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第二讲机理分析法建模

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微分方程模型——数学建模真题解析

微分方程模型——数学建模真题解析


请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
x1
x2
Df D( f1, f2 , Dx D(x1, x2 ,
, ,
fn ) xn )
f2 x1
f2 x2
fn fn x1 x2
f1
xn
f2 xn
fn xn
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义： 如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密 切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经 济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工 资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世 纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一 个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会 稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平 衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的 养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制 度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基 金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准 就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。 所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之 差。
数学建模方法

数学建模方法

数学建模方法数学建模，简单来说，就是用数学的语言和方法来描述和解决现实世界中的问题。

它就像是一座桥梁，连接着抽象的数学理论和复杂的实际情况。

那数学建模到底是怎么一回事呢？想象一下，你要规划一个城市的交通系统，让车辆能够高效通行，减少拥堵；或者要预测某种疾病的传播趋势，以便采取有效的防控措施；又或者要设计一个最优的生产流程，降低成本提高效率。

这些实际问题都可以通过数学建模来解决。

数学建模的第一步，是要对问题进行清晰的理解和定义。

这可不是一件简单的事情，需要我们仔细观察问题的背景、条件和目标。

比如说，如果要解决交通拥堵的问题，我们就得先了解这个城市的道路布局、车辆流量的规律、人们的出行习惯等等。

只有把这些都搞清楚了，才能准确地把实际问题转化为数学语言。

接下来，就是要做出合理的假设。

现实问题往往非常复杂，包含了太多的因素。

为了能够用数学方法来处理，我们必须对一些次要的因素进行简化和假设。

但要注意，这些假设不能太过于偏离实际情况，否则建立的模型就没有实用价值了。

有了假设之后，就可以选择合适的数学工具和方法来建立模型。

这就像是选择合适的工具来完成一项工作。

如果问题涉及到变量之间的线性关系，可能会用到线性规划；如果是要研究随机现象，概率统计就派上用场了；要是问题与变化的过程有关，微分方程可能就是一个好的选择。

建立好模型之后，就需要对模型进行求解和分析。

这可能需要运用数学运算、计算机编程等手段。

通过求解，我们可以得到一些结果，但这些结果并不是最终的答案，还需要对它们进行分析和解释。

看看这些结果是否合理，是否符合我们的预期。

比如说，通过一个数学模型计算出某个交通路口的最优信号灯时间设置，但如果这个时间设置在实际中根本无法实现，那就说明模型可能存在问题，需要重新调整和改进。

在模型求解和分析的过程中，还需要对模型进行检验。

可以用实际的数据来验证模型的准确性，如果模型的预测结果与实际情况相差较大，那就得重新审视模型的假设、参数和求解方法，对模型进行修正和完善。

数学建模之机理模型建立的平衡原理

数学建模之机理模型建立的平衡原理


k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼， 不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3：棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题：
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3
第二讲 数学建模的作用及案例

第二讲 数学建模的作用及案例


产生了众多的边缘学科。就以生物数学这一新学科来说吧，
种国际学术杂志名称。这表明各学科正在利用数学方法和
数学成果来加速本学科的发展。数学模型还物化于各种高
新科技之中，从家用电物工程，高科技的高精度、
高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数
断完善，直到获得满意结果。
模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型 的最客观、最公正的检验。因此，一个成功的数学模型， 必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问 题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。
构造模型
建模准备
建模假设
否
模型求解
模型应用
是
模型检验
是
模型分析
四、建模案例
统论中提出的机理分析法和系统辩识法来说，它们是构造 数学模型的两种基本方法。机理分析法是在对事物内在机
理分析的基础上，利用建模假设所给出的建模信息或前提
条件来构造模型；系统辨识法是对系统内在机理一无所知 的情况下，利用建模假设或实际对系统的测试数据所给出 的事物系统的输入、输出信息来构造模型。随着计算机科 学的发展，计算机模拟有力地促进了数学建模的发展，也
成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得 建模本身常常事先没有答案的问题。在建立新的模型的 过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。
6）模型的条理性 从建模的角度考虑问题可以使人们对现实对象的分 析更全面、更具体、更深入、更具条理性，这样即使建 立的模型由于种种原因尚未达到使用的程度，对问题的 研究也是有利的。 7）模型的艺术性 建模的方法与其他一些数学方法，如方程解法、规 划问题解法等是根本不相同的，无法归纳出若干条普遍 适应的建模准则和技巧。曾有人说过，建模目前与其说 是一门技术，不如说是一种艺术，是艺术性很强的技巧 。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在 建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。
机理分析建模概要

