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从几个生活实例看数学建模及其应用[内容摘要] 本文通过几个生活中的事例，并运用数学建模，来分析问题，以便更方便的得出解决问题的方案。
从中通过将数学建模的抽象理论实例化，生动化，我们能够更清楚看出数学在生活中无处不在，无处不用。
[关键词] 数学建模生活数学数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，与生活是息息相关的。
作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学相当的意义。
在各种不同的领域中，人们一直在运用数学建模来描绘，刻画某种生活规律或者生活现象，以便找到其中解决问题的最佳方案或得到最佳结论。
例如，运用模拟近似法建模的方法，在社会科学，生物学，医学，经济些学等学科的实践中，来建立微分方程模型。
在这些领域中的一些现象的规律性仍是未知的，或者问题太过复杂，所以在实际应用中总要通过一些简化，近似的模型来与实际情况比对，从而更加容易的得出规律性。
本文通过数学模型在生活中运用的几个例子，来了解，探讨数学模型的相关知识。
一、数学模型的简介早在学习初等代数的时候，就已经碰到过数学模型了，例如在三个村庄之间建立一个粮仓，使其到三个村子的距离只和最短。
我们可以通过建立方程组以及线性规划来解决该问题。
当然，真实实际问题的数学建模通常要复杂得多，但是建立数学建模的基本内容已经包含在解决这类代数应用题的过程中了。
那就是：根据建立模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设；用字母表示待求的未知量；利用相应的物理或其他规律，列出数学式子；求出数学上的解答；用这个答案解释问题；最后用实际现象来验证结果。
一般来说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
二、数学模型的意义1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。
3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
鱼群再生产曲线及最大可持续捕获量一、摘要本文基于对鱼群再生产以及捕捞的可持续性假设，通过对鱼群生长以及捕捞规律的分析研究，利用微分——差分和数据拟合建立了鱼群生态系统的预测模型。
针对鱼群的再生产情况，我们分别对无阻滞增长和阻滞增长进行分析比较。
我们定义自然增长率r ，鱼的均重M ，对于无阻滞增长rt e y =，可知鱼群的再生产与时间成正比无限增长，该模型不符合现实。
针对阻滞增长模型，我们又假设其最大环境容纳量N ，根据)1(N y ry dt dy -=作出dtdy 与t 的图像，再根据t- e )1(1)(r N x N t y -+=, 用数值拟合方法得出S 形曲线。
原题的要求以一年为周期计算鱼群的再生产曲线，因此我们用周期作为时间段来研究鱼群的增长规律比用连续时间方便。
将)1(Ny ry dt dy -=转化为差分方程并得到)1(x bx y -=。
由图可知，鱼群第二年的产量围绕N x =上下波动。
针对鱼群的可持续捕捞情况，我们分别对固定量捕捞和固定努力量捕捞进行分析比较。
针对固定量捕捞，定义固定捕捞量H ，在题一的基础上，建立函数关系式H x bx y --=)1(并得出图像，观察图像可知固定量捕捞难以达到最大量和持续捕捞的平衡。
对固定努力量捕捞，定义了捕捞强度系数E,建立函数关系式Ex x bx y --=)1(，用数值拟合的方法作出)1(x bx y -=与Ex y =的图像，找出一个合适的捕捞率，并在此捕捞率的基础上找出最适鱼群数量。
当Ex y =与)1(x bx y -=交于顶点时，达到最大持续产量，此时的稳定平衡点为2N x =，即将捕捞后的鱼群产量控制在2N x =，可获得最大持续捕获量。
综上所述，我们认为我们建立的数学模型易于操作，对实践有着较好的指导意义。
关键词：再生产 微分——差分 S 形曲线 抛物线最大持续捕获量 阻滞增长模型二、问题重述鱼群是一种可再生资源，若目前鱼群的总数为x公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为y公斤。
数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：……………………………模型一33111M V k l K L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm 36.831.843.836.832.145.135.932.1质量/g 76548211627374821389652454胸围/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6t h i ng sin………………………………模型二22222M V k d K d L L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M 76548211627374821389652454模型一M 1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M 2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
