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量⼦⼒学复习提纲`2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲要点之⼀1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。
这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。
4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν波⽮K由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。
5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义）；。
7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学基本概念复习要点量子力学基本概念复习要点1.波函数的性质完整描述微观粒子的状态概率密度几率流密度波函数的归一化重要例子: 德布罗意平面波能够描述自由粒子的状态2.薛定谔方程描述了状态随时间的变化3.定态概念定态的性质(定态下的概率密度和几率流密度)4.定态薛定谔方程（能量本征方程）的求解（无限深势阱问题）定解条件（波函数的三大标准条件、周期性条件）5.书上常见力学量的算符形式（在坐标或动量表象下，坐标算符、动量算符、动能算符、势能算符、角动量算符、哈密顿算符等等）不是所有算符都有经典对应（例如自旋算符）6.算符本征态、本征值的概念、物理含义（量子力学基本假定P56）7.厄米算符的定义、算符是否为厄米算符的判断证明（PPT第三章第一节相关例题）厄米算符的本征值8.熟练掌握氢原子的状态、能级的性质，三个量子数（n、l、m）的物理含义及它们之间的关系。
简并度的计算结合氢原子能级公式解决能量跃迁问题9.掌握厄米算符本征函数的正交归一性以及有关定理的证明常见本征函数的正交归一式10.厄米算符本征函数构成完备系波函数展开系数的物理含义（量子力学基本假定P84）会计算力学量的平均值、可能值和相应的概率（典型例题P102 3.6 3.9 PPT上有关例题）11.会计算两个算符之间的对易关系算符对易的物理含义（掌握有关定理并会证明）、书上常见算符的对易式不对易式和测不准关系式之间的关系（典型例题PPT 讲义例题例一、例三）12.知道表象变换的含义态的列矩阵表示知道矩阵元的含义13.算符的矩阵表示（矩阵元，厄米矩阵、自身表象下矩阵形式）14.知道幺正变换的定义及它在表象变换中所起的作用（态的变换和算符的变换），知道并会证明其性质（不改变量子力学的规律, 例如迹、本征值）15.常见本征矢封闭性和正交归一性的狄拉克符号表示法16.应用微扰论求解简单的微扰问题（典型例题P173 5.3，幻灯片例题）适用条件（以氢原子为例）数学要求：常用的简单积分公式和积分方法（分部积分法、换元法）常用的三角函数公式（倍、半、和角公式等等）。
量子力学复习提纲一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为),(t rψ=ψ，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻t ，在),,(z y x 附近体积元dxdydz 内发现粒子（体系）的几率为dxdydz t r 2|),(|ψ。
对波函数，要认识一下几个问题： 1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此),(t r ψ和),(t r Cψ描述的是同一个几率波。
这导致波函数总有一个不确定的常数因子。
（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数C ，使1||2=ψ?τd C不过这样选择的常数C ，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数C ，叫归一化常数。
（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如自由粒子平面波函数r p i e r=2/3)2(1)(πψ 粒子的位置本征函数)()(0r r r-=δψ2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。
即=ψ2||有限值。
但实际上，只要波函数满足=ψτd 2||有限就可以了。
例如对粒子位置本征函数就是这样。
而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。
这也是允许的。
（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。
)()()](2[222x E x x V dx d ψψμ=+- 因此，如果)(x V 是x 的连续函数，则)(x ψ和dxd ψ必为x 的连续函数。
如果><=ax V a x Vx V 21)(，其中21,V V 是常数，且)(12V V -有限，则波函数及其一阶导数连续。
证明：将薛定谔方程在a x =邻域积分，得0)(])([2)0()0(2l i m''=-?→?=--+?+-dx x E x V a a a a ψμψψεε所以，)('x ψ连续，从而)(x ψ也连续。
量子力学期末考试复习重点、复习提纲量子力学期末考试复习重点、复习提纲第一章绪论1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。
3、掌握并会应用德布罗意公式。
4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。
第二章波函数和薛定谔方程1、掌握、区别及计算概率密度和概率2、掌握可积波函数归一化的方法3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加4、掌握概率流密度矢量5、理解定态的概念和特点6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级7、掌握线性谐振子的能级8、定性掌握隧道效应的概念及应用。
第三章量子力学中的力学量1、会算符的基本计算2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符。