机理分析建模概要

机理分析建模法
———成都大学
机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系，找出反映内部机理的规律。
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对现实对象的认识来源： ➢与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识； ➢通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的 猜想(模型假设)。
模型特点：有明确的物理或现实意义
在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。
(一) 微分方程的建立
建立常微分方程模型的常用方法：
➢ 运用已知物理定律 ➢利用平衡与增长式 ➢运用微元法 ➢运用分析法
ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记 r 1002 (100 h)2 200h h2
令Δt 0, 得 dV=－πr2 dh， (2)
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
0.62 2ghdt (200h h2 )dh
dT
k(T
m)
dt
T (0) 60
其中参数k >0，m=18，求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c 或 T m cekt (t 0)
代入条件，求得c=42 ，
k


1 3
ln 16 21
,
最后得
1 ln 16 t
T (t ) 18 42e 3 21 (t 0)
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单 的模型是：
{Δt时间内的人口增长量} ={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}
数学建模简介[1] 2

数学建模简介[1] 2

数学建模这个世界太需要数学了！但我们却往往视而不见。

自人类萌发了认识自然之念、幻想着改造自然之时，数学便一直成为人们手中的有力武器。

牛顿的万有引力定律、伽利略发明的望远镜让世界震惊，其关键的理论工具却是数学。

然而，社会的发展却使数学日益脱离自然的轨道，逐渐发展成为高深莫测的“专项技巧”。

数学被神化，同时，又被束之高阁。

近半个世纪以来，数学的形象有了很大变化。

数学己不再单纯是数学家和少数物理学家、天文学家、力学家等人手中的神秘武器，它越来越深入地引用到各行各业之中，几乎在人类社会生活的每个角落都在展示它的无穷威力。

这一点尤其表现在生物、政治、经济以及军事等数学应用的非传统领域。

数学不再仅仅作为一种工具和手段，而日益成为一种“技术”参与实际问题中。

近年来，随着计算机的不断发展，数学的应用更得到突飞猛进的发展。

一、什么是数学模型？数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……，各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，急待人们去研究、去解决。

但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。

他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。

而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。

特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。

第二章机理建模

第二章机理建模

7
2.1.1 基本概念
3. 对数学模型的要求
（1）准确可靠：依据实际，提出适当要求，经济可行。 （2）用于控制的模型：不要求非常准确，模型误差可
视为干扰（闭环情况） （3）突出主要因素，忽略次要因素（复杂－－近似，
线性化）
8
2.1.1 基本概念
4. 多输入单输出系统
多个输入量：u(t),f1(t),fn(t) 单个输出量：y(t)
10
2.1.1 基本概念
（2）试验法建模 ➢ 试验法一般只用于建立输入输出模型。 ➢ 它是根据工业过程的输入、输出的实测数据进行数学
处理后得到的模型。 ➢ 主要特点：从外部特征上测试和描述它的动态过程，
因此，不需要深入掌握内部机理（黑匣子）。 ➢ 过程处于激励状态－－阶跃响应曲线法；矩形脉冲响
应曲线法。
过程数学模型是过程控制系统设计分析和应用 的重要资料。研究过程建模对于实现生产过程自动 化具有十分重要的意义。
2
2.1 过程建模
2.1.1 基本概念 1. 概述 （1）被控过程－被控制的生产工艺设备（加热炉、贮罐） （2）数学模型－被控过程在各输入量（控制量、扰动量）
作用下，其相应输出量(被控量)变化函数关系的数学表 达式。 非参数模型：曲线表示的。如阶跃响应曲线等。 参数模型：用数学方程式或函数表示的。
拉氏变换：Q1(s) －Q2(s) ＝ CsH(s) ； [Q1(s) －Q2(s)] / Cs＝H(s) Q2(s)＝ H(s) / R2
16
2.1.2 机理分析方法建模
[Q1(s) －Q2(s)] / Cs＝H(s) Q2(s)＝ H(s) / R2
传递函数：
2.1.2 机理分析方法建模
静态物料（或能量）平衡关系 －－单位时间内进入对象 的物料（或能量）＝单位时间内从被控对象流出的物料 (或能量)。 动态物料（或能量）平衡关系 －－单位时间内进入对象 的物料（或能量）的增量－单位时间内从被控对象流出 的物料（或能量），等于被控对象内物质（或能量）存 储量的变化率。
数学建模的方法和步骤