水产养殖中的养殖规模与产值预测方法水产养殖作为一种重要的农业产业，对于国民经济的发展和人们的生活有着不可忽视的影响。
在水产养殖中，了解和预测养殖规模及产值是制定合理经营策略和决策的关键。
本文将探讨水产养殖中的养殖规模与产值预测方法，帮助养殖业者进行经营管理。
1. 养殖规模预测方法养殖规模预测是指对未来一定时期内水产养殖的规模进行合理的估计和预测。
在实际操作中，可以采用以下方法进行养殖规模的预测：1.1 经验法经验法是养殖业者根据自身多年的经验和观察，在一定程度上对养殖规模进行预测。
通过积累养殖经验，可以根据过往养殖规模和收益情况，结合市场需求和资源可利用情况，对未来的养殖规模作出合理估计。
然而，由于经验法依赖于个体经验，存在一定的主观性和局限性。
1.2 趋势法趋势法是指通过对历史数据进行趋势分析，推测未来养殖规模的变化趋势。
可以通过统计分析和回归预测等方法，分析养殖规模与相关因素（如市场需求、资源供给等）的关系，进而预测未来的养殖规模。
趋势法相对于经验法更加客观，但仍然依赖于历史数据的准确性和对趋势的合理判断。
1.3 模型法模型法是一种利用数学或经济模型来预测养殖规模的方法。
通过建立养殖规模与各种影响因素之间的数学模型，可以对未来的养殖规模进行预测和优化。
常用的模型包括生产函数模型、供需平衡模型等。
模型法具有科学性和客观性，但需要根据具体情况选择和建立适用的模型。
2. 产值预测方法产值预测是指对水产养殖产出的经济价值进行合理估计和预测。
在进行产值预测时，可以考虑以下方法：2.1 边际收益法边际收益法是通过对养殖单位产量增加所带来的额外收益进行预测。
通过计算每单位养殖规模（如每亩、每头等）所带来的产值，结合养殖规模的预测，可以估计未来的产值。
边际收益法直观简单，适用于规模较小的养殖场。
2.2 面积法面积法是根据水产养殖的实际面积和单位面积产值进行预测。
通过对养殖区域的面积扩大或缩小进行预测，结合单位面积产值的变化趋势，可以估计未来的产值。
数学模型作业六道题 作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV 。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：33111M V k l K L ρρ===……………………………模型一 利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量/g765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围/cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.622222M V k d K d L L ρρ===………………………………模型二利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
动物的繁殖与收获数学建模繁殖和收获是动物世界中最基本的生存活动，而在人类社会中，它们也是经济发展和物质生产的重要组成部分。
因此，动物的繁殖和收获问题一直受到人们的广泛关注和研究。
在这篇文章中，我们将探讨如何利用数学建模方法解决动物的繁殖和收获问题。
首先，让我们来看看动物的繁殖问题。
生物学家发现，动物的繁殖过程是一个复杂的生物学系统，它受到许多因素的影响，如环境、饲养条件、互相作用等。
如何预测一种动物的繁殖趋势和数量呢？这就需要用到数学建模的方法了。
首先，建立一个简单的数学模型，考虑到动物种群数量增长的主要因素包括出生率和死亡率，可以使用如下的微分方程来描述：$dN/dt = rN - dN$其中N表示动物种群的数量，r表示每个体单位时间内出生的平均数，d表示每个体单位时间内死亡的平均数。
这个微分方程使用了一阶线性微分方程的形式，它可以用基本的数学工具进行求解，例如欧拉方法、Runge-Kutta方法等。
通过模拟运行，我们可以预测各自平衡时种群数量的增减规律，以及系统的稳定性和灵敏性。
然而，在实际应用中，由于动物群体内部自身组成成份及其生态环境的复杂性，微分方程中可能需要设定多个参数，因此，需要精细处理动物种群中的生态因素，从而使模型更加真实准确。
接着，让我们考虑到养殖业中的动物收获问题。
在养殖业中，动物的收获是指对动物进行捕捞、捕猎、屠宰等活动，以取得相应的经济利益。
如何确定一个适当的收获量？这也需要用到数学建模的方法。
以渔业为例，渔业的经济效益主要取决于捕获的鱼类数量和价格，以及运输成本等，因此，可以建立一个简单的收获经济模型，它可以用来预测在不同条件下的最优捕捞量（例如，最大化不同的经济指标，如利润、产量等）。
在收获经济模型中，主要需要确定的参数包括捕捞成本、售价、捕捞时间、渔场规模等，以及考虑到其他因素的影响，比如，环境保护、渔业法规、还鱼和放流措施的操作等因素，这些因素需要在模型中进行适当的处理，以保证模型本身的可靠性。
养鱼优化问题【摘要】本文要解决的问题是以某池塘养殖鱼类为背景而提出的，养殖户为了获取较大的利润，必然会面对确定养殖方案的问题。
因此如何在限定的条件下找出最佳的出售时机以制定最优的养鱼方案成为了解决此问题的关键。
故我们将该问题归结为带有约束条件的优化问题。
投入的资金用于购买饲料可使鱼苗生长，并且重量随时间而增长直至长为成鱼。
而此种鱼的售价随鱼重的变化呈阶段性提高，既而应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大。
