数学建模 水产的养殖与捕捞

最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单□标线性规划问题，U的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。

根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式：w=£气=£几＞＜亠-r-J i-J r-1由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0—1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LI\GO求解，得到最大收益（W）为441291.4元，分21天捕捞完毕。

其中第1〜16天，日捕捞量在1030〜1070 公斤之间，第17〜21天的日捕捞量为1610〜1670公斤之间（具体数值见正文）。

由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。

关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。

一.问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0. 5米，经与当地协商水库水位最低降至5 米，这样预计需要二十天时间，水位可达到□标。

据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500-1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。

捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元 /公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%o承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二.模型假设1.池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25, 000公斤不变。

2.第一天捕捞时水位为15m,每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0. 5m逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5mo3.在水库自然放水的21内将草鱼捕完。

对每亩投放的鱼苗进行数学建模实验篇一：标题:探究每亩投放的鱼苗数量对鱼类生长和产量的影响正文:鱼类的生长和产量受到许多因素的影响,其中最重要的是鱼类所投放的鱼苗的数量。

在渔业生产中,选择适当的鱼苗数量可以显著提高鱼类的产量和质量。

因此,对每亩投放的鱼苗数量进行数学建模实验,探究其影响是一个重要的研究方向。

为了进行这个实验,我们需要先收集一些数据,包括鱼类的投放数量、水温、水质等环境因素以及鱼苗的质量和数量。

这些数据可以通过实验室实验或者在线监测系统获得。

接下来,我们需要使用数学建模方法对这些数据进行分析,并得出每亩投放的鱼苗数量对鱼类生长和产量的影响。

可以使用线性回归、逻辑回归等模型进行分析,以确定最佳投放数量。

除了确定最佳投放数量,我们还可以考虑其他因素对鱼类生长和产量的影响。

例如,鱼类的喂食量、水温和水质等环境因素,这些因素可以通过数学建模方法进行研究。

通过这个实验,我们可以为鱼类养殖生产提供重要的指导,帮助农民选择最佳的投放数量,从而提高鱼类的产量和质量。

此外,这个实验也可以为渔业管理部门提供重要的数据,帮助他们制定更有效的渔业政策和计划。

拓展:数学建模实验可以帮助农民和渔业管理部门更好地了解鱼类的生长和产量受到哪些因素的影响,从而更好地管理和控制这些因素,以提高鱼类的产量和质量。

此外,数学建模实验还可以为渔业研究提供重要的数据支持,促进鱼类养殖和生产技术的发展。

篇二：标题:探究每亩投放的鱼苗数量对养鱼效益的影响正文:养鱼是许多人的爱好之一,而鱼苗则是养鱼的基础。

在养鱼的过程中,投放鱼苗的数量是一个关键因素,因为它直接关系到养鱼效益。

因此,本文将探究每亩投放的鱼苗数量对养鱼效益的影响。

假设我们有一个总面积为100亩的池塘,打算投放鱼苗数量为x亩。

我们需要考虑以下因素来确定最佳投放鱼苗数量:1. 池塘的水质和水温:池塘的水质和水温对于鱼苗的生长和健康至关重要。

因此,我们需要先对池塘的水质和水温进行监测,以确定最佳的投放数量。

三、 符号说明
;当k 1 x ：表示 i 龄鱼第 j 年的年初（或年末）的鱼量（ k 0或1， 当k 0时， 表示年初 时表示年末。 i 1,2,3,4; j 1,2, ） 条 ； r ：表示各年龄组鱼群的死亡率： 0.8(1 年) ； ：表示 4 龄鱼的捕捞强度系数，则 3 龄鱼的捕捞强度系数为 0.42 ； n ：产卵总量 个 ； Z：捕鱼总重量 g ； xij t ：表示第 j 年 t 时刻 i 龄鱼的数量 条 ； j ：表示第 j 年的捕鱼总量；
4
年 收 获 总 量 （ g）
4.2 4.15 4.1 4.05 4 3.95 3.9 3.85
x 10
11
3.8 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
死 亡 率 （ 1/ 年 ）
由上图可直观地看出：死亡率与年收获总量成正比例关系，即当死亡率增加时， 年收获总量则减少；反之，增加。由此可知，死亡率对年收获总量有显著的影响。 2．对模型中捕捞强度系数 的灵敏度分析 模型中其它因素不变， 只考虑 从 10 变到 19 时最大的年收获总量的变化情况， 分析 的变化对模型的影响（见下图）
年 收 获 总 量 （ g）
3.95 x 10
11
3.9
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
3.6
3.55
3.5 10
11பைடு நூலகம்
12
13
14
15
16
17
18
19
4龄 鱼 的 捕 捞 强 度 系 数
由上图可直观地看出：捕捞强度系数也是影响年收获总量的重要因素，年收获总量 随捕捞强度系数的增加而增加。只是增长速率逐渐减慢。 七、 模型评价与推广 模型的评价： 优点：1. 本文建立的模型与实际相联系，考虑到一些实际情况，从而使模型较贴近实 际；通用性.，推广性较强。 2．模型方便、直观，可以实现计算机模拟。 缺点： 1．模型虽然考虑到了很多因素，但为了建立模型，忽略了一些影响因素，具有 一定的局限性。 2．在建模过程中，简化了一些因素，得到了最优方案可能与实际有一定的出入。 模型的推广： 模型建立思想不但适合捕鱼方面，而且适合其它相关方面，只需稍加改动即可。