数学建模的方法和步骤


数学建模的基本方法
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析. 来学习。 模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模 型 准 备 了解实际背景 搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征 形成一个 比较清晰 问题” 的“问题” 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
描述、优化、预报、决策、 描述、优化、预报、决策、… 白箱 灰箱 黑箱
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 作出合理的、简化的假设 合理 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 发挥想像力 使用类比法 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性. 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 解释 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎) 数学模型的解答
数 学 世 界
表述 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 根据建模目的和信息将实际问题“翻译” 选择适当的数学方法求得数学模型的解答. 求解 题. 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 解释 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对 将数学语言表述的解答“翻译” 象. 用现实对象的信息检验得到的解答. 验证 用现实对象的信息检验得到的解答
机理分析建模

机理分析建模


3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为： 选择如下广告策略， 时刻的广告费用为 时刻的广告费用为：
A, A( t ) = 0,
建模： 建模：
0 < t < τ; t >τ.
记 S(t) — t 时刻商品的销售速度； 时刻商品的销售速度； M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ(＞0)— 衰减因子，广告作用随时间的推移而自 ＞ 衰减因子， 然衰减的速度。 然衰减的速度。 直接建立微分方程
三、微元法 基本思想： 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况。 很短时间内的变化情况。 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水 米的球体容器里盛了一半的水， 例5.1.3 一个高为 米的球体容器里盛了一半的水， 水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。 试求放空容器所需要的时间。 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速 依赖于此 ． 时刻的流速v 刻容器内水的高度h(t)。 刻容器内水的高度 。 2 ．整个放水过程无能量损失。 整个放水过程无能量损失。 容器内水的体积为零 分析：放空容器 分析 放空容器 容器内水的高度为零
模型特点： 模型特点：有明确的物理或现实意义
5.1 微分方程的建立
当实际问题需寻求某个变量y 当实际问题需寻求某个变量 随另一变量 t 的变化 规律 ：y=y(t)，且直接求很困难时，可以建立关于未知 ，且直接求很困难时， 变量、未知变量的导数以及自变量的方程(即变量满足 变量、未知变量的导数以及自变量的方程 即变量满足 的微分方程)。 的微分方程 。 在实际问题中， 改变” 变化” 增加” 在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 减少”等关键词提示我们注意什么量在变化； “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 速率” 增长” 衰变” 边际的” “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种： 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种： 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法
第二章 机理分析法(一)

第二章 机理分析法(一)

2机理分析法•一、机理分析法概述•二、汽车刹车距离•三、量纲分析法第二章机理分析法一、机理分析法概述什么是机理分析？所谓机理分析，就是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。

机理分析法建立的模型常有明确的物理或现实意义；机理分析法要针对具体的问题来做，因而不可能有统一的方法。

美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题•正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。

•实现这个规则的简便办法是“2秒准则“:•后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

问题分析常识：刹车距离与车速有关“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同常识：刹车距离与车速有关刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候… …最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。

车速常数反应距离制动距离常数假 设 与 建 模1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和2. 反应距离 d1与车速 v成正比3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变; t1为反应时间且F与车的质量m成正比•反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计•利用交通部门提供的一组实际数据拟合k计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时) (英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.0 1.53044.073.5（78）76.6 1.84058.7116（124）126.2 2.15073.3173（186）187.8 2.56088.0248（268）261.4 3.070102.7343（372）347.1 3.680117.3464（506）444.8 4.3最小二乘法 k=0.06二、汽车刹车距离“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”模 型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t （秒）1234一、发现问题的基本方法思维定势抑制着我们的思考，要提高创造力，就应该突破思维定势，而突破思维定势的关键就是转换思维视角。