为了满足假设条件的要求，我们建立了以最大利润为目的的优化模型。
该问题中忽略了鱼的繁殖与死亡，则问题的核心就在于鱼苗生长过程中，鱼重与时间的关系以及投入的成本与时间和鱼重的关系要求解利润的大小，首先要进行数据分析，得出成本费用和销售价格的计算方法，利润即为销售价格减去成本费用；其次综合分析求解利润的目标函数，通过计算机对大量的数据进行处理，进而得出最优的养鱼方案。
对于该建模题中对于目标函数的求解，运用了dev-c++编译器进行编程和求解，使得问题的求解更加快捷和准确。
本文的主要特点在于，所用算法的效率十分显著。
在对原始数据仅做简单预处理的条件下，可求出最佳出售时机以及最大利润值。
另外，本文所建立的模型简单、所用算法比较清晰，易于程序实现。
关键词：养鱼利润养殖方案约束条件销售价格成本费用一、问题重述有一池塘，其水面面积约为100×1002m，用来养殖某种鱼类。
在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。
① 鱼的存活空间为1kg /2m ；② 每1kg 鱼每天需要的饲料为0.05kg ，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg ； ③ 鱼苗的价格忽略不计，每1kg 鱼苗大约有500条鱼；④ 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg ； ⑤ 池内鱼的繁殖与死亡均忽略； ⑥ 若q 为鱼重，则此种鱼的售价为：每条鱼重0.2到0.75公斤时，售价是6元/公斤； 每条鱼重0.75到1.5公斤时，售价是8元/公斤； 每条鱼重1.5到2公斤时，售价是10元/公斤； 重量小于0.2公斤的鱼不能上市，规定价格为0。
自贪睡和不守时，都将成为你工作和事业上的绊脚石，任何时候都一样。
不仅要学会准时，更要学会提前。
就如你坐车去某地，沿途的风景很美，你忍不住下车看一看，后来虽然你还是赶到了某地，§5 渔 业 资 源 管 理 问 题 模 型一. 问 题 的 提 出渔业资源是一种再生资源，其开发必须适度.一种合理、简化的策略是：在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.考察一个封闭式渔场中鱼量的变化.记时刻t 渔场中鱼量为()t x ,关于()t x 的自然增长和人工捕捞假设如下:① 在无捕捞条件下()t χ的增长服从Logistic 规律:()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx dt t dx 1 其中r 固有增长率,N 为环境允许的最大鱼量.()⎪⎭⎫⎝⎛-=N x rx x f 1△表示单位时间的增长量.② 单位时间的捕捞量（产量）与渔场鱼量()t x 成正比.比例系数为k ,k 表示单位时间捕捞率.试给出描述()t x 变化的数学模型，并解决以下问题：1. 讨论渔场鱼量的平衡点及稳定性，给出捕捞适度与捕捞过度的条件；2. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得最大持续产量时的最大产量，捕捞强度及鱼量水平；3. 渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得最大利润（经济效益）时的产量，捕捞强度及鱼量水平；4. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得微薄利润时的临界强度及存在条件、鱼量水平（此时的捕捞亦称为盲目捕捞）.自贪睡和不守时，都将成为你工作和事业上的绊脚石，任何时候都一样。
不仅要学会准时，更要学会提前。
就如你坐车去某地，沿途的风景很美，你忍不住下车看一看，后来虽然你还是赶到了某地，二. ()t x 变 化 的 数 学 模 型1. 设单位时间捕捞量为()x h ，由假设②，则()kx x h =作分解qE k =，其中k 为单位时间捕捞率；E 称为捕捞强度，一般用出海鱼船数量来度量；q 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率.为方便起见，此处我们取1=q ，则单位时间捕捞量为()Ex kx x h ==令()()()Ex N x rx x h x f x F -⎪⎭⎫⎝⎛-=-=1△2. 由假设①、②及上面讨论，得描述)(t x 变化的数学模型为() Ex N x rx dt t dx -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1（1） 初始条件为()a x =0 由分离变量法，求得其解为：()()()()tE r ear EN Nr ar E r aN t x ----+-= (2)三. 渔 场 鱼 量 的 平 衡 点 及 稳 定 性1. 对于微分方程()() x F dtt dx =（3）自贪睡和不守时，都将成为你工作和事业上的绊脚石，任何时候都一样。
最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r .由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()tdn rn dt =- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ⎫=⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G = 所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .。