。
绘制算法流程图
——学习一种经典算法（例如求解最短路问题的Dijkstra算法），绘制出该算法的流程图。
解：最短路问题的Floyd算法：Floyd算法的基本思想是：问题分解，先找出最短的距离.然后在考虑如何找出对应的行进路线。
用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
若将h=rN/4代入模型求解，可得 ，其中c由初始值确定，若x（0）<N/2,t趋近于无穷时，x(t)不会趋向N/2，即 不稳定。
(2)由图可知，要获得最大持续产量，应使池场鱼量x>N/2,且尽量接近N/2。
2.
模型为 ，如上图所示，有两个平衡点：x=0和 。可证x=0不稳定， 稳定（与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和r的大小无关）。最大持续产量为 ，相对应的 ，
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 及获得最大产量的捕捞强度 和渔场鱼量水平 。
解：
1．
模型为 。
（1）平衡点由F（x）=0确定；当h<rN/4时，有2个平衡点 (<N/2), (>N/2).经判断得 不稳定， 稳定。当h=rN/4时，平衡点 =N/2。由 不能判断其稳定性，但因为对于x> 及x< 均有F（x）<0,及 <0,所以 不稳定。

数学模型课程设计捕鱼一、课程目标知识目标：1. 理解数学模型在解决实际问题中的应用，掌握构建数学模型的基本方法。

2. 运用所学生物知识，结合数学模型，分析捕鱼问题中的数量关系和变化规律。

3. 能够运用数学模型预测捕鱼问题的解决方案，并解释结果的实际意义。

技能目标：1. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学思维和逻辑推理能力。

2. 培养学生运用生物知识分析生态问题的能力，提高跨学科综合分析问题的能力。

3. 提高学生合作探究、讨论交流的能力，培养团队协作精神。

情感态度价值观目标：1. 培养学生热爱科学、探索科学的精神，激发学生学习数学和生物的兴趣。

2. 增强学生的环保意识，让学生认识到保护生态环境的重要性。

3. 培养学生面对问题时，积极思考、主动探究的态度，提高学生的自主学习能力。

课程性质：本课程为跨学科综合实践活动，结合数学和生物知识，通过解决实际问题，培养学生综合运用知识的能力。

学生特点：六年级学生具备一定的数学和生物知识基础，具有较强的探究欲望和合作意识。

教学要求：注重培养学生的动手操作能力、合作交流能力和问题解决能力，将理论知识与实际应用相结合，提高学生的综合素养。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际生活，达到学以致用的目的。

二、教学内容本课程以“捕鱼问题”为背景，结合数学和生物教材，设计以下教学内容：1. 数学模型基础知识：- 函数关系：掌握函数的定义，理解自变量与因变量之间的关系。

- 方程与不等式：运用一元一次方程、不等式解决实际问题。

2. 生物知识：- 生态平衡：了解生态系统中各生物之间的相互关系，探讨捕鱼对生态平衡的影响。

- 物种多样性：掌握物种多样性的概念，分析捕鱼对生物多样性的影响。

3. 教学大纲：- 第一阶段：引入捕鱼问题，引导学生思考如何运用数学模型解决问题。

- 第二阶段：学习数学模型基础知识，探讨捕鱼问题中的数量关系。

- 第三阶段：结合生物知识，分析捕鱼对生态平衡和物种多样性的影响。

数学建模论文姓名: 文勇学号：201315020220论文标题：最佳捕鱼方案1.问题的提出一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。

