完整word版证明圆的切线经典例题

关于圆的切线证明题2、切线的判定定理例1、已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．例2、已知如图所示，AB为⊙O的直径，C、D是直径AB 同侧圆周上两点，且，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.例3、（1）如图所示，△ABC内接于⊙O，如果过点A的直线AE和AC所成的角∠EAC=∠B，那么EA是⊙O的切线. 3、切线的性质及其推论例3如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB•的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．例5、如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点，求证：AD∥OC，.例6、已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：⊙O和CD相切.例7如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．例9如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．例10、已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O 的切线DE 交BC于点E.求证:BE=CE. 例11如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．练习：1、已知，AB为⊙O的直径，OC平行于弦AD，DC是⊙O的切线，求证：BC是圆的切线．2、如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：AC是⊙O的切线．B3、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，AC 为经过切点A 的直径，求证：BC ∥PO ．4、如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ． 求证：DE 是圆O 的切线．5、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，O 为AB 上一点，以O 为圆心、OB 长为半径的圆交BC 于D ，DE ⊥AC 交AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线．7、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，AC 是切线，A 为切点，BC 交⊙O 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．求证：AE=EC ．8、已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且DE ⊥AC ．求证：DE 是⊙O 的切线．9、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 的中点D 在⊙O 上，DE ⊥BC 于E ．求证：DE是⊙O的切线．10、（2008•黔东南州）如图，AB 为⊙O 的弦，若OA ⊥OD 且CD=BD ．求证：BD 是⊙O 的切线。

证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径，证垂直”2、作垂直,证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点,点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数;（2）求证：PA是⊙O的切线；（3)若PD＝5,求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E。

求证:DE是⊙O的切线;方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．且︒=E,点B是的中点∠30（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由;（2）求证CF=OC（2）若半圆O的半径为6，求DC的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图,AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上,且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线,交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。

类型二、无公共点:做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ,以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ,AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线;（2）求线段AC 的长．O D C F方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中,∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。

切线的判定证明题1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线．2、如图7-51，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．求证：AT是⊙O的切线．3．如右图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．4、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．5、如图，AN 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ．DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线．6、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，P 是⊙O 外一点，PA ⊥AB ，•弦BC ∥OP ，求证：PC 为⊙O 的切线7、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E 点，D 为BC 的中点。

求证：DE 与⊙O 相切。

8、 已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。

求证：EC 与⊙O 相切。

CDA9、 已知：△ABC 中AB=AC ，O 为BC 的中点，以O 为圆心的圆与AC 相切于点E ， 求证：AB 与⊙O 也相切。

10.已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 和CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ，求证：CD 与小圆相切。

11、已知：以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，，过D 作DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。

12、如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．14．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC 的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．15．已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，.21BC AD以△ABC 的中位线为直径作半圆O ，试确定BC 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论．16．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC于F ．求证：EF 与⊙O 相切．。

一、判定切线的方法：1、若有公共点，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；推算夹角等；（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线；（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线. （4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.2、若无公共点，则“作垂直，证d=r ”。

1．（2013，湖北孝感，）如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC ． 求证：CD 是⊙O 的切线；二、与圆有关的计算：（1）构造思想：A ）挖掘特殊角，构造特殊角的直角三角形. 典例1：如图，AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC =CEAM 的长．A举一反三1如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且AC =CD ， ∠ACD =120°.（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.B)构建矩形转化线段（常作的辅助线：遇直径连线段作直经所对的圆周角是直角） 构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径，或构造勾股定理模型；另外要转移角典例．如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D， ，过D 作AE 的垂线，F 为垂足. （1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若DF =3，⊙O 的半径为5，求tan BAC ∠的值.举一反三：．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点一点E ，EF ⊥AC 于点F. （1）求证：⊙O 与AC 相切； （2）若EF =3，BC =4，求tan A ∠的值.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是通过全等发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

1、・已知：如图，CB 是OO 的直径，BP 是和OO 相切于点B 的切线，OO 的弦AC 平行于OP. (1) 求证：AP 是OO 的切线.(2)若Z P=60°, PB=2cm,求 AC.2、ZABC 中，AB 二AC,以AB 为直径作G>0交BC 于D, AB=BC,以AB 为直径的€>0交AC 于D,作DE 丄BC 于E 。

(1)求证：DE 为G )O 的 作DG丄AB 交00于G,垂足为F, ZA=30° .AB=8,求DG 的长4、如图，AB 为00的直径，BC 切。

0于B, AC 交©0于P, CE 二BE, E 在BC 上.求证：PE 是G> 0的切线.5、如图，D 是OO 的直径CA 延长线上一点，点B 在。

0上， 且AB=AD=AO.求证：BD 是 的切线；6.如图，在△磁中，AB=AC f 以曲为直径的OO 分别交“、記于点0、总，点疋在血的为©O 的切线切线(2)7、如图9,直线n 切(DO 于A,点P 为直线n 上的一点，直线P0交。

0于C 、B, D 在线段AP 上，连接DB,且AD=DBo (1)判断DB 与€)0的位置关系，并说明理由。

(2)若AD=1, PB=BO,求 弦AC 的长8、如图10,直径AB=4, P 在AB 的延长线上，过P 作00切线，切点为C,连接AC 。

(1) 若ZCPA 二30° ,求PC 的长(2)若P 在AB 的延长线上运动，ZCPA 的平分线交AC 于点M,你认为 ZCMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出ZCMP 的值。

