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数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
机理法建模的基本步骤
机理建模，根据系统的机理（如物理或化学的变化规律）建立系统模型的过程。
首先，根据建模对象的应用场合和模型的使用目的进行合理的假设；随后，根据系统的内在机理建立数学方程，并比较过程变量数与独立方程数来进行自由度分析，以保证模型有解；最后，进行模型简化与验证。
机理建模的步骤: (1)合理假设(2)数学建模列写基本方程,例如,物料平衡和能量平衡方程等消去中间变量,建立状态变量、控制变量和输出变量的关系对方程进行增量化,获得增量方程(3)简化模型化简、传递函数、方框图。
§3.3 平衡原理与机理模型一. 平衡原理自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。
二. 机理模型在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。
三. 微分方程模型微元法：在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系, 再利用微分学的思想进一步处理它, 得到以微分方程的形式描述的数学模型。
例1. 人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。
即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
假设1. 人群个体同质。
令N(t)表示t时刻的人口数。
假设2. 群体规模大。
N(t) 连续可微.假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
平衡关系：人口数在区间[t，t+ ❒t ]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。
令B(t, ❒t, N), D(t, ❒t , N) 分别表示在时间区间[t，t+ ❒t ]内生育数和死亡数, 则有N(t+∆t)-N(t)=B(t, ∆ t,N)-D(t, ∆ t,N)假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。
（生育率和死亡率）生育率b(t, ❒t, N) = B(t, ❒t, N)/N, 死亡率d(t, ❒t, N) = D(t, ❒t, N)/N记增长率为 R(t, ∆ t,N)= b(t, ∆ t,N)-d(t, ∆ t,N) 则有 N(t+∆t)-N(t)=R(t, ∆ t,N)N 将R(t, ❒t,N)关于❒t展开. 由于R(t, h, N)|h=0=0，所以两边除以❒t, 并令❒t →0, 得到 dN/dt=r(t, N)N假设5. 群体增长恒定。
（r与 t 无关） dN/dt=r(N) N假设6. 个体增长独立。
（r 与 N 无关） dN/dt=r N给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus 模型) N(t)=N0e rt在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有 N(k+1) = e r N(k )Maithus: “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。
数学建模之机理模型建立的平衡原理机理模型建立的平衡原理是指根据物理、化学、生物等领域的基本原理与规律，通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，以达到系统的平衡状态。
机理模型建立的平衡原理涉及到许多重要的概念和方法，在此我将着重介绍以下几个方面：1.平衡状态的定义：在机理模型建立中，平衡状态是指系统的各个因素之间达到相对稳定的状态，即系统处于一个无明显变化的状态。
平衡状态可以是静态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度为零；也可以是动态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度相互抵消，使得系统整体保持相对稳定。
2.平衡原理的表达：平衡原理可以通过一系列的数学方程或动力学方程来表示，这些方程描述了系统内部各个因素之间的相互作用和调控关系。
常用的数学工具包括微分方程、偏微分方程、差分方程等。
通过对这些方程的求解，可以推导出系统平衡时各个因素之间的关系，从而揭示系统的机理。
3.平衡条件的确定：机理模型的建立需要确定系统平衡的条件。
一般来说，平衡条件可以通过平衡态的守恒方程来确定，守恒方程描述了系统中一些物质或能量的产生、消耗和传递过程。
在平衡状态下，守恒方程达到平衡时，系统处于相对稳定的状态。
4. 稳定性分析：在机理模型建立过程中，需要对系统的稳定性进行分析。
稳定性分析一般包括线性稳定性和非线性稳定性两方面。
线性稳定性分析主要是通过线性化的方法，将系统的非线性方程线性化，从而判断系统平衡时的稳定性。
非线性稳定性分析则需要对系统的非线性方程进行分析，例如通过构造Lyapunov函数，判断系统在平衡状态附近的稳定性。
5.参数估计与模拟：机理模型的建立需要通过实验或观测数据对模型中的参数进行估计，以获得最合理的模型描述。
参数估计可以通过最小二乘法、极大似然估计等方法进行。
同时，通过对模型的数值模拟，可以验证模型的合理性，并对系统的动态行为进行预测和分析。
总之，机理模型建立的平衡原理是数学建模中的重要环节之一、通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，可以揭示系统的平衡状态和稳定性，为实际问题的研究和解决提供指导和依据。
1第四章 机理分析建模法
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.的认
识来源对现实对象 *与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.
*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设). 模型特点：有明确的物理或现实意义
8.1 微分方程的建立
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律：y=y(t).
建立关于未知变量、
未知变量的导数以及
自变量的方程
建立变量能满足
的微分方程
2
3在工程实际问题中
“
“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.
建
立方
法常
用微分方程运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法应用分析法
机理分析法
一.运用已知物理定律
建立微分方程模型时
应用已知物理定律，
可事半功倍
例8.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m的介质中时，T的变化速率正与周围介质的温度差..