研究获得三年养鱼利润最优模型摘要在我们日常生活中，都有这么些相关的例子。
那么这里我们将基于求利润最优化的养鱼规划问题，根据鱼的存活空间有限，以及鱼本身的生长情况，可以假设鱼在长成成鱼后生长非常缓慢，近似为不生长，未成年鱼的生长模型为指数增长模型,得出鱼的增长函数，对于的价格进行预知，将利润的最大化问题着手于研究养鱼周期、捕鱼次数及每次捕鱼的重量，结合鱼的生长模型充分利用池塘空间，在合理假设条件下建立数学模型，并借助MATLAB软件编程计算，通过比较分析各模型的最优解，确定出三年获得较大利润的最优养鱼方案，为养殖户提供有用的参考。
关键字：Matlab 指数增长模型养鱼周期捕鱼次数捕鱼重量较大利润一、 问题重述设某地有一池塘，其水面面积约为100×1002m ，用来养殖某种鱼类。
在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。
① 鱼的存活空间为1kg /2m ；② 每1kg 鱼每天需要的饲料为0.05kg ，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg ； ③ 鱼苗的价格忽略不计，每1kg 鱼苗大约有500条鱼；④ 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg ；⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略； ⑥若q 为鱼重，则此种鱼的售价为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<=25.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kgQ 元元元元⑦该池内只能投放鱼苗。
二、 模型假设（1）、养鱼者的经营模式为“放鱼苗喂饲料捕捞，销售全部捕捞”周期循环，每个周期只投放一次鱼苗。
（2）、在饲养过程中，不考虑意外灾害，如洪灾、旱灾，台风等等。
（3）、鱼可以一年四季生长，未成年鱼每天生长的重量与鱼的自重成正比。
（4）、鱼的繁殖和死亡均可以忽略。
（5）、捕捞鱼时采取承包不放水的方式。
（6）、每个周期分n 次捕捞销售，每相隔两次捕捞时间间隔相同，n>=2；且在捕捞时，部分鱼对其它鱼的生长不造成影响，捕出的鱼能全部按预定价格销售。
《数学建模与计算》问题捕鱼问题建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大捕捞量。
1.问题分析本问题是一个典型的可再生资源开发的数学模型。
我们取每年开始捕捞时刻作为与数量的计数时刻，考虑同一年龄组在一年中生长过程的时间连续性，我们用微分方程的模型分析在一年中的不同阶段分界点上鱼数量的关系。
在可持续捕捞的前提下，本模型表现为鱼数量在开始捕捞时刻不变，通过求解捕鱼量关于捕捞强度系数的表达式的极大值，得到最高年收获量及对应捕捞强度系数。
2.模型的假设根据问题的要求提出以下假设;(1)鱼分为1，2，3,4龄鱼，4龄鱼存活一年后仍划为4龄鱼。
(2)各年龄组鱼的自然死亡率为0.8/年，且死亡是一连续过程，不是在某时刻突发的。
(3)3,4龄鱼在一年的最后四个月集中产卵，且在该4个月的开始时刻进行；3龄鱼产卵量为0.5*1.109*510/条；卵孵化成活10/条，4龄鱼产卵量为1.109*5为1龄鱼，成活率为1.22*1110/（1.22*1110+n）。
(4)捕捞在产卵孵化前8个月进行，且捕捞是一连续过程，不是在某一时刻刻发生；捕捞强度系数固定，只能捕捞3,4龄鱼，它们的捕捞强度系数只比为0.42:1。
(5)经济效益以捕捞总量来衡量。
在假设（1）中，我们认为4龄鱼存活之下一年后，可被当做4龄鱼捕杀，且仍具有生殖能力，故可视为4龄鱼。
在假设（3）中，因为孵化需要时间，而产卵孵化集中完成，故认为产卵孵化在开始时进行，这是对模型的简化，在后面的讨论中，我们将看到这种简化不影响模型的精确性。
卵的成活率为10+n）这个假设是正确的，它反映了当产卵数过多时，由10/（1.22*111.22*11于竞争必将导致成活率的减少。
3.模型的建立与求解（1）参数的说明在下面的讨论中用到表1-1中的记号。
用 R表示非负实数集合，单位时间死亡总数与鱼总数之比称为自然死亡率。
单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数之比称为捕捞强度系数。
西安邮电大学（理学院）数学建模报告最优捕鱼策略专业名称：信息与计算科学班级： 1302班学生姓名：张梦倩学号（8位）： 07131057指导教师：支晓斌摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下，使5年的总收获量最大，即在5年内鱼群能够可持续繁殖和生长。
本题以5年的总捕获量为目标函数，以5年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件，建立承包期总产量模型。
最终得到的捕捞策略如表1-1。
只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表1-1中的数量，就可以实现5年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化。
