断，原子核是否由电子和质子所组成，一般情况下中等质量原子核的平均结合能小于8Mev。

（轻核和重核一般为2 Mev）18．试由不确定关系来估算电子等微观粒子的自旋不是电子的机械自转。

量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些p2量子的概念是如何引进的p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。

P12什么是波函数的几率解释p18态的迭加原理。

P22动量算符的定义。

P27写出单粒子薛定谔方程。

P27写出多粒子薛定谔方程。

P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。

P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程p32什么是束缚态p37什么情况下量子系统具有分立能级p37什么是基态p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。

P39写出线性谐振子的能级表达式。

P40写出波函数应满足的三个基本条件。

P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。

P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出p55 写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。

P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。

P60什么是角量子数、磁量子数写出相应的本征值表达式及其数值关系。

P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L η+= ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L η= 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。

对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离00.52A a =o( 3分) 113.6eV E =( 3分)可见光的能量不超过, 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。

( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。

P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。

P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义p63关于力学量与算符的关系的基本假定。

P83 写出力学量平均值的积分表达式。

P84 两个算符可对易的充要条件是什么p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。

P92什么是Q 表象p108久期方程带来的好处是什么p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。

1 《量子力学》练习题一练习题第1套一、基本概念及简要回答1. p - 和 p- 是否相等？为什么？2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？ φψ； )()(t t φψ； w v u λ； w Fu ˆ。

3.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。

4．为什么既不能把ψ波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把ψ波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？5. 设ˆˆA A +=，ˆˆB B +=，ˆˆ0A B ⎡⎤≠⎣⎦，。

试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。

(1)1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i=- ; (2)ˆˆˆG AB = ; (3)ˆˆˆC A iB =+ ; (4)ˆˆˆD A B =-。

二．质量为m 的粒子处于一维谐振子势场()()0,2121>=k kx x V 的基态， 若弹性系数k 突然变成k 2，即势场变成()22kx x V =，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场()x V 2基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)三．已知二维谐振子的哈密顿算符为()22220212ˆˆy x p H ++=μωμ，在对其施加微扰xy Wˆλ-=后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0+=第一激发态能量至一级修正。

提示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ，其中， μωα=，而n ϕ为线谐振子的第n 个本征矢。

四. 已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 五． 一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。

六． 质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的几率分布及平均值。

量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。

2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。

3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。

4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。

5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。

若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。

6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。

7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。

8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。

9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。

10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。

11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。

量⼦⼒学复习题量⼦⼒学复习题(2013)⼀、填空题1. 在空间发现粒⼦的概率密度为_________；概率流密度为_______________。

2. 波尔的量⼦化条件为。

3. 坐标和动量的测不准关系是___________________________。

4. 德布罗意关系为。

5. 对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为________________，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为__________________。

6. ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

7.σ为泡利算符，2σ= ，2,z σσ??=?? ，,x y σσ?= 。

8. 波函数的统计解释为。

9. 隧道效应是指__________________________________。

10. 波函数的标准化条件为。

11. ()(,)nlm nl lm R r Y ψθ?=为氢原⼦波函数，,,n l m 的取值范围为。

12. 表⽰⼒学量的算符应满⾜的两个性质是。

13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 _____________________。

14. 厄⽶算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。

15.[],x x p = ，,y x L L ??=?? ，[],x L y = 。

16. 在z σ表象中，x σ的矩阵表⽰为，x σ的本征值为，对应的本征⽮为。

17. 若两⼒学量,A B 有共同本征函数完全集，则[],A B = 。

18. ⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。

19. 在定态的条件下，守恒的⼒学量是。

20. 原⼦电偶极跃迁的选择定则为。

21. 设体系处在|ψ?态，在该态下测量F 有确定值λ，则表⽰该⼒学量的算符?F与态⽮量|ψ?的关系为。

22. 轨道磁矩与轨道⾓动量的关系为，⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系为。

1.爱因斯坦关系是什么？什么是波粒二象性？答：爱因斯坦关系：⎪⎩⎪⎨⎧========k n n h n c h n c E p h hv Eλπλνπω22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就是说光具有波粒二象性。

2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么？ 答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化3.波尔理论的内容是什么？波尔氢原子理论的局限性是什么？ 答：波尔理论：（1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。

出于定态时，原子不发生电磁辐射。

（2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式12E E hv -=决定（3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件： n r m = υ 局限性：（1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；（3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。

4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？答：类氢体系量子化能级的表示：()22202442nZ e E n πεμ-= 波数与光谱项的关系 ,4,5.3,3,5.2,121ˆ22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n R v5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证？ 答：索莫菲量子化条件是nh q p =⎰d空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。

、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因？ 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系）碱金属的选择定则：1,0,1±=∆±=∆j l碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。

《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。

2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。

意义：解决了黑体辐射问题。

3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。

意义：解释了光电效应。

【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。

②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。

（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。

6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。

7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。

（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。

9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。

10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。