比于T与周围介质的温度差
4
5
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,,保持为保持为m
m ，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，
“T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差” 翻译为成正比与m T dt
dT −数学语言
6⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.
60)0(),(T m T k dt dT 建立微分方程
其中参数k >0，m =18. 求得一般解为
ln(T －m )=－k t+c ,
代入条件，求得c=42 ，k=－ , 最后得21
16ln 31,
0,≥+=−t ce m T kt 或
7最后得 T (t )=18+42 , t ≥0. t e
2116ln 31结果 ：T(10)=18+42 =25.87℃，102116ln 31×e
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系
建立有关变量间的相互关系..
例8.1.2人口增长模型
对某地区时刻t t的人口总数P(t)，除考虑个
对某地区时刻
体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响
影响..
8
9 在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：
{Δt 时间内的人口增长量}=
{Δt 内出生人口数}－{Δt 内死亡人口数}+ {Δt 内迁入人口数}－{Δt 内迁出人口数}
{Δt 时间内的净改变量}
={Δt 时间内输入量}－{Δt 时间内输出量时间内输出量}
}般
化更一基本模型
不同的输入、输出情况对应不同的差分或
微分方程.
输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.
此类建模方法的关键是
分析并正确描述基本模型的右端，
使平衡式成立
10
例8.1.2
8.1.2 战斗模型两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
预测哪一方将获胜？
1.
1. 预测哪一方将获胜？
估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
2.
2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士
兵才能赢得这场战斗？
兵才能赢得这场战斗？
11
问题分析
设x(t) ) ——t时刻X方存活的士兵数；
y(t) ) ——t时刻Y方存活的士兵数；
假设：
1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队a 名士兵；
3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵；
12
13即有 Δx =－a y Δt ,
同理 Δy =－b x Δt ,
令Δt 0, 得到微分方程组：
0,>−=a ay dt
dx 0,>−=b bx dt
dy {Δt 时间内X 军队减少的士兵数 }
= {Δt 时间内Y 军队消灭对方的士兵数}
平衡式
14三. 微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.
例8.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面
积为积为11平方厘米平方厘米. . . 试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间.
.
152米对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t ).
2 ．整个放水过程无能
量损失。
分析：放空容器
？
容器内水的体积为零
容器内水的高度为零
16 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q 为通过“孔口横截面的水的体积V 对时间t 的 变化率”，即gh S dt
dV Q 262.0==S —孔口横截面积（单位：平方厘米）
h (t ) ) —
—水面高度（单位：厘米） t —时间（单位：秒）
当S=1平方厘米，有
)
1(262.0dt gh dV =
17h+Δh
在[t ，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为h(t)r 1
2
22200)100(100h h h r −=−−=记r 2)
( ])()(3[6
1)(22221h O h r h o r r h h h V V(h)V ∆+∆−≈∆++∆−=∆+−=∆ππ
18令Δt 0,
得 →dV =－πr 2 dh ， （2） 比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
⎪⎩⎪⎨⎧=−−−−===.100,,))200200((226262..000
2t h dh dh h h h h dt dt gh gh ππ积分后整理得
)31000700000(265.42523
h h g t +−=π 0≤h ≤100
令 h =0，求得完全排空需要约2小时58分.
19四.分析法
基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例8.1.4（独家广告模型）（独家广告模型）
广告是调整商品销售的强有力的手段售的强有力的手段, , , 广告与销售量之间有什么内
广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；
20*2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；
*3. 选择如下广告策略，t 时刻的广告费用为：
⎩⎨⎧><<=.,
0;0,)(ττt t A t A 建模 记
S(t) S(t) S(t) —
— t 时刻商品的销售速度； M M —
— 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ（＞0）— 衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度.
直接建立微分方程
)())(1)((t S M
t S t pA dt dS λ−−=称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力.模型分析：是否与前三条假设相符？)())(()(t S t S M M t A p dt dS λ−−=销售速度因广告作用增大, 同时
又受市场余额的限制.
改写模型
225.2 微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的必备基础理论.
一. 微分方程定性理论的基本任务和
主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解.
求微分方程的数值解解决
方法对微分方程进行定性分析
23 一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态.
微分方程定性分析
基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状，或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统
其右端的函数不显含自变量 t ，称为一阶n 维驻定系统(自治系统、动力系统). 若微分方程组
n i x x x f dt
dx n i i ,,2,1),,,,(21⋯⋯==（1）
x
y
t
o
t0
(x,y,t)
解曲线
投影曲线
定义：称平面(x, y)为相平面，称解曲线在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图
相位图..基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析.
24
25 轨线方程可由原方程（1）消去 t 而得到, 相点的运动方向可由原方程确定.
对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.
若点(x 0, y 0)使 f i (x 0, y 0) =0, 称(x 0, y 0) 为方程(1)的平衡点.
练习
P 129: 4
26。