一、问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。
水产的养殖与捕捞的数学模型欧杰泉(1) 柯文锋(2) 赖金花(3)(1)韶关学院2000级数学系数学与计算机教育6班(2)韶关学院2000级数学系数学与应用数学本科1班(3)韶关学院2000级计算机系计算机科学与技术本科1班（广东省韶关学院，韶关，512005）摘要:由单位时间虾的增长量,单位时间虾的捕捞量,单位时间虾的死亡数,构造一个函数,利用求函数的导数的方法,求出此函数的平衡点,对问题1 ,列出单位时间的利润函数,并把以上的平衡点代入此单位时间的利润函数中,此单位时间的利润函数是捕捞系数的二次函数,再次利用求函数的导数的方法,求出此函数的稳定点,由实际问题得知此稳定点是单位时间利润函数的最值点,此时利用养殖场中每月虾量相等条件,即单位时间虾的捕捞量与单位时间虾的死亡数之和等于单位时间虾的增长量,即可确定捕捞策略(E=0.0885),得到每月养殖的虾量x=3075斤和最大利润R=1398.82元;对问题2,列出5年的总利润a 的函数,利用计算机Maple 软件求函数的字的最大值来确定a 值,求得a=0.3006.当初始条件为x=1000时,获得最大利润下的虾场稳定虾量R x =5313.19,求出第(t ≈11.3677)月开始捕捞能使获得利润最大82398.938元.对问题3,列出5年的总利润关于y 的函数,即可求获得最大利润下的虾场稳定的虾量R x =5497.75,以及最大需要的月养殖费y=1831.67元. 关键词:稳定点,捕捞系数,平衡点.1 问题的提出韶关市某人工养殖的水产业(如养殖场中的养殖),其产量的增加一般与养殖费(包括饲料、工资、技术费等)成正比。
而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。
但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。
现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。
用x(t)表示养殖场中第t 月的虾量（单位：斤），用y(t)表示第t 月的月养殖费（单位：元/月），根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：*这种虾的自然死亡率为λ，λ=0.05（1/月）；*环境容许的最大虾量为410,=N N (斤)；*在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量x(t)的增加速度与月养殖费y(t)成正比，其比例系数是x(t)的函数；当x(t)达到N 时，此函数为0，当x(t)为0时，此函数为常数αα,=1（斤/元）；*虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量x(t)成正比，比例系数为E 。
这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾、中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3，而捕捞成本为ββ,=0.1（元/斤）；小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元。
1.人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为αα,=0.2(元/斤*月)。
试指定捕捞策略（确定E ），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？2.若某人承包次养殖场5年，且养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为a ，又取E=0.08（1/月）。
试制定养殖策略（确定a ），使5年的总利润最大。
如果初始虾量为310斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？3.若某人承包此养殖场5年，每月按强度E=0.1（1/月）捕捞，试制定养殖场策略（确定养殖费y(t)）,使5年的总利润最大。
2 问题的分析本题有三个问，对第一问，是在养殖场中每月的虾量相等条件下，即单位时间虾的捕捞量与单位时间虾的死亡数之和等于单位时间虾的增长量，求单位时间的利润函数的最值问题；对第二问，总利润函数是a 的函数，利用计算机Maple 数学软件使得总利润函数取得到最大值，确定a 值把E 的值代入x 的平衡点，即获得最大利润下的虾场稳定虾量R x 的关系，即可以知那个月开始捕捞能获利最大；对第三问，总利润函数是y 的函数，利用Maple 数学软件可求得获得最大利润下的虾场稳定虾量R x 以及最大需要的月养殖费。
3 模型假设1.养殖场不与其它水域发生关系，是一个独立的生态群落。
2.虾群是一个独立的种群，在此虾群的生态群落中，没有其它种群。
3.所有造成虾死亡的因素都在虾的自然死亡率之内。
4. 虾的捕捞都能销售，也就是说打捞的虾都能卖出，且价格保持不变，销售成本费用忽略不计。
5. 捕捞的虾都能销售，也就是说打捞的虾都能卖出，且价格保持不变，销售成本费用忽略不计。