9•如图，MN 为。

0的切线，A 为切点，过点A 作AP 丄MN,交＜00的弦BC 于点P.若PA=2cm, PB=5cm, PC=3cm,求00 的直径.10. 已知：如图，同心圆6大圆的弦AB 二CD,且AB 是小圆的切线，切点为E.求证：CD 是 小圆的切线.11、如图，AB 为OO 的直径，AD 平分Z BAC 交OO 于点D,肛丄AC 交AC 的延长线于点E, FB 是OO 的切线交AD 的延长线于点F.延长线上，且攵跡=空/吨 求证：直线M 是00的切线;2(2)若DE=3, OO 的半径为5,求BF 的长.12如图，已知43是OO 的直径，点C 在OO±,过点C 的直线与A3的延长线交于点P,AC = PC, ZCOB = 2乙PCB ・(1)求证:13如图，A 是<00的直径EF 上的一点，半径0B 丄EF, BA 的延长线与。

1、.已知：如图，CB是⊙O的直径,BP是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证:AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°,PB=2cm，求AC．2、⊿ABC中,AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，D E⊥AC于E。

求证:DE为⊙O的切线3、、如图,AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D,作D E⊥BC于E.（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30°。

AB=8，求DG的长4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．APOB5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O的切线；6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且求证：直线是⊙0的切线；7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B,D在线段AP上，连接DB，且AD=DB.（1)判断DB与⊙O的位置关系，并说明理由。

（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。

(1）若∠CPA=30°，求PC的长(2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由;若不变化，求出∠CMP的值。

9．如图,MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN,交⊙O的弦BC于点P。

若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径．10．已知：如图,同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．11、如图,AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3,⊙O的半径为5，求BF的长。

切线长定理及弦切角练习题（一）填空1.已知：如图7- 143,直线BC切。

O于B点，AB=AC AD=BD那么/ A= ______ :團7-1432 .已知：如图7- 144,直线DC与O 0相切于点C,AB为。

0直径，AD丄DC于D, / DAC=28 狈忆CAB= ___ .3. 已知：直线AB与圆0切于B点，割线ACD与O 0交于C和D两点.BD = 160* , BC^60° ,则厶二 _______ .4. ______________ 已知：如图7- 145, PA切。

0于点A,割线PBC交O O于B和C两点，/ P=15，/ ABC=47，则/ C= .F5. ___________________________ 已知：如图7- 146,三角形ABC的/C=90，内切圆0与厶ABC的三边分别切于D, E, F 三点，/ DFE=56，那么/ B= .6. ________________________________________________________________________ 已知：如图7 —147」ABC内接于。

O, DC切。

0于C点，/仁/2,则厶ABC为__________________ 三角形.7. 已知：如图7—148，圆0为厶ABC外接圆，AB为直径，DC切O 0于C点，/ A=36°, 那么/ ACD=___.K) 7-140（二）选择8 .已知：△ ABC内接于O 0,Z ABC=25，/ ACB=75°,过A点作O 0的切线交BC的延长线于P,则/ APB等于A. 62.5 ° ;B. 55°;C. 50°;D. 40°.9. 已知：如图7 —149, PA PB切。

0于A, B两点，AC为直径，则图中与/ PAB相等的角的个数为A. 1 个；B. 2 个；C. 4 个；D. 5 个.10. 已知如图7—150,四边形ABC助圆内接四边形，AB是直径, BCM=38，那么/ ABC的度数是11. 已知如图7—151, PA切于点A, PCB交O O于C, B两点, BP 交于E,则图中与/ CAP相等的角的个数是A. 1 个；B. 2 个；C. 3 个；D. 4 个.（三）计算12. 已知：如图7—152, PT与O0切于C, AB为直径，/ BAC=60 / ADC 与Z PCA的度数.MN切O O于C点，ZA. 38°；B. 52°；C. 68D. 42PCB过点O, AE1[],AD为O0—弦.求图7-15013. 已知：如图7- 153, PA 切。

中考圆综合6种证明切线的模型【模型l：双切线】例1.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．练习1.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；．OE DCB A【模型2角平分线模型】例2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交⊙O 的切线BE 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；练习2.如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .（1）求证：ED 是O ⊙的切线；【模型3：弦切角】例3.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；．练习3.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CB D．（1）求证：CD是⊙O的切线；【模型4：等腰三角形】例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；练习4：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；【模型5：二倍角的使用】例5.如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；.练习5：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．(1)求证：∠ABD＝2∠CAB；．【模型6：垂直导角】.例6.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO 延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．，弦CF与OB交于点E，过点F，A分别练习6．如图，在⊙O中，AB为直径，OC AB作⊙O的切线交于点H，且HF与AB的延长线交于点D．（1）求证：DF=DE;．。

专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切.证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC.⌒⌒∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM⊥AC 于M求证：DM 与⊙O 相切.证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.⌒⌒∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二：连结OD ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且OA 2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD·OP ，.OCOPOD OC 又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD，△CFG 是Rt△∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt△CFG 的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵D F⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE⊥CD，E 为垂足.∵AC，BD 与⊙O 相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴.ODOCOB AC = ∵OA=OB， ∴.ODOCOA AC = 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F.∵AC，BD 与⊙O 相切，O∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS ）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.∵AC 与⊙O 相切，∴AC⊥AO.∵A C∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ，∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC∥BD，OA=OB ，CF=DF ，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴.CF CD OF ==21∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007----2010中考题汇编：（2007中考）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。