3、了解波函数归一化的两种方法4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值，本征方程6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式（分立谱和连续谱）11、理解本征函数的完全性，掌握波函数按某力学量的本征函数展开（分立谱），会求展开系数，理解展开系数的意义。
12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性，能应用两公式计算期望值13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系，掌握角动量算符之间的对易关系。
14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易15、掌握不确定关系不等式。
第四章态和力学量的表象（4.1~4.3节）1、理解和掌握什么是表象2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。
3、理解态矢量和希尔伯特空间4、了解算符F在Q表象中的表示形式，算符在其自身表象中的表示形式。
1. 粒子的双缝实验的结论是什么？答：粒子具有波动性2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(22t r r V mt r t i →→→+∇-=∂∂ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是：)()](2[)(22→→→+∇-=r r V mr E ψψ3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？答：单值、连续、有限。
4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。
答：5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。
答：6. 什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。
答：当粒子射入势阱时，将发生反射和折射，当粒子的能量满足一定的条件时会使透222220,0(),ˆ,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3ˆ(2,2ˆ)n n n n nx x a U x x others H x E x n xx n a an E n P U x a H ψψπψπμμ<<⎧=⎨∞∈⎩=⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭==+={}222222221()2ˆ,()()()(),0,1,2,ˆ11(),0,1,2,2ˆ22n n nx nn n n x U x x H x E x x P Hx N H x en E n n αμωψμωψψωμα-=====+==+射系数T=1，这种现象就叫做共振穿透。
如上图所示，粒子在有限深势阱中，我们设222221)(2,2 o V E k E k -==μμ则透射系数l k k k k k k k T 222222122212221sin )(44-+= 当πn L k =2即022)(2V Ln E n +=πμ 时，1=T ，产生共振穿透。
7. 什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。
答：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。
金属电子冷发射和ɑ衰变等现象等都是隧道效应产生的，还有基于两字隧道效应的扫描隧道显微镜。
8. 粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？答：共振穿透的物理意义是，入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射和透射，如粒子能量合适，使它在阱内波长'λ满足a n 2'=λ（a 为阱的宽度），则经过各次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使透射波波幅大增，从而出现共振透射。
而遂穿效应其实是粒子具有波动性的表现。
9. 什么叫做厄米算符？它有什么性质？答：如果算符∧F 满足ˆˆ()F dv F dv ψϕψϕ**=⎰⎰，则称算符∧F 为厄米算符。
厄米算符有三点性质，一是体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；二是厄米算符的本征值必为实数；三是厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
10. 量子力学中两个基本力学量是什么？在坐标表象中，用什么算符表示？答： 量子力学中两个基本力学量是坐标→r 和动量→p ，在坐标表象中，坐标→r 用坐标算符∧r表示，动量用动量算符∇-=∧2p 表示。
11. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？答：动量算符的本征函数是：)ex p()2(1)(23r p ir p ⋅=πψ ，其本征值为p 。
其只能归以为函数δ函数，即)()()('*'p p d r r pp -=⎰∞δτϕϕ。
12. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和本征值是什么？答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxz y yx z zy x L yp zp i y z z y L zp xp i z x xz L xp yp i x y y x ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭动量算符的本征函数和本征值如上。