机理建模方法

机理建模方法


ˆ Ti = T p ,
Tp K= ˆ TK
i
p
从而构成了炉温控制系统的“自适应控制器” 从而构成了炉温控制系统的“自适应控制器”。
计算机控制的过程： 计算机控制的过程： (a) 开机，施加一定的控制 恒值 ，或手动控制 ，检测 开机，施加一定的控制(恒值 恒值PI，或手动控制)，检测u(ih) 和y(ih)，以构造 、(2)； ，以构造(1)、 ； ˆ ˆ (b) 解(1)、(2)式，得 T p 和K p ，从而获得控制器参数 Ti 和K ； 、 式 (c) 将控制器参数调整为Ti 和K ，并投入运行； 并投入运行； (d) 继续用新的采样数据构造 、(2)式，求出新的控制器参 继续用新的采样数据构造(1)、 式 数。
1）常规控制器设计方法： ）常规控制器设计方法： 被控对象： 被控对象： C dy = q − qs
dt
其物理意义为： 其物理意义为：单位时间炉温升高所用的热量等于 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 其中： 其中：
C − −炉子热容量； 炉子热容量； y − −炉温； 炉温； qs − −单位时间内流出炉子的 热量； 热量； a − −散热系数； 散热系数； q − −单位时间内流入炉子的 热量， q = K1u 热量， u − −控制量（如电热炉的加 热功率） 控制量（ 热功率） K1 − −系数
例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
8 24 6.5
τi
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2

机理分析建模


1.2 建立数值解法的一些途径： 用差商代替导数 使用数值积分 使用泰勒公式 数值公式的精度
用差商代替导数（欧拉法）
设 xi 1 xi h, i 0,1, 2, , n 1, 则可用以下离散化方法求解 微分方程 y ' f ( x, y ) y ( x0 ) y0
2米
模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为 通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率”，即
dV Q 0.62S 2 gh dt
S—孔口横截面积(单位：平方厘米) h(t) —水面高度(单位：厘米) t—时间(单位：秒)
当S=1平方厘米，有
dV 0.62 2 ghdt
(1)
r1 h(t) r2 h+Δh 在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh(Δh<0), 容 器中水的体积的改变量为 ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
•线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公 式．
1.3 用MATLAB软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver(’f’,ts,x0,options)
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode11 3ode1 5sode 23s
由待解 方程写 成的M 文件名
ts=[t0,t f]，t0、 tf为自变
y' f ( x, y ) 即：对常微分方程 ，其数值解是指由初始点x0 开始 y ( x0 ) y0 的若干离散的x处的值，即对x0 x1 x2 xn， 求出准确值y ( x1 ), y ( x2 ), , y ( xn ) 的相应近似值y1 , y2 ,, yn .

第二章 机理分析法(二)-revise

2机理分析法•一、机理分析法概述•二、汽车刹车距离•三、量纲分析法第二章机理分析法物理量的量纲长度 l 的量纲记L=[l]质量 m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲L, M, T 速度v 的量纲 [v]=LT-1导出量纲加速度a的量纲 [a]=LT-2力f的量纲 [f]=LMT-2引力常数 k的量纲 [k]对无量纲量α，[α]=1(=L0M0T0)1、量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动l mgm求摆动周期 t 的表达式设物理量 t, m, l, g 之间有关系式α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量 (1)的量纲表达式对比1、量纲齐次原则三、量纲分析法设f(q1, q2, , q m) = 0 (1) Pi定理[g ] = LT -2, [l ] = L , [ρ] = L -3M ,[v ] = LT-1,, [s ] = L2, [f ] = LMT -2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力 f 航船速度v , 船体尺寸l , 浸没面积 s ,海水密度ρ, 重力加速度g 。

m =6, n =3(g ) (l ) (ρ) (v ) (s ) (f )(L ) (M) (T )为得到阻力 f 的显式表达式F =0ψ 未定F (π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q 1, q 2, ⋯, q m ) =0等价量纲分析法的评注• 物理量的选取• 基本量纲的选取• 基本解的构造• 结果的局限性 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n; 选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0 的基本解• 方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识2、量纲分析在物理模拟中的应用例: 航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力注意：二者的相同按一定尺寸比例造模型船，量测f，可算出f1 ~ 物理模拟一、发现问题的基本方法思维定势抑制着我们的思考，要提高创造力，就应该突破思维定势，而突破思维定势的关键就是转换思维视角。