6. 在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量x(t)的增长速度与月养殖费y(t)成正比，其比例系数是x(t)的线性减函数：P(x(t))=A-Bx(t).4 符号约定r 是固定增长率； N 是环境容许的最大虾量;h(x)是单位时间的捕捞量； y(t)是单位时间的养殖费;w(t)是单位时间; p 是虾销售单价的数学期望;T 是单位时间收入; S 是单位时间的去出;R 是单位时间的利润; λ是虾的自然死亡率;E 是捕捞强度系数; β是捕捞成本;5 月利润最大的数学模型的建立和求解自然死亡规律:)()(t x dtt dx λ-= 捕捞模型:)()(t Ex dtt dx -= P(x(t))=A-Bx(t), 由假设(6)可知: 当x(t)=N 时,P(x(t))= a .解得:A=a ,B=N α.p(x(t))=))(1(Nt x -α. 在捕捞和自然死亡的情况下,养殖场虾量随时间变化的数学模型:)()()())(1()(t x E t y Nt x dt t dx +--=λα ……（1） 在每月的虾量相等条件，确定捕捞策略（确定E ），使虾的月利润最大： 每月的虾量相等条件()0=⇔dtt dx()()()()01=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇔t x E t y N t x λα 由假设可知： ()()t ax t y = ()()()()01=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇔t x E t ax N t x λα 解得： 01=x （舍去） ()αλαa E a N x --=2 ——（2） 称（1）式得平衡解 月养殖费()()ax t ax x y ==月捕捞成本费()()Ex t h t w ββ==单位时间收入T 和成本S 分别为：T ＝Ex p Ex p Ex p 332211ξξξ++S ＝y(t)+W(t)=ax+βEx每月利润＝价格×捕捞量—成本—月养殖费。
每月虾量相等的最大利润捕捞模型为：R=T —S ＝Ex ax Ex p Ex p Ex p βξξξ--++332211s.t ()()∂--=a E a N t x λαλα-<a E 332211ξξξp p p p ++==++=332211ξξξp p p p 5×0.2+7×0.5+10×0.3＝7.5模型的求解 ()()a Ea N a E pE E R αλαβ----=()a pEE a N a E a N p dE dR αβαλαβ-++---=令0=dE dR， 求得稳定()()βλα-+-=p aa E 2210由实际情况可知： 0E 是最大值点把p=7.5,β＝0.1，a ＝0.2，λ＝0.05，α＝1，N ＝410捕捞强度为0885.00≈E （1/月）每月养殖场最大虾量 30750≈--=a Ea N x αλα（斤）最大月利润()82.13980≈E R （元）6 承包五年捕捞强度E ＝0.08（1/月）的养殖策略的模型建立和求解1） 此时的数学模型（二）为：()()dt Ex ax pEx a R ⎰--=600m ax β s.t. ()()()()t X E t X N t X a dt dx +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λα1 2） 上述微分方程的解为()()()()t E a e ax EN N aN ax E a N x t x ------+--=λααλααλα0003） 求解方法 将上述()t x 代入目标函数R （a ）中，并利用积分公式：()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+---216060213121ln ln 1333C C e e C C C C e C C dt C C t C 对R （a ）的解析式关于a 求导，并令()0=da a dR ，再确定R （a ）的最值。
（求解过程用Maple 软件进行）。
4） 结果p=7.5,β＝0.1，λ＝0.05，α＝1，N ＝410，E ＝0.08得 a ≈0.3006239887（元./月 斤）养殖场虾量水平为5313.19（斤）；5年的最大利润为82398.93829（元）。
5） 当x （0）＝310时，获利最大的开始捕捞时间 ()()()()t a e a N aN a a N t x λααλααλα----+-=333101010 将N ＝410，()19.5313,05.0,2774.0===t x λα 代入上式，解得 t ≈11.3677（月）≈341（天）即当初始虾量为310斤始，获利最大的开始捕捞的月份11.4月。
7 承包5年捕捞强度E ＝0.1（1/月）得一般养殖策略的模型建立和求解1． 数学模型（三）()()()()[]⎰-=60074.0max dt t y t x t y RS ．T ． ()()()()t x t y t x dt t dx 15.01014-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2． 用变分法求解上述泛函极值： 令()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=t x t y t x t u t y t x y x t H 15.010174.0,,4 则由欧拉方程得下转接17页。