13.在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？答222221sinˆsinDθθθθ⎛∂-+∂⎝⎡∂-⎢∂⎣∂⎛∂∂⎝2,))(,)(,)lmlmYm Yθϕθϕθϕ=l表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l＝０，１，２，……m则称为轨道角动量的磁量子数，对应于一个l的值，m可取(2l+1)个值，m=l,l-1,l-2,…,1,0,-1,-2,…,-l14.在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？答：答案如上15.量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归纳出5条结论。
答：量子力学基本假设Ⅰ描写物理系统的态函数的总体，构成一个希尔伯特空间。
系统的每一个动力学变量，由对这些态函数施加作用的一个厄米算符描写。
量子力学基本假设Ⅱ当系统处于状态ϕ时，对与算符ˆF对应的动力学变量进行足够多次的测量，得到的测量结果的算术平均值ˆF为：33ˆˆF d r Fdrϕϕϕϕ**=⎰⎰若ϕ已经归一化，则有：3ˆˆF F d r ϕϕ*=⎰结论：1、 对于一个微观体系其状态可以用波函数ϕ表示，ϕ的绝对值的平方描述了粒子的几率密度。
2、 当体系的势能表达式中不显含时间时，可用定态薛定谔方程描述其状态。
3、 体系的波函数要具备连续、单值、有限的特性。
4、 量子力学中表征力学量的算符都是厄米算符，其本征值都是实数。
5、 体系的波函数是两两正交，自归一算符本征函数。
16. 什么是对易算符？他们的本征函数有什么性质？什么是非对易算符？非对易算符能有共同的本征函数吗？答：若两算符∧A 和∧B 满足(∧A ，∧B )=0，则称算符∧A 和∧B 为对易算符，如果两个算符∧A 和∧B 为对易算符，则说明两个算符有共同的完备的本征函数组，在他们共同的本征函数描述的状态下，测量这两个算符对应的力学量，可以同时得到对应的本征值。
若两算符∧A 和∧B 不满足(∧A ，∧B )=0，则其不是对易算符，没有共同的本征函数。
如果两个力学量A 和B 的对易子不等于零，则说明两个算符没有共同的完备的本征函数组即不存在共同的本征态，使测量的两个力学量同时有确定值。
也就是说，我们不能同时准确得到他们对应的本征值。
17. 归纳学习过的对易算符和非对易算符。
答2ˆˆˆˆˆˆ,0,x y z xy L L i L L L L⎣⎦⎣⨯=⎡⎤⎡=⎣⎦⎣18. 什么叫做力学量的完全集合？答：要完全确定体系所处的状态（消除简并），需要有一组相互对易的力学量（即通过它们的本征值来完全确定体系所处的状态）。
这一组完全确定体系状态的力学量成为力学量的完．．．．．全集合．．．。
在完全集合中，力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等。
19. 用什么方式表示非对易算符在某一个状态下的不确定性？答：非对易算符力学量在同一个态中的不确定程度可以用下列方式表示：偏差：ˆˆˆˆˆˆ,FF F GG G ∆=-∆=-，方差：()()2222ˆˆˆˆˆ(),()F F F G G G ∆=-∆=-，均方偏差：()()2222ˆˆˆˆˆ(),()FF FG GG ∆=-∆=-均方根偏差（标准差）：()()22ˆˆˆˆ,F F FG G G ∆=-∆=-20. 坐标和动量的测不准原理是什么？答：坐标和动量没有共同的本征函数，故不能同时被准确确定。
由海森堡不确定关系：()()()()22222ˆˆˆ,,ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆ,,ˆˆˆˆ,1ˆˆˆ4F G i F FF GG G F G i F F F G GG FGκκκ⎡⎤=⎣⎦∆=-∆=-⎡⎤∆∆=⎣⎦∆=-∆=-∆∆≥对于一维坐标和动量算符：Assignment 1 for Quantum Mechanics1. 什么理论支持光的波动性？什么实验又体现了光的粒子性？光的粒子性表现在光子的能量和动量表达式中，请写出他们。
答：光的干涉和衍射理论都支持光的波动性；光电效应实验体现了光的粒子性；光子的能量和动量表达式为：→→====k n h p w h E λν,。
2. 什么实验表明了电子的波动性？什么实验说明微观粒子的波是几率幅波？答：电子双缝干涉实验表明了电子的波动性；氢原子核外电子的电子云实验说明了微观粒子的波是几率幅波。
3. 对于相干的光波，什么物理量是可以叠加的？对于非相干的光波，什么物理量是不可以叠加的？什么物理量是可以叠加的？答：对于相干的光波，其波函数是可以叠加的；对于非相干的光波，其波函数是不可以叠加的，其光强是可以叠加的。
4. 对于不相干的宏观粒子，几率可以相加吗？对于微观粒子，几率可以相加吗？几率幅可以相加吗？答：对于不相干的宏观粒子，几率可以叠加；对于不相干的微观粒子，几率可以叠加，几率幅不可以叠加。
5. 什么叫做波函数的强度？答：波函数振幅绝对值的平方。
6. 什么叫做几率密度？用什么表示？答：在时刻t ，在（x ，y ，z ）点附近单位体积内找到粒子的几率，用归一化后的波函数的平方表示，即2|),,,(|t z y x ψ。
7. 什么叫做波函数归一化？答：设在空间点（x ，y ，z ）处单位体积找到粒子的几率为几率密度，用),,,(t z y x w 表示，则2|),,,(|),,,(),,,(t z y x C d t z y x dW t z y x w φτ==，其中),,,(t z y x φ是描写离子状态的波函数，则对上式在全空间积分，得到粒子在全空间出现的几率，这个几率等于1，所以有⎰∞=1|),,,(|2τφd t z y x C ，若存在波函数),,,(),,,(t z y x C t z y x φψ=，则这两个波函数所描述的是同一个状态。
若⎰∞=1|),,,(|2τψd t z y x ，则称),,,(t z y x ψ为归一化波函数，上式称为归一化条件把),,,(t z y x φ换为),,,(t z y x ψ的步骤称为归一化，常数C 称为归一化常数。
8. 写出自由粒子波函数。
答：)(),(t E r p i p o o o eA t r -⋅→→→⋅=ψ9. 希尔伯特空间的基矢有和性质？在希尔伯特空间中，写出任意矢量的表达式。
答：∑==Nn nnC 1ψψ，希尔伯特空间的基矢是正交归一的。
10. 什么是平方可积函数？什么是束缚态？其波函数有何特点？答：波函数的平方在全空间的积分是有限值，即⎰∞<全空间dr r 2|)(|ψ，无限远处为零的波函数多描述的状态称为束缚态，其特点是当0)(,=∞→r r ψ。
11. “量子力学只能告诉我们粒子处于某一状态的几率（或几率幅）是多少，而不能告诉我们粒子何时处在这个状态上”，这句话对吗？ 答：对。