据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。

承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？2.问题分析通过简单的分析和思考，该问题可以归为一个数学规划问题。

条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。

在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。

由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。

模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。

而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。

模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。

模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。

3.条件假设1、日供应量不受外界条件的变化而变化，是一定的。

2、当天售出的草鱼数量等于当天捕捞的草鱼。

3、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。

4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。

最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。

(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。

(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。

孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。

(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。

(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。

(6) 四龄以上的鱼全部死亡。

(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。

2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。

3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。

鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形， 眼、口大， 无侧线，生活在海中。鳀鱼是一种生活在温带海洋中上层的小 型鱼类，广泛分布于我国的渤海、黄海和东海，是其它经济鱼 类的饵料生物。
Jingsaitixuanjiang
Jingsaitixuanjiang
假设这种鱼分 4 个年龄组，称 1 龄鱼，…，4 龄

0.8 3
k
2 3
s 40 ) e
2 3
0.8
1.22 10
k
2 3
11
10
11

a (1 e
)( e
0.42 k
s 30 2 e
s 40 ) e
0.8
]
F 3 s 30 F 4 s 40
F3

1 .6 [ 1 .2 2 1 0
3 a (1
重复 ⑵ ，根据递推关系算出下一年的
s 12 , s 22 , s 32 , s 42 ;
⑷ 再重复 ⑵、⑶ 当计算到年初与年末的各龄鱼 的数量一致时，即鱼群稳定为止，根据
G P 3 m 3 P4 m 4 算出年捕获量；
⑸ 另定 k 值，重复 ⑴ ~ ⑷； ⑹ 根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的 k 值。
s 21 s 1 s 10 e
3）3 龄鱼即上一年末 2 龄鱼
0.8
s 31 s 2 s 20 e
4）4 龄鱼即上一年末 3 龄鱼
0.8
s 41 s 3 s 30 e
0.8
e
0.24 k
2 3
Jingsaitixuanjiang
3 、鱼群持续变化的递推关系
捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量

最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。

数理学院《数学建模》课程设计题目1、 鱼群的适度捕捞问题鱼群是一种可再生资源，若目前鱼群的总数为x 公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为y 公斤。

反映x 与y 之间相互关系的曲线称为再生产线，记为)(x f y =。

现设鱼群的再生产曲线为)1(Nxrx y -=，)1(>r 。

为使鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞。

问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？2、定价问题某公司考虑为某新产品定价，该产品的单价拟从每件 6元、7元、8元和 9元这四个中选取一个，每年允许价格有 1元幅度的变动，该产品预计畅销五年，据预测不同价格下各年的利润如下表所示.每年预计利润额单价 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年7元 8元 9元12 15 16 13 16 17 17 17 16 21 18 15 23 17 143、水厂建造问题某城市拟建A 、B 两个水厂。

从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。

由于水资源的原因，A 、B 两个水厂日进水量总和不超过80万吨。

A 、B 两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。

(1)方案使总成本最低；(2)若A 、B 两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低；(3)如果该某城市要在平直河岸L(设L 位于横坐标轴)上建一抽水站P ，供应同岸的A 、B 两个水厂。

考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA 、OB 、OP 三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。

水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20％。

试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA 、OB 、OP 三段管道投资费用的最优方案。

F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1

可持续鱼捕捞问题摘要为了保护人赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须湿度。

本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。

对于实现可持续捕获量，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年鱼群的条数，由于1,2龄鱼无法捕捞，所以对于1，2龄鱼的数量就是3,4龄鱼产卵中成活的数量总和，而3,4龄鱼则是1,2龄鱼成长的加上原本存在的数量。

从题中可以看出，所使用的捕捞渔网只捕捞3,4龄鱼，不捕捞1,2龄鱼，这在一方面也保护的鱼群的延续，在整体分析实现鱼捕捞可持续的最大量时，使用MATLAB软件进行计算与模拟。