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运动系统的类单容过程
已知运动系统如图所示，其中F和v分别为系统 的输入与输出量，试写出动态方程。 解：由牛顿定律得 拉氏变换
dv F kv m dt
kV ( s ) msV ( s ) F ( s )
写成传递函数的形式
1 v(s) k F (s) 1 m s k
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自衡过程与非自衡过程
自衡过程
过程在阶跃输入量作用下，平衡状态被 破坏后，无须人或仪器的干扰，依靠过 程自身能力，逐渐恢复达到另一新的平 衡状态
非自衡过程
被控过程在阶跃输入量作用下，其平衡 状态被破坏后，没有人或仪器的干预， 依靠过程自身能力，最后不能恢复其平 衡状态
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思考：电路中 是否有类似例 子 单容过程
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建立过程数学模型的基本方法
机理分析法：根据过程的工艺机理和已知定律，获得被 控对象的动态数学模型
概念清晰，结果可靠，无需试验 可在当生产设备还处于设计阶段就能建立其数学模型，对新设 备的研究和设计具有重要意义 对于不允许进行试验的场合，该方法是唯一可取的 通常此法只能用于简单过程的建模，对于复杂过程有局限性
前馈控制、最优控制、多变量解耦控制等更需 要有精确的过程数学模型
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一、基本概念
被控过程：被控的生产工艺设备，如各种加热 炉、锅炉、热处理炉、贮罐、精馏塔、化学反 应器等等。 过程的数学模型：描述被控过程在输入（控制 输入，扰动输入）作用下，其状态和输出（被 控参数）变化的数学表达式。
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（一）自衡过程建模
丹尼尔·伯努利在1726年 提出了“伯努利原理”
q2 k 流体运动方程（伯努利）： 小信号模型： 物料平衡方程：C
d h q1 q2 C dt dq2 线性化： q2 k h q20 dh
dh q1 q2 dt
h
0 q10 q20 , h h h0 , q1 q1 q10 , q2 q2 q20
进水阀门的单位阶跃响应曲线 相同的结构参数下，串联双容 水箱的液位响应更慢一些。
C2 1，R2 2，R3 1
容积滞后

K0 多容过程的传递函数 W 0 ( s ) (T s 1)(T s 1)...( T s 1) 1 2 n K0 W s ( ) 或 0 (Ts 1) n
h1 h2 h2 d h2 R2 d h2 C2 h1 (1 ) h2 C2 R2 R2 R2 R3 dt R3 dt
中间变量
d h1 R2 d h2 d 2 h2 C1 (1 ) C1C2 R2 C1 dt R3 dt dt 2 R2 R3 d h2 h2 d 2 h2 d h2 q1 C1C2 R2 C1 C2 2 R3 dt R3 dt dt
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纯滞后过程
由物料、能量、信号传输延迟引起的纯滞后。常见于 皮带运输机，输送管道的传输距离引起的滞后。
d h C q1 (t 0 ) q2 dt h q2 R2 d h h R2 q1 (t 0 ) R2C dt H (s) K 0 s T CR2 , K R2 , e Q1 ( s ) Ts 1
d 2 h2 d h2 C1 ( R2 R3 ) C2 R3 h2 R3 q1 C1C2 R2 R3 2 dt dt
R3 H 2 (s) W0 ( s ) Q1 ( s ) C1C2 R2 R3 s 2 C1 ( R2 R3 ) C2 R3 s 1
自平衡能 力？ k h h h0 h h0 q20 2 h0 h d h k 特征参数与 q1 h q1 C dt R2 2 h0 系统结构？ K0 R2 H ( s) K0和T0分别为放大系数 W0 (s) Q1 ( s ) R2Cs 1 T0 s 1 和时间常数
R3 H 2 (S ) 1 Q1 ( S ) ( R2C1s 1)( R3C2 s 1) (2 S 1)( S 1) 1 1 2 2 2 2 S 3S 1 3 1 1 2 S 2 S 串联形式的双容水箱系统传函为 2 2 2 2
实验法（辨识法）：观察系统对激励信号的响应，通过 适当算法获得对象的动态模型
无需深入了解过程机理，模型准确性有限，适用性强
二者结合：机理分析法确定模型的结构形式，实验法确 定模型中的参数值
结合二者优点，适用于机理明确参数未知的场合
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机理建模的步骤
根据建模对象的应用场合和模型使用的目的进 行合理的假设 根据过程的内在机理建立数学方程 进行自由度（过程变量数-独立方程数）分析， 保证模型有解 简化模型（精度、简化） 模型验证
物料平衡方程
d h1 q1 q2 =C1 dt q = 1 (h h ) 2 1 2 R 2 q q =C d h2 3 2 2 dt 1 q3 = h2 R3
1+3: d h1 d h2 q1 q3 =C1 C2 dt dt
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分离式双容过程