综合得到以下结论：1.每一年各龄鱼各自的存活量；2.4龄鱼存活量为原有的加上1,2,3龄鱼成长的；3.考虑各龄鱼每一年不同的变化，实现鱼塘的可持续发展关键词：改变，增加，变化，减少，可持续发展1.捕捞采用固定努力量捕捞，即只允许每年的1-8月捕捞，产卵和孵化器为每年的后四个月；2.产卵期时鱼的自然死亡率发生在产卵之后；3.4龄鱼和3龄鱼每年只产卵一次，且产卵集中在9月份，到十二月份孵化完毕;4.使用1.3mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，且每年投入的捕捞能力固定不变；5.只考虑该鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出，也不考虑其他方面的影响；6.自然死亡的鱼也在捕捞范围之内，即计入捕获量，并且能够全部捕捞符号说明F表示i龄鱼在T年的数量；i（T）F表示i龄鱼在T年初的数量；i,0（T）r表示自然死亡率；n表示4龄鱼产卵量；k表示固定捕捞系数；m表示卵的成活率；如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。

3．根据以上分析，可以建立非线性规划模型： 2 目标函数： 约束条件：
0
max 17 .86 3 k 3 x3 (t ) dt 22 .99 k 4 x 4 (t ) dt
2 2 (0.42 k r ) (k r ) 3 3 n 0.5 mx e mx e 3 4 x n 1 r x2 ne 2 r x ne 3 2 ( *0.42 k 3 r ) 3 x ne 4
结果： x1 = 1.0e+11 * 1.2200 1.1642 1.1773 1.1965 1.1954 1.1956 x2 = 1.0e+10 * 2.9700 5.4818 5.2312 5.2898 5.3761 5.3712 x3 = 1.0e+10 * 1.0100 1.3345 2.4631 2.3505 2.3769 2.4156 x4 = 1.0e+09 * 3.2900 0.0351 0.0464 0.0857 0.0818 0.0827 max = 1.0e+12 * 0.2341 0.4487 0.8443 1.2228 1.6054 1.9942
用到的符号
Байду номын сангаас
T : 年份 t : 时间 t : 间隔时间 xi (t ) : 在t时刻i龄鱼的条数，i 1, 2,3, 4 xi (0) : 每年初i龄鱼的条数，i 1, 2,3, 4 r :自然死亡率 n : 年产卵数量 f : 年捕捞量 k3 : 3龄鱼捕捞强度系数 k4 : 4龄鱼捕捞强度系数 0.5m : 3龄鱼年产卵量 m : 4龄鱼年产卵量
可得：x
0
dxi rxi , i 1, 2,3, 4 dt

问题一鱼群捕捞问题一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。

如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。

许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。

试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定。

假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。

渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。

常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。

二、问题的假设与分析1. 问题假设（1）鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。

（2）查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。

（3）龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3。

（4）4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。

（5）连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。

2. 问题分析 （1）符号说明x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4； n ：每年的产卵量； k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4； （2）对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。

最佳捕鱼策略摘要为了实现鳀鱼持续的经济效益，可持续的捕捞方案必不可少。

本文建立了最优化模型，求出了在可持续条件下最大的鳀鱼年收获量以及自然死亡率和捕捞强度系数对模型的影响，并向渔业管理部门提出的鳀鱼资源利用的政策建议。

针对问题一，以一年为周期，年初各个年龄组鳀鱼的数量由上一年相关年龄组的数量决定，分别建立微分方程，得到各个年龄组鳀鱼数量与时间的关系式。

以可持续条件下各个年龄组鳀鱼数量相同为约束条件，以捕捞的3、4龄鱼最大数量为目标函数建立最优化模型。

采用Lingo17.0对模型进行求解，得到年初1龄鱼的数量为1110195994.1⨯条，年初2龄鱼的数量为1010373946.5⨯条，年初3龄鱼的数量为1010414670.2⨯条，年初4龄鱼的数量为710395523.8⨯条，年收获量最大值为1110887536.3⨯克。

针对问题二，由模型I 得出年收获量是自然死亡率和捕捞强度系数的关系。

将捕捞强度系数赋一固定值，用Matlab 软件得出了在4龄鱼的捕捞强度系数为5的情况下，年收获量和自然死亡率成反向关系。

针对问题三，由前述得到的年收获量与自然死亡率和捕捞强度系数的关系，运用Matlab2016求解得到当4龄鱼的捕捞强度系数(k)以0.01为步长，从0到20分布时对应的F(k)的数值，并以k 的取值为横坐标，对应的F(k)为纵坐标，绘制捕获量F(m)随捕捞强度系数变化的曲线图，得出年收获量与捕捞强度系数成正向关系。