d h1 q1 q2 C1 dt q 1 h 2 1 R2 物料平衡方程： q q C d h2 3 2 2 dt 1 q3 h2 R3
（一）自衡过程建模

d q2 q1 q2 R2C1 dt 两个单容过程： q2 1 h2 C2 d h2 R3 dt d h2 R2C1 d h2 d 2 h2 1 q1 h2 C2 R2C1C2 R3 dt R3 dt dt R3 K0 H 2 (s) W0 ( s ) Q1 ( s ) ( R2C1s 1)( R3C2 s 1) (T1s 1)(T2 s 1)
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分离式双容过程响应曲线 q
与单容对象相比
具有自平衡特性和惯性 被调量的最大变化速度分别发 生在t＝t0时刻和P点
q
1
q2
q3
t
h1
原因
前置水槽的惯性使得主水槽的 液位变化在时间上落后于扰动 量，这种迟延称为容积迟延。
h 10
h2
t
Tc
p
b
h 20
c
t0
a
t
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串联式双容过程建模
多容过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后，常用 c 表示。 这种延迟由于前一个惯性环节的作用使得后一个环节的输出量变化在时间上落 后于扰动量。 对象的容积个数愈多，其动态方程的 阶次愈高，其容积迟延愈大； 被控过程的容量越大，容积迟延也越 大，图中给出的是具有1～5个容积的对 象的飞升特性。实际对象的容积数目ｎ 可能很多，每个容量大小也不同。
培训运行操作人员
在现代生产过程自动化中，对于一些复杂的生产操作过程(例如大型 电站机组的运行)都应该事先对操作人员进行实际操作培训。应用计 算机仿真技术，先建立这些复杂生产过程的数学模型(不需要建小型 物理模型)，而后通过仿真使之成为活的模型，在这样的模型上，可 以安全、方便、低成本地对运行操作人员进行培训。
无自平衡过程
过程建模的目的
设计过程控制系统和整定调节器参数
选择控制器结构：PI、PD、PID、史密斯预估 设计控制器参数：稳定、快速 前馈补偿：建立过程的数学模型是实现前馈控制的 前提
指导设计生产工艺设备
通过对生产工艺设备数学模型的分析和仿真，可以 确定有关因素对整个被控过程动态特性的影响，改 善动态特性
H 2 (s) W0 ( s ) Q1 ( s )
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求取传递函数
d h1 dt 1 q2 = (h1 h2 ) R2 d h2 q2 q3 =C2 dt 1 q3 = h2 R3 q1 q2 =C1
d h1 d h2 q1 q3 =C1 C2 dt dt
例如锅炉受热面的布置、管径大小、介质参数的选择等 对整个锅炉出口汽温、汽压等动态特性的影响
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过程建模的目的
进行仿真试验研究
在实现生产过程自动化中，往往需要对一些复杂庞大的设备进行某 些试验研究，例如某单元机组及其控制系统能承受多大的冲击电负 荷，当冲击电负荷过大时会造成什么后果。对于这种破坏性的试验 往往不允许在实际设备上进行，而只要根据过程的数学模型，通过 计算机进行仿真试验研究，就不需要建立小型的物理模型，从而可 可以具有相同的传递函数 典型的传递函数称为典型环节
比例环节：G ( s ) K 1 积分环节：G ( s ) s 微分环节：G ( s ) s 1 惯性环节：G ( s ) Ts 1 1 二阶振荡环节：G ( s ) 2 2 T s 2 Ts 1 s 滞后环节：G(s) e
第二章 过程建模和过程检测控制仪表
第一节 过程建模
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控制系统的构成
期望值
控制器 执行器 输入
2
传感器
过程
输出
研究过程建模的意义
过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节 的结构及其特性所决定 过程的数学模型是设计过程控制系统，确定控 制方案的依据 过程的数学模型是分析质量指标、整定调节器 参数的重要依据
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方框图法
W0 ( s )
R3 H 2 (s) Q1 ( s ) C1C2 R2 R3 s 2 C1 ( R2 R3 ) C2 R3 s 1
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例如：某双容水箱系统的结构参数为：C1 分离式形式的双容水箱系统传函为
R3 H (s) 1 2 2 U ( s ) C1C2 R2 R3 s C1 ( R2 R3 ) C2 R3 s 1 2 S 4 S 1 1 1 2 21 1 2 , 1.06 1.414 , S 2S 4 1 2 4 1 1 2 2 2 S 3S 1 4S 1 S 2 22 2 S S 2 2 2 2