最后，本文从提高捕捞技术、保护鳀鱼苗种和生存环境、开发产业链等四个方面对鳀鱼资源的综合利用提出了建议。

关键词：年收获量最优化模型1问题重述和分析本题是最优化问题，此问涉及的各个变量为：每条1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼的平均重量分别是 5.1g、11.6g、17.9g、23.0g，自然死亡率为0.8，各个年龄组鳀鱼产卵量情况，产卵孵化期为每年后4月，3龄鱼和4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1，卵的存活率等。

【关键字】实验最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MA TLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。

二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。

考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，… ，4龄鱼的某种鱼。

该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。

而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比率称为捕捞强度系数。

使用只能捕捞3、4龄鱼的网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。

该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均质量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为1.109ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,29.7,10.1,3.29（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。

三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比率相对很小，可假设全部死亡。

d、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。

（且可设xi（t）：在t时刻i龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n：每年的产卵量；k：4龄鱼捕捞强度系数；2ai0：每年初i龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max（total（k））=17.86t∈[0，1]，x1（0）= n ×t∈[0，1]，x2（0）= x1（1）t∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1）s.t. t∈[2/3，1]，x3（-）= x3（+）t∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）t∈[2/3，1]，x4（-）= x4（+）四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1.先建立一个buyu.m的M文件：function y=buyu(x);global a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=-0.8*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=-0.8*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-(0.8+0.4*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=-0.8*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-(0.8+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=-0.8*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=1.109*10^5*(0.5*a31+a41);Equ=a10-nn*1.22*10^11/(1.22*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int(0.42*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=17.86*t3+22.99*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个buyu1.m的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：2.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =-3.6757e+011y =-3.9616e+011y =-4.0483e+011y =-4.0782e+011y =-4.0802e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =y =-4.0667e+011k =18.25976795085083total =4.080548655562244e+011 a10 =1.195809275167686e+011a20 =5.373117428928620e+010a30 =2.414297288420686e+010a40 =8.330238542343275e+007则k=18.25976795085083时，最高年收获量为total=4.080548655562244×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：1.195809275167686×10115.373117428928620×10102.414297288420686×10108.330238542343275×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。

研究获得三年养鱼利润最优模型摘要在我们日常生活中，都有这么些相关的例子。

那么这里我们将基于求利润最优化的养鱼规划问题，根据鱼的存活空间有限，以及鱼本身的生长情况，可以假设鱼在长成成鱼后生长非常缓慢，近似为不生长，未成年鱼的生长模型为指数增长模型,得出鱼的增长函数，对于的价格进行预知，将利润的最大化问题着手于研究养鱼周期、捕鱼次数及每次捕鱼的重量，结合鱼的生长模型充分利用池塘空间，在合理假设条件下建立数学模型，并借助MATLAB软件编程计算，通过比较分析各模型的最优解，确定出三年获得较大利润的最优养鱼方案，为养殖户提供有用的参考。

关键字：Matlab 指数增长模型养鱼周期捕鱼次数捕鱼重量较大利润一、 问题重述设某地有一池塘，其水面面积约为100×1002m ，用来养殖某种鱼类。

在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。

① 鱼的存活空间为1kg /2m ；② 每1kg 鱼每天需要的饲料为0.05kg ，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg ； ③ 鱼苗的价格忽略不计，每1kg 鱼苗大约有500条鱼；④ 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg ；⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略； ⑥若q 为鱼重，则此种鱼的售价为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<=25.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kgQ 元元元元⑦该池内只能投放鱼苗。

二、 模型假设（1）、养鱼者的经营模式为“放鱼苗喂饲料捕捞，销售全部捕捞”周期循环，每个周期只投放一次鱼苗。

（2）、在饲养过程中，不考虑意外灾害，如洪灾、旱灾，台风等等。

（3）、鱼可以一年四季生长，未成年鱼每天生长的重量与鱼的自重成正比。

（4）、鱼的繁殖和死亡均可以忽略。

（5）、捕捞鱼时采取承包不放水的方式。

（6）、每个周期分n 次捕捞销售，每相隔两次捕捞时间间隔相同，n>=2；且在捕捞时，部分鱼对其它鱼的生长不造成影响，捕出的鱼能全部按预定价格销售。